Ana Sayfa Logaritma Logaritma İşlem Kuralları
Logaritma İşlem Kuralları
Aşağıdaki işlem kuralları hem normal hem de doğal logaritma için geçerlidir.
Temel Kurallar
Logaritma tanımı gereği, \( a \) tabanında \( a \)'nın \( n \). kuvvetinin logaritması \( n \)'ye eşittir.
\( \log_a{a^n} = n \)
ÖRNEK:
\( \log_3{81} = \log_3{3^4} = 4 \)
\( \log_3{3^{99}} = 99 \)
\( \log_3{\frac{1}{81}} = \log_3{3^{-4}} = -4 \)
Çarpma ve Bölme Kuralı
İki sayının çarpımının logaritması sayıların logaritmalarının toplamına eşittir.
\( \log_a(x \cdot y) = \log_a{x} + \log_a{y} \)
ÖRNEK:
\( \log_2{40} = \log_2(2^3 \cdot 5) \) \( = \log_2{2^3} + \log_2{5} \) \( = 3 + \log_2{5} \)
İSPATI GÖSTER
\( m = \log_a{x} \Longrightarrow x = a^m \)
\( n = \log_a{y} \Longrightarrow y = a^n \)
İki ifadeyi taraf tarafa çarpalım.
\( x \cdot y = a^m \cdot a^n = a^{m + n} \)
İki tarafın \( a \) tabanında logaritmasını alalım ve sağ tarafa aşağıda göreceğimiz üs kuralını uygulayalım.
\( \log_a(x \cdot y) = \log_a{a^{m + n}} \) \( = (m + n) \cdot \log_a{a} \) \( = m + n \)
\( m \) ve \( n \) yerine ilk satırdaki karşılıklarını yazalım.
\( \log_a(x \cdot y) = \log_a{x} + \log_a{y} \)
İki sayının bölümünün logaritması, sayıların logaritmalarının farkına eşittir.
\( \log_a{\dfrac{x}{y}} = \log_a{x} - \log_a{y} \)
ÖRNEK:
\( \log_5{\dfrac{3}{25}} = \log_5{\dfrac{3}{5^2}} \) \( = \log_5{3} - \log_5{5^2} \) \( = \log_5{3} - 2 \)
İSPATI GÖSTER
\( m = \log_a{x} \Longrightarrow x = a^m \)
\( n = \log_a{y} \Longrightarrow y = a^n \)
İki ifadeyi taraf tarafa bölelim.
\( \dfrac{x}{y} = \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \)
İki tarafın \( a \) tabanında logaritmasını alalım ve sağ tarafa aşağıda göreceğimiz üs kuralını uygulayalım.
\( \log_a{\dfrac{x}{y}} = \log_a{a^{m - n}} \) \( = (m - n) \cdot \log_a{a} \) \( = m - n \)
\( m \) ve \( n \) yerine ilk satırdaki karşılıklarını yazalım.
\( \log_a{\dfrac{x}{y}} = \log_a{x} - \log_a{y} \)
Üs Kuralı
Logaritması alınan değerin üssü, logaritma işleminin başına katsayı olarak alınabilir.
\( \log_a{x^n} = n \cdot \log_a{x} \)
ÖRNEK:
\( \log_7{9^3} = 3 \cdot \log_7{9} \)
İSPATI GÖSTER
\( m = \log_a{x} \Longrightarrow x = a^m \)
İki tarafın \( n \). üssünü alalım.
\( x^n = (a^m)^n = a^{mn} \)
İki tarafın \( a \) tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_a{x^n} = \log_a{a^{mn}} \)
Logaritma tanımı gereği \( \log_a{a^{mn}} = mn \) olur.
\( \log_a{x^n} = mn \)
\( m \) yerine ilk satırdaki karşılığını yazalım.
\( \log_a{x^n} = n \cdot \log_a{x} \)
Benzer şekilde, logaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi, logaritma işleminin başına katsayı olarak alınabilir.
\( \log_{a^m}{x} = \dfrac{1}{m} \cdot \log_a{x} \)
ÖRNEK:
\( \log_{16}{3} = \log_{2^4}{3} \) \( = \frac{1}{4} \cdot \log_2{3} \)
İSPATI GÖSTER
\( n = \log_a{x} \Longrightarrow x = a^n \)
İki tarafın \( a^m \) tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_{a^m}{x} = \log_{a^m}{a^n} \)
Sağ tarafa yukarıda ispatını verdiğimiz üs kuralını uygulayalım.
\( \log_{a^m}{x} = n \cdot \log_{a^m}{a} \)
Logaritma tanımı gereği \( \log_{a^m}{a} = \frac{1}{m} \) olur.
\( \log_{a^m}{x} = n \cdot \dfrac{1}{m} \)
\( n \) yerine ilk satırdaki karşılığını yazalım.
\( \log_{a^m}{x} = \dfrac{1}{m} \cdot \log_a{x} \)
Bu iki işlem birlikte tek adımda da gerçekleştirilebilir.
\( \log_{a^m}{x^n} = \dfrac{n}{m} \cdot \log_a{x} \)
ÖRNEK:
\( \log_{8}{81} = \log_{2^3}{3^4} \) \( = \frac{4}{3} \cdot \log_2{3} \)
Yukarıdaki üs işlemlerinin tersi de mümkündür, yani logaritmanın önündeki katsayıyı \( x \)'e, katsayının çarpmaya göre tersini de tabana üs olarak yazabiliriz.
\( n \cdot \log_{a}{x} = \log_{a}{x^n} = \log_{a^{\frac{1}{n}}}{x} \)
ÖRNEK:
\( 3 \cdot \log_{8}{5} = \log_{8}{5^3} = \log_{8}{125} \)
\( 3 \cdot \log_{8}{5} = \log_{8^{\frac{1}{3}}}{5} = \log_{2}{5} \)
Bu kuralın bir uygulaması olarak, tabanın ve logaritması alınan değerin aynı derecede kuvveti alınırsa ifadenin değeri değişmez.
\( \log_a{x} = \log_{a^n}{x^n} \)
ÖRNEK:
\( \log_{2}{3} = \log_{2^4}{3^4} \) \( = \log_{16}{81} \)
\( \log_{2}{3} = \log_{2^{-2}}{3^{-2}} \) \( = \log_{\frac{1}{4}}{\frac{1}{9}} \)
İSPATI GÖSTER
\( \log_{a^n}{x^n} \) ifadesinde \( x \)'in üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritmaya katsayı olarak yazalım.
\( \log_{a^n}{x^n} = n \cdot \dfrac{1}{n} \cdot \log_{a}{x} \)
Katsayıların çarpımı 1'e eşittir.
\( \log_{a^n}{x^n} = \log_{a}{x} \)
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, tabanın ve logaritması alınan değerin aynı derecede kökü alınırsa ifadenin değeri değişmez.
\( n \in \mathbb{Z}, n \gt 1 \) olmak üzere,
\( \log_{a}{x} = \log_{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{x}} \)
ÖRNEK:
\( \log_{27}{125} = \log_{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} \) \( = \log_3{5} \)
İSPATI GÖSTER
Köklü ifadeleri üslü ifadeye çevirelim.
\( \log_{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{x}} = \log_{a^{\frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} \)
\( \log_{a^{\frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} \) ifadesinde \( x \)'in üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritmaya katsayı olarak yazalım.
\( \log_{a^{\frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{1}{n} \cdot n \cdot \log_{a}{x} \)
Katsayıların çarpımı 1'e eşittir.
\( \log_{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{x}} = \log_{a}{x} \)
Taban Değiştirme Kuralı
Bir logaritmik ifade aşağıdaki şekilde farklı bir tabana dönüştürülebilir (bu örnekte a tabanından b tabanına).
\( b \in \mathbb{Z^+}, b \ne 1 \) olmak üzere,
\( \log_a{x} = \dfrac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \)
ÖRNEK:
\( \log_{10}{15} = \dfrac{\log_2{15}}{\log_2{10}} = \dfrac{\log_7{15}}{\log_7{10}} \)
İSPATI GÖSTER
\( m = \log_a{x} \Longrightarrow a^m = x \)
İki tarafın \( b \) tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_b{a^m} = \log_b{x} \)
\( m \cdot \log_b{a} = \log_b{x} \)
\( m = \dfrac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \)
\( m \) yerine ilk satırdaki karşılığını yazalım.
\( \log_a{x} = \dfrac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \)
Bu kuralın bir uygulaması olarak, bir logaritmik ifade 10 ve \( e \) tabanına aşağıdaki şekilde dönüştürülebilir.
\( \log_a{x} = \dfrac{\log{x}}{\log{a}} \)
\( \log_a{x} = \dfrac{\ln{x}}{\ln{a}} \)
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, bir logaritmik ifadenin çarpmaya göre tersi alındığında tabanı ve logaritması alınan değer aralarında yer değiştirebilir.
\( \log_a{x} = \dfrac{1}{\log_x{a}} \)
ÖRNEK:
\( \log_3{2} = \dfrac{1}{\log_2{3}} \)
İSPATI GÖSTER
\( a \)'dan \( x \)'e taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_a{x} = \dfrac{\log_x{x}}{\log_x{a}} \) \( = \dfrac{1}{\log_x{a}}\)
Zincir Kuralı
İki logaritmik ifadenin çarpımında, bir ifadenin değişkeni diğerinin tabanına eşitse bu iki ifade tek bir logaritmik ifade olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( \log_a{b} \cdot \log_b{c} = \log_a{c} \)
ÖRNEK:
\( \log_2{3} \cdot \log_3{5} = \log_2{5} \)
İSPATI GÖSTER
\( \log_a{b} = \dfrac{\log{b}}{\log{a}} \)
\( \log_b{c} = \dfrac{\log{c}}{\log{b}} \)
İki ifadenin çarpımını alalım.
\( \log_a{b} \cdot \log_b{c} \) \( = \dfrac{\log{b}}{\log{a}} \cdot \dfrac{\log{c}}{\log{b}} \) \( = \dfrac{\log{c}}{\log{a}} \)
Elde ettiğimiz 10 tabanındaki sonuca taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_a{b} \cdot \log_b{c} = \log_a{c} \)
Bu kural üç ve daha fazla ifadenin çarpımına da uygulanabilir.
\( \log_a{b} \cdot \log_b{c} \cdot \log_c{d} = \log_a{d} \)
\( \log_a{b} \cdot \log_b{c} \cdot \log_c{d} \cdot \ldots \cdot \log_y{z} \) \( = \log_a{z} \)
ÖRNEK:
\( \log_2{3} \cdot \log_3{4} \cdot \log_4{5} \cdot \ldots \cdot \log_{63}{64} \) \( = \log_2{64} \)
Diğer Kurallar
Bir tabanın kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.
\( a^{\log_a{x}} = x \)
\( e^{\ln{x}} = x \)
ÖRNEK:
\( 3^{\log_3{5}} = 5 \)
İSPATI GÖSTER
Önce logaritmanın tanımını yazalım.
\( a^y = x \Longleftrightarrow \log_a{x} = y \)
İlk ifadede \( y \) yerine ikinci ifadedeki eşitini yazalım.
\( a^y = a^{\log_a{x}} = x \)
Aşağıdaki gibi bir ifadede üslü ifadenin tabanı ve logaritması alınan değer aralarında yer değiştirirse sonuç değişmez.
\( a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}} \)
ÖRNEK:
\( 3^{\log_4{5}} = 5^{\log_4{3}} \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıdaki kuralı kullanarak \( a \)'ya aşağıdaki dönüşümü uygulayalım.
\( a = b^{\log_b{a}} \)
Şimdi \( a \)'yı verilen ifadede yerine koyalım.
\( a^{\log_b{c}} = {\left( b^{\log_b{a}} \right)}^{\log_b{c}} \)
Parantez içindeki ve dışındaki üsleri çarpım şeklinde birleştirelim.
\( a^{\log_b{c}} = b^{\log_b{a} \cdot \log_b{c}} \)
Bu sefer \( b \)'nin üssünün ikinci çarpanını parantez içine alalım.
\( a^{\log_b{c}} = {\left( b^{\log_b{c}} \right)}^{\log_b{a}} \)
Parantez içindeki ifade yukarıdaki kural gereği \( c \)'ye eşittir.
\( a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}} \)