Logaritmik Fonksiyonlarının Grafiği

Konu anlatımında ve fonksiyon grafiklerinde gösterdiğimiz üzere, \( \log_a{x} \) formundaki bir logaritma ifadesinde \( a \gt 1 \) ise \( 0 \lt x \lt 1 \) olduğunda, \( 0 \lt a \lt 1 \) ise \( x \gt 1 \) olduğunda logaritma değeri negatif olur.

Buna göre II. ve III. ifadelerin sonucu negatiftir.

Konu anlatımında ve fonksiyon grafiklerinde gösterdiğimiz üzere, \( \log_a{x} \) formundaki bir logaritma ifadesinde \( a \gt 1 \) ise \( 0 \lt x \lt a \) olduğunda, \( 0 \lt a \lt 1 \) ise \( x \gt a \) olduğunda logaritma değeri 1'den küçük olur.

Buna göre I. ve III. ifadelerin sonucu 1'den küçüktür.

Logaritma fonksiyonunun farklı taban ve \( x \) değerleri için değer aralıklarını logaritma grafiklerini dikkate alarak özetleyelim.

\( y = \log_a{x} \) logaritma ifadesinde,

Taban 1'den büyükse:

• \( 0 \lt x \lt 1 \Longrightarrow y \lt 0 \)
• \( 1 \lt x \Longrightarrow y \gt 0 \)

Taban 0 - 1 aralığında ise:

• \( 0 \lt x \lt 1 \Longrightarrow y \gt 1 \)
• \( 1 \lt x \Longrightarrow y \lt 0 \)

I. İfade:

\( 0 \lt \log_3{2} \lt 1 \)

\( \log_2{\log_3{2}} \lt 0 \)

İfadenin değeri negatiftir.

II. İfade:

\( \log_2{3} \gt 1 \)

\( \log_2{\log_2{3}} \gt 0 \)

İfadenin değeri pozitiftir.

III. İfade:

\( 0 \lt \log_3{2} \lt 1 \)

\( \log_{\frac{1}{2}}{\log_3{2}} \gt 0 \)

İfadenin değeri pozitiftir.

IV. İfade:

\( \log_2{3} \gt 1 \)

\( \log_{\frac{1}{2}}{\log_2{3}} \lt 0 \)

İfadenin değeri negatiftir.

Buna göre I. ve IV. ifadelerin değeri negatiftir.

Logaritma grafiklerini de düşünerek ifadelerin değerlerini karşılaştıralım.

\( a \) ve \( b \) ifadelerini karşılaştıralım.

\( a = \log_x{2} \)

\( b = \log_y{4} = 2\log_y{2} \)

Taban \( (0, 1) \) aralığında ve logaritma içi birden büyükse logaritma değeri negatif olur. Aynı \( x = 2 \) değeri için daha küçük tabanlı logaritma ifadesinin (\( a = \log_x{2} \)) grafiği daha üsttedir, dolayısıyla değeri daha büyüktür.

\( b = 2\log_y{2} \) olduğu için daha küçük negatif değeri \( a \)'ya göre daha da küçük olur.

\( b \lt a \)

Taban ve logaritma içi birden büyükse logaritma değeri pozitif olur, dolayısıyla \( c \) ifadesi diğer iki ifadeden büyüktür.

\( b \lt a \lt c \)

1. ifade:

\( \log{e} \) ifadesinde logaritma içi (\( e \approxeq 2,7182... \)) logaritma tabanı olan 10'dan küçük olduğu için ifadenin sonucu 1'den küçük ve sıfırdan büyüktür.

\( a = \log{e} \lt 1 \)

Diğer ifadeleri \( a \) cinsinden yazmaya çalışalım.

2. ifade:

\( \sqrt{\log{e^2}} = \sqrt{2\log{e}} = \sqrt{2a} \)

\( a \) 1'den küçük olduğu için 2'den de küçüktür.

\( \sqrt{2a} \gt \sqrt{a \cdot a} = a \)

3. ifade:

\( {\left( \dfrac{1}{\log{e}} \right)}^2 = \dfrac{1}{a^2} \)

\( a \lt 1 \) olduğu için \( \frac{1}{a^2} \gt 1 \) olur.

\( \dfrac{1}{a^2} \gt a \)

4. ifade:

\( \dfrac{1}{\log{\sqrt{e}}} = \dfrac{1}{\log{e^{\frac{1}{2}}}} = \dfrac{2}{a} \)

\( a \lt 1 \) olduğu için \( \dfrac{2}{a} \gt 1 \) olur.

\( \dfrac{2}{a} \gt a \)

İfadeleri \( a \) cinsinden yazdığımızda en küçük değerin \( \log{e} \) ifadesine ait olduğunu görürüz.

I. ifadenin değerini bulalım.

\( \sin{\dfrac{4\pi}{3}} = -\sin{\dfrac{\pi}{3}} \)

\( \sin^2{\dfrac{4\pi}{3}} = (-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 = \dfrac{3}{4} \)

II. ifadenin değerini bulalım.

\( \cot{\dfrac{4\pi}{3}} = \cot{\dfrac{\pi}{3}} \)

\( \cot^2{\dfrac{4\pi}{3}} = (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2 = \dfrac{1}{3} \)

III. ifadenin değer aralığını bulalım.

\( \dfrac{4\pi}{3} \) ifadesinin yaklaşık değerini bulmak için \( \pi = 3,14 \) alalım.

\( 4 \lt \dfrac{4\pi}{3} \lt 5 \)

10 tabanında logaritması alınan değer 1 ve 10 aralığında olduğu için logaritma sonucu 0 ve 1 aralığında olur.

\( 0 \lt \log{\dfrac{4\pi}{3}} \lt 1 \)

IV. ifadenin değer aralığını bulalım.

\( e = 2,71 \)

\( e \) tabanında logaritması alınan değer \( e \) sayısından büyük olduğu için doğal logaritma sonucu 1'den büyük olur.

\( e \lt \dfrac{4\pi}{3} \)

\( 1 \lt \ln{\dfrac{4\pi}{3}} \)

Buna göre IV. ifade en büyük değere sahiptir.

Seçenekleri birbiriyle karşılaştırabileceğimiz formlara getirelim.

(a) değer aralığını bulalım.

\( \dfrac{\sqrt{11}}{3} = a \) diyelim.

\( 3 \lt \sqrt{11} \lt 4 \)

\( 1 \lt \dfrac{\sqrt{11}}{3} \lt \dfrac{4}{3} \)

\( 1 \lt a \lt \dfrac{4}{3} \)

(b) değer aralığını bulalım.

\( \dfrac{11}{10} = b \) diyelim.

\( b^2 = \dfrac{121}{100} \)

\( a^2 = \dfrac{11}{9} = \dfrac{121}{99} \)

Bu durumda \( a^2 \gt b^2 \) ve iki sayı da birden büyük olduğu için \( a \gt b \) olur.

(c) değer aralığını bulalım.

\( \dfrac{\sqrt{5!}}{2 \cdot 3!} = c \) diyelim.

\( c = \dfrac{\sqrt{120}}{12} = \dfrac{\sqrt{120}}{\sqrt{144}} \)

İfadenin payı paydasından küçük olduğu için \( c \lt 1 \), dolayısıyla \( a \gt c \) olur.

(d) değer aralığını bulalım.

\( \dfrac{\log_5{22}}{\log_3{32}} = d \) diyelim.

\( \log_5{5} \lt \log_5{22} \lt \log_5{25} \)

\( 1 \lt \log_5{22} \lt 2 \)

\( \log_3{9} \lt \log_3{10} \lt \log_3{27} \)

\( 2 \lt \log_3{10} \lt 3 \)

İfadenin payı paydasından küçük olduğu için \( d \lt 1 \), dolayısıyla \( a \gt d \) olur.

(e) değer aralığını bulalım.

\( \dfrac{3 - \sqrt{2}}{2} = e \) diyelim.

\( 1 \lt \sqrt{2} \lt 2 \)

\( -1 \gt -\sqrt{2} \gt -2 \)

\( 2 \gt 3 - \sqrt{2} \gt 1 \)

\( 1 \gt \dfrac{3 - \sqrt{2}}{2} \gt \dfrac{1}{2} \)

\( 1 \gt e \gt \dfrac{1}{2} \)

Bu durumda \( a \gt e \) olur.

Buna göre verilen ifadelerden en büyük olan (a) seçeneğidir.

Verilen ifadeleri inceleyelim.

\( x = \frac{5\pi}{6} \) açısı üçüncü bölgededir, dolayısıyla \( a \lt 0 \) olur.

\( \log{100} = 2 \) olduğu için \( b \gt 2 \) olur.

\( e = 2,718... \) olduğu için \( c \lt 1\) olur.

\( \sqrt{3} \lt 2 \) olduğu için \( (\sqrt{3} - 1) \lt 1 \) ve \( d \lt 1 \) olur.

Buna göre en büyük değere sahip ifade \( b \) olarak bulunur.

İfadeleri aynı tabana getirelim.

\( a = \log_5{3} \)

\( b = \log_{5^2}{4^2} = \log_5{4} \)

\( c = \log_{5^3}{6^3} = \log_5{6} \)

\( f(x) = \log_5{x} \) fonksiyonu tüm tanım aralığında artan olduğu için, \( x \) değeri büyüdükçe fonksiyon değeri de büyür.

Buna göre ifadelerin büyüklük sıralaması \( a \lt b \lt c \) olur.

\( \log_{\frac{1}{5}}{x} \) fonksiyonu tüm tanım aralığında azalan olduğu için, \( x \) değeri büyüdükçe fonksiyon değeri küçülür.

Buna göre logaritma içlerinin büyüklük sıralaması \( c \lt b \lt a \) olur.

\( \log{9} \) ifadesinde logaritma içi logaritma tabanı olan \( 10 \)'dan küçük olduğu için ifadenin sonucu 1'den küçüktür.

\( \ln{2} \) ifadesinde logaritma içi logaritma tabanı olan \( e \)'den küçük olduğu için (\( e \approxeq 2,7182... \)) ifadenin sonucu 1'den küçüktür.

Logaritma içinin üssünün kendisi, logaritma tabanının üssünün de çarpmaya göre tersi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( \log_9{27} = \log_{3^2}{3^3} \) \( = \dfrac{3}{2}\log_3{3} = \dfrac{3}{2} \)

\( \log_5{12} \) ifadesinde logaritma içi logaritma tabanı olan \( 5 \)'den büyük olduğu için ifadenin sonucu 1'den büyüktür.

Buna göre \( \log_5{12} \) ifadesinin \( \log_9{27} = \frac{3}{2} \) ifadesinden büyük olup olmadığını inceleyelim.

\( \log_5{12} \stackrel{?}{<>} \frac{3}{2} \)

\( 12 \stackrel{?}{<>} 5^\frac{3}{2} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( 144 \stackrel{?}{<>} 5^3 \)

\( 144 \gt 125 \)

Buna göre verilen sayılar içinde en büyüğü \( \log_5{12} \) olarak bulunur.

Bir fonksiyonun tersinin grafiği orijinal fonksiyonun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriğidir.

\( f \) fonksiyonunun tersini bulmak için fonksiyonda \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( y = 2^{x + 3} - 4 \)

\( 2^{x + 3} = y + 4 \)

\( x + 3 = \log_2(y + 4) \)

\( x = \log_2{(y + 4)} - 3 \)

Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonudur ve grafiği \( f \) fonksiyonunun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriğidir.

\( f^{-1}(x) = \log_2{(x + 4)} - 3 \)

\( f(x) \) grafiği üzerinde verilen iki noktayı yerine koyarak fonksiyon tanımını bulalım.

\( f(0) = k \cdot a^0 = 2 \)

\( k = 2 \)

\( f(3) = 2 \cdot a^3 = \dfrac{27}{4} \)

\( a^3 = \dfrac{27}{8} \)

\( a = \dfrac{3}{2} \)

Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 2 \cdot (\frac{3}{2})^x \)

Verilen iki grafik \( y = x \) doğrusuna göre simetrik ise bu iki fonksiyon birbirinin tersidir. Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulmak için \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( y = 2 \cdot (\frac{3}{2})^x \)

\( (\frac{3}{2})^x = \dfrac{y}{2} \)

\( x = \log_{\frac{3}{2}}\frac{y}{2} \)

Elde ettiğimiz ifade \( f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonudur.

\( f^{-1}(x) = g(x) = \log_{\frac{3}{2}}\frac{x}{2} \)

\( g(\frac{9}{2}) \) değerini bulmak için \( x = \frac{9}{2} \) koyalım.

\( g(\frac{9}{2}) = \log_{\frac{3}{2}}\frac{\frac{9}{2}}{2} \)

\( = \log_{\frac{3}{2}}\frac{9}{4} = \log_{\frac{3}{2}}(\frac{3}{2})^2 \)

\( = 2 \) bulunur.

\( x = -9 \) logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu logaritma içini sıfır, dolayısıyla logaritma ifadesini tanımsız yapan değerdir.

\( x + b = -9 + b = 0 \)

\( b = 9 \)

\( f(x) = \log_a(x + 9) \)

\( (0, 2) \) noktasını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(0) = \log_a(0 + 9) = 2 \)

\( a = 3 \)

\( f(x) = \log_3(x + 9) \)

\( f(72) \) değerini bulmak için \( x = 72 \) koyalım.

\( f(72) = \log_3(72 + 9) = \log_3{81} = 4 \)

\( f^{-1}(a) = f^{-1}(3) \)

\( f^{-1}(3) \) değerini bulmak için fonksiyon değerini 3 yapan \( x \) değerini bulalım.

\( \log_3(x + 9) = 3 \)

\( x + 9 = 27 \)

\( x = 18 \)

Buna göre \( f(72) + f^{-1}(a) = 4 + 18 = 22 \) bulunur.

Önce \( \log{x} \) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulayarak sorudaki fonksiyonu elde edelim.

\( \log{x} \mapsto \log{\abs{x}} \)

Fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alındığında \( y \) ekseninin solunda kalan noktalar (varsa) silinir ve \( y \) ekseninin sağında kalan noktaların \( y \) eksenine göre yansıması oluşur.

\( \log{\abs{x}} \mapsto \log{\abs{x}} + 3 \)

Bir fonksiyonun çıktısına 3 birim eklendiğinde grafiği 3 birim yukarı ötelenir.

Aşağıda bu dönüşümler sonucunda oluşan fonksiyonun ve \( y = x \) doğrusunun grafikleri verilmiştir.

\( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin solunda kalan kısmını tek noktada kestiğinden emin olabiliriz, \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını kesip kesmediğinden ya da kesiyorsa kaç noktada kestiğinden emin olmak için ya bir programla grafiğini çizmeliyiz ya da iki denklemi ortak çözmeliyiz.

Alternatif olarak \( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını 2 noktada kestiğini daha pratik bir yöntemle bulabiliriz.

Verilen logaritma fonksiyonunda \( y = 0 \) verip \( x \) değerini ve \( x = 1 \) ve \( x = 10 \) verip \( y \) değerlerini hesapladığımızda fonksiyonun aşağıdaki noktalardan geçtiğini buluruz.

\( (10^{-3}, 0), (1, 3), (10, 4) \)

Bu noktalardan 1. ve 3.sünün ordinat değerleri apsis değerlerinden küçük olduğu için \( y = x \) doğrusunun altında kalır, 2. noktanın ise ordinat değeri daha büyük olduğu için \( y = x \) doğrusunun üstünde kalır.

Buna göre fonksiyon grafiğinin doğrunun altındayken doğruyu kesip üstüne geçtiği, sonra tekrar kesip altına indiği sonucuna varabiliriz.

Buna göre verilen fonksiyon ve doğru 3 noktada kesişirler.

1. Soru:

Fonksiyonların \( x \) eksenini kestikleri noktaları bulmak için denklemlerde \( y = 0 \) verelim.

\( f(x) = \ln(x - 2) = 0 \)

\( x - 2 = e^0 = 1 \)

\( x = 3 \)

\( A(3, 0) \) bulunur.

\( g(x) = 2\ln(x - 4) = 0 \)

\( x - 4 = e^0 = 1 \)

\( x = 5 \)

\( B(5, 0) \) bulunur.

2. Soru:

Fonksiyonların kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( f(x) = g(x) \)

\( \ln(x - 2) = 2\ln(x - 4) \)

\( \ln(x - 2) = \ln(x - 4)^2 \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x - 2 = (x - 4)^2 \)

\( x - 2 = x^2 - 8x + 16 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

\( (x - 3)(x - 6) = 0 \)

Logaritma tanımına göre logaritma ifadelerinin içleri pozitif olmalıdır.

\( x \gt 2 \) ve \( x \gt 4 \)

Buna göre \( x = 3 \) geçerli bir çözüm değildir ve fonksiyonların kesişim noktası \( x = 6 \) apsisli noktadır.

Verilen denklemlerden herhangi birinde \( x = 6 \) yazalım.

\( f(6) = \ln(6 - 2) \)

\( = \ln{4} = 2\ln{2} \)

\( C(6, 2\ln{2}) \) bulunur.

Verilen noktaların apsis değerlerini fonksiyon tanımında yerine koyarak ordinat değerlerini bulalım.

\( f(\frac{1}{8}) = \ln{\frac{1}{8}} + 8(\frac{1}{8}) \)

\( m = \ln{2^{-3}} + 1 \)

\( = 1 - 3\ln{2} \)

\( f(\frac{1}{4}) = \ln{\frac{1}{4}} + 8(\frac{1}{4}) \)

\( n = \ln{2^{-2}} + 2 \)

\( = 2 - 2\ln{2} \)

Buna göre bu iki noktanın koordinatları \( A(\frac{1}{8}, 1 - 3\ln{2}) \) ve \( B(\frac{1}{4}, 2 - 2\ln{2}) \) olur.

\( [AB] \) doğru parçası için eğim formülünü yazalım.

\( m_{AB} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{(2 - 2\ln{2}) - (1 - 3\ln{2})}{(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{8})} \)

\( = \dfrac{1 + \ln{2}}{\frac{1}{8}} \)

\( = 8 + 8\ln{2} \) bulunur.

Logaritma değerini eksi sonsuza götüren değer \( x = -3 \)'tür, dolayısıyla logaritma içini sıfır yapan değer \( x = -3 \) olur.

\( x + b = -3 + b = 0 \)

\( b = 3 \)

Verilen \( (6, 2) \) noktasını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(6) = \log_a(6 + 3) = 2 \)

\( 6 + 3 = a^2 \)

Taban negatif olamaz.

\( a = 3 \)

Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = \log_3(x + 3) \)

\( f(240) \) değerini bulmak için \( x = 240 \) yazalım.

\( f(240) = \log_3(240 + 3) \)

\( = \log_3{3^5} = 5 \) bulunur.

Logaritma içini sıfır yapan değer dikey asimptotun \( x \) değerini verir.

\( bx + c = 0 \)

\( -4b + c = 0 \)

\( c = 4b \)

Grafik \( (-2, 0) \) noktasından geçmektedir.

\( f(-2) = \log_a(b(-2) + c) = 0 \)

\( -2b + c = a^0 = 1 \)

\( -2b + 4b = 1 \)

\( b = \dfrac{1}{2} \)

\( c = 4b = 2 \)

Grafik \( (0, -\frac{1}{2}) \) noktasından geçmektedir.

\( f(0) = \log_a(-\frac{1}{2}(0) + 2) = -\dfrac{1}{2} \)

\( a^{-\frac{1}{2}} = 2 \)

\( a = \dfrac{1}{4} \)

\( a \cdot b \cdot c = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Logaritma içini sıfır yapan değer dikey asimptotun \( x \) değerini verir.

\( n - x = n - 4 = 0 \)

\( n = 4 \)

Diğer bilinmeyenleri bulmak için grafikte verilen noktaları fonksiyon tanımında yerine koyalım.

\( (2, 1) \) noktası:

\( f(2) = \log_a(4 - 2) + m = 1 \)

\( \log_a{2} = 1 - m \)

\( (-4, -1) \) noktası:

\( f(-4) = \log_a(4 - (-4)) + m = -1 \)

\( \log_a{8} = -1 - m \)

\( 3\log_a{2} = -1 - m \)

\( \log_a{2} = \dfrac{-1 - m}{3} \)

Bulduğumuz iki \( \log_a{2} \) değerini birbirine eşitleyelim.

\( 1 - m = \dfrac{-1 - m}{3} \)

\( 3 - 3m = -1 - m \)

\( m = 2 \)

\( m \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( \log_a{2} = 1 - m \)

\( \log_a{2} = 1 - 2 \)

\( a^{-1} = 2 \)

\( a = \dfrac{1}{2} \)

\( a \cdot m \cdot n = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \) olarak bulunur.

\( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.

\( y = \log_2{\frac{x}{4}} \)

\( 2^y = \dfrac{x}{4} \)

\( 4 \cdot 2^y = x \)

\( f^{-1}(x) = 2^{x + 2} \)

\( C \) noktasının ordinat değerini bulmak için \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunda \( x = 0 \) verelim.

\( f^{-1}(0) = 2^{0 + 2} = 4 \)

\( C(0, 4) \)

Buna göre \( B \) noktasının ordinat değeri de \( y = 4 \) olur.

\( B \) noktasının apsis değerini bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunda \( y = 4 \) verelim.

\( f(x) = \log_2{\frac{x}{4}} = 4 \)

\( 2^4 = \dfrac{x}{4} \)

\( x = 64 \)

\( B(64, 4) \)

Buna göre dikdörtgenin yüksekliği 4, genişliği de 64 olur.

\( A(OABC) = 4 \cdot 64 = 256 \) olarak bulunur.

\( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiğinde 5 birim aşağı yönde ötelemeye yol açan dönüşüm \( y = f(x) - 5 \) olur.

\( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiğinde \( a \) çarpanı kadar yatay daralmaya yol açan dönüşüm \( y = f(ax) \) olur.

Buna göre \( y = \log_2{x} \) fonksiyonuna bu iki dönüşümü uyguladığımızda aynı fonksiyonu elde etmeliyiz.

\( \log_2{x} - 5 = \log_2{ax} \)

\( \log_2{x} - 5 = \log_2{a} + \log_2{x} \)

\( \log_2{a} = -5 \)

\( a = 2^{-5} = \dfrac{1}{32} \) bulunur.