Logaritma İşlem Kuralları

\( \log_{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[4]{27}} = \log_{\sqrt[5]{3^2}}{\sqrt[4]{3^3}} \)

\( = \log_{3^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{3}{4}}} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} \cdot \log_3{3} \)

\( = \dfrac{15}{8} \cdot 1 = \dfrac{15}{8} \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( 3\log_5{x} + 2\log_5{y} \)

Logaritmanın katsayısı logaritma içine üs olarak alınabilir.

\( = \log_5{x^3} + \log_5{y^2} \)

Çarpma kuralı ile logaritmaları tek bir logaritma şeklinde yazalım.

\( = \log_5(x^3y^2) \)

(b) seçeneği:

\( 9\log_{27}{x} - 8\log_{81}{y} \)

Logaritmaların tabanlarını düzenleyelim.

\( = 9\log_{3^3}{x} - 8\log_{3^4}{y} \)

Logaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( = \dfrac{9}{3}\log_3{x} - \dfrac{8}{4}\log_3{y} \)

\( = 3\log_3{x} - 2\log_3{y} \)

Logaritmanın katsayısı logaritma içine üs olarak alınabilir.

\( = \log_3{x^3} - \log_3{y^2} \)

Bölme kuralı ile logaritmaları tek bir logaritma şeklinde yazalım.

\( = \log_3{\dfrac{x^3}{y^2}} \)

(c) seçeneği:

\( 6\log_{a^3}{3} + 2\log_{\sqrt[3]{a^2}}{2} \)

Logaritmaların tabanlarını düzenleyelim.

\( = 6\log_{a^3}{3} + 2\log_{a^{\frac{2}{3}}}{2} \)

Logaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( = \dfrac{6}{3}\log_a{3} + \dfrac{2}{\frac{2}{3}}\log_a{2} \)

\( = 2\log_a{3} + 3\log_a{2} \)

Logaritmanın katsayısı logaritma içine üs olarak alınabilir.

\( = \log_a{3^2} + \log_a{2^3} \)

\( = \log_a{9} + \log_a{8} \)

Çarpma kuralı ile logaritmaları tek bir logaritma şeklinde yazalım.

\( = \log_a(9 \cdot 8) \)

\( = \log_a{72} \)

(a) seçeneği:

\( \log_{\sqrt{5}}{3} + \log_{25}{4} + 1 \)

Tüm terimleri 5 tabanında logaritma ifadesi şeklinde yazalım.

\( = \log_{5^{\frac{1}{2}}}{3} + \log_{5^2}{2^2} + \log_5{5} \)

\( = 2\log_5{3} + \dfrac{2}{2}\log_5{2} + \log_5{5} \)

\( = \log_5{3^2} + \log_5{2} + \log_5{5} \)

\( = \log_5{9} + \log_5{2} + \log_5{5} \)

Çarpma kuralı ile terimleri tek bir logaritma altında birleştirelim.

\( = \log_5(9 \cdot 2 \cdot 5) \)

\( = \log_5{90} \)

(b) seçeneği:

\( \log{\dfrac{75}{16}} - 2\log{\dfrac{5}{9}} + \log{\dfrac{32}{243}} \)

\( = \log{\dfrac{75}{16}} - \log\left( \dfrac{5}{9} \right)^2 + \log{\dfrac{32}{243}} \)

\( = \log{\dfrac{75}{16}} - \log{\dfrac{25}{81}} + \log{\dfrac{32}{243}} \)

Bölme kuralı ile ilk iki terimi tek bir logaritma altında birleştirelim.

\( = \log{\dfrac{\frac{75}{16}}{\frac{25}{81}}} + \log{\dfrac{32}{243}} \)

\( = \log{\dfrac{243}{16}} + \log{\dfrac{32}{243}} \)

Çarpma kuralı ile terimleri tek bir logaritma altında birleştirelim.

\( = \log\left( \dfrac{243}{16} \cdot \dfrac{32}{243} \right) \)

\( = \log{2} \)

(c) seçeneği:

\( \log_{36}{7} + \log_{\sqrt[3]{6}}{5} \)

Tüm terimleri 6 tabanında logaritma ifadesi şeklinde yazalım.

\( = \log_{6^2}{7} + \log_{6^{\frac{1}{3}}}{5} \)

\( = \dfrac{1}{2}\log_{6}{7} + 3\log_{6}{5} \)

\( = \log_{6}{7^{\frac{1}{2}}} + \log_{6}{5^3} \)

\( = \log_{6}{\sqrt{7}} + \log_{6}{125} \)

Çarpma kuralı ile terimleri tek bir logaritma altında birleştirelim.

\( = \log_{6}(\sqrt{7} \cdot 125) \)

\( = \log_{6}(125\sqrt{7}) \)

(a) seçeneği:

\( 4\ln{3} - 2\ln{6} - 4\ln{\sqrt{3}} + \ln{12} = x\ln{3} \)

Logaritma ifadelerinin katsayılarını içeriye üs olarak alalım.

\( \ln{3^4} - \ln{6^2} - \ln{(3^{\frac{1}{2}})^4} + \ln{12} = x\ln{3} \)

\( \ln{81} - \ln{36} - \ln{9} + \ln{12} = x\ln{3} \)

Logaritma çarpma ve bölme kurallarını kullanalım.

\( \ln{\dfrac{81 \cdot 12}{36 \cdot 9}} = x\ln{3} \)

\( \ln{3} = x\ln{3} \)

\( x = 1 \)

(b) seçeneği:

\( 2\ln{42} - \ln{48} + \ln{\dfrac{4}{7}} = \ln{a} \)

\( \ln{42^2} - \ln{48} + \ln{\dfrac{4}{7}} = \ln{a} \)

Logaritma çarpma ve bölme kurallarını kullanalım.

\( \ln{\dfrac{42^2 \cdot \frac{4}{7}}{48}} = \ln{a} \)

\( \ln{21} = \ln{a} \)

\( a = 21 \)

Logaritma değeri istenen ifadeleri, logaritma değerini bildiğimiz \( \log{2} = a \) ve \( \log{10} = 1 \) cinsinden ifade etmeye çalışalım.

(a) seçeneği:

\( \log{800} \)

\( 800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 \)

\( \log{800} = \log(2^3 \cdot 10^2) \)

Çarpma ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{2^3} + \log{10^2} \)

\( = 3\log{2} + 2\log{10} \)

\( = 3a + 2 \)

(b) seçeneği:

\( \log{0,032} \)

\( 0,032 = 32 \cdot 0,001 = 2^5 \cdot 10^{-3} \)

\( \log{0,032} = \log(2^5 \cdot 10^{-3}) \)

Çarpma ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{2^5} + \log{10^{-3}} \)

\( = 5\log{2} - 3\log{10} \)

\( = 5a - 3 \)

(c) seçeneği:

\( \log{2,5} \)

\( 2,5 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{10}{2^2} \)

\( \log{2,5} = \log{\dfrac{10}{2^2}} \)

Bölme ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{10} - \log{2^2} \)

\( = \log{10} - 2\log{2} \)

\( = 1 - 2a \)

(d) seçeneği:

\( \log{1250} \)

\( 1250 = \dfrac{10000}{8} = \dfrac{10^4}{2^3} \)

\( \log{1250} = \log{\dfrac{10^4}{2^3}} \)

Bölme ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{10^4} - \log{2^3} \)

\( = 4\log{10} - 3\log{2} \)

\( = 4 - 3a \)

Logaritma değeri istenen ifadeleri, logaritma değerini bildiğimiz \( \log{2} = a \), \( \log{3} = b \) ve \( \log{10} = 1 \) cinsinden ifade etmeye çalışalım.

(a) seçeneği:

\( \log{720} \)

\( 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 10 \)

\( \log{720} = \log(2^3 \cdot 3^2 \cdot 10) \)

Çarpma ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{2^3} + \log{3^2} + \log{10} \)

\( = 3\log{2} + 2\log{3} + \log{10} \)

\( = 3a + 2b + 1 \)

(b) seçeneği:

\( \log{3,24} \)

\( 3,24 = 4 \cdot 81 \cdot 0,01 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 10^{-2} \)

\( \log{3,24} = \log(2^2 \cdot 3^4 \cdot 10^{-2}) \)

Çarpma ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{2^2} + \log{3^4} + \log{10^{-2}} \)

\( = 2\log{2} + 4\log{3} - 2\log{10} \)

\( = 2a + 4b - 2 \)

(c) seçeneği:

\( \log{13,5} \)

\( 13,5 = \dfrac{27}{2} = \dfrac{3^3}{2} \)

\( \log{13,5} = \log{\dfrac{3^3}{2}} \)

Bölme ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{3^3} - \log{2} \)

\( = 3\log{3} - \log{2} \)

\( = 3b - a \)

(d) seçeneği:

\( \log{0,2\overline{6}} \)

Devirli ondalıklı sayıyı kesirli biçimde yazalım.

\( 0,2\overline{6} = \dfrac{26 - 2}{90} = \dfrac{4}{15} \)

\( = \dfrac{8}{30} = \dfrac{2^3}{3 \cdot 10} \)

\( \log{0,2\overline{6}} = \log{\dfrac{2^3}{3 \cdot 10}} \)

Bölme ve üs kurallarını kullanalım.

\( = \log{2^3} - \log{3} - \log{10} \)

\( = 3\log{2} - \log{3} - \log{10} \)

\( = 3a - b - 1 \)

Verilen eşitliklere çarpma ve bölme kuralını uygulayalım.

\( \ln(xy) = 6 \Longrightarrow \ln{x} + \ln{y} = 6 \)

\( \ln{\dfrac{x}{y}} = 2 \Longrightarrow \ln{x} - \ln{y} = 2 \)

İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.

\( 2\ln{x} = 8 \)

\( \ln{x} = 4 \Longrightarrow x = e^4 \)

\( \ln{y} = 2 \Longrightarrow y = e^2 \)

\( x + y = e^4 + e^2 \) bulunur.

\( \log_{27}{49} = \log_{3^3}{7^2} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{2}{3}\log_3{7} \)

Taban değiştirme kuralı ile paydaki logaritma ifadesini paydaya alalım.

\( = \dfrac{2}{3\log_7{3}} = \dfrac{2}{3a} \) bulunur.

\( 25^{\log_5{x}} = (5^2)^{\log_5{x}} \)

\( = 5^{2\log_5{x}} = 5^{\log_5{x^2}} \)

Bir tabanın kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.

\( = x^2 \) bulunur.

Üslü bir ifadenin tabanı ve üssündeki logaritma ifadesinin içi aralarında yer değiştirirse sonuç değişmez.

\( x^{\log_5{3}} = 3^{\log_5{x}} = 81 = 3^4 \)

Tabanları aynı iki üstel ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir.

\( \log_5{x} = 4 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( x = 5^4 = 625 \) bulunur.

\( \sqrt{-\log_2{27} \cdot \log_3{\frac{1}{8}}} = \sqrt{-\log_2{3^3} \cdot \log_3{2^{-3}}} \)

Üsleri logaritma dışına alalım.

\( = \sqrt{-3\log_2{3} \cdot (-3)\log_3{2}} \)

\( = \sqrt{9\log_2{3} \cdot \log_3{2}} \)

Zincir kuralına göre aşağıdaki ifade 1'e eşit olur.

\( \log_2{3} \cdot \log_3{2} = \log_2{2} = 1 \)

\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.

Logaritma ifadelerinin tabanlarını ve içlerini 2 ve 3'ün kuvvetleri biçiminde yazalım.

\( \dfrac{\log_{2^2}{2^3} \cdot \log_{3^3}{3^{-2}}}{\log_{2^{\frac{5}{2}}}{2^{-4}} \cdot \log_{3^4}{3^{-\frac{1}{2}}}} \)

Logaritma içlerinin üsleri olduğu gibi, tabanların üslerinin çarpmaya göre tersleri logaritma dışına katsayı olarak çıkar.

\( = \dfrac{\frac{3}{2}\log_2{2} \cdot \frac{-2}{3}\log_3{3}}{\frac{-4 \cdot 2}{5}\log_2{2} \cdot \frac{-1}{2 \cdot 4}\log_3{3}} \)

Logaritma ifadelerinin tümü 1'e eşittir.

\( = \dfrac{\frac{3}{2} \cdot \frac{-2}{3}}{\frac{-4 \cdot 2}{5} \cdot \frac{-1}{2 \cdot 4}} \)

\( = \dfrac{-1}{\frac{1}{5}} = -5 \) bulunur.

\( f(2a) + f(4a) + f(8a) = 9 \)

\( \ln(2(2a)) + \ln(2(4a)) + \ln(2(8a)) = 9 \)

\( \ln(4a) + \ln(8a) + \ln(16a) = 9 \)

Logaritma çarpma kuralını kullanalım.

\( \ln(4a \cdot 8a \cdot 16a) = 9 \)

\( \ln(2^2a \cdot 2^3a \cdot 2^4a) = 9 \)

\( \ln(2^9a^3) = 9 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( 2^9a^3 = e^9 \)

\( a^3 = \dfrac{e^9}{2^9} \)

Eşitliğin her iki tarafının küp kökünü alalım.

\( a = \dfrac{e^3}{2^3} = \dfrac{e^3}{8} \) bulunur.

\( \log_5{8} = \log_5{2^3} = 3\log_5{2} = x \)

\( \log_5{2} = \dfrac{x}{3} \)

\( \log_{16}{125} = \log_{2^4}{5^3} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{3}{4}\log_2{5} \)

Taban değiştirme kuralı ile paydaki logaritma ifadesini paydaya alalım.

\( = \dfrac{3}{4\log_5{2}} \)

\( = \dfrac{3}{4 \cdot \frac{x}{3}} \)

\( = \dfrac{9}{4x} \) bulunur.

Üslü bir ifadenin tabanı ve üssündeki logaritma ifadesinin içi aralarında yer değiştirirse sonuç değişmez.

\( 2^{\log_x{5}} = 5^{\log_x{2}} \)

\( 2^{\log_x{5}} + 2^{\log_x{5}} = 32 \)

\( 2^{\log_x{5}} = 16 = 2^4 \)

Tabanları aynı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( \log_x{5} = 4 \)

\( x^4 = 5 \)

\( x = \sqrt[4]{5} \) bulunur.

\( \log_3{27!} = \log_3(26! \cdot 27) \)

Çarpma kuralını uygulayalım.

\( = \log_3{26!} + \log_3{27} \)

\( = x + \log_3{3^3} \)

\( = x + 3 \) bulunur.

\( x\ln{5} = \log{5} \)

\( x = \dfrac{\log{5}}{\ln{5}} = \dfrac{\log_{10}{5}}{\log_e{5}} \)

Taban değiştirme kuralı ile paydadaki ifadeyi paya alalım.

\( = \log_{10}{5} \cdot \log_5{e} \)

Zincir kuralını uygulayalım.

\( = \log_{10}{e} = \log{e} \) bulunur.

\( \log_{27}{8} \) ifadesini 10 tabanına çevirelim.

\( \log_{27}{8} = \dfrac{\log{8}}{\log{27}} = \dfrac{\log{2^3}}{\log{3^3}} \)

Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( = \dfrac{3\log{2}}{3\log{3}} = \dfrac{\log{2}}{\log{3}} \)

\( = \log_{3}{2} \)

Bu değeri verilen ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{\log_3(\log_3{2})}{\log_{27}(\log_3{2})} = \dfrac{\log_3(\log_3{2})}{\log_{3^3}(\log_3{2})} \)

Logaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( = \dfrac{\log_3(\log_3{2})}{\frac{1}{3}\log_3(\log_3{2})} = 3 \) bulunur.

Çarpma kuralı ile logaritma ifadelerini tek bir ifadede birleştirelim.

\( \log\left( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n}{n + 1} \right) = -1 \)

Logaritma içindeki kesirli ifadelerin pay ve paydaları sadeleşir.

\( \log{\dfrac{2}{n + 1}} = -1 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{2}{n + 1} = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \)

\( n + 1 = 20 \)

\( n = 19 \) bulunur.

Logaritma içlerini ve tabanları üslü ifade şeklinde yazalım.

\( \log_{2^{\frac{1}{2}}}{5^2} \cdot \log_{5^{-1}}{3^4} \cdot \log_{3^3}{2^{\frac{2}{3}}} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot 3} \cdot \log_{2}{5} \cdot \log_{5}{3} \cdot \log_{3}{2} \)

Zincir kuralına göre aşağıdaki ifade 1'e eşit olur.

\( \log_{2}{5} \cdot \log_{5}{3} \cdot \log_{3}{2} = \log_{2}{2} = 1 \)

\( = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot 3} \)

\( = -\dfrac{32}{9} \) bulunur.

Verilen iki sayının aritmetik ortalamasını bulalım.

\( \dfrac{\log_9{x} + \log_{27}{\frac{1}{x}}}{2} = \dfrac{1}{2} \)

\( \log_{3^2}{x} + \log_{3^3}{x^{-1}} = 1 \)

\( \dfrac{1}{2}\log_3{x} - \dfrac{1}{3}\log_3{x} = 1 \)

\( \dfrac{1}{6}\log_3{x} = 1 \)

\( \log_3{x} = 6 \)

\( x = 3^6 \)

Değeri istenen ifadeyi bulalım.

\( \log_{81}{x} = \log_{3^4}{3^6} \)

\( = \dfrac{6}{4}\log_3{3} = \dfrac{3}{2} \) bulunur.

3 sayının aritmetik ortalaması sayıların toplamının 3'e bölümüne eşittir.

\( \dfrac{\log_8{x} + \log_2{x^3} + \log_4{\frac{1}{x}}}{3} = 17 \)

\( \log_{2^3}{x} + \log_2{x^3} + \log_{2^2}{x^{-1}} = 51 \)

\( \frac{1}{3}\log_2{x} + 3\log_2{x} - \frac{1}{2}\log_2{x} = 51 \)

\( \dfrac{17}{6}\log_2{x} = 51 \)

\( \log_2{x} = 18 \)

\( x = 2^{18} \) bulunur.

Logaritma ifadelerini 10 tabanına çevirelim.

\( \dfrac{\frac{\log{5}}{\log{x}} \cdot \frac{\log{5}}{\log{y}}}{\frac{\log{5}}{\log{x}} + \frac{\log{5}}{\log{y}}} = \dfrac{1}{3} \)

\( \dfrac{\frac{(\log{5})^2}{\log{x}\log{y}}}{\log{5}(\frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\log{y}})} = \dfrac{1}{3} \)

\( \dfrac{\frac{\log{5}}{\log{x}\log{y}}}{\frac{\log{y} + \log{x}}{\log{x}\log{y}}} = \dfrac{1}{3} \)

\( \dfrac{\log{5}}{\log{y} + \log{x}} = \dfrac{1}{3} \)

Logaritma çarpma kuralını kullanalım.

\( \dfrac{\log{5}}{\log(xy)} = \dfrac{1}{3} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( \log(xy) = 3\log{5} \)

\( \log(xy) = \log{5^3} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( xy = 5^3 = 125 \) bulunur.

Verilen logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \log_a{b} = x \Longrightarrow a^x = b \)

Değeri sorulan ifadede bu değeri yerine koyalım.

\( \log_{ab}{\dfrac{a}{b}} = \log_{a \cdot a^x}{\dfrac{a}{a^x}} \)

\( = \log_{a^{x + 1}}{a^{1 - x}} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{1 - x}{x + 1}\log_a{a} \)

\( = \dfrac{1 - x}{x + 1} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafının logaritmasını alalım.

\( 3^a = 5^b \Longrightarrow \log{3^a} = \log{5^b} \)

\( a\log{3} = b\log{5} \)

\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{\log 5}{\log 3} \)

Taban değiştirme kuralını uygulayalım.

\( = \log_3{5} \)

Değeri sorulan ifadeyi \( \log_3{5} \) cinsinden yazmaya çalışalım.

\( \log_9{125} = \log_{3^2}{5^3} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{3}{2}\log_3{5} = \dfrac{3a}{2b} \) bulunur.

Verilen \( x \) ifadesini düzenleyelim.

\( x = \log_y{16} \)

\( = \log_y{2^4} \)

\( = 4\log_y{2} \)

\( \dfrac{x}{4} = \log_y{2} \)

Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.

\( \log_y(8y) = \log_y{8} + \log_y{y} \)

\( = \log_y{2^3} + 1 \)

\( = 3\log_y{2} + 1 \)

\( \log_y{2} \) yerine \( \frac{x}{4} \) yazalım.

\( = \dfrac{3x}{4} + 1 \) bulunur.

Taban değiştirme kuralı ile paydadaki logaritma ifadesini paya alalım.

\( 5^{\frac{1}{{\log_3{25}}}} = 5^{\log_{25}{3}} \)

\( = 5^{\log_{5^2}{3}} \)

Tabanın üssünü logaritma ifadesinin dışına alalım.

\( = 5^{\frac{1}{2}\log_5{3}} \)

Aynı katsayıyı logaritma içine üs olarak alalım.

\( = 5^{\log_5{3^{\frac{1}{2}}}} \)

\( = 5^{\log_5{\sqrt{3}}} \)

Bir tabanın kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.

\( = \sqrt{3} \) bulunur.

Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( x + y = \ln(\tan{69°}) + \ln(\tan{21°}) \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( = \ln(\tan{69°}\tan{21°}) \)

Tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri eşittir.

\( = \ln(\tan{69°}\cot{69°}) \)

\( \tan{a}\cot{a} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.

\( x + y = \ln{1} = 0 \)

\( x = -y \) bulunur.

\( 4^a = 60 \Longrightarrow a = \log_4{60} \)

\( 3^b = 60 \Longrightarrow b = \log_3{60} \)

\( 5^c = 60 \Longrightarrow c = \log_5{60} \)

Sorudaki ifadede değişkenleri yerine koyalım.

\( \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{4}{c} = 4\left( \dfrac{1}{\log_4{60}} + \dfrac{1}{\log_3{60}} + \dfrac{1}{\log_5{60}} \right) \)

Taban değiştirme kuralı ile paydadaki ifadeleri paya alalım.

\( = 4(\log_{60}{4} + \log_{60}{3} + \log_{60}{5}) \)

Çarpma kuralı ile ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirelim.

\( = 4\log_{60}(4 \cdot 3 \cdot 5) \)

\( = 4\log_{60}{60} = 4 \) bulunur.

İfadeyi düzenleyelim.

\( 25^{\log{24}} \cdot 25^{\log{2}} \cdot 4^{\log{12}} \cdot 4^{\log{4}} \)

Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında üsler toplanır.

\( = 25^{\log{24} + \log{2}} \cdot 4^{\log{12} + \log{4}} \)

Logaritma çarpma kuralını kullanalım.

\( = 25^{\log(24 \cdot 2)} \cdot 4^{\log(12 \cdot 4)} \)

\( = 25^{\log{48}} \cdot 4^{\log{48}} \)

Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında, ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilir.

\( = (25 \cdot 4)^{\log{48}} = 100^{\log{48}} \)

Üslü ifadenin tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirilirse sonuç değişmez.

\( = 48^{\log{100}} = 48^{\log{10^2}} \)

Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( = 48^{2\log{10}} \)

\( = 48^2 = 2304 \) bulunur.

Verilen eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.

\( xy = (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) \)

\( = 4^2 - (\sqrt{15})^2 \)

\( = 16 - 15 = 1 \)

\( x = \dfrac{1}{y} \)

Sorulan ifadede \( x \)'i yerine koyalım.

\( \log_x{y} = \log_{\frac{1}{y}}{y} \)

\( = \log_{y^{-1}}{y} \)

\( = -1 \cdot \log_y{y} = -1 \) bulunur.

Paydaları düzenleyelim.

\( \dfrac{1}{\log{10} + \log{3}} + \dfrac{1}{\log_2{2} + \log_2{15}} + \dfrac{1}{\log_{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} + \log_{\frac{3}{2}}{20}} \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( = \dfrac{1}{\log(10 \cdot 3)} + \dfrac{1}{\log_2(2 \cdot 15)} + \dfrac{1}{\log_{\frac{3}{2}}(\frac{3}{2} \cdot 20)} \)

\( = \dfrac{1}{\log{30}} + \dfrac{1}{\log_2{30}} + \dfrac{1}{\log_{\frac{3}{2}}{30}} \)

Taban değiştirme kuralı ile paydalardaki logaritma ifadelerini paylara alalım.

\( = \log_{30}{10} + \log_{30}{2} + \log_{30}{\frac{3}{2}} \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( = \log_{30}(10 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2}) \)

\( = \log_{30}{30} = 1 \) bulunur.

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpalım ve zincir kuralını kullanalım.

\( \log_2{7} \cdot \log_7{3} = ab \)

\( \log_2{3} = ab \)

Değeri sorulan ifadeye taban değiştirme uygulayalım.

\( \log_6{98} =\dfrac{\log_2{98}}{\log_2{6}} \)

\( = \dfrac{\log_2(7^2 \cdot 2)}{\log_2(3 \cdot 2)} \)

\( = \dfrac{\log_2{7^2} + \log_2{2}}{\log_2{3} + \log_2{2}} \)

\( = \dfrac{2\log_2{7} + 1}{\log_2{3} + 1} \)

\( = \dfrac{2a + 1}{ab + 1} \) bulunur.

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( e^{\ln{a} + \ln{b}} = a + b \)

\( e^{\ln{a}}e^{\ln{b}} = a + b \)

\( e^{\ln{x}} = x \) işlem özelliğini kullanalım.

\( ab = a + b \)

\( a \)'yı yalnız bırakalım.

\( ab - a = b \)

\( a(b - 1) = b \)

\( a = \dfrac{b}{b - 1} \) bulunur.

Her iki durumda da ipin uzunluğu aynı olacağı için ip 4 ve 10 eşit parçaya bölündüğü durumlardaki toplam ip uzunluklarını birbirine eşitleyelim.

\( 4\log_7{x} = 10\log_7{\frac{x^2}{7^2}} \)

\( \log_7{x^4} = \log_7(\frac{x^2}{7^2})^{10} \)

\( \log_7{x^4} = \log_7{\frac{x^{20}}{7^{20}}} \)

Tabanları eşit iki logaritma ifadesi birbirine eşitse logaritma içeri de birbirine eşittir.

\( x^4 = \dfrac{x^{20}}{7^{20}} \)

\( x^{16} = 7^{{20}} \)

\( x = 7^{\frac{5}{4}} \)

İpin uzunluğunu bulalım.

\( 4\log_7{x} = 4\log_7{7^{\frac{5}{4}}} \)

\( = 4 \cdot \dfrac{5}{4} = 5 \) birim bulunur.

Eşitliğin her iki tarafının \( x \) tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_x(x^5y^6) = \log_x{1} = 0 \)

Logaritma çarpma kuralını uygulayalım.

\( \log_x{x^5} + \log_x{y^6} = 0 \)

\( 5 + 6\log_x{y} = 0 \)

\( \log_x{y} = -\dfrac{5}{6} \)

Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.

\( \log_x(x^6y^5) = \log_x{x^6} + \log_x{y^5} \)

\( = 6 + 5\log_x{y} \)

\( = 6 + 5\left( -\dfrac{5}{6} \right) \)

\( = \dfrac{11}{6} \) bulunur.

İkinci logaritma ifadesini düzenleyelim.

\( \log_4{5} = b \)

\( \log_5{4} = \dfrac{1}{b} \)

\( 2\log_5{2} = \dfrac{1}{b} \)

\( \log_5{2} = \dfrac{1}{2b} \)

Birinci logaritma ifadesini düzenleyelim.

\( \log_5{6} = a \)

\( \log_5{2} + \log_5{3} = a \)

\( \log_5{3} = a - \log_5{2} \)

\( = a - \dfrac{1}{2b} = \dfrac{2ab - 1}{2b} \)

Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.

İfadeye taban değiştirme uygulayalım.

\( \log_3{2} = \dfrac{\log_5{2}}{\log_5{3}} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{2b}}{\frac{2ab - 1}{2b}} \)

\( = \dfrac{1}{2ab - 1} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.

\( \ln{e^x} = \ln{6^{\log{e}}} \)

Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( x\ln{e} = \log{e} \cdot \ln{6} \)

\( x = \log_{10}{e} \cdot \log_e{6} \)

İki logaritma ifadesinin çarpımında, bir ifadenin içi diğerinin tabanına eşitse bu iki ifade tek bir logaritma ifadesi olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.

\( x = \log{6} \)

\( 10^x = 6 \)

Değeri istenen ifadeyi bulalım.

\( 100^x = (10^2)^x = 10^{2x} = (10^x)^2 \)

\( = 6^2 = 36 \) bulunur.

Bir aritmetik dizide terimler arası fark sabittir ve dizinin ortak farkına (\( d \)) eşittir.

1. ve 2. terimler arasındaki farkı bulalım.

\( d = \log(a^6b^4) - \log(a^2b^3) \)

\( = (6\log{a} + 4\log{b}) - (2\log{a} + 3\log{b}) \)

\( = 4\log{a} + \log{b} \)

2. ve 3. terimler arasındaki farkı bulalım.

\( d = \log(a^8b^6) - \log(a^6b^4) \)

\( = (8\log{a} + 6\log{b}) - (6\log{a} + 4\log{b}) \)

\( = 2\log{a} + 2\log{b} \)

Bulduğumuz iki ortak fark birbirine eşit olmalıdır.

\( 4\log{a} + \log{b} = 2\log{a} + 2\log{b} \)

\( 2\log{a} = \log{b} \)

\( \log{a^2} = \log{b} \)

Tabanları eşit iki logaritma ifadesi birbirine eşitse logaritma içleri birbirine eşittir.

\( a^2 = b \)

Ortak farkı \( a \) cinsinden yazalım.

\( d = 4\log{a} + \log{a^2} \)

\( = 4\log{a} + 2\log{a} \)

\( = 6\log{a} \)

3. terimi \( a \) cinsinden yazalım.

\( a_3 = \log(a^8b^6) = \log(a^8a^{12}) \)

\( = \log{a^{20}} \)

\( = 20\log{a} \)

4. terimi bulmak için 3. terime ortak farkı ekleyelim.

\( a_4 = a_3 + d \)

\( = 20\log{a} + 6\log{a} \)

\( = 26\log{a} = \log{a^{26}} \)

Buna göre \( m = 26 \) olarak bulunur.

Logaritma kurallarını kullanarak birinci eşitliği düzenleyelim.

\( \log(x^{\frac{1}{2}}y^2) = 2 \)

\( \log{x^{\frac{1}{2}}} + \log{y^2} = 2 \)

\( \dfrac{1}{2}\log{x} + 2\log{y} = 2 \)

Benzer şekilde ikinci eşitliği düzenleyelim.

\( \log(x^3y^{\frac{2}{3}}) = 3 \)

\( \log{x^3} + \log{y^{\frac{2}{3}}} = 3 \)

\( 3\log{x} + \dfrac{2}{3}\log{y} = 3 \)

Elde ettiğimiz eşitliklere aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( s = \log{x}, \quad t = \log{y} \)

\( \dfrac{1}{2}s + 2t = 2 \)

\( 3s + \dfrac{2}{3}t = 3 \)

İki bilinmeyen ve iki denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( s = \dfrac{14}{17}, \quad t = \dfrac{27}{34} \)

Soruda değeri istenen ifadeyi bulalım.

\( \log(xy) = \log{x} + \log{y} \)

\( = s + t = \dfrac{14}{17} + \dfrac{27}{34} \)

\( = \dfrac{55}{34} \) bulunur.

\( \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10 + \sqrt{90 + \sqrt{90}}) + \log(10 - \sqrt{90 + \sqrt{90}}) \)

2. ve 3. terimlere logaritma çarpma kuralını uygulayalım.

\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log[(10 + \sqrt{90 + \sqrt{90}})(10 - \sqrt{90 + \sqrt{90}})] \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10^2 - (\sqrt{90 + \sqrt{90}})^2) \)

\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(100 - 90 - \sqrt{90}) \)

\( = \log(10 + 3\sqrt{10}) + \log(10 - 3\sqrt{10}) \)

Tekrar logaritma çarpma kuralını uygulayalım.

\( = \log[(10 + 3\sqrt{10})(10 - 3\sqrt{10})] \)

\( = \log(10^2 - (3\sqrt{10})^2) \)

\( = \log(100 - 9 \cdot 10) \)

\( = \log{10} = 1 \) bulunur.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.

\( \abs{\log_2{11} - \log_2{5}} \lt x \lt \log_2{11} + \log_2{5} \)

Logaritma çarpma ve bölme kurallarını kullanalım.

\( \log_2{\dfrac{11}{5}} \lt x \lt \log_2(11 \cdot 5) \)

\( \log_2{\dfrac{11}{5}} \lt x \lt \log_2{55} \)

\( 2^1 \lt \dfrac{11}{5} \lt 2^2 \) olduğu için \( \log_2{\dfrac{11}{5}} \) ifadesi \( (1, 2) \) aralığındadır.

\( 2^5 \lt 55 \lt 2^6 \) olduğu için \( \log_2{55} \) ifadesi \( (5, 6) \) aralığındadır.

Buna göre tam sayı \( x \) aralığı aşağıdaki gibi olur.

\( 2 \le x \le 5 \)

\( x \)'in alabileceği 4 tam sayı değeri vardır.

Bir aritmetik dizide terimler arası fark sabittir ve dizinin ortak farkına (\( d \)) eşittir.

\( x_1, x_2, x_3 \) aritmetik dizinin ardışık terimleri olsun.

\( d = x_2 - x_1 = x_3 - x_2 \)

\( \log(2^x - 1) - \log{2} = \log(2^x + 3) - \log(2^x - 1) \)

\( \log{\dfrac{2^x - 1}{2}} = \log{\dfrac{2^x + 3}{2^x - 1}} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin içleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{2^x - 1}{2} = \dfrac{2^x + 3}{2^x - 1} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( (2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3) \)

\( 2^x = t \) değişken değiştirmesi yapalım.

\( (t - 1)^2 = 2(t + 3) \)

\( t^2 - 2t + 1 = 2t + 6 \)

\( t^2 - 4t - 5 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 5) = 0 \)

\( t = -1 \) veya \( t = 5 \)

\( t = -1 \) için:

\( 2^x = t = -1 \)

Üstel ifadenin sonucu negatif olamayacağı için bu değer geçerli bir çözüm değildir.

\( t = 5 \) için:

\( 2^x = t = 5 \)

\( x = \log_2{5} \) bulunur.

Faktöriyelin açılımını yazalım.

\( \log{12!} = \log(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \)

Açılımdaki tüm sayıları asal çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım.

\( = \log(2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2) \)

\( = \log(2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11) \)

Çarpanları eşitliğin sağ tarafındaki logaritma ifadeleri ile eşleşecek şekilde düzenleyelim..

\( = \log(10^2 \cdot 2^8 \cdot 3^5 \cdot 77) \)

\( = \log{10^2} + \log{2^8} +\log{3^5} + \log{77} \)

\( = 2 + 8\log{2} + 5\log{3} + \log{77} \)

\( a + b + c + d = 2 + 8 + 5 + 1 = 16 \) olarak bulunur.

\( \log_3{36} \) ifadesinin değerinin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım.

\( \log_3{27} \lt \log_3{36} \lt \log_3{81} \)

\( 3 \lt \log_3{36} \lt 4 \)

\( \log_3{36} \) ifadesi bir doğal sayı ile pozitif reel sayının toplamı şeklinde dört farklı şekilde yazılabilir.

Durum 1:

\( \log_3{36} = \log_3{1} + \log_3{36} \)

\( = 0 + \log_3{36} \)

\( x = 0, \quad y = \log_3{36} \)

Durum 2:

\( \log_3{36} = \log_3{3} + \log_3{12} \)

\( = 1 + \log_3{12} \)

\( x = 1, \quad y = \log_3{12} \)

Durum 3:

\( \log_3{36} = \log_3{9} + \log_3{4} \)

\( = 2 + \log_3{4} \)

\( x = 2, \quad y = \log_3{4} \)

Durum 4:

\( \log_3{36} = \log_3{27} + \log_3{\frac{36}{27}} \)

\( = 3 + \log_3{\frac{36}{27}} \)

\( x = 3, \quad y = \log_3{\frac{36}{27}} \)

Bulduğumuz dört farklı \( y \) değerinin toplamını alalım.

\( \log_3{36} + \log_3{12} + \log_3{4} + \log_3{\frac{36}{27}} \)

\( = \log_3(36 \cdot 12 \cdot 4 \cdot \frac{36}{27}) \)

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

\( = \log_3(2^8 \cdot 3^2) \)

\( = \log_3{2^8} + \log_3{3^2} \)

\( = 8\log_3{2} + 2 \) bulunur.

İşlem kolaylığı açısından sayıların kuvvetlerinin en küçük ortak katını bulalım.

\( EKOK(6, 7, 9, 21) = 126 \)

\( e^6 = f^7 = g^9 = h^{21} = x^{126} \) diyelim.

\( e^6 = x^{126} \Longrightarrow e = x^{21} \)

\( f^7 = x^{126} \Longrightarrow f = x^{18} \)

\( g^9 = x^{126} \Longrightarrow g = x^{14} \)

\( h^{21} = x^{126} \Longrightarrow h = x^6 \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \log_h(efg) = \log_{x^6}(x^{21}x^{18}x^{14}) \)

\( = \log_{x^6}{x^{53}} \)

\( = \dfrac{53}{6}\log_x{x} = \dfrac{53}{6} \) bulunur.

Verilen ilk sayıyı inceleyelim.

\( a = \sqrt[6]{6!} \)

İki tarafın logaritmasını alalım.

\( \log{a} = \log{\sqrt[6]{6!}} \)

\( = \log{(6!)^{\frac{1}{6}}} \)

\( = \dfrac{1}{6}\log(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \)

\( = \dfrac{\log{6} + \log{5} + \ldots + \log{1}}{6} \)

Bu ifade \( \log{1} \) ile \( \log{6} \) arası sayıların aritmetik ortalamasıdır.

Verilen ikinci sayıyı inceleyelim.

\( b = \sqrt[7]{7!} \)

Aynı adımları bu ifadeye uygularsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz.

\( \log{b} = \dfrac{\log{7} + \log{6} + \ldots + \log{1}}{7} \)

Bu ifade \( \log{1} \) ile \( \log{7} \) arası sayıların aritmetik ortalamasıdır.

İkinci ifade birinci ifadeye göre değeri daha büyük bir logaritma ifadesi daha içerdiği için, ortalaması daha büyük olacaktır.

\( \log{a} \lt \log{b} \)

Tabanı 1'den büyük logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyondur, dolayısıyla \( \log{a} \lt \log{b} \) ise \( a \lt b \) olur.

\( \sqrt[6]{6!} \lt \sqrt[7]{7!} \)