\( a^x = b \) eşitliğinde \( x \) değişkenini yalnız bırakarak \( a \) ve \( b \) cinsinden yazmamızı sağlayan işleme logaritma işlemi denir.
Logaritma işlemi logaritma içindeki değeri (\( b \)) elde etmek için tabanın kaçıncı kuvvetini almamız gerektiğini verir. Bu tanıma göre, \( a^n \) ifadesinin \( a \) tabanında logaritması \( n \)'ye eşittir.
Bir taban belirtilmediği durumda logaritma tabanı 10 olarak kabul edilir. Tabanı 10 olan logaritma işlemine onluk logaritma ya da bayağı logaritma denir.
Tanımda belirttiğimiz gibi, logaritma işlemi bir üstel ifadenin üssünde bulunan \( x \) değişkenini yalnız bırakmamızı sağlar.
SORU 1:
Aşağıdaki ifadelerin logaritma değerlerini hesaplayın.
\( \log_5{\dfrac{\sqrt{5}}{125}}, \quad \log_{0,5}{8} \)
Çözümü Göster
Verilen ifadelerde logaritma içini tabanın bir üssü şeklinde yazalım.
\( \log_5{\dfrac{\sqrt{5}}{125}} = \log_5{\dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{5^3}} \)
\( = \log_5{5^{\frac{1}{2} - 3}} = \log_5{5^{-\frac{5}{2}}} \)
\( = -\dfrac{5}{2} \)
\( \log_{0,5}{8} = \log_{\frac{1}{2}}{2^3} \)
\( = \log_{2^{-1}}{(2^{-1})^{-3}} \)
\( = -3 \)
SORU 2:
\( 5^{2x - 1} = 4 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \)'i yalnız bırakmak için verilen üstel ifadeyi logaritma ifadesi olarak yazalım.
\( 5^{2x - 1} = 4 \Longleftrightarrow \log_5{4} = 2x - 1 \)
\( 2x = 1 + \log_5{4} \)
\( x = \dfrac{1 + \log_5{4}}{2} \) bulunur.
SORU 3:
\( \dfrac{\log_5{\sqrt{125\sqrt{25\sqrt{5}}}}}{\log_2{\sqrt{64\sqrt[5]{16\sqrt{4}}}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Önce paydaki ifadeyi düzenleyelim.
\( \log_5{(5^3 \cdot (5^2 \cdot 5^\frac{1}{2})^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_5{(5^3 \cdot (5^\frac{5}{2})^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_5{(5^3 \cdot 5^\frac{5}{4})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_5{(5^\frac{17}{4})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_5{5^\frac{17}{8}} \)
\( = \dfrac{17}{8} \)
Şimdi paydadaki ifadeyi düzenleyelim.
\( \log_2{(2^6 \cdot (2^4 \cdot (2^2)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_2{(2^6 \cdot (2^4 \cdot 2)^\frac{1}{5})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_2{(2^6 \cdot (2^5)^\frac{1}{5})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_2{(2^6 \cdot 2^\frac{5}{5})^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_2{(2^6 \cdot 2)^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_2{(2^7)^\frac{1}{2}} \)
\( = \log_2{2^\frac{7}{2}} \)
\( = \dfrac{7}{2} \)
İki ifadenin oranını bulalım.
\( \dfrac{\frac{17}{8}}{\frac{7}{2}} = \dfrac{17}{28} \) bulunur.
Logaritma tabanı (\( a \)) negatif, 0 ya da 1 olamaz.
Logaritma tabanının 0 ya da 1 olamama sebebi, bu değerler için işlem sonucunun belirsiz olmasıdır.
Logaritma tabanının negatif olamama sebebi, işlemin kesirli \( x \) değerlerinde reel olmayan sonuçlar üretebilmesidir.
SORU 4:
\( \log_{x - 3}{9} = 2 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen logaritma ifadesini üstel ifade olarak yazalım.
\( \log_{x - 3}{9} = 2 \Longleftrightarrow (x - 3)^2 = 9 \)
\( x - 3 = 3 \) veya \( x - 3 = -3 \) olur.
\( x - 3 = 3 \Longrightarrow x = 6 \)
\( x = 6 \) için logaritma tabanı \( 6 - 3 = 3 \) olduğu için \( x = 6 \) geçerli bir çözümdür.
\( x - 3 = -3 \Longrightarrow x = 0 \)
\( x = 0 \) için logaritma tabanı negatif olduğu için \( x = 0 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( x = 6 \) bulunur.
SORU 5:
\( \log_7{\log_3{\log_2{\log_3(81 \cdot 81)}}} \)
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İfadenin değerini en içteki logaritma ifadesinden başlayarak hesaplayalım.
\( \log_7{\log_3{\log_2{\log_3(81 \cdot 81)}}} \)
\( = \log_7{\log_3{\log_2{\log_3(3^4 \cdot 3^4)}}} \)
\( = \log_7{\log_3{\log_2{\log_3(3^8)}}} \)
Logaritma tanımına göre \( \log_a{a^n} = n \) olur.
\( = \log_7{\log_3{\log_2{8}}} \)
\( = \log_7{\log_3{\log_2{2^3}}} \)
\( = \log_7{\log_3{3}} \)
\( = \log_7{1} \)
\( = \log_7{7^0} = 0 \) bulunur.
SORU 6:
Aşağıda verilen ifadelerin eşitini bulunuz.
(1) \( \log_3{81} - \log_{\sqrt{5}}{25} \)
(2) \( \log_{\frac{1}{3}}{27} + \log_{49}{7} \)
(3) \( \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{4}{9}} + \log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{16}} \)
(4) \( \log_6{1} + \log_5{5} \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( \log_3{81} - \log_{\sqrt{5}}{25} \)
Logaritma içlerini tabanın bir üssü şeklinde yazalım.
\( = \log_3{3^4} - \log_{\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^4} \)
\( = 4 - 4 = 0 \)
2. Soru:
\( \log_{\frac{1}{3}}{27} + \log_{49}{7} \)
Logaritma içlerini tabanın bir üssü şeklinde yazalım.
\( = \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{-3}} + \log_{49}{49^{\frac{1}{2}}} \)
\( = -3 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2} \)
3. Soru:
\( \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{4}{9}} + \log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{16}} \)
Logaritma içlerini tabanın bir üssü şeklinde yazalım.
\( = \log_{\frac{3}{2}}{(\dfrac{3}{2})^{-2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(\dfrac{1}{2})^4} \)
\( = -2 + 4 = 2 \)
4. Soru:
\( \log_6{1} + \log_5{5} \)
Logaritma içlerini tabanın bir üssü şeklinde yazalım.
\( = \log_6{6^0} + \log_5{5^1} \)
\( = 0 + 1 = 1 \)
SORU 7:
Aşağıdaki eşitliklerdeki bilinmeyen değerini bulunuz.
(1) \( \log_3(3a + 3) = 4 \)
(2) \( 4\log_b{8} - 5 = 7 \)
(3) \( \log_a(6a - 9) = 2 \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( \log_3(3a + 3) = 4 \)
\( 3a + 3 = 3^4 = 81 \)
\( 3a = 78 \)
\( a = 26 \)
2. Soru:
\( 4\log_b{8} - 5 = 7 \)
\( 4\log_b{8} = 12 \)
\( \log_b{8} = 3 \)
\( 8 = b^3 \)
\( b = 2 \)
3. Soru:
\( \log_a(6a - 9) = 2 \)
\( a^2 = 6a - 9 \)
\( a^2 - 6a + 9 = 0 \)
\( (a - 3)^2 = 0 \)
\( a = 3 \)
SORU 8:
\( a = \log_2{34} \)
\( b = \log_3{99} \)
\( c = \log_5{107} \)
değerlerinin dahil oldukları tam sayı aralıklarını bulunuz.
Çözümü Göster
34 sayısı 2'nin bir üssü olarak 32 ve 64 arasındadır.
\( \log_2{32} \lt \log_2{34} \lt \log_2{64} \)
\( \log_2{2^5} \lt \log_2{34} \lt \log_2{2^6} \)
\( 5 \lt a \lt 6 \) bulunur.
99 sayısı 3'ün bir üssü olarak 81 ve 243 arasındadır.
\( \log_3{81} \lt \log_3{99} \lt \log_3{243} \)
\( \log_3{3^4} \lt \log_3{99} \lt \log_3{3^5} \)
\( 4 \lt b \lt 5 \) bulunur.
107 sayısı 5'in bir üssü olarak 25 ve 125 arasındadır.
\( \log_5{25} \lt \log_5{107} \lt \log_5{125} \)
\( \log_5{5^2} \lt \log_5{107} \lt \log_5{5^3} \)
\( 2 \lt c \lt 3 \) bulunur.
SORU 9:
\( \log_4[60 + \log_3(x + 5)] = 3 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Dıştaki logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \log_4[60 + \log_3(x + 5)] = 3 \)
\( 60 + \log_3(x + 5) = 4^3 = 64 \)
\( \log_3(x + 5) = 64 - 60 = 4 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( x + 5 = 3^4 = 81 \)
\( x = 81 - 5 = 76 \) bulunur.
SORU 10:
\( \log{\dfrac{5x + 2}{x - 3}} = 1 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{5x + 2}{x - 3} = 10^1 = 10 \)
\( 5x + 2 = 10x - 30 \)
\( 5x = 32 \)
\( x = \dfrac{32}{5} \) bulunur.
SORU 11:
\( \log_x{\dfrac{8a}{3b}} = \dfrac{7}{3} \)
\( \log_x{\dfrac{6b}{a}} = \dfrac{5}{3} \)
olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \log_x{\dfrac{8a}{3b}} = \dfrac{7}{3} \Longrightarrow \dfrac{8a}{3b} = x^{\frac{7}{3}} \)
\( \log_x{\dfrac{6b}{a}} = \dfrac{5}{3} \Longrightarrow \dfrac{6b}{a} = x^{\frac{5}{3}} \)
Elde ettiğimiz ifadeleri taraf tarafa çarpalım.
\( \dfrac{8a}{3b} \cdot \dfrac{6b}{a} = x^{\frac{7}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} \)
\( 16 = x^{\frac{7}{3} + \frac{5}{3}} \)
\( 16 = x^4 \)
\( x \) logaritma tabanında bulunduğu için negatif değer alamaz, dolayısıyla \( x = -2 \) olamaz.
Buna göre, \( x = 2 \) bulunur.
SORU 12:
\( 2^{3x} \cdot 3^{2x} = 5 \) olduğuna göre, \( x \) değerini logaritma cinsinden bulunuz.
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafını tek bir tabanda birleştirelim.
\( 2^{3x} \cdot 3^{2x} = 5 \)
\( (2^3)^x \cdot (3^2)^x = 5 \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( (2^3 \cdot 3^2)^x = 72^x = 5 \)
\( x \)'i yalnız bırakalım.
\( x = \log_{72}{5} \) bulunur.
SORU 13:
Aşağıda verilen eşitlikteki \( x \) değişkenini logaritma cinsinden yazınız.
\( 9^{x - 1} = 5^{x + 2} \)
Çözümü Göster
\( 9^x\ 9^{-1} = 5^x\ 5^2 \)
\( \dfrac{9^x}{9} = 25 \cdot 5^x \)
\( \dfrac{9^x}{5^x} = 25 \cdot 9 \)
\( (\dfrac{9}{5})^x = 225 \)
\( x = \log_{\frac{9}{5}}{225} \) bulunur.
Logaritma ve üstel fonksiyonlar birbirlerinin ters fonksiyonlarıdır, dolayısıyla üstel fonksiyonun tanım kümesi logaritma fonksiyonunun görüntü kümesine, üstel fonksiyonun görüntü kümesi de logaritma fonksiyonunun tanım kümesine eşittir.
\( f(x) = \log_2{x} \) logaritma fonksiyonunun bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
Bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
\( f(x) = \log_a{x} \) formundaki tüm logaritma fonksiyonları için \( f(1) = 0 \) olur, dolayısıyla grafikleri \( x \) eksenini \( (1, 0) \) noktasında keser.
Logaritma fonksiyonları \( \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) için birebir ve örtendir, dolayısıyla ters fonksiyonları tanımlıdır ve üstel fonksiyonlardır.
SORU 14:
\( f(x) = 2^{3x - 2} \)
olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( y = f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon yeniden düzenlenir.
\( y = f(x) = 2^{3x - 2} \)
\( 3x - 2 = \log_2{y} \)
\( x = \dfrac{\log_2{y} + 2}{3} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirdiğimizde elde edeceğimiz yeni fonksiyon \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( y = f^{-1}(x) = \dfrac{\log_2{x} + 2}{3} \)
SORU 15:
\( f(x) = 2\log(x + 5) \)
olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( y = f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon yeniden düzenlenir.
\( y = f(x) = 2\log(x + 5) \)
\( \dfrac{y}{2} = \log(x + 5) \)
\( x + 5 = 10^{\frac{y}{2}} \)
\( x = 10^{\frac{y}{2}} - 5 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirdiğimizde elde edeceğimiz yeni fonksiyon \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( y = f^{-1}(x) = 10^{\frac{x}{2}} - 5 \)
SORU 16:
\( f(x) = \log_5{x^2} - 2 \)
olduğuna göre, \( f^{-1}(10) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( y = f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon yeniden düzenlenir.
\( y = f(x) = \log_5{x^2} - 2 \)
\( y + 2 = \log_5{x^2} \)
\( x^2 = 5^{y + 2} \)
\( x = \sqrt{5^{y + 2}} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirdiğimizde elde edeceğimiz yeni fonksiyon \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( y = f^{-1}(x) = \sqrt{5^{x + 2}} \)
\( f^{-1}(10) \) değerini bulmak için \( x = 10 \) yazalım.
\( f^{-1}(10) = \sqrt{5^{10 + 2}} = \sqrt{5^{12}} = 5^6 \) bulunur.
SORU 17:
\( f(x) = 2^x + a \) ve \( f^{-1}(9) = 2 \)
olduğuna göre, \( f(3) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( y = f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon yeniden düzenlenir.
\( y = f(x) = 2^x + a \)
\( y - a = 2^x \)
\( x = \log_2(y - a) \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirdiğimizde elde edeceğimiz yeni fonksiyon \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( y = f^{-1}(x) = \log_2(x - a) \)
\( a \) değerini bulmak için verilen \( f^{-1}(9) = 2 \) değerini kullanalım.
\( f^{-1}(9) = \log_2(9 - a) = 2 \)
\( 2^2 = 9 - a \Longrightarrow a = 5 \)
O halde, \( f(x) = 2^x + 5 \) olur.
\( f(3) = 2^3 + 5 = 13 \) bulunur.
SORU 18:
\( f(x) = 5^{2x - 3} \)
\( g(x) = \log_2(6x - 2) \)
olduğuna göre, \( (g \circ f^{-1})(125) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 125 olan değeri bulalım.
\( f^{-1}(125) = a \Longrightarrow f(a) = 125 \)
\( f(a) = 5^{2a - 3} = 125 = 5^3 \)
Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir.
\( 2a - 3 = 3 \)
\( a = 3 \)
\( f^{-1}(125) = a = 3 \)
\( (g \circ f^{-1})(125) = g(f^{-1}(125)) \)
\( = g(3) = \log_2(6 \cdot 3 - 2) \)
\( = \log_2{16} = \log_2{2^4} \)
\( = 4 \) bulunur.
SORU 19:
\( f(x) = 22 + \log_5{x} \)
olduğuna göre, \( (f \circ f)(125) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( (f \circ f)(125) = f(f(125)) \)
\( = f(22 + \log_5{125}) \)
\( = f(22 + \log_5{5^3}) \)
\( = f(22 + 3) \)
\( = f(25) \)
\( = 22 + \log_5{25} \)
\( = 22 + \log_5{5^2} \)
\( = 22 + 2 = 24 \) bulunur.
SORU 20:
\( f(x) = \log_3{x} \)
\( (g \circ f)(x) = 4x + 3 \)
olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster
Logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu üstel fonksiyondur.
\( f(x) = y = \log_3{x} \Longrightarrow f^{-1}(x) = 3^x \)
\( (g \circ f)(x) = 4x + 3 \)
Eşitliğin her iki tarafının \( f^{-1} \) ile bileşkesini alalım.
\( g \circ f \circ f^{-1} = (4x + 3) \circ f^{-1} \)
\( f \circ f^{-1} = I \) birim fonksiyonu verir.
\( g(x) = [(4x + 3) \circ f^{-1}](x) \)
\( = 4f^{-1}(x) + 3 \)
\( = 4 \cdot 3^x + 3 \) bulunur.
SORU 21:
\( f(x) = \dfrac{5^x - 1}{5^x + 2} \) fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözümü Göster
\( f \) fonksiyonunun tersini bulmak için fonksiyonda \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( y = \dfrac{5^x - 1}{5^x + 2} \)
\( y \cdot (5^x + 2) = 5^x - 1 \)
\( y \cdot 5^x + 2y = 5^x - 1 \)
\( 5^x - y \cdot 5^x = 2y + 1 \)
\( 5^x \cdot (1 - y) = 2y + 1 \)
\( 5^x = \dfrac{2y + 1}{1 - y} \)
\( x = \log_5{\dfrac{2y + 1}{1 - y}} \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \log_5{\dfrac{2x + 1}{1 - x}} \)
SORU 22:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f(n) = \begin{cases}
1 & \log_9{n} \text{ rasyonelse} \\
0 & \log_9{n} \text{ rasyonel değilse}
\end{cases} \)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(1) + f(2) + \ldots + f(750) \) toplamı kaça eşittir?
Çözümü Göster
\( \log_9{n} \) ifadesinin rasyonel olması için \( n \) 3'ün bir pozitif tam sayı kuvveti olmalıdır.
Örnek 1: \( \log_9{3} = \dfrac{1}{2} \)
Örnek 2: \( \log_9{27} = \dfrac{3}{2} \)
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 3^k \)
\( \log_9{n} = \log_{3^2}{3^k} = \dfrac{k}{2} \)
\( 3^k \) değerinin 1-750 aralığında alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( n \le 750 \)
\( 3^k \le 750 \)
\( 3^6 = 729 \le 750 \)
Buna göre, \( \log_9{n} \) ifadesini rasyonel yapan \( k \) değerleri 7 tanedir.
\( k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( n = 3k \in \{1, 3, 9, 27, 81, 243, 729\} \)
Fonksiyon \( n \in [1, 750] \) aralığında 7 kez 1 değerini alır, diğer \( n \) değerlerinde 0 değerini alır.
Buna göre verilen toplamın sonucu 7 olur.
SORU 23:
\( a \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \log_{a}{4096} \) ifadesinin sonucunun pozitif tam sayı olmasını sağlayan \( a \) değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözümü Göster
\( b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \log_{a}{4096} = b \) diyelim.
\( \log_{a}{2^{12}} = b \)
\( 2^{12} = a^b \)
Bu eşitliğe göre, \( a \) pozitif tam sayı olduğundan 2'nin bir tam sayı üssü şeklinde yazılabilmelidir.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a = 2^k \)
\( 2^{12} = (2^k)^b = 2^{kb} \)
\( 12 = kb \)
Bu eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( b = 1 \) için:
\( 2^{12} = a^1 \Longrightarrow a = 2^{12} = 4096 \)
\( b = 2 \) için:
\( 2^{12} = a^2 \Longrightarrow a = 2^6 = 64 \)
\( b = 3 \) için:
\( 2^{12} = a^3 \Longrightarrow a = 2^4 = 16 \)
\( b = 4 \) için:
\( 2^{12} = a^4 \Longrightarrow a = 2^3 = 8 \)
\( b = 6 \) için:
\( 2^{12} = a^6 \Longrightarrow a = 2^2 = 4 \)
\( b = 12 \) için:
\( 2^{12} = a^{12} \Longrightarrow a = 2^1 = 2 \)
Bulduğumuz \( a \) değerlerinin toplamını alalım.
\( 2 + 4 + 8 + 16 + 64 + 4096 = 4190 \) bulunur.
