Logaritma ve üstel fonksiyonların birbirinin tersi fonksiyonlar olduğunu görmüştük.
\( y = \log_a{x} \Longleftrightarrow a^y = x \)
Tanım gereği \( a \) tabanı 1'den farklı pozitif bir sayı olduğu için, \( a \)'nın tüm reel sayı kuvvetleri (\( y \)) tanımlıdır ve sonucu (\( x \)) her zaman bir pozitif reel sayıdır.
Buna göre logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (\( x \)) pozitif reel sayılarla sınırlıdır ve görüntü kümesi (\( y \)) tüm reel sayılardır.
Fonksiyon
Tanım Kümesi
Görüntü Kümesi
\( y = \log_a{x} \)
\( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \)
\( \mathbb{R^+} \)
\( \mathbb{R} \)
Logaritma fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümeleri farklı tabanlar için aşağıda verilen grafikler üzerinden de teyit edilebilir.
Farklı tabanlar için logaritma fonksiyonunun grafiği
SORU 1:
\( f(x) = \log_5(10 - x) + 8\log_3(x - 4) \)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayı \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Logaritma ifadesinin içi sıfır ya da negatif olamaz.
\( x^2 - ax + 9 \gt 0 \)
İkinci dereceden bu ifadenin her zaman pozitif olması için başkatsayısı pozitif olmalıdır ve \( x \) eksenini kesmemelidir. Buna göre ifadenin deltası 0'dan küçük olmalıdır (yani bir kökü olmamalıdır).
Logaritma işleminde logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
Paydadaki \( x \)'in işareti negatif olduğu için aşağıdaki rasyonel ifade payı ve paydayı sıfır yapan kritik değerlerin arasında kalan aralıkta pozitif olur.
Logaritma içi pozitif olmalıdır. Logaritma içi mutlak değer ifadesi olduğu için değeri her zaman sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla mutlak değer ifadesinin sıfır olmama durumunu kontrol etmemiz yeterlidir.
Mutlak değer ifadesini sıfır yapan ve tanım kümesi dışında bırakılması gereken değerleri bulalım.
\( \abs{3 - \abs{2 - \abs{x - 1}}} = 0 \)
\( \abs{2 - \abs{x - 1}} = 3 \)
Durum 1: \( 2 - \abs{x - 1} = 3 \)
\( \abs{x - 1} = -1 \)
Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 2: \( 2 - \abs{x - 1} = -3 \)
\( \abs{x - 1} = 5 \)
\( x - 1 = 5 \) veya \( x - 1 = -5 \)
\( x = 6 \) veya \( x = -4 \)
Bu iki değer fonksiyonu tanımsız yapar, dolayısıyla tanım kümesi dışında bırakılmalıdır.
O halde fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş aralık aşağıdaki gibidir.
Verilen ifadenin sonucunun reel sayı olması için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: Karekök içindeki ifade sıfır ya da pozitif olmalıdır.
\( \ln{\dfrac{2x^2 - x}{10}} \ge 0 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x^2 - x}{10} \ge e^0 \)
\( \dfrac{2x^2 - x}{10} \ge 1 \)
\( 2x^2 - x \ge 10 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( 2x^2 - x - 10 \ge 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (2x - 5)(x + 2) \ge 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{5}{2}, +\infty) \)
Koşul 2: Logaritma fonksiyonu tanımına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \dfrac{2x^2 - x}{10} \gt 0 \)
\( 2x^2 - x \gt 0 \)
\( x(2x - 1) \gt 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi sorudaki ifadenin sonucunu reel sayı yapan \( x \) değer aralığını verir.
