Karmaşık Sayılarda İşlemler
Bu bölümde karmaşık sayılar arasındaki işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( z_3 = a_3 + b_3i \)
Karmaşık Sayılarda Toplama
İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal bileşenleri kendi aralarında toplanır.
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \)
\( z_1 = 3 - 4i \)
\( z_2 = 2 + 7i \)
\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-4 + 7)i = 5 + 3i \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.
\( z_e = 0 + 0i = 0 \)
\( z_1 + z_e = (a_1 + 0) + (b_1 + 0)i = z_1 \)
Karmaşık Sayıların Toplamaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.
\( -z_1 = -(a_1 + b_1i) = -a_1 - b_1i \)
\( z_1 + (-z_1) = (a_1 + b_1i) + (-a_1 - b_1i) \)
\( = (a_1 + (-a_1)) + (b_1 + (-b_1))i = 0 \)
\( z_1 = -2 + 5i \)
\( -z_1 = -(-2 + 5i) = 2 - 5i \)
\( z_1 + (-z_1) = (-2 + 2) + (5 + (-5))i = 0 \)
Her karmaşık sayının toplamaya göre tersi tektir.
Her karmaşık sayının toplamaya göre tersinin tek olduğunu kanıtlamak için tersin varlığını ve tekliğini ayrı ayrı göstermeliyiz.
Aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
İspat 1: Varlık
\( z \) karmaşık sayısının her zaman bir toplamaya göre tersinin bulunduğunu gösterelim.
\( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersini aşağıdaki gibi bulmuştuk.
\( w = -a - bi \)
\( w \) sayısı her \( a \) ve \( b \) değeri için tanımlıdır.
\( z + w = (a + bi) + (-a - bi) \)
\( = (a + (-a)) + (b + (-b))i \)
\( = 0 + 0i = 0 \)
Buna göre her \( z \) karmaşık sayısının en az bir toplamaya göre tersi vardır.
İspat 2: Teklik
\( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersinin tek olduğunu gösterelim.
\( z \) karmaşık sayısının \( w_1 \) ve \( w_2 \) olmak üzere iki tane toplamaya göre tersinin olduğunu varsayalım.
\( z + w_1 = z + w_2 = 0 \)
\( w_1 \) ile başlayarak \( w_1 = w_2 \) olması gerektiğini gösterelim.
\( w_1 = w_1 + 0 = w_1 + (z + w_2) = (w_1 + z) + w_2 = 0 + w_2 = w_2 \)
Birbirinden farklı olduğunu varsaydığımız iki toplamaya göre tersin birbirine eşit olduğunu bulduk.
Buna göre her \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi tektir.
Karmaşık Sayılarda Çıkarma
İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal bileşenlerinin kendi aralarında farkı alınır.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
\( z_1 = 5 + i \)
\( z_2 = 5 - 3i \)
\( z_1 - z_2 = (5 - 5) + (1 - (-3))i = 4i \)
Karmaşık Sayılarda Çarpma
Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( cz_1 = c(a_1 + b_1i) \)
\( = ca_1 + cb_1i \)
\( z = 4 - 5i \)
\( 3z = 3(4 - 5i) = 12 - 15i \)
İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.
Sayıların sanal bileşenlerinin çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel bileşenine dahil olur.
\( z_1z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) \)
\( = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
\( z_1 = 3 - 2i \)
\( z_2 = 4 + 3i \)
\( z_1z_2 = (3 - 2i)(4 + 3i) \)
\( = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i - 4 \cdot 2i - 2i \cdot 3i \)
\( = 12 + 9i - 8i - 6i^2 \)
\( = 18 + i \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1z_2 = z_2z_1 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde hem soldan hem de sağdan dağılma özelliği vardır.
\( z_1(z_2 \pm z_3) = z_1z_2 \pm z_1z_3 \)
\( (z_1 \pm z_2)z_3 = z_1z_3 \pm z_2z_3 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.
\( z_e = 1 + 0i \)
\( z_1z_e = (a_1 + b_1i)(1 + 0i) \)
\( = a_1 \cdot 1 + a_1 \cdot 0i + 1 \cdot b_1i + b_1i \cdot 0i \)
\( = a_1 + b_1i = z_1 \)
Reel sayılarda bir sayının karesi negatif olamayacağı için, \( x^2 + y^2 = 0 \) eşitliği \( x = y = 0 \) olmasını gerektirir. Aşağıdaki örnekte aynı durumun karmaşık sayılarda geçerli olmadığı görülebilir.
\( z_1 = 1 + i \)
\( z_2 = 1 - i \)
\( z_1^2 + z_2^2 = (1 + i)^2 + (1 - i)^2 \)
\( = 1^2 + 2i + i^2 + 1^2 - 2i + i^2 = 0 \)
Reel sayılarda iki sayının çarpımı sıfır ise bu sayılardan en az biri sıfırdır. Aynı kural karmaşık sayılarda da geçerlidir.
\( z_1z_2 = 0 \Longleftrightarrow (z_1 = 0 \text{ veya } z_2 = 0) \)
Karmaşık Sayılarda Bölme
İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \)
\( = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - a_2b_2i + a_2b_2i - b_2^2i^2} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
\( z_1 = 5 - 10i \)
\( z_2 = 2 + i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{5 - 10i}{2 + i} \)
\( = \dfrac{(5 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
\( = \dfrac{10 - 5i - 20i - 10}{4 - 2i + 2i + 1} \)
\( = \dfrac{-25i}{5} = -5i \)
Karmaşık Sayıların Çarpmaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.
Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z \ne 0 \) olmak üzere,
\( zz^{-1} = 1 \)
\( z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a + bi} \)
\( = \dfrac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} \)
\( = \dfrac{a - bi}{a^2 - b^2i^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2} \)
\( = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
\( z = 4 - 3i \)
\( z^{-1} = \dfrac{4}{4^2 + 3^2} - \dfrac{-3}{4^2 + 3^2}i \)
\( = \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{25}i \)
Sıfırdan farklı her karmaşık sayının çarpmaya göre tersi tektir.
Sıfırdan farklı her karmaşık sayının çarpmaya göre tersinin tek olduğunu kanıtlamak için tersin varlığını ve tekliğini ayrı ayrı göstermeliyiz.
Sıfırdan farklı aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
İspat 1: Varlık
\( z \) karmaşık sayısının her zaman bir çarpmaya göre tersinin bulunduğunu gösterelim.
\( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersini aşağıdaki gibi bulmuştuk.
\( w = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
\( z \) sıfırdan farklı olduğu için \( a \) ve \( b \) birlikte sıfır olamaz, dolayısıyla \( a^2 + b^2 \) ifadesi her zaman sıfırdan büyüktür ve \( w \) sayısı her \( a \) ve \( b \) değeri için tanımlı olur.
Buna göre sıfırdan farklı her \( z \) karmaşık sayısının en az bir çarpmaya göre tersi vardır.
İspat 2: Teklik
\( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin tek olduğunu gösterelim.
\( z \) karmaşık sayısının \( w_1 \) ve \( w_2 \) olmak üzere iki tane çarpmaya göre tersinin olduğunu varsayalım.
\( zw_1 = zw_2 = 1 \)
\( w_1 \) ile başlayarak \( w_1 = w_2 \) olması gerektiğini gösterelim.
\( w_1 = w_1(1) = w_1(zw_2) = (w_1z)w_2 = (1)w_2 = w_2 \)
Birbirinden farklı olduğunu varsaydığımız iki çarpmaya göre tersin birbirine eşit olduğunu bulduk.
Buna göre sıfırdan farklı her \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi tektir.
\( z_1 = 2 + 3i \)
\( z_2 = 4 - 2i \)
Yukarıdaki iki karmaşık sayı için aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( z_1 + z_2 \)
(b) \( z_1 - z_2 \)
(c) \( 2z_1 + 4z_2 \)
(d) \( z_1z_2\)
(e) \( \dfrac{z_1}{z_2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) \)
\( = (2 + 4) + (3 - 2)i \)
\( = 6 + i \)
(b) seçeneği:
\( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (4 - 2i) \)
\( = (2 - 4) + (3 - (-2))i \)
\( = - 2 + 5i \)
(c) seçeneği:
\( 2z_1 + 4z_2 = 2(2 + 3i) + 4(4 - 2i) \)
\( = 4 + 6i + 16 - 8i \)
\( = (4 + 16) + (6 - 8)i \)
\( = 20 - 2i \)
(d) seçeneği:
\( z_1z_2 = (2 + 3i)(4 - 2i) \)
\( = 8 - 4i + 12i - 6i^2 \)
\( = 8 + 8i + 6 \)
\( = 14 + 8i \)
(e) seçeneği:
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2 + 3i}{4 - 2i} \)
Paydayı eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} \)
\( = \dfrac{8 + 4i + 12i + 6i^2}{16 + 8i - 8i - 4i^2} \)
\( = \dfrac{2 + 16i}{20} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{5}i \)
\( (3m - 2i)(1 + i) = (3 - i)(2 + mi) \)
olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpanlarına ayrılmış ifadeleri genişletelim.
\( 3m + 3mi - 2i - 2i^2 = 6 + 3mi - 2i - mi^2 \)
\( 3m - 2i^2 = 6 - mi^2 \)
\( 3m + 2 = 6 + m \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamınının sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSol tarafın paydasını karşı tarafa atalım.
\( a + bi = (-2 + 5i)(2 - 3i) \)
\( = -4 + 6i + 10i - 15i^2 \)
\( a + bi = 11 + 16i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 11, \quad b = 16 \)
\( a + b = 11 + 16 = 27 \) bulunur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)
olduğuna göre, \( mn \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikteki terimleri sadeleştirelim.
\( \sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i \)
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bulduğumuz değerleri eşitlikte yerine koyalım.
\( 2i + 2i + mi - 1 = -2i + 3 - n \)
\( 6i + mi - 4 + n = 0 \)
\( (6 + m)i - 4 + n = 0 \)
Bir karmaşık sayı 0'a eşitse reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı 0'a eşittir.
\( 6 + m = 0 \Longrightarrow m = -6 \)
\( - 4 + n = 0 \Longrightarrow n = 4 \)
\( mn = -6(4) = -24 \) bulunur.
\( (2 + 2i)^{40} - (2 - 2i)^{40} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( (2 + 2i)^2 = 2^2 + 8i + (2i)^2 \)
\( = 4 + 8i - 4 = 8i \)
\( (2 - 2i)^2 = 2^2 - 8i + (2i)^2 \)
\( = 4 - 8i - 4 = -8i \)
Soruda verilen işlemdeki ifadeleri düzenleyelim.
\( (2 + 2i)^{40} - (2 - 2i)^{40} = [(2 + 2i)^2]^{20} - [(2 - 2i)^2]^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (-8i)^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (-1)^{20}(8i)^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (8i)^{20} \)
\( = 0 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \) olduğuna göre, \( Im(z) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{a^2 - 9i^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{a^2 - (3i)^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{(a - 3i)(a + 3i)}{a - 3i} \)
\( = a + 3i \)
\( Im(z) = 3 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin birinci çarpanının payını ve paydasını \( i \) ile çarpalım.
\( \dfrac{i(a - i)}{i(a + i)} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai - i^2}{ai + i^2} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai + 1}{ai - 1} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Birinci çarpanın paydasını düzenleyelim.
\( = -\dfrac{1 + ai}{1 - ai} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.
\( = -1 \) bulunur.