Karmaşık Sayı Tanımı
\( a, b \in \mathbb{R} \) ve \( i = \sqrt{-1} \) olmak üzere, \( z = a + bi \) biçimindeki sayılara karmaşık sayılar denir. \( a \), \( z \) karmaşık sayısının reel (gerçek) sayı kısmı, \( b \) de sanal (imajiner) kısmıdır.
\( z = a + bi \)
\( z_1 = 3 + 2i \)
\( z_2 = 0 - 3i = -3i \)
\( z_3 = 5 + 0i = 5 \)
Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) ile gösterilir.
\( \mathbb{C} = \{ a + bi: a, b \in \mathbb{R} \} \)
Bir karmaşık sayı reel ve sanal kısımlardan oluşabildiği gibi, sadece reel ve sadece sanal kısımlardan da oluşabilir. Bunun bir sonucu olarak, tüm reel sayılar aynı zamanda sanal kısmı sıfır olan birer karmaşık sayıdır ve karmaşık sayılar kümesi reel sayıları da kapsar. Aşağıdaki şekil karmaşık sayılar, sanal sayılar ve diğer sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
\( z \) sayısının reel kısmı \( Re(z) \), sanal kısmı da \( Im(z) \) şeklinde gösterilir.
\( z = a + bi \) ise,
\( Re(z) = a \)
\( Im(z) = b \)
\( z = 3 - 7i \) ise,
\( Re(z) = 3 \)
\( Im(z) = -7 \)
Karmaşık sayılar reel sayılar gibi bir büyüklük ifade etmezler, sıralama ve karşılaştırma işlemleri karmaşık sayılar kümesinde anlamlı değildir.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 10 \) olduğuna göre,
\( P(3i + 1) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
Karmaşık sayılarda tanımlı,
\( f(z) = z - i \)
\( g(z) = z \cdot i \)
fonksiyonları verilmiştir. Buna göre,
\( (fog)(1 + i)\) işleminin sonucunu nedir?
Çözümü Göster