Köklü İfadelerin Yaklaşık Değeri

Bir ispat olmasa da bu formülün neden gerçek karekök değerine yakın bir değer ürettiğini aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz.

Karekök değerini bulmak istediğimiz \( n \) sayısını \( a \) ve \( b \) cinsinden yazalım.

\( n = a + b \)

Şimdi de formülle elde edeceğimiz yaklaşık karekök değerinin karesini alalım.

\( (\sqrt{a} + \dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 = (\sqrt{a})^2 \) \( + 2\sqrt{a}\dfrac{b}{2\sqrt{a}} \) \( + (\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 \)

\( = a + b + \dfrac{b^2}{4a} \)

İki ifadeyi karşılaştırdığımızda ifadelerin farkının \( \frac{b^2}{4a} \) kadar olduğunu görürüz. Şimdi de bu farkın her zaman 1'den küçük olacağını gösterelim.

\( a \) sayısının \( n \)'den küçük ve karekökünün \( k \) sayısı olduğunu varsayalım. Buna göre aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.

\( k^2 \lt a + b \lt (k + 1)^2 \)

\( k^2 \lt a + b \lt k^2 + 2k + 1 \)

Yaptığımız tanıma göre \( a \) en yakın tam kare sayıya eşittir.

\( a = k^2 \)

\( b \)'nin alabileceği en büyük değer de yukarıdaki eşitsizliğin alt ve üst sınır değerlerinin yarısıdır (daha büyük olması aralığın üst sınırının daha yakın bir tam kare sayı olduğunu gösterir).

\( b \le \dfrac{k^2 + 2k + 1 - k^2}{2} \)

\( b \le k + \dfrac{1}{2} \)

Yukarıda bulduğumuz gerçek ve yaklaşık değerler arasındaki farkı, \( b \) için olabilecek en büyük değeri alarak \( k \) cinsinden yazalım.

\( \dfrac{b^2}{4a} = \dfrac{(k + \frac{1}{2})^2}{4k^2} \)

\( = \dfrac{k^2 + k + \frac{1}{4}}{4k^2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4k} + \dfrac{1}{16k^2} \)

Hatırlarsak bu ifade karekök değerini bulmak istediğimiz sayı ve yaklaşık karekök değerinin karesi arasındaki farktır. Bu ifade en büyük değerini \( k = 1 \) olduğunda alır (\( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16} \)) ve karekök değerini bulmak istediğimiz sayı büyüdükçe küçülür. Dolayısıyla bu formülle hesaplayacağımız yaklaşık karekök değerinin karesi verilen sayıdan farkı en fazla \( \frac{9}{16} \) olabilir.

Dolayısıyla örneğin \( 108 \) sayısının yaklaşık karekök değerini hesapladığımızda, formülün bize vereceği değerin karesinin \( (108 - \frac{9}{16}, 108 + \frac{9}{16}) \) aralığında olmasını bekleriz, nitekim bulduğumuz yaklaşık değerin karesi \( 108,16 \) olur.

Bu yaklaşımı \( a \) sayısının \( n \)'den büyük olduğu duruma da uygulayabiliriz.