Aşağıdaki işlem kuralları hem normal hem de doğal logaritma için geçerlidir.
Logaritma tanımı gereği, bir sayının kendisiyle aynı tabanda \( n \). kuvvetinin logaritması \( n \)'ye eşittir.
Bu kuralın bir sonucu olarak, 1'in tüm tabanlarda logaritması 0'dır, tüm sayıların kendisiyle aynı tabanda logaritması da 1'dir.
Yine logaritma tanımı gereği, bir sayının kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü logaritması alınan değere eşittir.
İki sayının çarpımının logaritması sayıların logaritmalarının toplamına eşittir.
İki sayının bölümünün logaritması sayıların logaritmalarının farkına eşittir.
Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
Logaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
Bu iki işlem birlikte tek adımda da gerçekleştirilebilir.
Yukarıdaki üs işlemlerinin tersi de mümkündür, yani logaritmanın önündeki katsayıyı logaritma içine, çarpmaya göre tersini de tabana üs olarak yazabiliriz.
Bu kuralın bir uygulaması olarak, tabanın ve logaritma içinin aynı dereceden üssü alınırsa ifadenin değeri değişmez.
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, tabanın ve logaritma içinin aynı derecede kökü alınırsa ifadenin değeri değişmez.
Bir logaritma ifadesi aşağıdaki şekilde farklı bir tabana dönüştürülebilir (bu örnekte \( a \) tabanından \( b \) tabanına).
Bu kuralın bir uygulaması olarak, bir logaritma ifadesi 10 ve \( e \) tabanına aşağıdaki şekilde dönüştürülebilir.
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, bir logaritma ifadesinin çarpmaya göre tersi alındığında tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirir.
İki logaritma ifadesinin çarpımında, bir ifadenin içi diğerinin tabanına eşitse bu iki ifade tek bir logaritma ifadesi olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
Bu kural üç ya da daha fazla ifadenin çarpımına da uygulanabilir.
Aşağıdaki gibi bir ifadede üslü ifadenin tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirilirse sonuç değişmez.
SORU 1:
\( \log_5{3} + \log_{25}{4} + 1 \) ifadesinin tek bir logaritma altında eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log_{25}{4} = \log_{5^2}{2^2} = \log_5{2} \)
\( 1 = \log_5{5} \)
Buna göre verilen ifadeyi tekrar düzenleyelim.
\( \log_5{3} + \log_{25}{4} + 1 \)
\( = \log_5{3} + \log_5{2} + \log_5{5} \)
Çarpma kuralı ile ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirelim.
\( = \log_5(3 \cdot 2 \cdot 5) \)
\( = \log_5{30} \) bulunur.
SORU 2:
\( 2\log{a} - 3\log{b} + \dfrac{1}{2}\log{c} - \dfrac{1}{3}\log{d} \)
ifadesinin tek bir logaritma altında eşiti nedir?
Çözümü Göster
Katsayıları logaritma içine üs olarak alalım.
\( = \log{a^2} - \log{b^3} + \log{c^{\frac{1}{2}}} - \log{d^{\frac{1}{3}}} \)
\( = \log{a^2} - \log{b^3} + \log{\sqrt{c}} - \log{\sqrt[3]{d}} \)
Çarpma kuralı ile ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirelim.
\( = \log{\dfrac{a^2\sqrt{c}}{b^3\sqrt[3]{d}}} \) bulunur.
SORU 3:
\( \ln{\frac{1}{e^4}} + 2\ln{\sqrt{e}} \) işlemin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \ln{e^{-4}} + 2\ln{e^\frac{1}{2}} \)
\( = -4\ln{e} + \dfrac{2}{2}\ln{e} \)
\( = -4 + 1 = -3 \) bulunur.
SORU 4:
Aşağıdaki eşitliklerdeki değişken değerini bulunuz.
(1) \( 4\ln{3} - 2\ln{6} - 4\ln{\sqrt{3}} + \ln{12} = x\ln{3} \)
(2) \( 2\ln{42} - \ln{48} + \ln{\dfrac{4}{7}} = \ln{a} \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( 4\ln{3} - 2\ln{6} - 4\ln{\sqrt{3}} + \ln{12} = x\ln{3} \)
Logaritma ifadelerinin katsayılarını içeriye üs olarak alalım.
\( \ln{3^4} - \ln{6^2} - \ln{(3^{\frac{1}{2}})^4} + \ln{12} = x\ln{3} \)
\( \ln{81} - \ln{36} - \ln{9} + \ln{12} = x\ln{3} \)
\( \ln{81} + \ln{12} - (\ln{36} + \ln{9}) = x\ln{3} \)
Logaritma çarpma ve bölme kurallarını kullanalım.
\( \ln{\dfrac{81 \cdot 12}{36 \cdot 9}} = x\ln{3} \)
\( \ln{3} = x\ln{3} \)
\( x = 1 \) bulunur.
2. Soru:
\( 2\ln{42} - \ln{48} + \ln{\dfrac{4}{7}} = \ln{a} \)
\( \ln{42^2} - \ln{48} + \ln{\dfrac{4}{7}} = \ln{a} \)
Logaritma çarpma ve bölme kurallarını kullanalım.
\( \ln{\dfrac{42^2 \cdot \frac{4}{7}}{48}} = \ln{a} \)
\( \ln{21} = \ln{a} \)
\( a = 21 \) bulunur.
SORU 5:
\( \dfrac{\log_4{8} \cdot \log_{27}{\frac{1}{9}}}{\log_{\sqrt{32}}{\frac{1}{16}} \cdot \log_{81}{\sqrt{\frac{1}{3}}}} \)
ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Logaritma ifadelerinin tabanlarını ve içlerini 2 ve 3'ün kuvvetleri biçiminde yazalım.
\( \dfrac{\log_{2^2}{2^3} \cdot \log_{3^3}{3^{-2}}}{\log_{2^{\frac{5}{2}}}{2^{-4}} \cdot \log_{3^4}{3^{-\frac{1}{2}}}} \)
Logaritma içlerinin üsleri olduğu gibi, tabanların üslerinin çarpmaya göre tersleri logaritma dışına katsayı olarak çıkar.
\( = \dfrac{\frac{3}{2} \cdot \log_2{2} \cdot \frac{-2}{3} \cdot \log_3{3}}{\frac{-4 \cdot 2}{5} \cdot \log_2{2} \cdot \frac{-1}{2 \cdot 4} \cdot \log_3{3}} \)
Logaritma ifadelerinin tümü 1'e eşittir.
\( = \dfrac{\frac{3}{2} \cdot \frac{-2}{3}}{\frac{-4 \cdot 2}{5} \cdot \frac{-1}{2 \cdot 4}} \)
\( = \dfrac{-1}{\frac{1}{5}} = -5 \) bulunur.
SORU 6:
\( f(x) = \ln(2x) \)
olduğuna göre, aşağıdaki eşitliği sağlayan \( a \) değeri kaçtır?
\( f(2a) + f(4a) + f(8a) = 9 \)
Çözümü Göster
\( f(2a) + f(4a) + f(8a) = 9 \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \ln(4a \cdot 8a \cdot 16a) = 9 \)
\( \ln(2^2a \cdot 2^3a \cdot 2^4a) = 9 \)
\( \ln(2^9a^3) = 9 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 2^9a^3 = e^9 \)
\( a^3 = \dfrac{e^9}{2^9} \)
Eşitliğin her iki tarafının küp kökünü alalım.
\( a = \dfrac{e^3}{2^3} = \dfrac{e^3}{8} \) bulunur.
SORU 7:
\( 25^{\log_5{x}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( 25^{\log_5{x}} = (5^2)^{\log_5{x}} \)
\( = 5^{2\log_5{x}} = 5^{\log_5{x^2}} \)
Bir tabanın kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.
\( = x^2 \) bulunur.
SORU 8:
\( \log_3{26!} = x \) olduğuna göre,
\( \log_3{27!} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \log_3{27!} = \log_3(26! \cdot 27) \)
Çarpma kuralını uygulayalım.
\( = \log_3{26!} + \log_3{27} \)
\( = x + \log_3{3^3} \)
\( = x + 3 \) bulunur.
SORU 9:
\( \log_{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[4]{27}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log_{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[4]{27}} = \log_{\sqrt[5]{3^2}}{\sqrt[4]{3^3}} \)
\( = \log_{3^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{3}{4}}} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} \cdot \log_3{3} \)
\( = \dfrac{15}{8} \cdot 1 = \dfrac{15}{8} \) bulunur.
SORU 10:
\( \ln(x \cdot y) = 6 \)
\( \ln{\dfrac{x}{y}} = 2 \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitliklere çarpma ve bölme kuralını uygulayalım.
\( \ln(x \cdot y) = 6 \Longrightarrow \ln{x} + \ln{y} = 6 \)
\( \ln{\dfrac{x}{y}} = 2 \Longrightarrow \ln{x} - \ln{y} = 2 \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( 2\ln{x} = 8 \)
\( \ln{x} = 4 \Longrightarrow x = e^4 \)
\( \ln{y} = 2 \Longrightarrow y = e^2 \)
\( x + y = e^4 + e^2 \) bulunur.
SORU 11:
\( \log_a{b} = x \) olduğuna göre,
\( \log_{a \cdot b}{\dfrac{a}{b}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Verilen logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \log_a{b} = x \Longrightarrow a^x = b \)
Sorulan ifadede \( b = a^x \) yazalım.
\( \log_{a \cdot b}{\dfrac{a}{b}} = \log_{a \cdot a^x}{\dfrac{a}{a^x}} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \log_{a^{x + 1}}{a^{1 - x}} = \dfrac{1 - x}{x + 1}\log_a{a} \)
\( = \dfrac{1 - x}{x + 1} \) bulunur.
SORU 12:
\( \log{\frac{x^2}{y}} = 7 \)
\( \log(x \cdot y) = 20 \) olduğuna göre,
\( \log_{1000}{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( 2\log{x} - \log{y} = 7 \)
\( \log{x} + \log{y} = 20 \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( 3\log{x} = 27 \)
\( \log{x} = 9 \)
\( x = 10^9 \)
Değeri istenen ifadeyi bulalım.
\( \log_{1000}{x} = \log_{10^3}{10^9} \)
\( = \dfrac{9}{3}\log_{10}{10} = 3 \) bulunur.
SORU 13:
\( \log_5{8} = x \) olduğuna göre,
\( \log_{16}{125} \) ifadesinin \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log_5{8} = \log_5{2^3} = 3\log_5{2} = x \)
\( \log_5{2} = \dfrac{x}{3} \)
\( \log_{16}{125} = \log_{2^4}{5^3} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \dfrac{3}{4}\log_2{5} \)
\( \log_2{5} = \dfrac{1}{\log_5{2}} \) dönüşümü uygulayalım.
\( = \dfrac{3}{4\log_5{2}} = \dfrac{3}{4\frac{x}{3}} \)
\( = \dfrac{9}{4x} \) bulunur.
SORU 14:
\( \log{5} = x \) olduğuna göre,
\( \log{40} \) ifadesinin \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
İki ifadeyi de ortak bir logaritma cinsinden yazalım.
\( x = \log{5} = \log{\dfrac{10}{2}} \)
\( = \log{10} - \log{2} = 1 - \log{2} \)
Buna göre \( \log{2} = 1 - x \) olur.
\( \log{40} \) ifadesini \( \log{2} \) cinsinden yazalım.
\( \log{40} = \log(4 \cdot 10) = \log{4} + \log{10} \)
\( = \log{2^2} + 1 = 2\log{2} + 1 \)
\( = 2(1 - x) + 1 = 3 - 2x \) bulunur.
SORU 15:
\( 3^a = 5^b \) olduğuna göre,
\( \log_9{125} \) ifadesinin \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafının logaritmasını alalım.
\( 3^a = 5^b \Longrightarrow \log{3^a} = \log{5^b} \)
\( a\log{3} = b\log{5} \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{\log 5}{\log 3} \)
Taban değiştirme kuralını uygulayalım.
\( = \log_3{5} \)
Sorulan ifadeyi \( \log_3{5} \) cinsinden yazmaya çalışalım.
\( \log_9{125} = \log_{3^2}{5^3} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \dfrac{3}{2}\log_3{5} = \dfrac{3a}{2b} \) bulunur.
SORU 16:
\( \log_7{3} = a \) olduğuna göre,
\( \log_{27}{49} \) ifadesinin \( a \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log_{27}{49} = \log_{3^3}{7^2} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \dfrac{2}{3} \cdot \log_3{7} \)
Taban değiştirme kuralı ile paydaki logaritma ifadesini paydaya alalım.
\( = \dfrac{2}{3\log_7{3}} = \dfrac{2}{3a} \) bulunur.
SORU 17:
\( \log_5{2} = x, \quad \log_5{3} = y \) olduğuna göre,
\( \log_5{0,1\overline{3}} \) ifadesini \( x \) ve \( y \) cinsinden yazınız.
Çözümü Göster
Devirli ondalıklı sayıyı kesirli biçimde yazalım.
\( 0,1\overline{3} = \dfrac{13 - 1}{90} = \dfrac{2}{15} \)
\( \log_5{\dfrac{2}{15}} = \log_5{\dfrac{2}{3 \cdot 5}} \)
Logaritma bölme kuralını kullanalım.
\( = \log_5{2} - (\log_5{3} + \log_5{5}) \)
\( = \log_5{2} - \log_5{3} - \log_5{5} \)
Logaritma tabanı ve içi aynı ise sonuç 1'dir.
\( = \log_5{2} - \log_5{3} - 1 \)
Soruda verilen değişkenleri yerlerine koyalım.
\( = x - y - 1 \) bulunur.
SORU 18:
\( \log_a{y} = \dfrac{1}{4} \)
\( \log_4{a} = x + 3 \)
olduğuna göre, \( y \)'nin \( x \) cinsinden eşitini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \log_a{y} = \dfrac{1}{4} \)
\( y = a^{\frac{1}{4}} \)
İki tarafın 4. kuvvetini alalım.
\( y^4 = a \)
Bu değeri ikinci eşitlikte yerine koyalım.
\( \log_4{a} = x + 3 \)
\( \log_4{y^4} = x + 3 \)
\( 4\log_4{y} = x + 3 \)
\( \log_4{y} = \dfrac{x + 3}{4} \)
\( y = 4^{\frac{x + 3}{4}} \) bulunur.
SORU 19:
\( \log_y{16} = x \) olduğuna göre,
\( \log_y(8y) \) ifadesinin \( x \) cinsinden değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen \( x \) ifadesini düzenleyelim.
\( x = \log_y{16} \)
\( = \log_y{2^4} \)
\( = 4\log_y{2} \)
\( \dfrac{x}{4} = \log_y{2} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \log_y(8y) = \log_y{8} + \log_y{y} \)
\( = \log_y{2^3} + 1 \)
\( = 3\log_y{2} + 1 \)
\( \log_y{2} \) yerine \( \frac{x}{4} \) yazalım.
\( = \dfrac{3x}{4} + 1 \) bulunur.
SORU 20:
\( \log_2{7} = a \) ve \( \log_7{3} = b \)
olduğuna göre, \( \log_6{98} \) ifadesinin \( a \) ve \( b \) türünden eşitini bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpalım ve zincir kuralını kullanalım.
\( \log_2{7} \cdot \log_7{3} = ab \)
\( \log_2{3} = ab \)
Eşiti sorulan ifadeye taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_6{98} =\dfrac{\log_2{98}}{\log_2{6}} \)
\( = \dfrac{\log_2(7^2 \cdot 2)}{\log_2(3 \cdot 2)} \)
\( = \dfrac{\log_2{7^2} + \log_2{2}}{\log_2{3} + \log_2{2}} \)
\( = \dfrac{2\log_2{7} + 1}{\log_2{3} + 1} \)
\( = \dfrac{2a + 1}{ab + 1} \) bulunur.
SORU 21:
\( \log_5{6} = a \) ve \( \log_4{5} = b \) olduğuna göre,
\( \log_3{2} \) ifadesinin \( a \) ve \( b \) cinsinden değerini bulunuz.
Çözümü Göster
İkinci logaritma ifadesini düzenleyelim.
\( \log_4{5} = b \)
\( \log_5{4} = \dfrac{1}{b} \)
\( 2\log_5{2} = \dfrac{1}{b} \)
\( \log_5{2} = \dfrac{1}{2b} \)
Birinci logaritma ifadesini düzenleyelim.
\( \log_5{6} = a \)
\( \log_5{2} + \log_5{3} = a \)
\( \log_5{3} = a - \log_5{2} \)
\( = a - \dfrac{1}{2b} = \dfrac{2ab - 1}{2b} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
İfadeye taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_3{2} = \dfrac{\log_5{2}}{\log_5{3}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2b}}{\frac{2ab - 1}{2b}} \)
\( = \dfrac{1}{2ab - 1} \) bulunur.
SORU 22:
\( b \ne 1 \) olmak üzere,
\( \ln(a + b) = \ln{a} + \ln{b} \) olduğuna göre, \( a \)'nın \( b \) cinsinden eşitini bulunuz.
Çözümü Göster
Eşitliği üstel ifade şeklinde yazalım.
\( e^{\ln{a} + \ln{b}} = a + b \)
\( e^{\ln{a}} \cdot e^{\ln{b}} = a + b \)
\( e^{\ln{x}} = x \) işlem özelliğini kullanalım.
\( ab = a + b \)
\( a \)'yı yalnız bırakalım.
\( ab - a = b \)
\( a(b - 1) = b \)
\( a = \dfrac{b}{b - 1} \) bulunur.
SORU 23:
\( \log{12!} = a + b\log{2} + c\log{3} + d\log{77} \)
olduğuna göre, \( a + b + c + d \) kaçtır?
Çözümü Göster
Faktöriyelin açılımını yazalım.
\( \log{12!} = \log(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \)
Açılımdaki tüm sayıları asal çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım.
\( = \log(2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2) \)
\( = \log(2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11) \)
\( = \log(10^2 \cdot 2^8 \cdot 3^5 \cdot 7 \cdot 11) \)
\( = 2 + \log{2^8} +\log{3^5} + \log{7} + \log{11} \)
\( = 2 + 8\log{2} + 5\log{3} + \log{77} \)
Buna göre \( a + b + c + d = 2 + 8 + 5 + 1 = 16 \) olarak bulunur.
SORU 24:
\( \sqrt{-\log_2{27} \cdot \log_3{\frac{1}{8}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \sqrt{-\log_2{27} \cdot \log_3{\frac{1}{8}}} = \sqrt{-\log_2{3^3} \cdot \log_3{2^{-3}}} \)
Üsleri logaritma dışına alalım.
\( = \sqrt{-(3)(-3)\log_2{3} \cdot \log_3{2}} \)
\( = \sqrt{9\log_2{3} \cdot \log_3{2}} \)
Zincir kuralına göre aşağıdaki ifade 1'e eşit olur.
\( \log_2{3} \cdot \log_3{2} = \log_2{2} = 1 \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
SORU 25:
\( \log_{\sqrt{2}}{25} \cdot \log_{\frac{1}{5}}{81} \cdot \log_{27}{\sqrt[3]{4}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Logaritma içlerini ve tabanları üslü ifade olarak yazalım.
\( \log_{2^{\frac{1}{2}}}{5^2} \cdot \log_{5^{-1}}{3^4} \cdot \log_{3^3}{2^{\frac{2}{3}}} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot 3} \cdot \log_{2}{5} \cdot \log_{5}{3} \cdot \log_{3}{2} \)
Zincir kuralına göre aşağıdaki ifade 1'e eşit olur.
\( \log_{2}{5} \cdot \log_{5}{3} \cdot \log_{3}{2} = \log_{2}{2} = 1 \)
\( = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot 3} \)
\( = -\dfrac{32}{9} \) bulunur.
SORU 26:
\( 5^{\frac{1}{{\log_3{25}}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Taban değiştirme kuralı ile paydadaki logaritma ifadesini paya alalım.
\( 5^{\frac{1}{{\log_3{25}}}} = 5^{\log_{25}{3}} \)
Tabanın üssünü logaritma ifadesinin dışına alalım.
\( = 5^{\log_{5^2}{3}} = 5^{\frac{1}{2}\log_5{3}} \)
Aynı katsayıyı logaritma içine üs olarak alalım.
\( = 5^{\log_5{3^{\frac{1}{2}}}} = 5^{\log_5{\sqrt{3}}} \)
Bir tabanın kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.
\( = \sqrt{3} \) bulunur.
SORU 27:
\( x^{\log_5{3}} = 81 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Üslü bir ifadenin tabanı ve üssündeki logaritma ifadesinin içi aralarında yer değiştirirse sonuç değişmez.
\( x^{\log_5{3}} = 3^{\log_5{x}} = 81 \)
\( 3^4 = 81 \) olduğu için \( \log_5{x} = 4 \) olur.
\( x = 5^4 = 625 \) bulunur.
SORU 28:
\( y = 3^{\frac{1}{\log_x{9}}} \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( y \) cinsinden değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Eşitliğin her iki tarafının 3 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_3{y} = \log_3{3^\frac{1}{\log_x{9}}} \)
\( \log_3{y} = \dfrac{1}{\log_x{9}} \)
Eşitliğin sağ tarafına taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_3{y} = \log_9{x} \)
\( \log_3{y} = \dfrac{1}{2}\log_3{x} \)
\( \log_3{y} = \log_{3}{\sqrt{x}} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( y = \sqrt{x} \)
\( x = y^2 \) bulunur.
SORU 29:
\( 2^{\log_x{5}} + 5^{\log_x{2}} = 32 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Üslü bir ifadenin tabanı ve üssündeki logaritma ifadesinin içi aralarında yer değiştirirse sonuç değişmez.
\( 2^{\log_x{5}} = 5^{\log_x{2}} \)
\( 2^{\log_x{5}} + 5^{\log_x{2}} = 2\cdot 2^{\log_x{5}} = 32 \)
\( 2^{\log_x{5}} = 16 \)
\( 2^4 = 16 \) olduğu için \( \log_x{5} = 4 \) olur.
\( x^4 = 5 \)
\( x = \sqrt[4]{5} \) bulunur.
SORU 30:
\( \log{5} = 0,69897 \) olduğuna göre,
\( \log{500} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log{500} = \log(5 \cdot 100) = \log(5 \cdot 10^2) \)
\( = \log{5} + \log{10^2} = \log{5} + 2 \)
\( = 0,69897 + 2 = 2,69897 \) bulunur.
SORU 31:
\( \log{41,35} = x \) olduğuna göre,
\( \log{0,4135} \) ifadesinin \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log{0,4135} = \log(41,35 \cdot 10^{-2}) \)
\( = \log{41,35} + \log{10^{-2}} \)
\( = \log{41,35} - 2\cdot \log{10} \)
\( = x - 2 \) bulunur.
SORU 32:
\( \log{2} = 0,30103 \) olduğuna göre,
\( \log{0,04} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \log{0,04} = \log(4 \cdot 10^{-2}) = \log(2^2 \cdot 10^{-2}) \)
\( = \log{2^2} + \log{10^{-2}} \)
\( = 2\log{2} - 2\log{10} \)
\( = 2(0,30103) - 2 \)
\( = 0,60206 - 2 = -1,39794 \) bulunur.
SORU 33:
\( \log{x} = -3,1254 \) olduğuna göre,
\( \log{\dfrac{1}{x^2}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log{\dfrac{1}{x^2}} = \log{x^{-2}} = -2\log{x} \)
\( = -2(-3,1254) = 6,2508 \) bulunur.
SORU 34:
\( P(x) = 2\log_4{3} \cdot x - \log_3{9} \) polinomunun \( x - \log_3{8} \) ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - \log_3{8} \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = \log_3{8} \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(\log_3{8}) \)'dir.
\( P(\log_3{8}) = 2\log_4{3} \cdot \log_3{8} - \log_3{9} \)
Zincir kuralı ile iki logaritma ifadesini birleştirelim.
\( = 2\log_{4}{8} - \log_3{9} \)
\( = 2\log_{2^2}{2^3} - \log_3{3^2} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 3}{2} \cdot \log_{2}{2} - 2\log_3{3} \)
\( = 3 - 2 = 1 \) bulunur.
SORU 35:
\( \ln{5^x} = \log{5} \) ise \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( x\ln{5} = \log{5} \)
\( x = \dfrac{\log{5}}{\ln{5}} = \dfrac{\log_{10}{5}}{\log_e{5}} \)
Taban değiştirme kuralı ile paydadaki ifadeyi paya alalım.
\( = \log_{10}{5} \cdot \log_5{e} \)
Zincir kuralını uygulayalım.
\( = \log_{10}{e} = \log{e} \) bulunur.
SORU 36:
\( \log{\frac{2}{3}} + \log{\frac{3}{4}} + \log{\frac{4}{5}} + \ldots + \log{\frac{n}{n + 1}} = -1 \)
olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
Çarpma kuralı ile logaritma ifadelerini tek bir ifadede birleştirelim.
\( \log(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n + 1}) = -1 \)
Logaritma içindeki kesirli ifadelerin pay ve paydaları sadeleşir.
\( \log{\dfrac{2}{n + 1}} = -1 \)
\( \dfrac{2}{n + 1} = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \)
\( n + 1 = 20 \)
\( n = 19 \) bulunur.
SORU 37:
\( x = 4 - \sqrt{15} \)
\( y = 4 + \sqrt{15} \)
olduğuna göre, \( \log_x{y} \) sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
\( x \cdot y = (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) \)
\( = 4^2 - (\sqrt{15})^2 \)
\( = 16 - 15 = 1 \)
\( x = \dfrac{1}{y} \)
Sorulan ifadede \( x \)'i yerine koyalım.
\( \log_x{y} = \log_{\frac{1}{y}}{y} \)
\( = \log_{y^{-1}}{y} \)
\( = -1 \cdot \log_y{y} = -1 \) bulunur.
SORU 38:
\( x = \ln(\tan{69°}) \)
\( y = \ln(\tan{21°}) \)
olduğuna göre, \( x \) ile \( y \) arasındaki ilişkiyi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( x + y = \ln(\tan{69°}) + \ln(\tan{21°}) \)
\( = \ln(\tan{69°} \cdot \tan{21°}) \)
\( \cot{a} = \tan(90° - a) \) olduğuna göre,
\( = \ln(\tan{69°} \cdot \cot{69°}) \)
\( \tan{a} \cdot \cot{a} = 1 \) olduğuna göre,
\( x + y = \ln{1} = 0 \)
\( x = -y \) bulunur.
SORU 39:
\( 3^x = 15^y \) ise,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafının logaritmasını alalım.
\( \log{3^x} = \log{15^y} \)
\( x\log{3} = y\log{15} \)
\( x \) ve \( y \)'yi \( k \) cinsinden yazalım.
\( x = k\log{15} \)
\( y = k\log{3} \)
Bu değerleri soruda verilen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{k\log{15} - k\log{3}}{k\log{15} + k\log{3}} \)
\( = \dfrac{k(\log{15} - \log{3})}{k(\log{15} + \log{3})} \)
Pay ve paydadaki \( k \) değişkenleri sadeleşir.
\( = \dfrac{\log{15} - \log{3}}{\log{15} + \log{3}} \)
\( = \dfrac{\log{\frac{15}{3}}}{\log(15 \cdot 3)} \)
\( = \dfrac{\log{5}}{\log{45}} \)
Taban değiştirme kuralını uygulayalım.
\( = \log_{45}{5} \) bulunur.
SORU 40:
\( a, b, c \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 4^a = 3^b = 5^c = 60 \)
olduğuna göre, \( \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{4}{c} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( 4^a = 60 \Longrightarrow a = \log_4{60} \)
\( 3^b = 60 \Longrightarrow b = \log_3{60} \)
\( 5^c = 60 \Longrightarrow c = \log_5{60} \)
Sorudaki ifadede değişkenleri yerine koyalım.
\( \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{4}{c} \)
\( = 4(\dfrac{1}{\log_4{60}} + \dfrac{1}{\log_3{60}} + \dfrac{1}{\log_5{60}}) \)
Taban değiştirme kuralı ile paydadaki ifadeleri paya alalım.
\( = 4(\log_{60}{4} + \log_{60}{3} + \log_{60}{5}) \)
\( = 4\log_{60}(4 \cdot 3 \cdot 5) \)
\( = 4\log_{60}{60} = 4 \) bulunur.
SORU 41:
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\( \dfrac{1}{1 + \log{3}} + \dfrac{1}{1 + \log_2{15}} + \dfrac{1}{1 + \log_{\frac{3}{2}}{20}} \)
Çözümü Göster
Paydaları düzenleyelim.
\( \dfrac{1}{\log{10} + \log{3}} + \dfrac{1}{\log_2{2} + \log_2{15}} + \dfrac{1}{\log_{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} + \log_{\frac{3}{2}}{20}} \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \dfrac{1}{\log(10 \cdot 3)} + \dfrac{1}{\log_2(2 \cdot 15)} + \dfrac{1}{\log_{\frac{3}{2}}(\frac{3}{2} \cdot 20)} \)
\( = \dfrac{1}{\log{30}} + \dfrac{1}{\log_2{30}} + \dfrac{1}{\log_{\frac{3}{2}}{30}} \)
Logaritma tabanı ve içi yer değiştirirse logaritmanın çarpmaya göre tersi alınır.
\( = \log_{30}{10} + \log_{30}{2} + \log_{30}{\frac{3}{2}} \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( = \log_{30}(10 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2}) \)
\( = \log_{30}{30} = 1 \) bulunur.
SORU 42:
\( \dfrac{\log_{3}{54}}{\log_{18}{9}} + \dfrac{\log_{3}{\frac{1}{36}}}{\log_{162}{81}} \) işleminin sonucu kaça eşittir?
Çözümü Göster
Logaritma tabanı ve içi aralarında yer değiştirirse logaritmanın çarpmaya göre tersi alınır.
\( \dfrac{\log_{3}{54}}{\log_{18}{9}} + \dfrac{\log_{3}{\frac{1}{36}}}{\log_{162}{81}} = (\log_{3}{54} \cdot \log_{9}{18}) + (\log_{3}{\frac{1}{36}} \cdot \log_{81}{162}) \)
\( = (\log_{3}{54} \cdot \log_{3^2}{18}) + (\log_{3}{6^{-2}} \cdot \log_{3^4}{162}) \)
Logaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi, logaritma içinin üssünün kendisi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
\( = \dfrac{\log_{3}{54} \cdot \log_{3}{18}}{2} + \dfrac{-2\log_{3}{6} \cdot \log_{3}{162}}{4} \)
Çarpma kuralını kullanarak logaritma ifadelerini iki logaritma ifadesinin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{(\log_{3}{9} + \log_{3}{6})(\log_{3}{3} + \log_{3}{6})}{2} - \dfrac{2\log_{3}{6}(\log_{3}{27} + \log_{3}{6})}{4} \)
\( = \dfrac{(\log_{3}{3^2} + \log_{3}{6})(1 + \log_{3}{6})}{2} - \dfrac{2\log_{3}{6}(\log_{3}{3^3} + \log_{3}{6})}{4} \)
\( = \dfrac{(2 + \log_{3}{6})(1 + \log_{3}{6})}{2} - \dfrac{2\log_{3}{6}(3 + \log_{3}{6})}{4} \)
Parantez içindeki ifadeleri genişletelim.
\( = \dfrac{2 + 2\log_{3}{6} + \log_{3}{6} + (\log_{3}{6})^2}{2} - \dfrac{6\log_{3}{6} + (2\log_{3}{6})^2}{4} \)
\( = 1 + \dfrac{3\log_{3}{6}}{2} + \dfrac{(\log_{3}{6})^2}{2} - \dfrac{3\log_{3}{6}}{2} - \dfrac{(\log_{3}{6})^2}{2} \)
\( = 1 \) bulunur.
SORU 43:
\( \ln{5} = \ln{x} \cdot \log_9{\sqrt{5}} \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log_9{\sqrt{5}} \) ifadesini düzenleyelim.
\( \log_9{\sqrt{5}} = \log_9{5^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2} \log_9{5} \)
Bulduğumuz değeri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( \ln{5} = \ln{x} \cdot \dfrac{1}{2}\log_9{5} \)
\( 2\ln{5} = \ln{x} \cdot \log_9{5} \)
\( \dfrac{2\ln{5}}{\ln{x}} = \log_9{5} \)
Eşitliğin sol tarafına taban değiştirme uygulayalım.
\( 2\log_x{5} = \log_9{5} \)
Her iki taraftaki logaritma ifadelerinin çarpmaya göre tersine alırsak tabanlar ve logaritma içleri aralarında yer değiştirir.
\( \dfrac{2}{\log_5{x}} = \dfrac{1}{\log_5{9}} \)
\( 2 = \dfrac{\log_5{x}}{\log_5{9}} \)
Eşitliğin sağ tarafına taban değiştirme uygulayalım.
\( 2 = \log_9{x} \)
\( x = 9^2 = 81 \) bulunur.
SORU 44:
\( x \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( e^x = 6^{\log{e}} \) olduğuna göre,
\( 100^x \) kaça eşittir?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^x} = \ln{6^{\log{e}}} \)
Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
\( x\ln{e} = \log{e} \cdot \ln{6} \)
\( x = \log_{10}{e} \cdot \log_e{6} \)
İki logaritma ifadesinin çarpımında, bir ifadenin içi diğerinin tabanına eşitse bu iki ifade tek bir logaritma ifadesi olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( \log_a{b} \cdot \log_b{c} = \log_a{c} \)
\( x = \log{6} \)
\( 10^x = 6 \)
Değeri istenen ifadeyi bulalım.
\( 100^x = (10^2)^x = 10^{2x} = (10^x)^2 \)
\( = 6^2 = 36 \) bulunur.
SORU 45:
Bir ip eşit uzunlukta 4 parçaya bölündüğünde her bir parçanın uzunluğu \( \log_7{x} \) birim, eşit uzunlukta 10 parçaya bölündüğünde her bir parçanın uzunluğu \( \log_7(\frac{x^2}{49}) \) birim olmaktadır.
Buna göre ipin uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster
Her iki durumda da ipin uzunluğu aynı olacağı için ip 4 ve 10 eşit parçaya bölündüğü durumlardaki ip uzunluğunu birbirine eşitleyelim.
\( 4 \cdot \log_7{x} = 10 \cdot \log_7{\frac{x^2}{7^2}} \)
\( \log_7{x^4} = \log_7(\frac{x^2}{7^2})^{10} \)
\( \log_7{x^4} = \log_7{\frac{x^{20}}{7^{20}}} \)
Tabanları eşit iki logaritma ifadesi birbirine eşitse logaritma içeri de birbirine eşittir.
\( x^4 = \dfrac{x^{20}}{7^{20}} \)
\( x^{16} = 7^{{20}} \)
\( x = 7^{\frac{5}{4}} \)
İpin uzunluğunu bulalım.
\( 4 \cdot \log_7{x} = 4 \cdot \log_7{7^{\frac{5}{4}}} \)
\( = 4 \cdot \dfrac{5}{4} = 5 \) bulunur.
SORU 46:
\( \log_9{x} \) ve \( \log_{27}{\frac{1}{x}} \) sayılarının aritmetik ortalaması \( \frac{1}{2} \) olduğuna göre, \( \log_{81}{x} \) ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Verilen iki sayının aritmetik ortalamasını bulalım.
\( \dfrac{\log_9{x} + \log_{27}{\frac{1}{x}}}{2} = \dfrac{1}{2} \)
\( \log_{3^2}{x} + \log_{3^3}{x^{-1}} = 1 \)
\( \dfrac{1}{2}\log_3{x} - \dfrac{1}{3}\log_3{x} = 1 \)
\( \dfrac{1}{6}\log_3{x} = 1 \)
\( \log_3{x} = 6 \)
\( x = 3^6 \)
\( \log_{81}{x} \) ifadesinin sonucunu bulalım.
\( = \log_{3^4}{3^6} = \dfrac{6}{4}\log_3{3} \)
\( = \dfrac{3}{2} \) bulunur.
SORU 47:
\( \log_8{x}, \log_2{x^3}, \log_4{\frac{1}{x}} \) sayılarının aritmetik ortalaması 17'dir.
Buna göre \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
3 sayının aritmetik ortalaması sayıların toplamının 3'e bölümüne eşittir.
\( \dfrac{\log_8{x} + \log_2{x^3} + \log_4{\frac{1}{x}}}{3} = 17 \)
\( \frac{1}{3}\log_2{x} + 3\log_2{x} - \frac{1}{2}\log_2{x} = 51 \)
İfadeyi \( \log_2{x} \) parantezine alalım.
\( \log_2{x}(\frac{1}{3} + 3 - \frac{1}{2}) = 51 \)
\( \log_2{x} \cdot \frac{17}{6} = 51 \)
\( \log_2{x} = 18 \)
\( x = 2^{18} \) bulunur.
SORU 48:
\( \log(a^2b^3), \log(a^6b^4), \log(a^8b^6), \log(a^m) \)
Yukarıdaki ifadeler bir aritmetik dizinin ilk 4 terimidir.
Buna göre \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir aritmetik dizide terimler arası fark sabittir ve dizinin ortak farkına (\( d \)) eşittir.
1. ve 2. terimler arasındaki farkı bulalım.
\( d = \log(a^6b^4) - \log(a^2b^3) \)
\( = (6\log{a} + 4\log{b}) - (2\log{a} + 3\log{b}) \)
\( = 4\log{a} + \log{b} \)
2. ve 3. terimler arasındaki farkı bulalım.
\( d = \log(a^8b^6) - \log(a^6b^4) \)
\( = (8\log{a} + 6\log{b}) - (6\log{a} + 4\log{b}) \)
\( = 2\log{a} + 2\log{b} \)
Bulduğumuz iki ortak fark birbirine eşit olmalıdır.
\( 4\log{a} + \log{b} = 2\log{a} + 2\log{b} \)
\( 2\log{a} = \log{b} \)
\( \log{a^2} = \log{b} \)
Tabanları eşit iki logaritma ifadesi birbirine eşitse logaritma içleri birbirine eşittir.
\( a^2 = b \)
Ortak farkı \( a \) cinsinden yazalım.
\( d = 4\log{a} + \log{a^2} \)
\( = 4\log{a} + 2\log{a} \)
\( = 6\log{a} \)
3. terimi \( a \) cinsinden yazalım.
\( a_3 = \log(a^8b^6) = \log(a^8a^{12}) \)
\( = \log(a^{20}) \)
\( = 20\log{a} \)
4. terimi bulmak için 3. terime ortak farkı ekleyelim.
\( a_4 = a_3 + d \)
\( = 20\log{a} + 6\log{a} \)
\( = 26\log{a} = \log(a^{26}) \)
Buna göre \( m = 26 \) olarak bulunur.
SORU 49:
\( \log{2}, \quad \log(2^x - 1), \quad \log(2^x + 3) \)
Yukarıdaki ifadeler bir aritmetik dizinin ardışık terimleri olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki fark aynıdır.
\( x_1, x_2, x_3 \) aritmetik dizinin ardışık terimleri olsun.
\( x_2 - x_1 = x_3 - x_2 \)
\( \log(2^x - 1) - \log{2} = \log(2^x + 3) - \log(2^x - 1) \)
Logaritma bölme kuralını kullanalım.
\( \log{\dfrac{2^x - 1}{2}} = \log{\dfrac{2^x + 3}{2^x - 1}} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin içleri eşittir.
\( \dfrac{2^x - 1}{2} = \dfrac{2^x + 3}{2^x - 1} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3) \)
\( 2^x = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( (t - 1)^2 = 2(t + 3) \)
\( t^2 - 2t + 1 = 2t + 6 \)
\( t^2 - 4t - 5 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 5) = 0 \)
\( t = -1 \) veya \( t = 5 \)
\( t = -1 \) için:
\( 2^x = t = -1 \)
Üstel ifadenin sonucu negatif olamayacağı için geçerli bir çözüm yoktur.
\( t = 5 \) için:
\( 2^x = t = 5 \)
\( x = \log_2{5} \) tek çözüm olarak bulunur.
SORU 50:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \log_5{a} = \log_{20}{b} = t \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının geometrik ortalaması \( L \) olarak veriliyor.
Buna göre, \( \log{L} \) değeri \( t \) cinsinden kaça eşittir?
Çözümü Göster
İki sayının geometrik ortalaması sayıların çarpımının kareköküne eşittir.
\( L = \sqrt{ab} \)
Bir logaritma ifadesi taban değiştirme kuralı uygulanarak farklı bir taban cinsinden yazılabilir.
\( \log_5{a} \) logaritmasının tabanını 10 olarak değiştirelim.
\( \log_5{a} = \dfrac{\log{a}}{\log{5}} = t \)
\( \log{a} = t\log{5} \)
\( \log_{20}{b} \) logaritmasının tabanını 10 olarak değiştirelim.
\( \log_{20}{b} = \dfrac{\log{b}}{\log{20}} = t \)
\( \log{b} = t\log{20} \)
İki sayının çarpımının logaritması sayıların logaritmalarının toplamına eşittir.
\( \log{L} = \log{\sqrt{ab}} = \log{(ab)^{\frac{1}{2}}} \)
\( = \dfrac{\log(ab)}{2} = \dfrac{\log{a} + \log{b}}{2} \)
\( (\log{a} \) ve \( \log{b}) \) ifadelerini \( t \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{t\log{20} + t\log{5}}{2} = \dfrac{t(\log{20} + \log{5})}{2} \)
\( = \dfrac{t\log{100}}{2} = \dfrac{t\log{10^2}}{2} \)
\( = \dfrac{t \cdot 2}{2} = t \)
\( \log{L} = \log{\sqrt{ab}} = t \) olarak bulunur.
SORU 51:
\( a \) ve \( b \) birden farklı pozitif reel sayılar olmak üzere,
\( a^x \cdot b^{2x} = 5 \) ise \( x \)'i \( \log{a} \) ve \( \log{b} \) cinsinden yazınız.
Çözümü Göster
\( a^x \cdot b^{2x} = 5 \)
\( a^x \cdot (b^2)^x = 5 \)
\( (a \cdot b^2)^x = 5 \)
\( x = \log_{a \cdot b^2} {5} \)
Taban değiştirme uygulayalım.
\( = \dfrac{\log{5}}{\log(a \cdot b^2)} \)
\( = \dfrac{\log{5}}{\log{a} + 2\log{b}} \) bulunur.
SORU 52:
\( a, b, c \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \log_{abc}(ab) = A \) olduğuna göre,
\( \log_{\sqrt[3]{c}}{\sqrt{ab}} \) ifadesini \( A \) cinsinden yazın.
Çözümü Göster
\( \log_{abc}(ab) = A \)
Logaritma tabanı ve içi yer değiştirirse logaritmanın çarpmaya göre tersi alınır.
\( \log_{ab}(abc) = \dfrac{1}{A} \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \log_{ab}(ab) + \log_{ab}{c} = \dfrac{1}{A} \)
\( 1 + \log_{ab}{c} = \dfrac{1}{A} \)
\( \log_{ab}{c} = \dfrac{1}{A} - 1 \)
\( \log_{ab}{c} = \dfrac{1 - A}{A} \)
Logaritma tabanı ve içi yer değiştirirse logaritmanın çarpmaya göre tersi alınır.
\( \log_{c}(ab) = \dfrac{A}{1 - A} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \log_{\sqrt[3]{c}}{\sqrt{ab}} = \log_{c^{\frac{1}{3}}}(ab)^{\frac{1}{2}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}\log_c(ab) \)
\( = \dfrac{3}{2}\dfrac{A}{1 - A} \)
\( = \dfrac{3A}{2 - 2A} \) bulunur.
SORU 53:
\( \log_7{42} = a, \quad \log_7{\dfrac{3}{49}} = b \)
\( \log_2{7} = \dfrac{2}{3} \) olduğuna göre, \( \log_3{7} \) ifadesinin \( a \) ve \( b \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( a = \log_7(2 \cdot 3 \cdot 7) \)
\( = \log_7{2} + \log_7{3} + \log_7{7} \)
\( = \log_7{2} + \log_7{3} + 1 \)
\( b = \log_7{3} - \log_7{7^2} \)
\( = \log_7{3} - 2 \)
\( \log_2{7} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \log_7{2} = \dfrac{3}{2} \)
Yukarıda bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( a + b = \log_7{2} + 2\log_7{3} - 1 \)
\( a + b = \dfrac{3}{2} + 2\log_7{3} - 1 \)
\( \log_7{3} \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( \log_7{3} = \dfrac{2a + 2b - 1}{4} \)
\( \log_3{7} = \dfrac{1}{\log_7{3}} \)
\( = \dfrac{4}{2a + 2b - 1} \) bulunur.
SORU 54:
\( \log_x{2} = 3 \) ve \( \log_y{9} = 2 \) olduğuna göre,
\( \log_x{y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log_y{3^2} = 2 \)
\( 2\log_y{3} = 2 \)
\( \log_y{3} = 1 \)
İfadeye taban değiştirme uygulayalım.
\( \dfrac{1}{\log_3{y}} = 1 \)
\( \log_3{y} = 1 \)
Bu eşitliği soruda verilen ilk eşitlik ile taraf tarafa çarpalım.
\( \log_x{2} \cdot \log_3{y} = 3 \cdot 1 \)
Eşitliğin her iki tarafını \( \log_2{3} \) ile çarpalım.
\( \log_x{2} \cdot \log_2{3} \cdot \log_3{y} = 3\log_2{3} \)
Eşitliğin sol tarafına zincir kuralını uygulayalım.
\( \log_x{y} = 3\log_2{3} \) bulunur.
SORU 55:
\( x^5y^6 = 1 \) olduğuna göre,
\( \log_x(x^6y^5) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin her iki tarafının \( x \) tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_x(x^5y^6) = \log_x{1} = 0 \)
Logaritma çarpma kuralını uygulayalım.
\( \log_x{x^5} + \log_x{y^6} = 0 \)
\( 5 + 6\log_x{y} = 0 \)
\( \log_x{y} = \dfrac{-5}{6} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \log_x(x^6y^5) = \log_x{x^6} + \log_x{y^5} \)
\( = 6 + 5\log_x{y} \)
\( = 6 + 5(\dfrac{-5}{6}) \)
\( = \dfrac{11}{6} \) bulunur.
SORU 56:
\( e, f, g, h \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( e^6 = f^7 = g^9 = h^{21} \) olduğuna göre,
\( \log_h(efg) \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
İşlemi kolaylaştırmak için sayıların kuvvetlerinin en küçük ortak katını bulalım.
\( EKOK(6, 7, 9, 21) = 126 \)
\( e^6 = f^7 = g^9 = h^{21} = x^{126} \) diyelim.
\( e^6 = x^{126} \Longrightarrow e = x^{21} \)
\( f^7 = x^{126} \Longrightarrow f = x^{18} \)
\( g^9 = x^{126} \Longrightarrow g = x^{14} \)
\( h^{21} = x^{126} \Longrightarrow h = x^6 \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \log_h(efg) = \log_{x^6}(x^{21} \cdot x^{18} \cdot x^{14}) \)
\( = \log_{x^6}{x^{53}} = \dfrac{53}{6}\log_x{x} \)
\( = \dfrac{53}{6} \) bulunur.
SORU 57:
\( \log(\sqrt{x}y^2) = 2 \)
\( \log(x^3\sqrt[3]{y^2}) = 3 \) olduğuna göre,
\( \log(xy) \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Logaritma kurallarını kullanarak birinci eşitliği düzenleyelim.
\( \log(x^{\frac{1}{2}}y^2) = 2 \)
\( \log{x^{\frac{1}{2}}} + \log{y^2} = 2 \)
\( \dfrac{1}{2}\log{x} + 2\log{y} = 2 \)
Benzer şekilde ikinci eşitliği düzenleyelim.
\( \log(x^3y^{\frac{2}{3}}) = 3 \)
\( \log{x^3} + \log{y^{\frac{2}{3}}} = 3 \)
\( 3\log{x} + \dfrac{2}{3}\log{y} = 3 \)
Elde ettiğimiz eşitliklere aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( s = \log{x}, \quad t = \log{y} \)
\( \dfrac{1}{2}s + 2t = 2 \)
\( 3s + \dfrac{2}{3}t = 3 \)
İkinci eşitliğin taraflarını 3 ile çarpalım ve ikinci eşitlikten birinci eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( 9s + 2t = 9 \)
\( 9s - \dfrac{1}{2}s = 9 - 2 \)
\( \dfrac{17}{2}s = 7 \)
\( s = \dfrac{14}{17} \)
Bu değeri iki eşitlikten birinde yerine koyarak \( t \) değerini bulalım.
\( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{14}{17} + 2t = 2 \)
\( t = \dfrac{27}{34} \)
Soruda değeri istenen ifadeyi bulalım.
\( \log(xy) = \log{x} + \log{y} \)
\( = s + t = \dfrac{14}{17} + \dfrac{27}{34} \)
\( = \dfrac{55}{34} \) bulunur.
SORU 58:
\( x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \log_3{36} = x + y \) eşitliği veriliyor.
Buna göre \( y \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log_3{36} \) ifadesinin değerinin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım.
\( \log_3{27} \lt \log_3{36} \lt \log_3{81} \)
\( 3 \lt \log_3{36} \lt 4 \)
\( \log_3{36} \) ifadesini bir doğal sayı ve pozitif reel sayının toplamı şeklinde 4 farklı şekilde yazabiliriz.
(1) \( \log_3{36} = \log_3{1} + \log_3{36} \)
\( = 0 + \log_3{36} \)
\( \Longrightarrow x = 0, y = \log_3{36} \)
(2) \( \log_3{36} = \log_3{3} + \log_3{12} \)
\( = 1 + \log_3{12} \)
\( \Longrightarrow x = 1, y = \log_3{12} \)
(3) \( \log_3{36} = \log_3{9} + \log_3{4} \)
\( = 2 + \log_3{4} \)
\( \Longrightarrow x = 2, y = \log_3{4} \)
(4) \( \log_3{36} = \log_3{27} + \log_3{\frac{36}{27}} \)
\( = 3 + \log_3{\frac{36}{27}} \)
\( \Longrightarrow x = 3, y = \log_3{\frac{36}{27}} \)
Bulduğumuz 4 farklı \( y \) değerinin toplamını alalım.
\( \log_3{36} + \log_3{12} + \log_3{4} + \log_3{\frac{36}{27}} \)
\( = \log_3(36 \cdot 12 \cdot 4 \cdot \frac{36}{27}) \)
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \log_3(2^8 \cdot 3^2) \)
\( = \log_3{2^8} + \log_3{3^2} \)
\( = 8\log_3{2} + 2 \) bulunur.
SORU 59:
\( m, x, y, z \) birden büyük reel sayılardır.
\( 3\log_{xy}m = 1 \)
\( \log_m(yz) = 4 \)
\( \log_{xz}m = \dfrac{1}{5} \)
olduğuna göre, \( xyz \) çarpımının \( m \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
Bir logaritmik ifadenin çarpmaya göre tersi alındığında tabanı ve logaritması alınan değer aralarında yer değiştirir.
\( \log_{xy}m = \dfrac{1}{3} \)
\( \log_m(xy) = 3 \)
\( \log_{xz}m = \dfrac{1}{5} \)
\( \log_m(xz) = 5 \)
Üç logaritma ifadesini taraf tarafa toplayalım.
\( \log_m(xy) + \log_m(xz) + \log_m(yz) = 3 + 5 + 4 \)
\( \log_m(xy \cdot xz \cdot yz) = 12 \)
\( \log_m(x^2y^2z^2) = 12 \)
\( \log_m{(xyz)^2} = 12 \)
\( 2\log_m(xyz) = 12 \)
\( \log_m(xyz) = 6 \)
\( xyz = m^6 \) bulunur.
SORU 60:
\( \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10 + \sqrt{90 + \sqrt{90}}) \) \( + \log(10 - \sqrt{90 + \sqrt{90}}) \)
Yukarıda verilen ifadeyi en sade biçimde yazınız.
Çözümü Göster
\( \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10 + \sqrt{90 + \sqrt{90}}) + \log(10 - \sqrt{90 + \sqrt{90}}) \)
2. ve 3. terimlere logaritma çarpma kuralını uygulayalım.
\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log[(10 + \sqrt{90 + \sqrt{90}})(10 - \sqrt{90 + \sqrt{90}})] \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10^2 - (\sqrt{90 + \sqrt{90}})^2) \)
\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(100 - 90 - \sqrt{90}) \)
\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10 - 3\sqrt{10}) \)
Tekrar logaritma çarpma kuralını uygulayalım.
\( = \log[(10 + 3\sqrt{10})(10 - 3\sqrt{10})] \)
\( = \log(10^2 - (3\sqrt{10})^2) \)
\( = \log(100 - 9 \cdot 10) \)
\( = \log{10} = 1 \) bulunur.
SORU 61:
Verilen ABC üçgenine göre, \( x \)'in alabileceği kaç tam sayı değer vardır?
Çözümü Göster
Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.
\( \abs{\log_2{11} - \log_2{5}} \lt x \lt \log_2{11} + \log_2{5} \)
Logaritma çarpma ve bölme kurallarını kullanalım.
\( \log_2{\dfrac{11}{5}} \lt x \lt \log_2(11 \cdot 5) \)
\( \log_2{\dfrac{11}{5}} \lt x \lt \log_2{55} \)
\( 2^1 \lt \dfrac{11}{5} \lt 2^2 \) olduğu için \( \log_2{\dfrac{11}{5}} \) ifadesi \( (1, 2) \) aralığındadır.
\( 2^5 \lt 55 \lt 2^6 \) olduğu için \( \log_2{55} \) ifadesi \( (5, 6) \) aralığındadır.
Buna göre tam sayı \( x \) aralığı aşağıdaki gibi olur.
\( 2 \le x \le 5 \)
\( x \)'in alabileceği 4 tam sayı değer vardır.
SORU 62:
Aşağıda verilen ifadelerden hangisi daha büyüktür?
\( a = \sqrt[6]{6!} \)
\( b = \sqrt[7]{7!} \)
Çözümü Göster
Verilen ilk sayıyı inceleyelim.
\( a = \sqrt[6]{6!} \)
İki tarafın logaritmasını alalım.
\( \log{a} = \log{\sqrt[6]{6!}} \)
\( = \log{(6!)^{\frac{1}{6}}} \)
\( = \dfrac{1}{6} \cdot \log(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \)
\( = \dfrac{\log{6} + \log{5} + \ldots + \log{1}}{6} \)
Bu ifade \( \log{1} \) ile \( \log{6} \) arası sayıların aritmetik ortalamasıdır.
Verilen ikinci sayıyı inceleyelim.
\( b = \sqrt[7]{7!} \)
Aynı adımları bu ifadeye uygularsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( \log{b} = \dfrac{\log{7} + \log{6} + \ldots + \log{1}}{7} \)
Bu ifade \( \log{1} \) ile \( \log{7} \) arası sayıların aritmetik ortalamasıdır.
İkinci ifade birinci ifadeden değeri daha büyük bir logaritma ifadesi daha içerdiği için ikinci sayının ortalaması daha büyük olacaktır.
\( \log{a} \lt \log{b} \)
\( \sqrt[6]{6!} \lt \sqrt[7]{7!} \)