Logaritma fonksiyonların grafiği taban değerinin 1'den küçük ya da büyük olmasına göre aşağıdaki şekillerde oluşur.
İnteraktif uygulama: Logaritma Fonksiyonunun Tabanı
Logaritma fonksiyonun tabanının birden büyük olması durumunda (\( a \gt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.
Bu fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
Logaritma fonksiyonun tabanının sıfır ve bir arasında olması durumunda (\( 0 \lt a \lt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.
Bu fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
\( \log_a{x} \) ifadesinin sonucunun işareti, \( a \) ve \( x \) değerlerinin bulundukları aralıklara göre aşağıdaki şekilde değişir.
Yukarıdaki grafiklere göre \( a \), \( x \) ve \( y \) arasındaki ilişkiyi aşağıdaki tablodaki gibi özetleyebiliriz.
\( a \) ve \( x \) Değer Aralıkları | \( 0 \lt x \lt 1 \) | \( 1 \lt x \) |
---|---|---|
\( 0 \lt a \lt 1 \) | \( \log_a{x} \gt 0 \) | \( \log_a{x} \lt 0 \) |
\( 1 \lt a \) | \( \log_a{x} \lt 0 \) | \( \log_a{x} \gt 0 \) |
Çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanların logaritma fonksiyon grafikleri \( x \) eksenine göre simetriktir.
Grafikteki \( f \) ve \( h \) fonksiyonlarının simetrisini aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
\( f(x) = \log_2{x} \)
\( -f(x) = -\log_2{x} = \log_{\frac{1}{2}}{x} \)
\( h(x) = \log_{\frac{1}{2}}{x} = -f(x) \)
\( h(x) = -f(x) \) olduğu için bu iki fonksiyon \( x \) eksenine göre simetriktir.
Bir fonksiyonun ve ters fonksiyonunun grafiği her zaman \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir. Logaritma ve üstel fonksiyonlar birbirinin tersi olduğu için, belirli bir taban için bu iki fonksiyonun grafikleri de \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.
Aşağıdaki iki farklı taban için logaritma ve üstel fonksiyon grafikleri verilmiştir. Bu grafiklerde her taban için grafiklerin \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olduğunu görebiliriz (mavi grafik yeşil ile, kırmızı grafik mor ile simetrik).