Karmaşık Düzlem

Her \( z = a + bi \) karmaşık sayısı, sırayla sayının reel ve sanal bileşenlerine karşılık gelmek üzere \( (a, b) \) reel sayı ikilisi ile ifade edilebilir.

Birer reel sıralı ikilisi ile temsil edilebildikleri için, karmaşık sayılarla bir düzlemdeki noktalar arasında birebir eşleme kurulabilir, dolayısıyla \( (x, y) \) sıralı ikililerinin kartezyen düzleminde gösterimine benzer şekilde, karmaşık sayılar da bir düzlemde aşağıdaki şekilde gösterilebilirler.

Karmaşık sayıların oluşturduğu bu düzleme karmaşık düzlem ya da Argand düzlemi denir. Karmaşık düzlemde karmaşık sayıların reel bileşenleri yatay eksenle, sanal bileşenleri dikey eksenle eşlenir. Yatay eksene reel eksen denir ve \( Re \) sembolüyle gösterilir. Dikey eksene sanal eksen denir ve \( Im \) sembolüyle gösterilir.

Bir karmaşık sayı karmaşık düzlemde iki şekilde gösterilebilir.

• Nokta gösterimi: Bu gösterimde karmaşık sayı bir nokta olarak işaretlenir. Bu yöntem genellikle sayının konumunu belirtmenin yeterli olduğu durumlarda kullanılır.
• Ok (vektör) gösterimi: Bu gösterimde karmaşık sayı orijinden noktaya çizilen bir okla gösterilir. Bu yöntem genellikle sayının (önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz) modülünün, argümentinin ya da sayılar üzerinde toplama/çıkarma/döndürme gibi işlemlerin gösterilmesi istendiğinde kullanılır.

Aşağıda bazı karmaşık sayıların karmaşık düzlemde nokta gösterimi verilmiştir. Görülebileceği üzere, sanal bileşeni sıfır olan sayılar reel eksen üzerinde (\( z_4 \) ve \( z_6 \)), reel bileşeni sıfır olan sayılar sanal eksen üzerinde (\( z_5 \) ve \( z_6 \)) bulunurlar.

Her iki arasında birebir eşleme olduğu için, bu notlarda bir \( z = a + bi \) karmaşık sayısı ile karmaşık düzlemde karşılık geldiği \( (a, b) \) noktasını birbiri yerine kullanabileceğiz.