Bu bölümde bazı logaritmik denklem tiplerini ve her biri için çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Bir denklemin çözümü sonucunda bulunan değerler sırayla denklemde yerine konmalı ve logaritma ifadelerinden en az birinde aşağıdaki iki durumdan birine yol açan değerler çözüm kümesine dahil edilmemelidir.
Bir logaritma ifadesinin sabit bir reel sayıya eşitliğinde denklem üstel ifadeye çevrilir ve değişken yalnız bırakılır.
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
Tabanları farklı ama eşitlenebilir iki logaritma ifadesinin eşitliğinde önce tabanlar eşitlenir. Elde edilen logaritma ifadelerinin içleri birbirine eşittir.
Bir denklemde değişken içeren tüm logaritma ifadeleri ortak bir ifade cinsinden yazılabiliyorsa denklem aşağıdaki adımlar takip edilerek değişken değiştirme yöntemi ile çözülebilir.
SORU 1:
\( \log_{x - 2}(4 + x) = 2 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
Logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.
\( 4 + x = (x - 2)^2 \)
\( 4 + x = x^2 - 4x + 4 \)
\( x^2 - 5x = 0 \)
\( x(x - 5) = 0 \)
\( x = 0 \) veya \( x - 5 = 0 \) olur.
\( x = 0 \) veya \( x = 5 \) olur.
\( x = 0 \) için logaritma tabanı negatif olacağı için \( x = 0 \) geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = 5 \)
SORU 2:
Aşağıda verilen denklemleri çözünüz.
(1) \( \ln(3y + 2) - 3 = \ln{y} \)
(2) \( \ln(5z + 3) + 2 = \ln(2z - 1) \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( \ln(3y + 2) - 3 = \ln{y} \)
\( \ln(3y + 2) - \ln{y} = 3 \)
\( \ln{\dfrac{3y + 2}{y}} = 3 \)
\( \dfrac{3y + 2}{y} = e^3 \)
\( 3 + \dfrac{2}{y} = e^3 \)
\( \dfrac{2}{y} = e^3 - 3 \)
\( \dfrac{y}{2} = \dfrac{1}{e^3 - 3} \)
\( y = \dfrac{2}{e^3 - 3} \)
2. Soru:
\( \ln(5z + 3) + 2 = \ln(2z - 1) \)
\( \ln(5z + 3) - \ln(2z - 1) = -2 \)
\( \ln{\dfrac{5z + 3}{2z - 1}} = -2 \)
\( \dfrac{5z + 3}{2z - 1} = e^{-2} \)
\( 5z + 3 = e^{-2}(2z - 1) \)
\( 5z = 2ze^{-2} - e^{-2} - 3 \)
\( 5z - 2ze^{-2} = -e^{-2} - 3 \)
\( z(5 - 2e^{-2}) = -e^{-2} - 3 \)
\( z = \dfrac{-e^{-2} - 3}{5 - 2e^{-2}} \)
\( z = \dfrac{e^{-2} + 3}{2e^{-2} - 5} \)
SORU 3:
Aşağıda verilen denklemleri çözünüz.
(1) \( 2e^x + 4e^{-x} = 9 \)
(2) \( \dfrac{6e^y}{e^{2y} + 1} = 3 \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( 2e^x + 4e^{-x} = 9 \)
\( 2e^x + \dfrac{4}{e^{x}} = 9 \)
\( e^x = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( 2t + \dfrac{4}{t} = 9 \)
\( 2t^2 + 4 = 9t \)
\( 2t^2 - 9t + 4 = 0 \)
\( (t - 4)(2t - 1) = 0 \)
\( t = 4 \) veya \( t = \frac{1}{2} \)
\( t = 4 \) için:
\( e^x = t = 4 \)
\( x = \ln{4} \)
\( t = \frac{1}{2} \) için:
\( e^x = t = \dfrac{1}{2} \)
\( x = \ln{\dfrac{1}{2}} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ln{4}, \ln{\frac{1}{2}}\} \)
2. Soru:
\( \dfrac{6e^y}{e^{2y} + 1} = 3 \)
\( \dfrac{6e^y}{(e^{y})^2 + 1} = 3 \)
\( e^y = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( \dfrac{6t}{t^2 + 1} = 3 \)
\( 6t = 3t^2 + 3 \)
\( 3t^2 - 6t + 3 = 0 \)
Eşitliğin her iki tarafını 3'e bölelim.
\( t^2 - 2t + 1 = 0 \)
\( (t - 1)^2 = 0 \)
\( t = 1 \)
\( e^y = t = 1 \) diyelim.
\( y = \ln{1} = 0 \)
SORU 4:
Aşağıda verilen denklemleri çözünüz.
(1) \( \ln(y + 3) = \ln(2y - 7) \)
(2) \( 2\ln{x} = \ln(2x + 8) \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( \ln(y + 3) = \ln(y - 7) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinde logaritma içleri eşittir.
\( y + 3 = 2y - 7 \)
\( y = 10 \)
2. Soru:
\( 2\ln{x} = \ln(2x + 8) \)
\( \ln{x^2} = \ln(2x + 8) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinde logaritma içleri eşittir.
\( x^2 = 2x + 8 \)
\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)
\( x = 4 \) veya \( x = -2 \)
Logaritma içi sıfır ya da negatif olamayacağı için \( x = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( x = 4 \)
SORU 5:
Aşağıda verilen denklemleri çözünüz.
(1) \( 2\log_2{\dfrac{x}{2}} + \log_2{\sqrt{x}} = 8 \)
(2) \( \log_2(128y^2) = 1 + 2\log_2{\dfrac{y^2}{2}} \)
Çözümü Göster
1. Soru:
\( 2\log_2{\dfrac{x}{2}} + \log_2{\sqrt{x}} = 8 \)
Logaritma içlerini üslü ifade biçiminde yazalım.
\( \log_2(\dfrac{x}{2})^2 + \log_2{x^{\frac{1}{2}}} = 8 \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \log_2(\dfrac{x^2}{4} \cdot x^{\frac{1}{2}}) = 8 \)
\( \dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{4} = 2^8 \)
\( x^{\frac{5}{2}} = 2^8 \cdot 4 = 2^{10} \)
\( (x^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = (2^{10})^{\frac{2}{5}} \)
\( x = 2^4 = 16 \) bulunur.
2. Soru:
\( \log_2(128y^2) = 1 + 2\log_2(\dfrac{y^2}{2}) \)
Logaritma içlerini üslü ifade biçiminde yazalım.
\( \log_2(128y^2) = \log_2{2} + \log_2(\dfrac{y^2}{2})^2 \)
\( \log_2(128y^2) = \log_2{2} + \log_2(\dfrac{y^4}{4}) \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \log_2(128y^2) = \log_2(2 \cdot \dfrac{y^4}{4}) \)
\( \log_2(128y^2) = \log_2(\dfrac{y^4}{2}) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin içleri eşittir.
\( 128y^2 = \dfrac{y^4}{2} \)
\( 256y^2 = y^4 \)
\( 256 = y^2 \)
\( y \)'nin negatif değeri logaritma içini negatif yapmadığı için geçerli bir çözümdür.
\( y \in \{-16, 16\} \) bulunur.
SORU 6:
\( \log_2(7 + \log_2(3 + \log_7(3x + 2))) - 3 = 0 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log_2(7 + \log_2(3 + \log_7(3x + 2))) = 3 \)
\( 7 + \log_2(3 + \log_7(3x + 2)) = 2^3 = 8 \)
\( \log_2(3 + \log_7(3x + 2)) = 1 \)
\( 3 + \log_7(3x + 2) = 2^1 = 2 \)
\( \log_7(3x + 2) = -1 \)
\( 3x + 2 = 7^{-1} = \dfrac{1}{7} \)
\( 3x = -\dfrac{13}{7} \)
\( x = -\dfrac{13}{21} \) bulunur.
SORU 7:
\( \log(x - 2) = \log(x + 3) + \log{5} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \log(x - 2) = \log[5(x + 3)] \)
\( \log(x - 2) = \log(5x + 15) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( x - 2 = 5x + 15 \)
\( 4x = -17 \)
\( x = -\dfrac{17}{4} \) bulunur.
\( x = -\dfrac{17}{4} \) için her iki logaritma tabanı da negatif olacağı için bu değer geçerli bir çözüm değildir, dolayısıyla çözüm kümesi boş küme olur.
Çözüm kümesi: \( x = \emptyset \)
SORU 8:
\( \log[\log_4(2x + 5)] = 0 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \)'i yalnız bırakmak için dıştaki logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \log_4(2x + 5) = 10^0 = 1 \)
İçteki logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 2x + 5 = 4^1 = 4 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
Bulduğumuz değer her iki logaritma içini de pozitif sayı yaptığı için geçerli bir çözümdür.
(1) \( 2x + 5 = 2(-\frac{1}{2}) + 5 = 4 \gt 0 \)
(2) \( \log_4(2x + 5) = \log_4{4} = 1 \gt 0 \)
SORU 9:
\( x,y \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \log_3(7 + \log_6{x}) = 2 \)
\( \log_8(2x - 10 + \log_7{y}) = 2 \)
Buna göre \( x + y \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İlk önce \( x \) sayısını bulalım.
\( \log_3(7 + \log_6{x}) = 2 \)
\( 7 + \log_6{x} = 3^2 = 9 \)
\( \log_6{x} = 2 \)
\( x = 6^2 = 36 \)
Şimdi \( y \) sayısını bulalım.
\( \log_8(2x - 10 + \log_7{y}) = 2 \)
\( 72 - 10 + \log_7{y} = 8^2 = 64 \)
\( \log_7{y} = 2 \)
\( y = 7^2 = 49 \)
Buna göre \( x + y = 36 + 49 = 85 \) olarak bulunur.
SORU 10:
\( \log_3(4x - 5) - \log_3(2x + 4) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \log_3(4x - 5) = \log_3(2x + 4) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( 4x - 5 = 2x + 4 \)
\( 2x = 9 \)
\( x = \dfrac{9}{2} \) bulunur.
Bulduğumuz \( x \) değeri her iki logaritma içini de pozitif yaptığı için geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x = \frac{9}{2} \)
SORU 11:
\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \dfrac{\log_4{x}}{\log_4{9}} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin sağ tarafına taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \log_9{x} = \log_{3^2}{x} \)
\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \dfrac{1}{2}\log_3{x} \)
\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \log_3{\sqrt{x}} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( \dfrac{2x}{5} = \sqrt{x} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( \dfrac{4x^2}{25} = x \)
\( 4x^2 - 25x = 0 \)
\( x(4x - 25) = 0 \)
\( x = 0 \) veya \( 4x - 25 = 0 \)
\( x = 0 \) veya \( x = \dfrac{25}{4} \)
\( x = 0 \) iki logaritma içini sıfır yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{25}{4} \)
SORU 12:
\( \log_3(x^2 - x - 2) - \log_3(x - 2) - \log_4{16} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \log_3(x^2 - x - 2) - \log_3(x - 2) - \log_4{4^2} = 0 \)
\( \log_3{\dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}} = 2 \)
\( \log_3{\dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}} = \log_3{3^2} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} = 9 \)
\( x^2 - x - 2 = 9x - 18 \)
\( x^2 - 10x + 16 = 0 \)
\( (x - 2)(x - 8) = 0 \)
\( x - 2 = 0 \) veya \( x - 8 = 0 \)
\( x = 2 \) veya \( x = 8 \)
\( x = 2 \) iki logaritma içini de sıfır yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = 8 \)
SORU 13:
\( (\log_2{x})^2 - \log_2{x^5} + 4 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( (\log_2{x})^2 - 5\log_2{x} + 4 = 0 \)
\( \log_2{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)
\( (t - 1)(t - 4) = 0 \)
\( t - 1 = 0 \) veya \( t - 4 = 0 \)
\( t = 1 \) veya \( t = 4 \)
\( t = 1 \) için:
\( \log_2{x} = t = 1 \)
\( x = 2^1 = 2 \)
\( t = 4 \) için:
\( \log_2{x} = t = 4 \)
\( x = 2^4 = 16 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{2, 16\} \)
SORU 14:
\( x^{\log_3{x}} = 9x \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Her iki tarafın 3 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_3{x^{\log_3{x}}} = \log_3{9x} \)
\( \log_3{x} \cdot \log_3{x} = \log_3{9} + \log_3{x} \)
\( (\log_3{x})^2 = 2 + \log_3{x} \)
\( \log_3{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - t - 2 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)
\( t + 1 = 0 \) veya \( t - 2 = 0 \)
\( t = -1 \) veya \( t = 2 \)
\( t = -1 \) için:
\( \log_3{x} = t = -1 \)
\( x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)
\( t = 2 \) için:
\( \log_3{x} = t = 2 \)
\( x = 3^2 = 9 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{\frac{1}{3}, 9\} \)
SORU 15:
\( e^{x\ln{m}} \cdot e^{x\ln{n}} = \sqrt[3]{mn} \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( e^{\ln{m^x}} \cdot e^{\ln{n^x}} = \sqrt[3]{mn} \)
Bir sayının kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.
\( m^x \cdot n^x = \sqrt[3]{mn} \)
\( (m \cdot n)^x = (m \cdot n)^{\frac{1}{3}} \)
\( x = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
SORU 16:
\( \log_5(3^x + 27) = \log_5{4} + x\log_5{3} \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log_5(3^x + 27) = \log_5{4} + x\log_5{3} \)
\( \log_5(3^x + 27) = \log_5{4} + \log_5{3^x} \)
\( \log_5(3^x + 27) = \log_5(4 \cdot 3^x) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( 3^x + 27 = 4 \cdot 3^x \)
\( 27 = 3 \cdot 3^x \)
\( 9 = 3^x \)
\( x = 2 \) bulunur.
SORU 17:
\( \log_2{3} = \log_{3x}{2x} \) olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
İki logaritma ifadesinin birbirine eşit olabilmesi için tabanlar ve logaritma içleri birbirinin aynı kuvvetine eşit olmalıdır.
\( \log_2{3} = \frac{n}{n} \log_2{3} = \log_{2^n}{3^n} \)
\( \log_{2^n}{3^n} = \log_{3x}{2x} \)
Buna göre aşağıdaki iki eşitliği yazabiliriz.
\( 2^n = 3x \Longrightarrow 2^{n + 1} = 6x \)
\( 3^n = 2x \Longrightarrow 3^{n + 1} = 6x \)
\( 6x \)'e eşit olan iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.
\( 2^{n + 1} = 3^{n + 1} \)
\( (\dfrac{2}{3})^{n + 1} = 1 \)
\( n + 1 = 0 \Longrightarrow n = -1 \)
Bu \( n \) değerini yukarıdaki eşitliklerden birinde yerine koyalım.
\( 2^{n + 1} = 6x \)
\( 2^{-1 + 1} = 1 = 6x \)
\( x = \dfrac{1}{6} \) bulunur.
SORU 18:
\( x^{\ln{x}} = e^2 \cdot x \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( x = e^t \) olur.
\( (e^t)^t = e^2 \cdot e^t \)
\( e^{t^2} = e^{t + 2} \)
Üstel ifadelerin eşitliğinde tabanlar eşitse üsler de eşit olur.
\( t^2 = t + 2 \)
\( t^2 - t - 2 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)
\( t + 1 = 0 \) veya \( t - 2 = 0 \)
\( t = -1 \) veya \( t = 2 \)
\( t = -1 \) için:
\( x = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \)
\( t = 2 \) için:
\( x = e^2 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{\frac{1}{e}, e^2\} \)
SORU 19:
\( x^2 - \log_3{6} \cdot x + a = 0 \)
denkleminin bir kökü \( \log_3{2} \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \log_3{2} \) denklemin bir kökü ise \( x \) yerine yazdığımızda denklem sağlanır.
\( (\log_3{2})^2 - \log_3{6} \cdot \log_3{2} + a = 0 \)
\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2} + \log_3{3}) \cdot \log_3{2} + a = 0 \)
\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2} + 1) \cdot \log_3{2} + a = 0 \)
\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2})^2 - \log_3{2} + a = 0 \)
\( a = \log_3{2} \) bulunur.
SORU 20:
\( x(1 - \log_6{2}) = \log_6(9^x - 2) \)
denklemini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin her iki tarafını eşit tabanlı iki logaritma ifadesine dönüştürelim.
\( x(\log_6{6} - \log_6{2}) = \log_6(9^x - 2) \)
\( x\log_6{3} = \log_6(9^x - 2) \)
\( \log_6{3^x} = \log_6(9^x - 2) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( 3^x = 9^x - 2 \)
\( 9^x - 3^x - 2 = 0 \)
\( 3^{2x} - 3^x - 2 = 0 \)
\( 3^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - t - 2 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)
\( t + 1 = 0 \) veya \( t - 2 = 0 \)
\( t = -1 \) veya \( t = 2 \)
\( 3^x = t \) ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için \( t = -1 \) geçersiz bir çözümdür.
\( 3^x = 2 \)
\( x = \log_3{2} \) bulunur.
SORU 21:
\( \log_{x^2 + 2}(14x^4 - 4x^2 + 8) = 3 \)
eşitliğinin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
Logaritmadan kurtulmak için eşitliği üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 14x^4 - 4x^2 + 8 = (x^2 + 2)^3 \)
\( 14x^4 - 4x^2 + 8 = x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8 \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( x^6 - 8x^4 + 16x^2 = 0 \)
\( x^2(x^4 - 8x^2 + 16) = 0 \)
\( x^2(x^2 - 4)^2 = 0 \)
\( x^2(x - 2)^2(x + 2)^2 = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 0, 2\} \)
Bu değerlerin hiçbirinin logaritma tabanını 0, 1 ya da negatif, logaritma içini de sıfır ya da negatif yapmadığını değer vererek teyit edebiliriz.
Buna göre denklemin çözüm kümesi 3 elemanlıdır.
SORU 22:
\( \dfrac{\log_{12}{x} + \log_{18}{x}}{\log_{12}{x} \cdot \log_{18}{x}} = 5 \)
Yukarıdaki denklemi sağlayan \( x \) sayısı hangi iki tam sayı arasındadır?
Çözümü Göster
Logaritmalı ifadelerin hepsini 10 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{\dfrac{\log{x}}{\log{12}} + \dfrac{\log{x}}{\log{18}}}{\dfrac{\log{x}}{\log{12}} \cdot \dfrac{\log{x}}{\log{18}}} = 5 \)
Gerekli düzenlemeleri yapalım.
\( \dfrac{\log{x} \cdot (\dfrac{1}{\log{12}} + \dfrac{1}{\log{18}})}{\dfrac{(\log{x})^2}{\log{12} \cdot \log{18}}} = 5 \)
\( \dfrac{\dfrac{\log{18} + \log{12}}{\log{12} \cdot \log{18}}}{\dfrac{\log{x}}{\log{12} \cdot \log{18}}} = 5 \)
\( \dfrac{\log{18} + \log{12}}{\log{x}} = 5 \)
\( 5\log{x} = \log(18 \cdot 12) \)
\( \log{x^5} = \log{216} \)
\( x^5 = 216 \)
\( 32 \lt 216 \lt 243 \)
\( 2^5 \lt x^5 \lt 3^5 \)
\( 2 \lt x \lt 3 \)
Buna göre \( x \) sayısı \( (2, 3) \) aralığında bir sayıdır.
SORU 23:
\( 6^x - 2^{x + 1} = 3^{x + 1} - 6 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( 3^x \cdot 2^x - 2^x \cdot 2 = 3^x \cdot 3 - 6 \)
\( 2^x \cdot (3^x - 2) = 3 \cdot (3^x - 2) \)
\( 2^x = 3 \) veya \( 3^x - 2 = 0 \)
\( 2^x = 3 \Longrightarrow x = \log_2{3} \)
\( 3^x = 2 \Longrightarrow x = \log_3{2} \)
Çözüm kümesi: \( x = \{\log_2{3}, \log_3{2}\} \)
SORU 24:
\( (\log{x})^3 - \log{x^{16}} = 0 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( (\log{x})^3 - 16\log{x} = 0 \)
\( \log{x}((\log{x})^2 - 16) = 0 \)
\( \log{x}(\log{x} - 4)(\log{x} + 4) = 0 \)
\( \log{x} = 0 \) için:
\( x = 10^0 = 1 \)
\( \log{x} - 4 = 0 \) için:
\( x = 10^4 \)
\( \log{x} + 4 = 0 \) için:
\( x = 10^{-4} \) bulunur.
Çözüm kümesi: \( x = \{1, 10^4, 10^{-4}\} \)
SORU 25:
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( \ln{x} = \dfrac{3}{\ln{x}} + 2 \)
Çözümü Göster
\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t = \dfrac{3}{t} + 2 \)
\( t^2 = 3 + 2t \)
\( t^2 - 2t - 3 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 3) = 0 \)
\( t = -1 \) veya \( t = 3 \)
Bu değerleri \( \ln{x} = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( \ln{x} = t = -1 \Longrightarrow x = e^{-1} \)
\( \ln{x} = t = 3 \Longrightarrow x = e^3 \)
Her iki değer de pozitif olduğu için logaritma içleri pozitif olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{e^{-1}, e^3\} \)
SORU 26:
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( \ln(x^2 - 2x - 3) = 2 + \ln(x^2 + 3x + 2) \)
Çözümü Göster
\( \ln(x^2 - 2x - 3) - \ln(x^2 + 3x + 2) = 2 \)
Logaritma bölme kuralını kullanalım.
\( \ln(\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2}) = 2 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2} = e^2 \)
\( \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x + 2)(x + 1)} = e^2 \)
\( x = -1 \)'in bir çözüm olamayacağını not ederek \( x + 1 \) çarpanlarını sadeleştirelim.
\( \dfrac{x - 3}{x + 2} = e^2 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( x - 3 = (x + 2)e^2 \)
\( x - 3 = e^2x + 2e^2 \)
\( x - e^2x = 3 + 2e^2 \)
\( x(1 - e^2) = 3 + 2e^2 \)
Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{3 + 2e^2}{1 - e^2} \)
SORU 27:
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( \ln{x^2} + \dfrac{15}{\ln{x}} = 13 \)
Çözümü Göster
\( \ln{x^2} + \dfrac{15}{\ln{x}} = 13 \)
\( 2\ln{x} + \dfrac{15}{\ln{x}} = 13 \)
\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( 2t + \dfrac{15}{t} = 13 \)
\( 2t^2 + 15 = 13t \)
\( 2t^2 - 13t + 15 = 0 \)
\( (2t - 3)(t - 5) = 0 \)
\( t = \frac{3}{2} \) veya \( t = 5 \)
Bu değerleri \( \ln{x} = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( \ln{x} = t = \frac{3}{2} \Longrightarrow x = e^{\frac{3}{2}} \)
\( \ln{x} = t = 5 \Longrightarrow x = e^5 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{e^{\frac{3}{2}}, e^5\} \)
SORU 28:
\( \log(-3x) = 2\log(x + 1) \)
Yukarıdaki eşitliği sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \log(-3x) = \log(x + 1)^2 \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( -3x = (x + 1)^2 \)
\( -3x = x^2 + 2x + 1 \)
\( x^2 + 5x + 1 = 0 \)
İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım.
\( x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{21}}{2} \)
\( x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{21}}{2} \)
Ayrıca logaritma ifadelerinin içleri pozitif olmalıdır.
\( -3x \gt 0 \Longrightarrow x \lt 0 \)
\( x + 1 \gt 0 \Longrightarrow x \gt -1 \)
Buna göre \( x \) aşağıdaki aralıkta bulunmalıdır.
\( -1 \lt x \lt 0 \)
Bulduğumuz iki kök değerinden ikincisi bu aralıktadır.
\( x = \dfrac{-5 + \sqrt{21}}{2} \) bulunur.
SORU 29:
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \log_{\frac{1}{49}}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \) eşitliği veriliyor.
Buna göre \( n \) kaça eşittir?
Çözümü Göster
Eşitliği düzenleyelim.
\( \log_{7^{-2}}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \)
Logaritma tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma önüne katsayı olarak alınabilir.
\( -\dfrac{1}{2}\log_{7}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \)
\( \log_{7}(\log_{36}{n}) = -2\log_{7}(\log_{n}{6}) \)
Logaritma ifadesinin katsayısı logaritma içine üs olarak alınabilir.
\( \log_{7}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6})^{-2} \)
Tabanları eşit olan iki logaritma ifadesinin içleri de eşittir.
\( \log_{36}{n} = (\log_{n}{6})^{-2} \)
\( \log_{6^2}{n} = \dfrac{1}{(\log_{n}{6})^{2}} \)
Logaritma tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma önüne katsayı olarak alınabilir.
\( \dfrac{1}{2}\log_{6}{n} \cdot (\log_{n}{6})^{2} = 1 \)
\( (\log_{6}{n} \cdot \log_{n}{6}) \cdot \log_{n}{6} = 2 \)
Zincir kuralına göre parantez içindeki çarpım 1'e eşit olur.
\( 1 \cdot \log_{n}{6} = 2 \)
\( n^2 = 6 \)
\( n = \sqrt{6} \) bulunur.
SORU 30:
\( 14^a - 2^{a + 3} - 7^{a + 1} = -56 \) denklemini sağlayan \( a \) değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
\( 7^a \cdot 2^a - 2^a \cdot 2^3 - 7^a \cdot 7 = -7 \cdot 2^3 \)
\( 7^a \cdot 2^a - 2^a \cdot 2^3 - 7^a \cdot 7 + 7 \cdot 2^3 = 0 \)
\( 2^a(7^a - 8) - 7(7^a - 8) = 0 \)
\( (7^a - 8)(2^a - 7) = 0 \)
\( 7^a - 8 = 0 \) veya \( 2^a - 7 = 0 \)
\( 7^a = 8 \) veya \( 2^a = 7 \)
\( 7^a = 8 \Longrightarrow a = \log_7{8} \)
\( 2^a = 7 \Longrightarrow a = \log_2{7} \)
Bu iki değerin çarpımı zincir kuralı ile \( \log_7{8} \cdot \log_2{7} = \log_2{8} = 3 \) olarak bulunur.
SORU 31:
\( \log{\sqrt{x^2 - 1}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Birinci logaritma ifadesini düzenleyelim.
\( \log{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)
\( \log(\sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}) - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)
İki ifadenin çarpımının logaritması ifadelerin logaritmalarının toplamına eşittir.
\( \log{\sqrt{x - 1}} + \log{\sqrt{x + 1}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)
\( \log{\sqrt{x - 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)
\( 3\log{\sqrt{x - 1}} = -3 \)
\( \log{\sqrt{x - 1}} = -1 \)
\( \sqrt{x - 1} = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( x - 1 = \dfrac{1}{100} \)
\( x = \dfrac{101}{100} \) bulunur.
SORU 32:
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
\( \log_2{4^{2x}} = \log_3{9^{x + 1}} \)
Çözümü Göster
\( \log_2{(2^2)^{2x}} = \log_3{(3^2)^{x + 1}} \)
\( \log_2{2^{4x}} = \log_3{3^{2x + 2}} \)
Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
\( 4x\log_2{2} = (2x + 2)\log_3{3} \)
Logaritma tabanı ve içi aynı ise sonuç 1'dir.
\( 4x \cdot 1 = (2x + 2) \cdot 1 \)
\( 4x = 2x + 2 \)
\( x = 1 \) bulunur.
SORU 33:
\( x \in \mathbb{R^+} - \{\frac{1}{4}, \frac{1}{7}\} \) olmak üzere,
\( \log_{4x}{25} = \log_{7x}{125} \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafına taban değiştirme uygulayalım.
\( \dfrac{\log_5{25}}{\log_5{4x}} = \dfrac{\log_5{125}}{\log_5{7x}} \)
\( \dfrac{\log_5{5^2}}{\log_5{4x}} = \dfrac{\log_5{5^3}}{\log_5{7x}} \)
\( \dfrac{2}{\log_5{4x}} = \dfrac{3}{\log_5{7x}} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2\log_5{7x} = 3\log_5{4x} \)
Logaritmanın önündeki katsayıları içeriye üs olarak alalım.
\( \log_5{(7x)^2} = \log_5{(4x)^3} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin içleri eşittir.
\( (4x)^3 = (7x)^2 \)
\( 64x^3 = 49x^2 \)
\( 64x^3 - 49x^2 = 0 \)
\( x^2(64x - 49) = 0 \)
\( x = 0 \) değeri verilen eşitlikte logaritma tabanlarını sıfır yapacağı için geçerli bir çözüm değildir.
\( x = \dfrac{49}{64} \) bulunur.
SORU 34:
\( \ln(3x - y) - 2\ln{y} = \ln{2x} \)
eşitliğinde \( x \)'in \( y \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \ln(3x - y) - \ln{y^2} = \ln{2x} \)
\( \ln{\dfrac{3x - y}{y^2}} = \ln{2x} \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( \dfrac{3x - y}{y^2} = 2x \)
\( 3x - y = 2xy^2 \)
\( 3x - 2xy^2 = y \)
\( x(3 - 2y^2) = y \)
\( x = \dfrac{y}{3 - 2y^2} \) bulunur.
SORU 35:
\( \log_2{y} = \log_2{x} + 4 \)
\( 8^y = 4^{2x + 3} \)
Yukarıda verilen iki bilinmeyenli denklem sistemindeki \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
1. denklem:
\( \log_2{y} = \log_2{x} + 4 \)
\( \log_2{y} - \log_2{x} = 4 \)
\( \log_2{\dfrac{y}{x}} = 4 \)
\( \dfrac{y}{x} = 2^4 = 16 \)
\( y = 16x \)
2. denklem:
\( 8^y = 4^{2x + 3} \)
\( (2^3)^y = (2^2)^{2x + 3} \)
\( 2^{3y} = 2^{4x + 6} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin üsleri eşittir.
\( 3y = 4x + 6 \)
Bulduğumuz iki denklemi ortak çözelim.
2. denklemde \( y = 16x \) yazarak \( x \) değerini bulalım.
\( 3(16x) = 4x + 6 \)
\( 48x = 4x + 6 \)
\( x = \dfrac{6}{44} = \dfrac{3}{22} \)
1. denklemde \( x = \frac{3}{22} \) yazarak \( y \) değerini bulalım.
\( y = 16 \cdot \dfrac{3}{22} \)
\( y = \dfrac{24}{11} \)
SORU 36:
\( x \gt 0, \quad x \ne 0 \) olmak üzere,
\( \log_9{x} + \log_x{81} = 3 \)
Yukarıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \log_9{x} + \log_x{81} = 3 \)
Taban değiştirme formulü ile ifadeleri 3 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{\log_3{x}}{\log_3{9}} + \dfrac{\log_3{81}}{\log_3{x}} = 3 \)
\( \dfrac{\log_3{x}}{\log_3{3^2}} + \dfrac{\log_3{3^4}}{\log_3{x}} = 3 \)
\( \dfrac{\log_{3}{x}}{2} + \dfrac{4}{\log_{3}{x}} = 3 \)
\( \log_{3}{x} = t \) şeklinde değişken değiştirme yapalım.
\( \dfrac{t}{2} + \dfrac{4}{t} = 3 \)
\( \dfrac{t^2 + 8}{2t} = 3 \)
\( t^2 + 8 = 6t \)
\( t^2 - 6t + 8 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 4) = 0 \)
\( t = 2 \) veya \( t = 4 \)
\( t = 2 \) için:
\( \log_3{x} = t = 2 \)
\( x = 3^2 = 9 \)
\( t = 4 \) için:
\( \log_3{x} = t = 4 \)
\( x = 3^4 = 81 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{9, 81\} \)
SORU 37:
\( 2^{\log{x} + 1} + 2^{2 - \log{x}} = 6 \)
Yukarıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
\( 2 \cdot 2^{\log{x}} + \dfrac{2^2}{2^{\log{x}}} = 6 \)
Eşitliğin iki tarafını 2'ye bölelim.
\( 2^{\log{x}} + \dfrac{2}{2^{\log{x}}} = 3 \)
\( 2^{\log{x}} = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( t + \dfrac{2}{t} = 3 \)
\( t^2 + 2 = 3t \)
\( t^2 - 3t + 2 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 1) = 0 \)
\( t = 1 \) veya \( t = 2 \)
\( t = 1 \) için:
\( 2^{\log{x}} = t = 1 \)
\( \log{x} = 0 \)
\( x = 1 \)
\( t = 2 \) için:
\( 2^{\log{x}} = t = 2 \)
\( \log{x} = 1 \)
\( x = 10 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 10\} \)
SORU 38:
\( 9^{\log_5{x}} - 10x^{\log_5{3}} + 3^{\log_7{49}} = 0 \)
eşitliğinde \( x \)'in alabileceği değerleri bulunuz.
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim ve ikinci terimde taban ve üsteki logaritma içini aralarında yer değiştirelim.
\( 3^{2\log_5{x}} - 10 \cdot 3^{\log_5{x}} + 3^{\log_7{7^2}} = 0 \)
\( (3^{\log_5{x}})^2 - 10 \cdot 3^{\log_5{x}} + 3^2 = 0 \)
\( 3^{\log_5{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 10t + 9 = 0 \)
\( (t - 1)(t - 9) = 0 \)
\( t = 1 \) veya \( t = 9 \)
Bu değerleri \( 3^{\log_5{x}} = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( 3^{\log_5{x}} = t = 1 \)
\( \log_5{x} = 0 \)
\( x = 5^0 = 1 \)
\( 3^{\log_5{x}} = t = 9 \)
\( \log_5{x} = 2 \)
\( x = 5^2 = 25 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 25\} \)
SORU 39:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) ve \( t \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a\log_2{3^t} + b\log_2{9^t} + c\log_2{27^t} = 12 \)
\( 9^{6t} = 8^4 \)
eşitliklerini sağlayan kaç farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır?
Çözümü Göster
\( a\log_2{3^t} + b\log_2{9^t} + c\log_2{27^t} = 12 \)
Terimlerin katsayılarını logaritma içine üs olarak alalım.
\( \log_2{3^{at}} + \log_2{9^{bt}} + \log_2{27^{ct}} = 12 \)
İki sayının çarpımının logaritması sayıların logaritmalarının toplamına eşittir.
\( \log_2(3^{at} \cdot 9^{bt} \cdot 27^{ct}) = 12 \)
\( \log_2(3^{at} \cdot 3^{2bt} \cdot 3^{3ct}) = 12 \)
\( \log_2{3^{at + 2bt + 3ct}} = 12 \)
\( \log_2{3^{t(a + 2b + 3c)}} = 12 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( 3^{t(a + 2b + 3c)} = 2^{12} \)
\( 9^{6t} = 8^4 \) ifadesini en sade haliyle yazalım.
\( 3^{12t} = 2^{12} \)
\( 3^{t(a + 2b + 3c)} = 3^{12t} \)
Buna göre aşağıdaki eşitlik elde edilir.
\( a + 2b + 3c = 12 \)
\( c \)'ye farklı pozitif tam sayı değerleri vererek olası değerleri bulalım.
Durum 1: \( c = 3 \)
\( a + 2b = 3 \)
Bu eşitliği sağlayan 1 \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( (a, b, c) \in \{(1, 1, 3)\} \)
Durum 2: \( c = 2 \)
\( a + 2b = 6 \)
Bu eşitliği sağlayan 2 \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( (a, b, c) \in \{(2, 2, 2), (4, 1, 2)\} \)
Durum 3: \( c = 1 \)
\( a + 2b = 9 \)
Bu eşitliği sağlayan 4 \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( (a, b, c) \in \{(1, 4, 1), (3, 3, 1), (5, 2, 1), (7, 1, 1)\} \)
Toplam \( 1 + 2 + 4 = 7 \) tane farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü bulunur.
SORU 40:
\( x \in (0, +\infty) \) olmak üzere,
\( \dfrac{x^{\log_3{x}}}{x^2} = 27 \) denklemini çözünüz.
Çözümü Göster
\( \dfrac{x^{\log_3{x}}}{x^2} = 27 \)
\( x^{\log_3{x}} = 27x^2 \)
Eşitliğin her iki tarafının 3 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_3{x^{\log_3{x}}} = \log_3(27x^2) \)
\( \log_3{x} \cdot \log_3{x} = \log_3{3^3} + \log_3{x^2} \)
\( (\log_3{x})^2 = 3 + 2\log_3{x} \)
\( \log_3{x} = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( t^2 = 3 + 2t \)
\( t^2 - 2t - 3 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 3) = 0 \)
\( t = -1 \) veya \( t = 3 \)
\( t = -1 \) için:
\( \log_3{x} = t = -1 \)
\( x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)
\( t = 3 \) için:
\( \log_3{x} = t = 3 \)
\( x = 3^3 = 27 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{1}{3}, 27\} \)
SORU 41:
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( 2x = 4 \cdot 27^{\log_3{x}} - 3 \cdot 25^{\log_5{x}} + e^{\ln{x}} \)
Çözümü Göster
Aşağıdaki gibi bir ifadede üslü ifadenin tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirilirse sonuç değişmez.
\( a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}} \)
Buna göre verilen ifadedeki terimleri düzenleyelim.
\( 27^{\log_3{x}} = x^{\log_3{27}} \)
\( = x^{\log_3{3^3}} = x^3 \)
\( 25^{\log_5{x}} = x^{\log_5{25}} \)
\( = x^{\log_5{5^2}} = x^2 \)
\( e^{\ln{x}} = x^{\ln{e}} = x \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( 2x = 4 \cdot 27^{\log_3{x}} - 3 \cdot 25^{\log_5{x}} + e^{\ln{x}} \)
\( 2x = 4x^3 - 3x^2 + x \)
\( 4x^3 - 3x^2 - x = 0 \)
\( x(4x^2 - 3x - 1) = 0 \)
\( x(x - 1)(4x + 1) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{1}{4}, 0, 1\} \)
SORU 42:
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( \ln(ex^2)\ln{x} = 3 \)
Çözümü Göster
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( (\ln{e} + \ln{x^2})\ln{x} = 3 \)
\( (1 + 2\ln{x})\ln{x} = 3 \)
\( \ln(x) + 2(\ln{x})^2 = 3 \)
\( 2(\ln{x})^2 + \ln(x) - 3 = 0 \)
\( (2\ln{x} + 3)(\ln{x} - 1) = 0 \)
\( \ln{x} = -\frac{3}{2} \) veya \( \ln{x} = 1 \)
\( \ln{x} = -\frac{3}{2} \Longrightarrow x = e^{-\frac{3}{2}} \)
\( \ln{x} = 1 \Longrightarrow x = e \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{e^{-\frac{3}{2}}, e\} \)
SORU 43:
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( \ln(\dfrac{3}{\ln(x - e)}) = 0 \)
Çözümü Göster
Doğal logaritmanın içi 1 olduğunda sonuç 0 olur.
\( \dfrac{3}{\ln(x - e)} = 1 \)
\( \ln(x - e) = 3 \)
\( x - e = e^3 \)
\( x = e^3 + e \) bulunur.
SORU 44:
\( x^{x^{x^{\ldots}}} = 3 \) eşitliği \( x \)'in hangi değeri için sağlanır?
Çözümü Göster
Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)
Logaritması alınan ifadenin üssünü katsayı olarak yazabiliriz.
\( x^{x^{x^{\ldots}}} \cdot \log{x} = \log{3} \)
Birinci çarpan soruda verilen ifade ile aynıdır ve değeri 3'tür.
\( 3 \cdot \log{x} = \log{3} \)
\( \dfrac{\log{3}}{\log{x}} = 3 \)
Taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_x{3} = 3 \)
\( x^3 = 3 \)
\( x = \sqrt[3]{3} \) bulunur.