Doğal Logaritma
Tabanı \( e \) (Euler) sayısı olan (\( e = 2,7182... \)) logaritma fonksiyonuna doğal logaritma denir ve \( \ln{x} \) ile (LN) gösterilir.
\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \ln{x} \Longleftrightarrow f^{-1}(x) = e^x \)
\( \ln{x} = 5 \Longleftrightarrow x = e^5 \)
Doğal logaritma fonksiyonunda ayrıca taban belirtilmez. Aşağıdaki iki ifade özdeştir.
\( \ln{x} = \log_e{x} \)
Bazı doğal logaritma değerleri aşağıdaki gibidir:
\( \ln{1} = \ln{e^0} = 0 \)
\( \ln{e} = \ln{e^1} = 1 \)
\( \ln{e^5} = 5 \)
\( \ln{\frac{1}{e^3}} = -3 \)
\( \ln{\sqrt{e}} = \ln{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \)
\( \ln{e^5} - \ln{\sqrt[3]{e}} + \ln{\frac{1}{e^2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterLogaritma içlerini tabanın birer üssü şeklinde yazalım.
\( = \ln{e^5} - \ln{e^{\frac{1}{3}}} + \ln{e^{-2}} \)
Logaritma tanımına göre, \( e^n \) ifadesinin \( e \) tabanında logaritması \( n \)'ye eşittir.
\( = 5 - \dfrac{1}{3} + (-2) = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
Aşağıdaki eşitliklerdeki değişken değerini doğal logaritma cinsinden bulunuz.
(a) \( e^{x + 1} = 20 \)
(b) \( 5e^{2y} + 2 = 37 \)
(c) \( 2e^{2z - 2} = 12 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( e^{x + 1} = 20 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( x + 1 = \ln{20} \)
\( x = \ln{20} - 1 \)
(b) seçeneği:
\( 5e^{2y} + 2 = 37 \)
\( 5e^{2y} = 35 \)
\( e^{2y} = 7 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 2y = \ln{7} \)
\( y = \dfrac{\ln{7}}{2} \)
(c) seçeneği:
\( 2e^{2z - 2} = 12 \)
\( e^{2z - 2} = 6 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 2z - 2 = \ln{6} \)
\( 2z = \ln{6} + 2 \)
\( z = \dfrac{\ln{6} + 2}{2} \)
Aşağıdaki eşitliklerdeki değişken değerini doğal logaritma cinsinden bulunuz.
(a) \( 1 - 4e^{-4t} = -19 \)
(b) \( \dfrac{6 + 2e^{3y}}{8} = 12 \)
(c) \( 7e^{3z + 2} + 2 = 51 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 1 - 4e^{-4t} = -19 \)
\( 4e^{-4t} = 20 \)
\( e^{-4t} = 5 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( -4t = \ln{5} \)
\( t = -\dfrac{\ln{5}}{4} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{6 + 2e^{3y}}{8} = 12 \)
\( 6 + 2e^{3y} = 96 \)
\( e^{3y} = 45 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 3y = \ln{45} \)
\( y = \dfrac{\ln{45}}{3} \)
(c) seçeneği:
\( 7e^{3z + 2} + 2 = 51 \)
\( 7e^{3z + 2} = 49 \)
\( e^{3z + 2} = 7 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 3z + 2 = \ln{7} \)
\( 3z = \ln{7} - 2 \)
\( z = \dfrac{\ln{7} - 2}{3} \)
Aşağıdaki eşitliklerdeki değişken değerini \( e \) sayısı cinsinden bulunuz.
(a) \( 2\ln(3x + 1) + 5 = 9 \)
(b) \( \dfrac{\ln(3y + 6)}{3} = 1 \)
(c) \( \ln(2z - 5) - 2 = 4 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2\ln(3x + 1) + 5 = 9 \)
\( \ln(3x + 1) = 2 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 3x + 1 = e^2 \)
\( x = \dfrac{e^2 - 1}{3} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{\ln(3y + 6)}{3} = 1 \)
\( \ln(3y + 6) = 3 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 3y + 6 = e^3 \)
\( y = \dfrac{e^3 - 6}{3} \)
(c) seçeneği:
\( \ln(2z - 5) - 2 = 4 \)
\( \ln(2z - 5) = 6 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 2z - 5 = e^6 \)
\( z = \dfrac{e^6 + 5}{2} \)
\( \ln[3 - \log_3(x - 4)] = 0 \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDıştaki doğal logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 3 - \log_3(x - 4) = e^0 = 1 \)
\( \log_3(x - 4) = 3 - 1 = 2 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( x - 4 = 3^2 = 9 \)
\( x = 13 \) bulunur.
\( \ln{\dfrac{3}{\ln(x - e)}} = 0 \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterLogaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{3}{\ln(x - e)} = e^0 = 1 \)
\( \ln(x - e) = 3 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( x - e = e^3 \)
\( x = e^3 + e \) bulunur.
\( f(x) = \ln(mx - n) \) fonksiyonu \( A(3, \ln{5}) \) ve \( B(2, \ln{12}) \) noktalarından geçtiğine göre, \( m + n \) toplamını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon bu iki noktadan geçiyorsa noktaların koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.
\( A(3, \ln{5}) \) noktası için:
\( f(3) = \ln(m(3) - n) = \ln{5} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( 3m - n = 5 \)
\( B(2, \ln{12}) \) noktası için:
\( f(2) = \ln(m(2) - n) = \ln{12} \)
\( 2m - n = 12 \)
Bulduğumuz iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( m = -7, \quad n = -26 \)
\( m + n = -7 + (-26) = -33 \) bulunur.
\( \sqrt{1 - 2 \ln{3} + \ln{3} \cdot \ln{3}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster\( \ln{3} = t \) diyelim.
\( \sqrt{1 - 2t + t^2} = \sqrt{(1 - t)^2} \)
\( = \abs{1 - t} = \abs{1 - \ln{3}} \)
\( e = 2,718... \) ve \( 3 \gt e \) olduğu için \( \ln{3} \gt 1 \) olur, dolayısıyla mutlak değer içindeki ifade dışarıya negatif işaretli çıkar.
\( = -(1 - \ln{3}) = \ln{3} - 1 \) bulunur.
Aşağıdaki eşitliklerdeki \( x \) değerini doğal logaritma cinsinden bulunuz.
(a) \( e^x7^e = 7 \)
(b) \( \dfrac{e^x}{3^x} = e \)
(c) \( 4 \cdot 5^x = 5e^{-x} \)
(d) \( 5^xe^{2x + 3} = 8 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( e^x7^e = 7 \)
\( e^x = \dfrac{7}{7^e} \)
\( e^x = 7^{1 - e} \)
Eşitliğin taraflarının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^x} = \ln{7^{1 - e}} \)
\( x = (1 - e)\ln{7} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{e^x}{3^x} = e \)
\( e^x = 3^xe \)
\( \dfrac{e^x}{e} = 3^x \)
\( e^{x - 1} = 3^x \)
Eşitliğin taraflarının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^{x - 1}} = \ln{3^x} \)
\( x - 1 = x\ln{3} \)
\( x - x\ln{3} = 1 \)
\( x(1 - \ln{3}) = 1 \)
\( x = \dfrac{1}{1 - \ln{3}} \)
(c) seçeneği:
\( 4 \cdot 5^x = 5e^{-x} \)
Eşitliğin taraflarının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln(4 \cdot 5^x) = \ln(5e^{-x}) \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \ln{4} + \ln{5^x} = \ln{5} + \ln{e^{-x}} \)
\( \ln{4} + x\ln{5} = \ln{5} - x\ln{e} \)
\( x + x\ln{5} = \ln{5} - \ln{4} \)
\( x(1 + \ln{5}) = \ln{5} - \ln{4} \)
\( x = \dfrac{\ln{5} - \ln{4}}{1 + \ln{5}} \)
(d) seçeneği:
\( 5^xe^{2x + 3} = 8 \)
Eşitliğin taraflarının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln(5^xe^{2x + 3}) = \ln{8} \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \ln{5^x} + \ln{e^{2x + 3}} = \ln{8} \)
\( x\ln{5} + (2x + 3)\ln{e} = \ln{8} \)
\( x\ln{5} + 2x = \ln{8} - 3 \)
\( x(\ln{5} + 2) = \ln{8} - 3 \)
\( x = \dfrac{\ln{8} - 3}{\ln{5} + 2} \)
\( f(e^x + 3) = x + 2 \) olduğuna göre, \( f(x) \) nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki fonksiyonun tersini verilen fonksiyonda \( x \) yerine koyarak \( f(x) \) fonksiyonunu bulabiliriz.
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon düzenlenir.
\( y = e^x + 3 \)
\( y - 3 = e^x \)
\( \ln(y - 3) = \ln{e^x} \)
\( \ln(y - 3) = x \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirildiğinde elde edilen yeni fonksiyon, fonksiyonun ters fonksiyonudur.
\( y = \ln(x - 3) \)
Soruda verilen ifadede \( x \) yerine \( \ln(x - 3) \) yazdığımızda \( f(x) \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( f(e^x + 3) = x + 2 \)
\( f(e^{\ln(x - 3)} + 3) = \ln(x - 3) + 2 \)
\( f((x - 3) + 3) = \ln(x - 3) + 2 \)
\( f(x) = \ln(x - 3) + 2 \) bulunur.