Logaritmik Fonksiyonlarının Grafiği

Logaritma fonksiyonların grafiği taban değerinin 1'den küçük ya da büyük olmasına göre aşağıdaki şekillerde oluşur.

Taban Birden Büyükse

Logaritma fonksiyonun tabanının birden büyük olması durumunda (\( a \gt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.

a > 1 için logaritma fonksiyonlarının grafiği
a > 1 için logaritma fonksiyonlarının grafiği

Bu fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.

  • Logaritma tanım aralığı gereği, bu fonksiyonların grafikleri sadece \( x \gt 0 \) için tanımlıdır.
  • \( x = 0 \) doğrusu bu grafiklerin bir dikey asimptotudur.
  • Grafik tüm tanım aralığında artandır.
  • Grafik \( x \) eksenini her zaman \( (1, 0) \) noktasında keser.
  • Pozitif \( y \) değerlerinde (I. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır, çünkü belirli bir \( x \) değerini elde etmek için daha büyük tabanlı bir sayının daha küçük bir üssünü (\( a^y = x \)) almak yeterlidir.
  • Negatif \( y \) değerlerinde (IV. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
  • Fonksiyon birebir ve örtendir, bu yüzden ters fonksiyonu tanımlıdır ve üstel fonksiyondur.

Taban Sıfır ve Bir Aralığındaysa

Logaritma fonksiyonun tabanının sıfır ve bir arasında olması durumunda (\( 0 \lt a \lt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.

0 < a < 1 için logaritma fonksiyonlarının grafiği
0 < a < 1 için logaritma fonksiyonlarının grafiği

Bu fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.

  • Logaritma tanım aralığı gereği, bu fonksiyonların grafikleri sadece \( x \gt 0 \) için tanımlıdır.
  • \( x = 0 \) doğrusu bu grafiklerin bir dikey asimptotudur.
  • Grafik tüm tanım aralığında azalandır.
  • Grafik \( x \) eksenini her zaman \( (1, 0) \) noktasında keser.
  • Negatif \( y \) değerlerinde (IV. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır.
  • Pozitif \( y \) değerlerinde (I. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
  • Fonksiyon birebir ve örtendir, bu yüzden ters fonksiyonu tanımlıdır ve üstel fonksiyondur.

Logaritmada Taban, \( x \) ve \( y \) Değerleri Arasındaki İlişki

\( \log_a{x} \) ifadesinin sonucunun işareti, \( a \) ve \( x \) değerlerinin bulundukları aralıklara göre aşağıdaki şekilde değişir.

Yukarıdaki grafiklere göre \( a \), \( x \) ve \( y \) arasındaki ilişkiyi aşağıdaki tablodaki gibi özetleyebiliriz.

\( a \) ve \( x \) Değer Aralıkları \( 0 \lt x \lt 1 \) \( 1 \lt x \)
\( 0 \lt a \lt 1 \) \( \log_a{x} \gt 0 \) \( \log_a{x} \lt 0 \)
\( 1 \lt a \) \( \log_a{x} \lt 0 \) \( \log_a{x} \gt 0 \)

Logaritma Fonksiyon Grafiklerinde Simetri

Çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanların logaritma fonksiyon grafikleri \( x \) eksenine göre simetriktir.

Logaritma fonksiyonlarının grafiklerinde simetri
Logaritma fonksiyonlarının grafiklerinde simetri

Grafikteki \( f \) ve \( h \) fonksiyonlarının simetrisini aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

Logaritma ve Üstel Fonksiyon Grafikleri Arası Simetri

Bir fonksiyonun ve ters fonksiyonunun grafiği her zaman \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir. Logaritma ve üstel fonksiyonlar birbirinin tersi olduğu için, belirli bir taban için bu iki fonksiyonun grafikleri de \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.

Aşağıdaki iki farklı taban için logaritma ve üstel fonksiyon grafikleri verilmiştir. Bu grafiklerde her taban için grafiklerin \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olduğunu görebiliriz (mavi grafik yeşil ile, kırmızı grafik mor ile simetrik).

Üstel ve logaritma fonksiyon grafikleri
Üstel ve logaritma fonksiyon grafikleri

« Önceki
Logaritma Tanım ve Görüntü Kümesi
Sonraki »
Logaritmik Denklemler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır