Logaritmik Fonksiyonlarının Grafiği
Logaritma fonksiyonların grafiği taban değerinin 1'den küçük ya da büyük olmasına göre aşağıdaki şekillerde oluşur.
İnteraktif uygulama: Logaritma Fonksiyonunun Tabanı
Taban Birden Büyükse
Logaritma fonksiyonun tabanının birden büyük olması durumunda (\( a \gt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.
Bu fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
- Logaritma tanım aralığı gereği, bu fonksiyonların grafikleri sadece \( x \gt 0 \) için tanımlıdır.
- \( x = 0 \) doğrusu bu grafiklerin bir dikey asimptotudur.
- Grafik tüm tanım aralığında artandır.
- Grafik \( x \) eksenini her zaman \( (1, 0) \) noktasında keser.
- Pozitif \( y \) değerlerinde (I. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır, çünkü belirli bir \( x \) değerini elde etmek için daha büyük tabanlı bir sayının daha küçük bir üssünü (\( a^y = x \)) almak yeterlidir.
- Negatif \( y \) değerlerinde (IV. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
- Fonksiyon birebir ve örtendir, bu yüzden ters fonksiyonu tanımlıdır ve üstel fonksiyondur.
Taban Sıfır ve Bir Aralığındaysa
Logaritma fonksiyonun tabanının sıfır ve bir arasında olması durumunda (\( 0 \lt a \lt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.
Bu fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
- Logaritma tanım aralığı gereği, bu fonksiyonların grafikleri sadece \( x \gt 0 \) için tanımlıdır.
- \( x = 0 \) doğrusu bu grafiklerin bir dikey asimptotudur.
- Grafik tüm tanım aralığında azalandır.
- Grafik \( x \) eksenini her zaman \( (1, 0) \) noktasında keser.
- Negatif \( y \) değerlerinde (IV. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır.
- Pozitif \( y \) değerlerinde (I. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
- Fonksiyon birebir ve örtendir, bu yüzden ters fonksiyonu tanımlıdır ve üstel fonksiyondur.
Logaritmada Taban, \( x \) ve \( y \) Değerleri Arasındaki İlişki
\( \log_a{x} \) ifadesinin sonucunun işareti, \( a \) ve \( x \) değerlerinin bulundukları aralıklara göre aşağıdaki şekilde değişir.
Yukarıdaki grafiklere göre \( a \), \( x \) ve \( y \) arasındaki ilişkiyi aşağıdaki tablodaki gibi özetleyebiliriz.
| \( a \) ve \( x \) Değer Aralıkları | \( 0 \lt x \lt 1 \) | \( 1 \lt x \) |
|---|---|---|
| \( 0 \lt a \lt 1 \) | \( \log_a{x} \gt 0 \) | \( \log_a{x} \lt 0 \) |
| \( 1 \lt a \) | \( \log_a{x} \lt 0 \) | \( \log_a{x} \gt 0 \) |
Logaritma Fonksiyon Grafiklerinde Simetri
Çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanların logaritma fonksiyon grafikleri \( x \) eksenine göre simetriktir.
Grafikteki \( f \) ve \( h \) fonksiyonlarının simetrisini aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
\( f(x) = \log_2{x} \)
\( -f(x) = -\log_2{x} = \log_{\frac{1}{2}}{x} \)
\( h(x) = \log_{\frac{1}{2}}{x} = -f(x) \)
\( h(x) = -f(x) \) olduğu için bu iki fonksiyon \( x \) eksenine göre simetriktir.
Logaritma ve Üstel Fonksiyon Grafikleri Arası Simetri
Bir fonksiyonun ve ters fonksiyonunun grafiği her zaman \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir. Logaritma ve üstel fonksiyonlar birbirinin tersi olduğu için, belirli bir taban için bu iki fonksiyonun grafikleri de \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.
Aşağıdaki iki farklı taban için logaritma ve üstel fonksiyon grafikleri verilmiştir. Bu grafiklerde her taban için grafiklerin \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olduğunu görebiliriz (mavi grafik yeşil ile, kırmızı grafik mor ile simetrik).
