Karmaşık Sayıların Modülü (Mutlak Değeri)
Bir karmaşık sayının karmaşık düzlemde karşılık geldiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının modülü ya da mutlak değeri denir. Bir karmaşık sayının modülü \( \abs{z} \) şeklinde gösterilir.
\( \abs{z} = \abs{a + bi} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( z = -3 + 4i \) olmak üzere,
\( \abs{z} = \abs{-3 + 4i} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \)
Modül İşlem Özellikleri
Bir karmaşık sayının modülü sıfırsa karmaşık sayının kendisi de sıfırdır. Bunun karşıtı da doğrudur, yani karmaşık sayı sıfıra eşitse modülü de sıfırdır.
\( \abs{z} = 0 \Longleftrightarrow z = 0 \)
Bir karmaşık sayının, eşleniğinin, negatifinin ve negatifinin eşleniğinin modülleri birbirine eşittir.
\( \abs{z} = \abs{\overline{z}} = \abs{-z} = \abs{-\overline{z}} \)
\( z = -3 + 4i \) olmak üzere,
\( \abs{z} = \abs{-3 + 4i} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \)
\( \abs{\overline{z}} = \abs{-3 - 4i} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5 \)
\( \abs{-z} = \abs{3 - 4i} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \)
\( \abs{-\overline{z}} = \abs{3 + 4i} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
Bir karmaşık sayının modülü ayrı ayrı reel ve sanal kısımlarının mutlak değerlerine eşittir ya da onlardan büyüktür.
\( \abs{z} \ge \abs{Re(z)} \ge Re(z) \)
\( \abs{z} \ge \abs{Im(z)} \ge Im(z) \)
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı modülünün karesini verir.
\( z \cdot \overline{z} = {\abs{z}}^2 = a^2 + b^2 \)
\( z = 5 - 2i \) olmak üzere,
\( z \cdot \overline{z} = (5 - 2i)(5 + 2i) \) \( = 25 + 10i - 10i - 4i^2 \) \( = \textcolor{red}{29} \)
\( {\abs{z}}^2 = 5^2 + (-2)^2 = \textcolor{red}{29} \)
İki karmaşık sayının çarpımının modülü, modüllerinin çarpımına eşittir.
\( \abs{z_1 \cdot z_2} = \abs{z_1} \cdot \abs{z_2} \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 1 - 7i \)
\( \abs{z_1 \cdot z_2} = \abs{(2 + i)(1 - 7i)} \)
\( = \abs{2 - 14i + i - 7i^2} = \abs{9 - 13i} \) \( = \sqrt{9^2 + (-13)^2} \) \( = \textcolor{red}{5\sqrt{10}} \)
\( \abs{z_1} \cdot \abs{z_2} = \abs{2 + i} \cdot \abs{1 - 7i} \)
\( = \sqrt{2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-7)^2} \) \( = \sqrt{5} \cdot \sqrt{50} \) \( = \textcolor{red}{5\sqrt{10}} \)
İki karmaşık sayının bölümünün modülü, modüllerinin bölümüne eşittir.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \abs{\dfrac{z_1}{z_2}} = \dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} \)
\( z_1 = 7 - i, \quad z_2 = -1 + 2i \)
\( \abs{\dfrac{z_1}{z_2}} = \abs{\dfrac{7 - i}{-1 + 2i}} \)
\( = \abs{\dfrac{7 - i}{-1 + 2i} \cdot \dfrac{-1 - 2i}{-1 - 2i}} \)
\( = \abs{\dfrac{-7 - 14i + i + 2i^2}{1 + 2i - 2i - 4i^2}} \)
\( = \abs{\dfrac{-9 - 13i}{5}} = \abs{-\dfrac{9}{5} - \dfrac{13}{5}i} \)
\( = \sqrt{(-\dfrac{9}{5})^2 + (-\dfrac{13}{5})^2} = \textcolor{red}{\sqrt{10}} \)
\( \dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} = \dfrac{\abs{7 - i}}{\abs{-1 + 2i}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}} = \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{5}} = \textcolor{red}{\sqrt{10}} \)
Bir karmaşık sayının üssünün modülü, modülünün üssüne eşittir.
\( \abs{z_1^{n}} = {\abs{z_1}}^n \)
\( z_1 = 4 - 3i \) olmak üzere,
\( \abs{z_1^2} = \abs{(4 - 3i)^2} \)
\( = \abs{4^2 - 24i + (3i)^2} = \abs{7 - 24i} \)
\( = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \textcolor{red}{25} \)
\( {\abs{z_1}}^2 = {\abs{4 - 3i}}^2 \)
\( = \sqrt{4^2 + (-3)^2}^2 = \textcolor{red}{25} \)
Aşağıdaki üçgen eşitsizlikleri karmaşık sayılar için de geçerlidir.
\( \abs{\abs{z_1} - \abs{z_2}} \le \abs{z_1 - z_2} \)
\( \abs{\abs{z_1} - \abs{z_2}} \le \abs{z_1 + z_2} \le \abs{z_1} + \abs{z_2} \)
\( \abs{z_1} - \abs{z_2} \le \abs{z_1 - z_2} \le \abs{z_1} + \abs{z_2} \)
İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uzaklık
Karmaşık düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle bulunur. Bu uzaklık aynı zamanda iki sayının farkının modülüne eşittir.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \) olmak üzere,
\( d = \abs{z_1 - z_2} \)
\( d = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} \)
\( z_1 = 4 \)
\( z_2 = -2 - 8i \) olmak üzere,
\( d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (0 - (-8))^2} \)
\( = \sqrt{36 + 64} = 10 \)
\( z = a + bi \)
\( \abs{z} \cdot \abs{\bar{z}} + 2ab = 9 \) ise,
\( a + b \) toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözümü Göster\( z_1 = 2 + 3i \) ve \( z_2 = a + i \) karmaşık sayıları için,
\( \abs{z_1 - z_2} = \sqrt{53} \) koşulu sağlandığına göre, \( a \)'nın alabileceği reel sayı değerlerin toplamı nedir?
Çözümü Göster\( \abs{-z} + iz - 2 = 4i \)
eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{(5 + 12i)(1 + 2i)(3 - 5i)}{(5 + 3i)(2 - i)} \)
olduğuna göre, \( \abs{z} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = x + yi \) olmak üzere,
\( \abs{2z + 1} = \abs{z - 2} \)
olduğuna göre, \( z \) karmaşık sayısının geometrik yer denklemi nedir?
Çözümü Göster\( x \in \mathbb{R}, \quad x \gt 1 \) olmak üzere,
\( z = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{1 - x} \) veriliyor.
\( z \) karmaşık sayısının modülü 3 ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \overline{z} \cdot \abs{Im(\overline{z})} = 6 - 9i \)
olduğuna göre, \( \abs{z} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{(i - \sqrt{7})^4(2 + 2i)^2}{\sqrt{2} - \sqrt{2}i} \)
olduğuna göre, \( \abs{z^2} + \abs{z}^2 \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{-\overline{z}} + z = \dfrac{12}{1 + \sqrt{2}i} \)
olduğuna göre, \( z \) karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?
Çözümü Göster\( z_1 = (k + 4) + 6i \)
\( z_2 = 5 + (5 - k)i \)
karmaşık sayıları arasındaki uzaklık \( \sqrt{10} \) birim olduğuna göre, \( k \)'nın pozitif değeri nedir?
Çözümü Göster