Karmaşık Sayı Tanımı
\( a \) ve \( b \) birer reel sayı ve \( i \) sanal birim olmak üzere, \( z = a + bi \) biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad i = \sqrt{-1} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \)
\( z_1 = 3 + 2i \)
\( z_2 = 0 - 3i = -3i \)
\( z_3 = 5 + 0i = 5 \)
\( a \) sayısı \( z \) karmaşık sayısının reel (gerçek) kısmı, \( b \) sayısı da sanal (imajiner) kısmıdır.
Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) ile gösterilir.
\( \mathbb{C} = \{a + bi: a, b \in \mathbb{R}\} \)
Bir karmaşık sayı reel ve sanal kısımlardan oluşabildiği gibi, sadece reel ve sadece sanal kısımlardan da oluşabilir. Bunun bir sonucu olarak, tüm reel sayılar aynı zamanda sanal kısmı sıfır olan birer karmaşık sayıdır ve karmaşık sayılar kümesi reel sayıları da kapsar.
Aşağıdaki şekil karmaşık sayılar, sanal sayılar ve diğer sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
\( z \) sayısının reel kısmı \( Re(z) \), sanal kısmı da \( Im(z) \) şeklinde gösterilir.
\( z = a + bi \)
\( Re(z) = a \)
\( Im(z) = b \)
\( z = 3 - 7i \)
\( Re(z) = 3 \)
\( Im(z) = -7 \)
Karmaşık sayılar reel sayılar gibi bir büyüklük ifade etmezler, sıralama ve karşılaştırma işlemleri karmaşık sayılar kümesinde anlamlı değildir.
\( z = 1 + i + i^2 + \ldots + i^{1002} \)
karmaşık sayısı için \( Im(z) + Re(z) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( i \)'nin ardışık 4 tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
\( z = 1 + i^1 + i^2 + \ldots + i^{1002} \)
Bu ifadede \( i^3 \) ve \( i^{1002} \) arasında toplam 1000 terim olduğu için bu terimleri 4'erli grupladığımızda toplamları 0 olur.
\( = 1 + i^1 + i^2 + 0 \)
\( = 1 + i + (-1) \)
\( = 0 + i = i \)
\( Re(z) = 0 \)
\( Im(z) = 1 \)
\( Re(z) + Im(z) = 0 + 1 = 1 \) bulunur.
\( z = (2 + 2i)^8 \) ve \( w = (8 - 8i)^4 \) olmak üzere,
\( Re(zw) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) karmaşık sayısını sadeleştirelim.
\( z = (2 + 2i)^8 \)
\( = [2(1 + i)]^8 \)
\( = 2^8(1 + i)^8 \)
\( = 2^8[(1 + i)^2]^4 \)
\( = 2^8(1 + 2i + i^2)^4 \)
\( = 2^8(2i)^4 \)
\( = 2^82^4i^4 \)
\( = 2^{12}i^4 \)
\( = 2^{12} \)
\( w \) karmaşık sayısını sadeleştirelim.
\( = (8 - 8i)^4 \)
\( = [8(1 - i)]^4 \)
\( = 8^4(1 - i)^4 \)
\( = 2^{12}[(1 - i)^2]^2 \)
\( = 2^{12}(1 - 2i + i^2)^2 \)
\( = 2^{12}(-2i)^2 \)
\( = 2^{12}(-2)^2i^2 \)
\( = 2^{14}i^2 \)
\( = -2^{14} \)
İki karmaşık sayının çarpımını bulalım.
\( zw = 2^{12} \cdot (-2^{14}) = -2^{26} \)
\( Re(zw) = -2^{26} \) bulunur.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 10 \) olduğuna göre,
\( P(3i + 1) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen polinomu parantez küpü şeklinde yazalım.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 11 \)
\( = (x - 1)^3 + 11 \)
İfadedeki tüm \( x \)'lerin yerine \( 3i + 1 \) yazalım.
\(P(3i + 1) = (3i + 1 - 1)^3 + 11 \)
\( = (3i)^3 + 11 \)
\( = 27i^3 + 11 \)
\( = 11 - 27i \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları karmaşık sayılar kümesinde tanımlıdır.
\( f(z) = z - i \)
\( g(z) = zi \)
Buna göre \( (f \circ g)(1 + i)\) işleminin sonucunu nedir?
Çözümü Göster\( g(1 + i) = (1 + i)i \)
\( = i + i^2 = i - 1 \)
\( (f \circ g)(1 + i) = f[g(1 + i)] \)
\( = f(i - 1) \)
\( = (i - 1) - i = -1 \) bulunur.