Karmaşık Sayıların Eşleniği

Bir \( z \) karmaşık sayısının eşleniği, reel kısmı \( z \) sayısınınki ile aynı, sanal kısmı \( z \) sayısınınkinin ters işaretlisi olan sayıdır. \( z \) karmaşık sayısının eşleniği \( \overline{z} \) ile gösterilir.

Bir karmaşık sayının ve eşleniğinin reel kısımları birbirine eşittir, sanal kısımları ise birbirinin ters işaretlisidir.

Sadece reel kısımdan oluşan bir karmaşık sayının eşleniği sayının kendisine eşittir. Sadece sanal kısımdan oluşan bir karmaşık sayının eşleniği sayının toplamaya göre tersine eşittir.

Buna göre bir karmaşık sayı eşleniğine eşitse bu karmaşık sayı bir reel sayıdır.

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir.

Bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları sayının kendisi ve eşleniği cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir.

Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımının sonucu bir reel sayıdır ve karmaşık sayının reel ve sanal kısımlarının kareleri toplamına eşittir. Bu değer aynı zamanda bir sonraki bölümde göreceğimiz karmaşık sayının mutlak değerinin (modülünün) karesine eşittir.

Bir karmaşık sayının eşleniği ile toplamının sonucu da bir reel sayıdır.

Karmaşık sayıların eşleniği ile ilgili diğer işlem özellikleri aşağıdaki gibidir.

İki karmaşık sayının toplamının/farkının eşleniği, sayıların eşleniklerinin toplamına/farkına eşittir.

İki karmaşık sayının çarpımının eşleniği, sayıların eşleniklerinin çarpımına eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir karmaşık sayının \( n \). dereceden üssünün eşleniği, sayının eşleniğinin \( n \). dereceden üssüne eşittir.

İki karmaşık sayının birbirine bölümünün eşleniği, sayıların eşleniklerinin birbirine bölümüne eşittir.

SORU 1:

\( (i^{-2} - i^{-3})^{-1} \) ifadesinin sadeleştirilmiş halini yazınız.

Çözümü Göster
SORU 2:

\( (\dfrac{5 + 3i}{1 + 4i})^4 \) ifadesinin sonucunu en sade haliyle yazınız.

Çözümü Göster
SORU 3:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1}{1 - i} = 3 + 4i \)

Yukarıda verilen eşitliğe göre \( z \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{1 - i} = \dfrac{3 - i}{4} \)

olduğuna göre, \( z \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( z + 3i = \dfrac{2}{1 - i} \)

\( w + z = i \)

olduğuna göre, \( w \cdot z \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:

\( z, w \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( 3z = -5iw - 2i + 5 \)

\( z - 1 = w + 2i \)

olduğuna göre, \( z \cdot w \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( \dfrac{4z}{z - 1} = 5 - i \)

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 8:

\( 2Re(z) + 3Im(\overline{z}) = -4 \)

\( 4Re(\overline{z}) - 3Im(z) = 6 \)

olduğuna göre, \( z \) karmaşık sayısı nedir?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( z = 1 - 5i \) ve \( u = 1 - 7i \) olmak üzere,

\( (\dfrac{z + \overline{u}}{\overline{z} + u})^{22} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 10:

\( \dfrac{(1 - i)^{10}}{(1 + i)^9} + (1 - 4i)^2 = \overline{z} + i \)

eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayısı nedir?

Çözümü Göster

« Önceki
Karmaşık Sayılarda İşlemler
Sonraki »
Denklemlerin Karmaşık Sayı Kökleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır