Karmaşık Sayıların Eşleniği
Bir \( z \) karmaşık sayısının eşleniği, reel bileşeni \( z \)'ninki ile aynı, sanal bileşeni \( z \)'ninkinin ters işaretlisi olan sayıdır. \( z \) karmaşık sayısının eşleniği \( \overline{z} \) ile gösterilir.
\( z = a + bi \)
\( \overline{z} = a - bi \)
\( z_1 = 3 + 2i \)
\( \overline{z_1} = 3 - 2i \)
\( z_2 = -5 - \sqrt{2}i \)
\( \overline{z_2} = -5 + \sqrt{2}i \)
Bir karmaşık sayı ve eşleniği, karmaşık düzlemde reel eksene göre simetriktir.
Bir karmaşık sayının ve eşleniğinin reel bileşenleri birbirine eşittir, sanal bileşenleri ise birbirinin ters işaretlisidir.
\( Re(z) = Re(\overline{z}) \)
\( Im(z) = -Im(\overline{z}) \)
Sadece reel bileşenden oluşan bir karmaşık sayı eşleniğine eşittir. Sadece sanal kısımdan oluşan bir karmaşık sayı eşleniğinin toplamaya göre tersine eşittir.
\( z_1 = 7 + 0i = 7 \)
\( \overline{z_1} = 7 - 0i = 7 \)
\( z_1 = \overline{z_1} \)
\( z_2 = 0 + 3i = 3i \)
\( \overline{z_2} = 0 - 3i = -3i \)
\( z_2 = -\overline{z_2} \)
Buna göre bir karmaşık sayı eşleniğine eşitse bu karmaşık sayı bir reel sayıdır.
\( z = \overline{z} \Longleftrightarrow Im(z) = 0 \)
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımının sonucu bir reel sayıdır ve karmaşık sayının reel ve sanal bileşenlerinin kareleri toplamına eşittir. Bu değer aynı zamanda bir sonraki bölümde göreceğimiz karmaşık sayının modülünün (mutlak değerinin) karesine eşittir.
\( z\overline{z} = a^2 + b^2 = {\abs{z}}^2 \)
\( z = 2 - 3i \)
\( z\overline{z} = (2 - 3i)(2 + 3i) \)
\( = 2^2 + 6i - 6i - 3^2i^2 \)
\( = 2^2 + 3^2 = 13 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \)
Sayının eşleniği ile çarpımını alalım.
\( z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) \)
\( = a^2 - abi + abi - b^2i^2 \)
\( = a^2 + b^2 \)
Bu ifade \( z \) karmaşık sayısının modülünün karesine eşittir.
\( = \abs{z}^2 \)
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir.
\( \overline{\left( \overline{z} \right)} = z \)
\( z = 7 - 2i \)
\( \overline{z} = 7 + 2i \)
\( \overline{\left( \overline{z} \right)} = 7 - 2i = z \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
Sayının eşleniğini alalım.
\( \overline{z} = a - bi \)
Elde ettiğimiz sayının tekrar eşleniğini alalım.
\( \overline{\left( \overline{z} \right)} = a + bi = z \)
Bir karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri sayının kendisi ve eşleniği cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir. Bu iki eşitlik karmaşık sayıların reel ve sanal kısımlarını birer fonksiyon olarak tanımlamamıza imkan sağlar.
\( Re(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2} \)
\( Im(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i} \)
\( z = 5 + 2i \)
\( \overline{z} = 5 - 2i \)
\( Re(z) = \dfrac{(5 + 2i) + (5 - 2i)}{2} = 5 \)
\( Im(z) = \dfrac{(5 + 2i) - (5 - 2i)}{2i} = 2 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
Sayının eşleniğini alalım.
\( \overline{z} = a - bi \)
Sayının ve eşleniğinin toplamını alalım.
\( z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a \)
Eşitliğin taraflarını \( 2 \)'ye bölelim.
\( \dfrac{z + \overline{z}}{2} = \dfrac{2a}{2} = a \)
\( = Re(z) \)
Sayının ve eşleniğinin farkını alalım.
\( z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi \)
Eşitliğin taraflarını \( 2i \)'ye bölelim.
\( \dfrac{z - \overline{z}}{2i} = \dfrac{2bi}{2i} = b \)
\( = Im(z) \)
Bir karmaşık sayının ve eşleniğinin toplamı bir reel sayıdır.
\( z + \overline{z} = 2Re(z) \)
\( z = 5 + 2i \)
\( z + \overline{z} = (5 + 2i) + (5 - 2i) = 10 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
Sayının eşleniğini alalım.
\( \overline{z} = a - bi \)
Sayının ve eşleniğinin toplamını alalım.
\( z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a \in \mathbb{R} \)
İki karmaşık sayının toplamının/farkının eşleniği, sayıların eşleniklerinin toplamına/farkına eşittir.
\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
\( \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 5 - 3i \)
\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{(2 + i) + (5 - 3i)} \)
\( = \overline{7 - 2i} = \textcolor{red}{7 + 2i} \)
\( \overline{z_1} + \overline{z_2} = \overline{(2 + i)} + \overline{(5 - 3i)} \)
\( = (2 - i) + (5 + 3i) = \textcolor{red}{7 + 2i} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( \overline{z_1 + z_2} \) ifadesini bulalım.
\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{(a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i)} \)
\( = \overline{(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i} \)
İfadenin eşleniğini alalım.
\( = (a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)i \)
\( \overline{z_1} + \overline{z_2} \) ifadesini bulalım.
\( \overline{z_1} + \overline{z_2} = \overline{a_1 + b_1i} + \overline{a_2 + b_2i} \)
\( = (a_1 - b_1i) + (a_2 - b_2i) \)
\( = (a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)i \)
Bulduğumuz iki ifade birbirine eşittir.
\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
Benzer bir ispat aşağıdaki eşitlik için de yapılabilir.
\( \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} \)
Eşlenik işlemi uygulandığı sayılara dağıtılabilir.
\( \overline{z_1 + \overline{z_2}} = \overline{z_1} + z_2 \)
\( \overline{\overline{z_1} + z_2} = z_1 + \overline{z_2} \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 5 - 3i \)
\( \overline{z_1 + \overline{z_2}} = \overline{(2 + i) + (\overline{5 - 3i})} \)
\( = \overline{(2 + i) + (5 + 3i)} = \overline{7 + 4i} = \textcolor{red}{7 - 4i} \)
\( \overline{z_1} + z_2 = (\overline{2 + i}) + (5 - 3i) \)
\( = (2 - i) + (5 - 3i) = \textcolor{red}{7 - 4i} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( \overline{z_1 + \overline{z_2}} \) ifadesini bulalım.
\( \overline{z_1 + \overline{z_2}} = \overline{(a_1 + b_1i) + (\overline{a_2 + b_2i})} \)
\( = \overline{(a_1 + b_1i) + (a_2 - b_2i)} \)
\( = \overline{(a_1 + a_2) + (b_1 - b_2)i} \)
İfadenin eşleniğini alalım.
\( = (a_1 + a_2) - (b_1 - b_2)i \)
\( \overline{z_1} + z_2 \) ifadesini bulalım.
\( \overline{z_1} + z_2 = (\overline{a_1 + b_1i}) + (a_2 + b_2i) \)
İfadenin eşleniğini alalım.
\( = (a_1 - b_1i) + (a_2 + b_2i) \)
\( = (a_1 + a_2) - (b_1 - b_2)i \)
Bulduğumuz iki ifade birbirine eşittir.
\( \overline{z_1 + \overline{z_2}} = \overline{z_1} + z_2 \)
Benzer bir ispat aşağıdaki eşitlik için de yapılabilir.
\( \overline{\overline{z_1} + z_2} = z_1 + \overline{z_2} \)
İki karmaşık sayının çarpımının eşleniği, sayıların eşleniklerinin çarpımına eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir karmaşık sayının \( n \). dereceden üssünün eşleniği, sayının eşleniğinin \( n \). dereceden üssüne eşittir.
\( \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\overline{z_2} \)
\( \overline{z_1^n} = (\overline{z_1})^n \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 5 - 3i \)
\( \overline{z_1z_2} = \overline{(2 + i)(5 - 3i)} \)
\( = \overline{10 - 6i + 5i - 3i^2} = \overline{13 - i} = \textcolor{red}{13 + i} \)
\( \overline{z_1}\overline{z_2} = \overline{2 + i} \cdot \overline{5 - 3i} \)
\( = (2 - i)(5 + 3i) = 10 + 6i - 5i - 3i^2 = \textcolor{red}{13 + i} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( \overline{z_1z_2} \) ifadesini bulalım.
\( \overline{z_1z_2} = \overline{(a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i)} \)
\( = \overline{a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2} \)
\( = \overline{(a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i} \)
İfadenin eşleniğini alalım.
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) - (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
\( \overline{z_1}\overline{z_2} \) ifadesini bulalım.
\( \overline{z_1}\overline{z_2} = (\overline{a_1 + b_1i})(\overline{a_2 + b_2i}) \)
İfadelerin eşleniğini alalım.
\( = (a_1 - b_1i)(a_2 - b_2i) \)
\( = a_1a_2 - a_1b_2i - a_2b_1i - b_1b_2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) - (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
Bulduğumuz iki ifade birbirine eşittir.
\( \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\overline{z_2} \)
İki karmaşık sayının birbirine bölümünün eşleniği, sayıların eşleniklerinin birbirine bölümüne eşittir.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \)
\( z_1 = 11 + 3i, \quad z_2 = -2 - i \)
\( \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \overline{\left( \dfrac{11 + 3i}{-2 - i} \right)} \)
\( = \overline{\left( \dfrac{11 + 3i}{-2 - i} \cdot \dfrac{-2 + i}{-2 + i} \right)} = \overline{\left( \dfrac{-22 + 11i - 6i + 3i^2}{4 - 2i + 2i - i^2} \right)} \)
\( = \overline{\left( \dfrac{-25 + 5i}{5} \right)} = \overline{-5 + i} = \textcolor{red}{-5 - i} \)
\( \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \dfrac{\overline{11 + 3i}}{\overline{-2 - i}} \)
\( \dfrac{11 - 3i}{-2 + i} = \dfrac{11 - 3i}{-2 + i} \cdot \dfrac{-2 - i}{-2 - i} = \dfrac{-22 - 11i + 6i + 3i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} \)
\( = \dfrac{-25 - 5i}{5} = \textcolor{red}{-5 - i} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} \) ifadesini bulalım.
\( \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \overline{\left( \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \right)} \)
İki karmaşık sayının bölümünü önceki bölümde aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( = \overline{\dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i} \)
İfadenin eşleniğini alalım.
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} - \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
\( \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \) ifadesini bulalım.
\( \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \dfrac{\overline{a_1 + b_1i}}{\overline{a_2 + b_2i}} \)
İfadelerin eşleniğini alalım.
\( = \dfrac{a_1 - b_1i}{a_2 - b_2i} \)
Önceki bölümde bulduğumuz bölme işleminin sonucunda \( b_1 \) ve \( b_2 \) yerine sırasıyla \( -b_1 \) ve \( -b_2 \) yazalım.
\( = \dfrac{a_1a_2 + (-b_1)(-b_2)}{a_2^2 + (-b_2)^2} + \dfrac{a_2(-b_1) - a_1(-b_2)}{a_2^2 + (-b_2)^2}i \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{-a_2b_1 + a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} - \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
Bulduğumuz iki ifade birbirine eşittir.
\( \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \)
Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz.
(a) \( -21i + 8 \)
(b) \( \sqrt{2} + \sqrt{5}i \)
(c) \( -\sqrt{11}i \)
(d) \( \pi \)
Çözümü GösterBir \( z \) karmaşık sayısının eşleniği, reel bileşeni \( z \) sayısınınki ile aynı, sanal bileşeni \( z \) sayısınınkinin ters işaretlisi olan sayıdır.
(a) seçeneği:
\( -21i + 8 = 8 - 21i \)
\( \overline{8 - 21i} = 8 + 21i \)
(b) seçeneği:
\( \overline{\sqrt{2} + \sqrt{5}i} = \sqrt{2} - \sqrt{5}i \)
(c) seçeneği:
\( -\sqrt{11}i = 0 - \sqrt{11}i \)
\( \overline{0 -\sqrt{11}i} = 0 + \sqrt{11}i \)
\( = \sqrt{11}i \)
(d) seçeneği:
\( \pi = \pi + 0i \)
\( \overline{\pi + 0i} = \pi - 0i \)
\( = \pi \)
\( (i^{-2} - i^{-3})^{-1} \) ifadesinin sadeleştirilmiş halini yazınız.
Çözümü Göster\( (i^{-2} - i^{-3})^{-1} = \left( \dfrac{1}{i^2} - \dfrac{1}{i^3} \right)^{-1} \)
Paydaları eşitleyelim.
\( = \left( \dfrac{i - 1}{i^3} \right)^{-1} = \left( \dfrac{i - 1}{-i} \right)^{-1} \)
Parantez içindeki ifadenin çarpmaya göre tersini alalım.
\( = \dfrac{-i}{i - 1} = \dfrac{i}{1 - i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{i + i^2}{1 - i^2} \)
\( = \dfrac{i - 1}{2} = \dfrac{i}{2} - \dfrac{1}{2} \) olarak bulunur.
\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster\( (a - 1) + (b + 2)i = 0 + i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a - 1 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b + 2 = 1 \Longrightarrow b = -1 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \dfrac{a + bi}{a - bi} = \dfrac{1 - i}{1 + i} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \)
\( = \dfrac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{-2i}{2} = -i \) bulunur.
\( \left( \dfrac{5 + 3i}{1 + 4i} \right)^4 \) ifadesinin sonucunu en sade haliyle yazınız.
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki ifadenin paydasını karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( \dfrac{(5 + 3i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \dfrac{5 - 20i + 3i - 12i^2}{1^2 + 4^2} \)
\( = \dfrac{17 - 17i}{17} = 1 - i \)
Parantez içindeki ifade yerine bulduğumuz ifadeyi yazalım.
\( (1 - i)^4 = [(1 - i)^2]^2 = (1 - 2i + i^2)^2 \)
\( = (-2i)^2 = 4i^2 = -4 \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1}{1 - i} = 3 + 4i \)
olduğuna göre, \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ifadesini denklemde yalnız bırakalım.
\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)} = 3 + 4i \)
\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1 + i}{2} = 3 + 4i \)
\( \dfrac{65}{z} = 3 + 4i + \dfrac{1 + i}{2} \)
\( \dfrac{65}{z} = \dfrac{7 + 9i}{2} \)
İki tarafın çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{z}{65} = \dfrac{2}{7 + 9i} \)
\( z = \dfrac{130}{7 + 9i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{130(7 - 9i)}{(7 + 9i)(7 - 9i)} \)
\( = \dfrac{130(7 - 9i)}{7^2 + 9^2} \)
\( = \dfrac{130(7 - 9i)}{130} \)
\( = 7 - 9i \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{1 - i} = \dfrac{3 - i}{4} \)
olduğuna göre, \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ifadesini denklemde yalnız bırakalım.
\( \dfrac{1}{z} = \dfrac{3 - i}{4} - \dfrac{1}{1 - i} \)
\( = \dfrac{3 - i}{4} - \dfrac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)} \)
\( = \dfrac{3 - i}{4} - \dfrac{1 + i}{1^2 + 1^2} \)
\( = \dfrac{1 - 3i}{4} \)
Eşitliğin iki tarafının çarpmaya göre tersini alalım.
\( z = \dfrac{4}{1 - 3i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{4(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} \)
\( = \dfrac{4 + 12i}{1^2 + 3^2} \)
\( = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i \) bulunur.
\( z, w \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z + 3i = \dfrac{2}{1 - i} \)
\( w + z = i \)
olduğuna göre, \( wz \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ifadesini birinci denklemde yalnız bırakalım.
\( z = \dfrac{2}{1 - i} - 3i \)
\( = \dfrac{2 - 3i(1 - i)}{1 - i} \)
\( = \dfrac{2 - 3i + 3i^2}{1 - i} \)
\( = \dfrac{-1 - 3i}{1 - i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(-1 - 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \)
\( = \dfrac{-1 - i - 3i - 3i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{2 - 4i}{2} \)
\( = 1 - 2i \)
\( w \) ifadesini ikinci denklemde yalnız bırakalım.
\( w + z = i \)
\( w + 1 - 2i = i \)
\( w = -1 + 3i \)
\( wz \) çarpımını bulalım.
\( wz = (-1 + 3i)(1 - 2i) \)
\( = -1 + 2i + 3i - 6i^2 \)
\( = 5 + 5i \) bulunur.
Yukarıdaki grafiğe göre, \( \dfrac{z_1^2 \cdot \overline{z_2}}{z_3^3} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterGrafikte işaretli karmaşık sayıları yazalım.
\( z_1 = 7 + 5i \)
\( z_2 = 4 - 4i \)
\( z_3 = 1 - i \)
Bu değerleri verilen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{z_1^2 \cdot \overline{z_2}}{z_3^3} = \dfrac{(7 + 5i)^2(\overline{4 - 4i})}{(1 - i)^3} \)
\( = \dfrac{(49 + 70i + 25i^2)(4 + 4i)}{1^3 - 3 \cdot 1^2i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3} \)
\( = \dfrac{(49 + 70i - 25)(4 + 4i)}{1 - 3i - 3 + i} \)
\( = \dfrac{(24 + 70i)(4 + 4i)}{-2 - 2i} \)
\( = \dfrac{(24 + 70i)(-2)(-2 - 2i)}{-2 - 2i} \)
\( = (24 + 70i)(-2) \)
\( = -48 - 140i \) bulunur.
\( 2Re(z) + 3Im(\overline{z}) = -4 \)
\( 4Re(\overline{z}) - 3Im(z) = 6 \)
olduğuna göre, \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \) diyelim.
\( \overline{z} = a - bi \)
\( Re(z) = Re(\overline{z}) = a \)
\( Im(z) = b \)
\( Im(\overline{z}) = -b \)
Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım.
\( 2a + 3(-b) = -4 \)
\( 4a - 3b = 6 \)
Birinci denklemde eşitliğin her iki tarafını \( -1 \) ile çarpalım.
\( -2a + 3b = 4 \)
\( 4a - 3b = 6 \)
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2a = 10 \)
\( a = 5 \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.
\( 4(5) - 3b = 6 \)
\( b = \dfrac{14}{3} \)
\( z \) karmaşık sayısını yazalım.
\( z = a + bi = 5 + \dfrac{14}{3}i \) bulunur.
\( z, w \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 3z = -5iw - 2i + 5 \)
\( z - 1 = w + 2i \)
olduğuna göre, \( zw \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ve \( w \) değişkenlerinden ve iki denklemden oluşan denklem sistemini çözelim.
İkinci denklemin taraflarını -3 ile çarpalım.
\( -3z + 3 = -3w - 6i \)
Elde ettiğimiz denklemi birinci denklemle taraf tarafa toplayalım.
\( 3 = -5iw - 3w - 8i + 5 \)
\( w \)'yi yalnız bırakalım.
\( w = \dfrac{2 - 8i}{3 + 5i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 - 8i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)} \)
\( = \dfrac{6 - 10i - 24i + 40i^2}{3^2 + 5^2} \)
\( = \dfrac{-34 - 34i}{34} = -1 - i \)
\( w \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( z - 1 = w + 2i \)
\( z - 1 = -1 - i + 2i \)
\( z = i \)
\( zw = i(-1 - i) = 1 - i \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( \dfrac{4z}{z - 1} = 5 - i \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( z \)'yi yalnız bırakalım.
\( 4z = (z - 1)(5 - i) \)
\( 4z = 5z - iz - 5 + i \)
\( z - iz = 5 - i \)
\( z = \dfrac{5 - i}{1 - i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(5 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \)
\( = \dfrac{5 + 5i - i - i^2}{1^2 + 1^2} \)
\( = \dfrac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i \) bulunur.
\( z, u \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z = 1 - 5i \)
\( u = 1 - 7i \) olduğuna göre,
\( \left( \dfrac{z + \overline{u}}{\overline{z} + u} \right)^{22} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen karmaşık sayıların eşleniklerini bulalım.
\( \overline{z} = 1 + 5i \)
\( \overline{u} = 1 + 7i \)
Bu değerleri verilen işlemde yerine yazalım.
\( \left( \dfrac{1 - 5i + 1 + 7i}{1 + 5i + 1 - 7i} \right)^{22} \)
\( = \left( \dfrac{2 + 2i}{2 - 2i} \right)^{22} \)
\( = \left( \dfrac{1 + i}{1 - i} \right)^{22} \)
\( = \left[ \left(\dfrac{1 + i}{1 - i} \right)^2 \right]^{11} \)
\( = \left( \dfrac{(1 + i)^2}{(1 - i)^2} \right)^{11} \)
\( = \left( \dfrac{1 + 2i + i^2}{1 - 2i + i^2} \right)^{11} \)
\( = \left( \dfrac{2i}{-2i} \right)^{11} \)
\( = (-1)^{11} = -1 \) bulunur.