Karesi bir negatif reel sayı olan, ya da bir başka deyişle bir negatif reel sayının karekökü olan sayılara sanal sayı ya da imajiner sayı denir.
Aşağıdaki sayılar birer sanal sayıdır.
\( \sqrt{-1}, \sqrt{-2}, \sqrt{-\frac{7}{2}} \)
Aşağıdaki köklü ifadenin derecesi tek sayı olduğu için sonucu sanal değil, reel sayıdır.
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
Köklü ifadeler konusunda negatif sayıların karekökünün tanımsız olduğunu belirtmiştik, bu tanımsızlık reel sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) için geçerlidir. Sanal sayılar ve karmaşık sayılar kümelerinde (\( \mathbb{C} \)) negatif sayıların karekökü tanımlıdır.
\( -1 \) sayısının kareköküne, ya da karesi \( -1 \) olan sayıya sanal birim denir ve \( i \) ile gösterilir.
\( i = \sqrt{-1} \)
\( i^2 = -1 \)
Tüm negatif reel sayıların karekök değerlerini \( i \) cinsinden ifade edebiliriz.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt{-a} = \sqrt{a \cdot (-1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} \) \( = \sqrt{a}i \)
\( \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} \) \( = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} \) \( = 4i \)
\( \sqrt{-27} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot (-1)} \) \( = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} \) \( = 3\sqrt{3}i \)
\( \sqrt{-4} + \sqrt{-1} + \sqrt{-25} \)
işleminin sonucu sanal birim cinsinden nedir?
Çözümü Göster
\( \dfrac{3\sqrt{-16} - 2\sqrt{-49}}{2\sqrt{-4}} \)
ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
\( i \) sayısının 1. ve 4. derece arası kuvvetlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 \)
\( i^4 \) için 1 değerini elde ettikten sonra, \( i \)'nin daha yüksek kuvvetleri \( i^1 \) ve \( i^4 \) arası değerleri periyodik şekilde alır.
\( i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 \)
\( i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i \)
\( i^8 = i^4 \cdot i^4 = 1 \cdot 1 = 1 \)
Bu ilişkiyi \( i \)'nin daha yüksek kuvvetleri için aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( n, r, k \in \mathbb{Z} \)
\( r \), \( n \)'nin 4'e bölümünden kalan olmak üzere,
\( i^n = i^{4k + r} = i^r \)
\( i^{366} = i^{4 \cdot 91 + 2} = i^2 = -1 \)
\( i^{4003} = i^{4 \cdot 1000 + 3} = i^3 = -i \)
\( i \)'nin sıfırıncı kuvveti 1'dir.
\( i^0 = 1 \)
\( i \) sayısının negatif tam sayı kuvvetlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( i^{-1} = \dfrac{1}{i} \) \( = \dfrac{1}{i} \cdot \dfrac{i}{i} = -i \)
\( i^{-2} = \dfrac{1}{i^2} \) \( = \dfrac{1}{-1} = -1 \)
\( i^{-3} = \dfrac{1}{i^3} \) \( = \dfrac{1}{-i} = i \)
\( i^{-4} = \dfrac{1}{i^4} \) \( = \dfrac{1}{1} = 1 \)
\( i \)'nin pozitif kuvvetlerindeki periyodik davranışın negatif kuvvetler için de aynen geçerli olduğunu görüyoruz. Buna göre, \( i \)'nin farkı dördün bir tam sayı katı olan pozitif ve negatif kuvvetleri birbirine eşittir.
\( \ldots = i^{-7} = i^{-3} = \textcolor{red}{i^1} = i^5 = \ldots \)
\( \ldots = i^{-6} = i^{-2} = \textcolor{red}{i^2} = i^6 = \ldots \)
\( \ldots = i^{-5} = i^{-1} = \textcolor{red}{i^3} = i^7 = \ldots \)
\( \ldots = i^{-4} = i^{0} = \textcolor{red}{i^4} = i^8 = \ldots \)
Pozitif kuvvetler bölümünde bahsettiğimiz \( i \)'nin 4'e bölümünden kalanı aynı olan kuvvetlerinin birbirine eşit olma kuralı negatif sayıları da kapsar.
\( i^{-303} = i^{4 \cdot (-75) - 3} = i^{-3} = i^1 = i \)
Yukarıdaki kuralların bir sonucu olarak, \( i \)'nin pozitif ve negatif tam sayıları kapsayacak şekilde ardışık 4 tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^1 + i^2 + i^3 + i^4 \) \( = i + (-1) + (-i) + 1 = 0 \)
\( i^5 + i^6 + i^7 + i^8 \) \( = i + (-1) + (-i) + 1 = 0 \)
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
\( i^{153} + i^{154} + i^{155} + i^{156} = 0 \)
\( i^{-76} + i^{-75} + i^{-74} + i^{-73} = 0 \)
\( \dfrac{1}{i} + \dfrac{1}{i^2} + \dfrac{1}{i^3} + i^{-2004} \)
işleminin sonucunu nedir?
Çözümü Göster
\( (1 - i^6 + i^{11}) \cdot (1 + i^5 - i^7) \)
işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster
\( n \in N \) olmak üzere,
\( i^{4n + 6} + i^{8n + 15} + i^{20n + 21} \)
işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Karekök içindeki bir ifade pozitif ise bu ifade sanal sayı cinsinden ifade edilmemelidir, edilirse işlem hatalı sonuç verecektir.
Hatalı işlem: \( \sqrt{16} \) \( = \sqrt{16 \cdot (-1) \cdot (-1)} \) \( = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \) \( = 4 \cdot i \cdot i \) \( = 4i^2 = -4 \)
\( \sqrt{16} = -4 \) hatalı bir sonuç olduğu için yukarıdaki işlem hatalıdır.