Karmaşık Değişkenli Reel Katsayılı Polinomlar
Karmaşık değişkenli bir polinomda \( z \) değişkeni karmaşık sayı değer alabilir. Reel katsayılı bir polinomun katsayıları reel sayıdır, karmaşık katsayılı bir polinomun katsayılarından en az biri karmaşık sayıdır.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
Karmaşık değişkenli, reel katsayılı polinom:
\( f(z) = z^3 - \textcolor{red}{2}z^2 - \textcolor{red}{2}z - \textcolor{red}{3} \)
Karmaşık değişkenli, karmaşık katsayılı polinom:
\( g(z) = \textcolor{red}{i}z^3 + 4z^2 - \textcolor{red}{(2 - i)}z + 5 \)
Bu bölümde karmaşık değişkenli, reel katsayılı polinomların köklerini inceleyeceğiz.
Cebirin temel teoremine göre, reel ya da karmaşık değişkenli, reel katsayılı ve \( n \). dereceden bir polinom denkleminin, tekrar eden kökler katları adedince sayılmak koşuluyla, reel ya da karmaşık sayı toplam \( n \) kökü vardır ve denklemin karmaşık sayı kökleri ikişerli birbirinin eşleniği şeklinde bulunur.
Reel katsayılı bir polinomda karmaşık kökler eşlenik olarak bulunurlar.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir reel katsayılı polinom tanımlayalım.
\( a_n, \ldots, a_0 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0 \)
\( z = w \) karmaşık sayısının \( P(z) = 0 \) denkleminin bir kökü olduğunu varsayalım.
\( P(w) = 0 \)
Eşitliğin taraflarının eşleniğini alalım.
\( \overline{P(w)} = \overline{0} \)
\( \overline{a_nw^n + a_{n-1}w^{n-1} + \ldots + a_1w + a_0} = \overline{0} \)
Eşlenik işlemi polinomun terimlerine dağıtılabilir.
\( \overline{a_nw^n} + \overline{a_{n-1}w^{n-1}} + \ldots + \overline{a_1w} + \overline{a_0} = \overline{0} \)
İki karmaşık sayının çarpımının eşleniği, eşleniklerinin çarpımına eşittir.
\( \overline{a_n}\ \overline{w^n} + \overline{a_{n-1}}\ \overline{w^{n-1}} + \ldots + \overline{a_1}\ \overline{w} + \overline{a_0} = \overline{0} \)
Bir reel sayının eşleniği kendisine eşittir.
\( a_n\overline{w^n} + a_{n-1}\overline{w^{n-1}} + \ldots + a_1\overline{w} + a_0 = 0 \)
Bir üslü ifadenin eşleniği, ifadenin eşleniğinin üssüne eşittir.
\( a_n\overline{w}^n + a_{n-1}\overline{w}^{n-1} + \ldots + a_1\overline{w} + a_0 = 0 \)
Buna göre \( \overline{w} \) karmaşık sayısı da polinomu sıfır yapar, dolayısıyla \( P(z) = 0 \) denkleminin bir köküdür.
Örnek vermek gerekirse, reel katsayılı ve 6. dereceden bir polinom denkleminin kökleri aşağıdaki şekillerde olabilir.
- 6 reel kök
- 4 reel kök, birbirinin eşleniği 2 karmaşık kök
- 2 reel kök, ikişerli birbirinin eşleniği 4 karmaşık kök
- İkişerli birbirinin eşleniği 6 karmaşık kök
Reel katsayılı ve 5. dereceden bir polinom denkleminin kökleri ise aşağıdaki şekillerde olabilir.
- 5 reel kök
- 3 reel kök, birbirinin eşleniği 2 karmaşık kök
- 1 reel kök, ikişerli birbirinin eşleniği 4 karmaşık kök
İkinci Dereceden Polinomlar
\( az^2 + bz + c = 0 \) formundaki reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin reel ve karmaşık kökleri aşağıdaki formülle bulunabilir. Denklemin kökleri formüldeki \( \pm \) sembolü yerine ayrı ayrı \( + \) ve \( - \) yazıldığında oluşan değerlerdir.
\( z_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğu durumda bu formüldeki \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin içi negatif olur ve denklemin kökleri karmaşık sayı olur. Bu iki karmaşık kök \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin önündeki \( \pm \) işareti ile birbirinden ayrıldığı için, kökler her zaman birbirinin eşleniği olur.
\( z^2 - 2z + 3 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
İkinci dereceden ifadenin deltasını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -2, \quad c = 3 \)
\( \Delta = (-2)^2 - 4(1)(3) = -8 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin birbirinin eşleniği olan iki karmaşık kökü vardır.
\( z_{1, 2} = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{-8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i \)
Buna göre denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.
\(z \in \{ 1 \pm \sqrt{2}i \} \)
Her iki kökün de denklemi sağladığını kontrol edelim.
\( (1 - \sqrt{2}i)^2 - 2(1 - \sqrt{2}i) + 3 = 1 - 2\sqrt{2}i - 2 - 2 + 2\sqrt{2}i + 3 = 0 \)
\( (1 + \sqrt{2}i)^2 - 2(1 + \sqrt{2}i) + 3 = 1 + 2\sqrt{2}i - 2 - 2 - 2\sqrt{2}i + 3 = 0 \)
Bu kökleri kullanarak denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( (z - (1 - \sqrt{2}i))(z - (1 + \sqrt{2}i)) = 0 \)
Yüksek Dereceden Polinomlar
Her polinom her bir çarpan birinci ya da ikinci dereceden olmak üzere çarpanlarına ayrılabilir. Birinci dereceden bir çarpanın kökü ifadeyi sıfır yapan değerdir. İkinci dereceden çarpanların kökleri yukarıda paylaştığımız yöntemle bulunabilir.
Üçüncü ya da daha yüksek dereceden bir polinomu çarpanlarına ayırmak için çarpanlara ayırma bölümünde gördüğümüz yöntemler kullanılabilir.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( z = a \) sayısının denklemin bir kökü olduğu biliniyorsa \( z - a \) polinomun bir çarpanıdır ve polinom bu çarpana bölünerek diğer çarpanlar elde edilir.
\( z^3 + 2z^2 - z - 14 = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( z_1 = 2 \) olduğuna göre, denklemin diğer köklerini bulalım.
\( z_1 = 2 \) denklemin bir kökü olduğuna göre \( z - 2 \) denklemin bir çarpanıdır.
Denklemin sol tarafını polinom bölmesi ile \( z - 2 \) çarpanına böldüğümüzde diğer çarpanı elde ederiz.
\( (z - 2)(z^2 + 4z + 7) = 0 \)
İkinci çarpandaki ikinci dereceden ifadenin deltasını bulalım.
\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = 7 \)
\( \Delta = 4^2 - 4(1)(7) = -12 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin birbirinin eşleniği olan iki karmaşık kökü vardır.
\( z_{2, 3} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}i \)
Buna göre denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.
\(z \in \{ 2, -2 \pm \sqrt{3}i \} \)
Bu kökleri kullanarak denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( (z - 2)(z - (-2 - \sqrt{3}i))(z - (-2 + \sqrt{3}i)) = 0 \)
\( w \in \mathbb{C} \) olmak üzere, \( z = w \) sayısının denklemin bir kökü olduğu biliniyorsa eşleniği olan \( z = \overline{w} \) sayısı da denklemin bir köküdür. Bu durumda polinom bu iki kökün oluştuduğu çarpanlara bölünerek diğer çarpanlar elde edilir.
\( z^4 - 4z^3 + 10z^2 - 4z + 9 = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( z_1 = i \) olduğuna göre, denklemin diğer köklerini bulalım.
\( z_1 = i \) karmaşık bir kök olduğu için eşleniği olan \( z_2 = -i \) de denklemin bir kökü olmalıdır.
Buna göre \( (z - i)(z + i) = z^2 + 1 \) denklemin bir çarpanıdır.
Denklemin sol tarafını polinom bölmesi ile \( z^2 + 1 \) çarpanına böldüğümüzde diğer çarpanı elde ederiz.
\( (z^2 + 1)(z^2 - 4z + 9) = 0 \)
İkinci çarpandaki ikinci dereceden ifadenin deltasını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = 9 \)
\( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(9) = -20 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin birbirinin eşleniği olan iki karmaşık kökü vardır.
\( z_{3, 4} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{-20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}i \)
Buna göre denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.
\(z \in \{ \pm i, 2 \pm \sqrt{5}i \} \)
Bu kökleri kullanarak denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( (z - i)(z + i)(z - (2 - \sqrt{5}i))(z - (2 + \sqrt{5}i)) = 0 \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 - 2(z + 1) + 5a = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 1 + 2i \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 1 + 2i \) denklemin bir kökü ise denklemde \( z \) yerine konduğunda denklemi sağlar.
\( (1 + 2i)^2 - 2(1 + 2i + 1) + 5a = 0 \)
\( 1^2 + 4i + (2i)^2 - 4 - 4i + 5a = 0 \)
\( 1 + 4i - 4 - 4 - 4i + 5a = 0 \)
\( -7 + 5a = 0 \)
\( a = \dfrac{7}{5} \) bulunur.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( x^2 + 2x + 5 = 0 \)
(b) \( -x^2 + 6x - 20 = 0 \)
(c) \( 2x^2 - 2x + 7 = 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x^2 + 2x + 5 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 2^2 - 4(1)(5) = -16 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2(1)} \)
\( = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} \)
\( = -1 \pm 2i \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -1 - 2i, -1 + 2i \} \)
(b) seçeneği:
\( -x^2 + 6x - 20 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -1, \quad b = 6, \quad c = -20 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 6^2 - 4(-1)(-20) = -44 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-44}}{2(-1)} \)
\( = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{11}i}{-2} \)
\( = 3 \pm \sqrt{11}i \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 3 - \sqrt{11}i, 3 + \sqrt{11}i \} \)
(c) seçeneği:
\( 2x^2 - 2x + 7 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 2, \quad b = -2, \quad c = 7 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-2)^2 - 4(2)(7) = -52 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{-52}}{2(2)} \)
\( = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{13}i}{4} \)
\( = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}i \)
Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{13}}{2}i, \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{13}}{2}i \right\} \)
\( (m - 4)x^2 - 2mx + m = 0 \) denkleminin reel sayı köklerinin olmaması için \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden bir denklemin reel sayı köklerinin olmaması için deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = m - 4, \quad b = -2m, \quad c = m \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( (-2m)^2 - 4(m - 4)m \lt 0 \)
\( 4m^2 - 4m^2 + 16m \lt 0 \)
\( m \lt 0 \) bulunur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 - 2mx + 12 = 0 \) denkleminin bir kökü \( 4 + \sqrt{2n}i \) olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterReel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık ise diğer kökü de karmaşıktır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{4 - \sqrt{2n}i, 4 + \sqrt{2n}i\} \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = 12 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2m}{1} = 2m \)
\( 4 - \sqrt{2n}i + 4 + \sqrt{2n}i = 2m \)
\( m = 4 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{12}{1} = 12 \)
\( (4 - \sqrt{2n}i)(4 + \sqrt{2n}i) = 12 \)
\( 4^2 - (\sqrt{2n}i)^2 = 12 \)
\( 16 + 2n = 12 \)
\( n = -2 \)
\( m + n = 4 + (-2) = 2 \) bulunur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 - mx + n = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( 1 + i \) olduğuna göre, \( mn \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterKatsayıları reel sayı olan ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
\( x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i \)
Denklemin katsayılar toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{1} = m \)
\( (1 + i) + (1 - i) = 2 = m \)
Denklemin katsayılar çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m}{1} = n \)
\( (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 2 = n \)
Buna göre \( mn = 2 \cdot 2 = 4 \) bulunur.
Başkatsayısı 3 ve bir kökü \( 3 + 2i \) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterReel katsayılı ikinci dereceden denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
\( x_1 = 3 + 2i, \quad x_2 = 3 - 2i \)
Denklemin denklemine \( ax^2 + bx + c = 0 \) diyelim.
\( a = 3 \) olarak veriliyor.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( 3 + 2i + 3 - 2i = -\dfrac{b}{3} \)
\( b = -18 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( (3 + 2i)(3 - 2i) = \dfrac{c}{3} \)
\( 3^2 + 2^2 = \dfrac{c}{3} \)
\( c = 39 \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( 3x^2 - 18x + 39 = 0 \)
Başkatsayısı 1 ve köklerinden ikisi \( 2 \) ve \( 3 - i \) olan üçüncü dereceden reel katsayılı polinom denklemini bulunuz.
Çözümü GösterReel katsayılı bir polinom denkleminin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.
Üçüncü dereceden bir polinom denkleminin en fazla üç kökü olabileceği için denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.
\( x_1 = 2, x_2 = 3 - i, x_3 = 3 + i \)
Buna göre başkatsayısı 1 olan denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (x - 2)(x - (3 - i))(x - (3 + i)) = 0 \)
\( (x - 2)(x^2 - 6x + 10) = 0 \)
\( x^3 - 6x^2 + 10x - 2x^2 + 12x - 20 = 0 \)
\( x^3 - 8x^2 + 22x - 20 = 0 \)
\( x^4 = 16 \) denkleminin karmaşık sayılar kümesinde tanımlı çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( x^4 - 16 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \)
\( (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
İlk iki çarpanı sıfır yapan kökler \( 2 \) ve \( -2 \) reel sayılarıdır.
\( x^2 + 4 = 0 \)
\( x^2 = -4 \)
\( x = \pm2i \)
Üçüncü çarpanı sıfır yapan kökler \( -2i \) ve \( 2i \) karmaşık sayılarıdır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \pm 2, \pm 2i \} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 - 6iz - 13 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( z \) değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( a = 1, \quad b = -6i, \quad c = -13 \)
\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{6i \pm \sqrt{(-6i)^2 - 4(1)(-13)}}{2} \)
\( = \dfrac{6i \pm \sqrt{-36 + 52}}{2} \)
\( = \dfrac{6i \pm 4}{2} = 3i \pm 2 \)
Çözüm kümesi: \( z \in \{2 + 3i, -2 + 3i\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 8z^3 - 125 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterKüp farkı özdeşliğini kullanalım.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( 8z^3 - 125 = (2z)^3 - 5^3 = 0 \)
\( (2z - 5)(4z^2 + 10z + 25) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 2z - 5 = 0 \)
\( z = \dfrac{5}{2} \)
Durum 2:
\( 4z^2 + 10z + 25 = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi için kök bulma formülünü kullanalım.
\( a = 4, \quad b = 10, \quad c = 25 \)
\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-10 \pm \sqrt{100 - 4(4)(25)}}{2(4)} \)
\( = \dfrac{-10 \pm 10\sqrt{3}i}{8} = -\dfrac{5}{4} \pm \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( z \in \left\{ \dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{4} - \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i, -\dfrac{5}{4} + \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i \right\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 2z^3 - 15z^2 + 44z - 39 = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 3 + 2i \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklem reel katsayılı olduğu için denklemin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.
\( z_1 = 3 + 2i, \quad z_2 = 3 - 2i \)
Üçüncü dereceden bir polinom denklemi için kökler toplamı formülünü yazalım.
\( a = 2, \quad b = -15, \quad c = 44, \quad d = -39 \)
\( z_1 + z_2 + z_3 = -\dfrac{b}{a} \)
\( (3 + 2i) + (3 - 2i) + z_3 = -\dfrac{-15}{2} \)
\( 6 + z_3 = \dfrac{15}{2} \)
\( z_3 = \dfrac{3}{2} \)
Çözüm kümesi: \( z \in \left\{ 3 - 2i, 3 + 2i, \dfrac{3}{2} \right\} \)
Alternatif bir çözüm olarak, verilen üçüncü dereceden ifadeyi birbirinin eşleniği olan iki kökün çarpımından oluşan ikinci dereceden ifadeye polinom bölmesi ile bölerek de üçüncü kökü bulabiliriz.
\( \dfrac{2z^3 - 15z^2 + 44z - 39}{(z - (3 - 2i))(z - (3 + 2i))} \)
\( 3ix^2 - 7x - 4i = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem karmaşık katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir, dolayısıyla karmaşık kökler birbirinin eşleniği olmak zorunda değildir.
Eşitliğin taraflarını \( i \)'ye bölelim.
\( 3x^2 - \dfrac{7x}{i} - 4 = 0 \)
\( 3x^2 - \dfrac{7ix}{i^2} - 4 = 0 \)
\( 3x^2 + 7ix - 4 = 0 \)
Kök bulma formülünü kullanalım.
\( a = 3, \quad b = 7i, \quad c = -4 \)
\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-7i \pm \sqrt{49i^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} \)
\( = \dfrac{-7i \pm \sqrt{-1}}{6} \)
\( = \dfrac{-7i \pm i}{6} \)
\( x_1 = -i \)
\( x_2 = -\dfrac{4i}{3} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -\dfrac{4i}{3}, -i \right\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 2x^2 - (z - 3)x + 80 = 0 \) denkleminin bir kökü \( 4 + 2i \) olduğuna göre, \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü GösterVerilen denklem karmaşık katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir, dolayısıyla karmaşık kökler birbirinin eşleniği olmak zorunda değildir.
Denklemin kökler çarpımı reel sayı olduğu için ikinci kök \( 4 + 2i \) ile çarpıldığında bir reel sayı verecek şekilde \( k(4 - 2i) \) formunda olmalıdır. İkinci kök \( k \) katsayısı dışında birinci kökün eşleniği olmadığı durumda iki kökün çarpımı \( i \) sayısını içerecektir.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 2, \quad b = -(z - 3), \quad c = 80 \)
\( (4 + 2i)[k(4 - 2i)] = \dfrac{c}{a} = \dfrac{80}{2} = 40 \)
\( k(4^2 + 2^2) = 40 \)
\( k = 2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( 4 + 2i + 2(4 - 2i) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(z - 3)}{2} = \dfrac{z - 3}{2} \)
\( 12 - 2i = \dfrac{z - 3}{2} \)
\( 24 - 4i = z - 3 \)
\( z = 27 - 4i \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 + 6\overline{z} + 5 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \) diyelim.
\( \overline{z} = a - bi \)
\( (a + bi)^2 + 6(a - bi) + 5 = 0 \)
\( a^2 + 2abi + b^2i^2 + 6a - 6bi + 5 = 0 \)
Reel ve sanal terimleri gruplayalım.
\( a^2 + 6a - b^2 + 5 + (2ab - 6b)i = 0 \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 2ab - 6b = 0 \)
\( 2b(a - 3) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( b = 0 \)
Bu durumda geçerli \( a \) değerlerini bulalım.
\( a^2 + 6a - b^2 + 5 = 0 \)
\( a^2 + 6a + 5 = 0 \)
\( (a + 1)(a + 5) = 0 \)
\( a \in \{ -1, -5 \} \)
\( (a, b) \in \{ (-1, 0), (-5, 0) \} \)
\( z_1 = -5 \)
\( z_2 = -1 \)
Durum 2:
\( a - 3 = 0 \)
\( a = 3 \)
\( (a, b) \in \{ (-1, 0), (-5, 0) \} \)
Bu durumda geçerli \( b \) değerlerini bulalım.
\( (3 + bi)^2 + 6(3 - bi) + 5 = 0 \)
\( 9 + 6bi + b^2i^2 + 18 - 6bi + 5 = 0 \)
\( 32 - b^2 = 0 \)
\( b = \pm 4\sqrt{2} \)
\( (a, b) \in \{ (3, -4\sqrt{2} ), (3, 4\sqrt{2} ) \} \)
\( z_3 = 3 - 4\sqrt{2}i \)
\( z_4 = 3 + 4\sqrt{2}i \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( z \in \{-5, -1, 3 - 4\sqrt{2}i, 3 + 4\sqrt{2}i\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^4 - 12z^3 + 57z^2 -120z + 100 = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 4 - 2i \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklem reel katsayılı olduğu için denklemin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.
\( z_1 = 4 - 2i, \quad z_2 = 4 + 2i \)
Bu iki kökün çarpımından oluşan ikinci dereceden ifadeyi bulalım.
\( (z - (4 - 2i))(z - (4 + 2i)) = ((z - 4) + 2i)((z - 4) - 2i) \)
\( = (z - 4)^2 - 4i^2 = (z - 4)^2 + 4 \)
\( = z^2 - 8z + 20 \)
Diğer iki kökü bulmak için soruda verilen 4. dereceden ifadeyi bulduğumuz 2. dereceden ifadeye polinom bölmesi ile bölelim.
\( \dfrac{z^4 - 12z^3 + 57z^2 -120z + 100}{z^2 - 8z + 20} = z^2 - 4z + 5 \)
Bulduğumuz ikinci dereceden denklemin köklerini kök bulma formülü ile bulalım.
\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \)
\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2} \)
\( = \dfrac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \dfrac{4 \pm 2i}{2} \)
\( = 2 \pm i \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( z \in \{4 - 2i, 4 + 2i, 2 - i, 2 + i\} \)