Karmaşık Sayılarda İşlemler

Bu bölümde karmaşık sayılarla işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.

Karmaşık Sayıların Eşitliği

İki karmaşık sayı birbirine eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

İki karmaşık sayı toplanırken, sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.

Karmaşık Sayıların Toplamaya Göre Tersi

Bir karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, kendisiyle toplamının sonucu 0 olan sayıdır. Buna göre bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.

Karmaşık Sayılarda Çıkarma

İki karmaşık sayı birbirinden çıkarılırken, sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.

Karmaşık Sayılarda Çarpma

İki karmaşık sayı çarpılırken, birinci sayının her bir terimi ikinci sayının her bir terimiyle çarpılır ve çarpım sonuçları toplanır.

Sayıların sanal kısımlarının çarpımında \( -1 \) olarak sadeleştirebileceğimiz ve sonucu reel kısma dahil olan bir \( i^2 \) çarpanı oluşur.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.

Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.

Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olabilir.

Karmaşık Sayıların Çarpmaya Göre Tersi

Bir karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi kendisiyle çarpımının sonucu 1 olan sayıdır. Buna göre bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.

Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, bölme işleminde olduğu gibi pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.

Karmaşık Sayılarda Bölme

Bir karmaşık sayı bir diğerine bölünürken, amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için de pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.

SORU:

\( z_1 = 2 + 3i \)

\( z_2 = 4 - 2i \) ise,

aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.

  • \( z_1 + z_2 \)
  • \( z_1 - z_2 \)
  • \( 2z_1 + 4z_2 \)
  • \( z_1 \cdot z_2\)
  • \( \dfrac{z_1}{z_2} \)

Çözümü Göster


SORU:

\( \dfrac{x + yi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) ise,

\( x + y \) toplamınının sonucu nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Karmaşık Sayı Tanımı
Sonraki »
Karmaşık Sayıların Eşleniği


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır