Karmaşık Sayılarda İşlemler

Bu bölümde karmaşık sayılarda işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.

Karmaşık Sayıların Eşitliği

İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.

Bir karmaşık sayı sıfıra eşitse sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşittir. Benzer şekilde, bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşitse bu sayı sıfıra eşittir.

Karmaşık Sayılarda Toplama

İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.

Karmaşık Sayıların Toplamaya Göre Tersi

Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.

Karmaşık Sayılarda Çıkarma

İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.

Karmaşık Sayılarda Çarpma

Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.

İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.

Sayıların sanal kısımlarının çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel kısmına dahil olur.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.

Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olacaktır.

Karmaşık Sayıların Çarpmaya Göre Tersi

Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.

Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, bölme işleminde olduğu gibi pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.

Karmaşık Sayılarda Bölme

İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.

SORU 1:

\( z_1 = 2 + 3i \)

\( z_2 = 4 - 2i \) ise,

aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.

  • \( z_1 + z_2 \)
  • \( z_1 - z_2 \)
  • \( 2z_1 + 4z_2 \)
  • \( z_1 \cdot z_2\)
  • \( \dfrac{z_1}{z_2} \)
Çözümü Göster
SORU 2:

\( i^2 = -1 \) olmak üzere,

\( (3m - 2i)(1 + i) = (3 - i)(2 + mi) \)

ifadesi veriliyor. Buna göre \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) ise,

\( a + b \) toplamınının sonucu nedir?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( m \) ve \( n \) reel sayılar olmak üzere,

\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)

olduğuna göre, \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( f(x) = x + xi \) ve \( g(x) = 2x - xi \) fonksiyonları,

\( f(a) + g(b) = 5 + 2i \) eşitliğini sağlıyor.

Buna göre, \( a + b \) toplamını bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 6:

\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \)

Buna göre \( Im(z) \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.

Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 8:

\( a \) sıfırdan farklı bir reel sayı ve \( i \) sanal birim olmak üzere,

\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu nedir?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( \sqrt{48 + 14i} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 10:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( z^2 = 7 - 24i \) ise \( z \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 11:

\( x, y \in \mathbb{R} \) olduğuna göre,

\( \dfrac{2i}{x} + \dfrac{3i}{y} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{xy} + \dfrac{8i}{y} \)

olduğuna göre, \( \dfrac{x}{y} \) kaçtır?

Çözümü Göster

« Önceki
Karmaşık Sayı Tanımı
Sonraki »
Karmaşık Sayıların Eşleniği


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır