Bu bölümde karmaşık sayılarda işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( z_3 = a_3 + b_3i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( z_1 = z_2 \Longleftrightarrow a_1 = a_2 \) ve \( b_1 = b_2 \)
\( z_1 = a - \sqrt{2}i \)
\( z_2 = 4 + bi \)
\( z_1 = z_2 \) ise,
\( a = 4, \quad b = -\sqrt{2} \)
Bir karmaşık sayı sıfıra eşitse sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşittir. Benzer şekilde, bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşitse bu sayı sıfıra eşittir.
\( z_1 = 0 \Longleftrightarrow a_1 = 0 \) ve \( b_1 = 0 \)
\( z_1 = a - 2 + (b + 1)i \)
\( z_1 = 0 \) ise,
\( a = 2, \quad b = -1 \)
İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \)
\( z_1 = 3 - 4i \)
\( z_2 = 2 + 7i \)
\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-4 + 7)i \) \( = 5 + 3i \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.
\( z_e = 0 + 0i = 0 \)
\( z_1 + z_e = (a_1 + 0) + (b_1 + 0)i = z_1 \)
Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.
\( -z_1 = -(a_1 + b_1i) = -a_1 - b_1i \)
\( z_1 + (-z_1) = 0 \)
\( z_1 = -2 + 5i \)
\( -z_1 = -(-2 + 5i) = 2 - 5i \)
\( z_1 + (-z_1) = (-2 + 2) + (5 + (-5))i = 0 \)
İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
\( z_1 = 5 + i \)
\( z_2 = 5 - 3i \)
\( z_1 - z_2 = (5 - 5) + (1 - (-3))i = 4i \)
Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot z_1 = c(a_1 + b_1i) \)
\( = ca_1 + cb_1i \)
\( z_1 = 4 - 5i \)
\( 3 \cdot z_1 = 12 - 15i \)
İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.
Sayıların sanal kısımlarının çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel kısmına dahil olur.
\( z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i) \cdot (a_2 + b_2i) \)
\( = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
\( z_1 = 3 - 2i \)
\( z_2 = 4 + 3i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i) \cdot (4 + 3i) \)
\( = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i - 4 \cdot 2i - 2i \cdot 3i \)
\( = 12 + 9i - 8i - 6i^2 \)
\( = 18 + i \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.
\( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)
\( z_1 \cdot (z_2 - z_3) = z_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot z_3 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.
\( z_e = 1 + 0i \)
\( z_1 \cdot z_e = (a_1 + b_1i) \cdot (1 + 0i) = z_1 \)
Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olacaktır.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.
Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, bölme işleminde olduğu gibi pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z \ne 0 \) olmak üzere,
\( z \cdot z^{-1} = 1 \)
\( z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a + bi} \)
\( = \dfrac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} \)
\( = \dfrac{a - bi}{a^2 - b^2i^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2} \)
\( = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
\( z = 4 - 3i \)
\( z^{-1} = \dfrac{4}{4^2 + 3^2} - \dfrac{-3}{4^2 + 3^2}i \)
\( = \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{25}i \)
İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \)
\( = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - a_2b_2i + a_2b_2i - b_2^2i^2} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
\( z_1 = 5 - 10i \)
\( z_2 = 2 + i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{5 - 10i}{2 + i} \)
\( = \dfrac{(5 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
\( = \dfrac{10 - 5i - 20i - 10}{4 - 2i + 2i + 1} \)
\( = \dfrac{-25i}{5} = -5i \)
\( z_1 = 2 + 3i \)
\( z_2 = 4 - 2i \) ise,
aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
\( i^2 = -1 \) olmak üzere,
\( (3m - 2i)(1 + i) = (3 - i)(2 + mi) \)
ifadesi veriliyor. Buna göre \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) ise,
\( a + b \) toplamınının sonucu nedir?
Çözümü Göster\( m \) ve \( n \) reel sayılar olmak üzere,
\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)
olduğuna göre, \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + xi \) ve \( g(x) = 2x - xi \) fonksiyonları,
\( f(a) + g(b) = 5 + 2i \) eşitliğini sağlıyor.
Buna göre, \( a + b \) toplamını bulunuz.
Çözümü Göster\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \)
Buna göre \( Im(z) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster\( a \) sıfırdan farklı bir reel sayı ve \( i \) sanal birim olmak üzere,
\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt{48 + 14i} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 = 7 - 24i \) ise \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{R} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{2i}{x} + \dfrac{3i}{y} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{xy} + \dfrac{8i}{y} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{x}{y} \) kaçtır?
Çözümü Göster