Karmaşık Sayıların Kökleri
\( z \) ve \( w \) karmaşık sayıları arasında aşağıdaki gibi bir denklem tanımlayalım. Bu denklemi sağlayan her \( z \) sayısı denklemin bir köküdür ve bu kökler aynı zamanda \( w \) sayısının \( n \). kökleridir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( z^n = w \Longleftrightarrow z = w^{\frac{1}{n}} \)
\( z = re^{i\theta} \) ve \( w = r_0e^{i\theta_0} \) şeklinde tanımlarsak bu eşitlik aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( (re^{i\theta})^n = r_0e^{i\theta_0} \)
Üstel gösterimde üs kuralını kullanalım.
\( r^ne^{in\theta} = r_0e^{i\theta_0} \)
Üstel gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki eşitlikte; sayıların modüllerinin birbirine eşit, argümentlerinin birbirine denk, yani açıları arasında \( 2\pi \) radyanın bir tam sayı katı kadar fark olduğunu görmüştük. Bu kuralı elimizdeki denkleme uygulayalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( r^n = r_0 \)
\( n\theta = \theta_0 + 2k\pi \)
\( r \) ve \( \theta \) değerlerini yalnız bırakalım. Kutupsal gösterim bölümünde yaptığımız varsayıma göre \( r \) negatif olamaz, dolayısıyla bu kök alma işleminde pozitif \( r \) değeri seçilir.
\( r \gt 0 \) olmak üzere,
\( r = \sqrt[n]{r_0} \)
\( \theta = \dfrac{\theta_0}{n} + \dfrac{2k\pi}{n} \)
Buna göre \( z^n = w \) denkleminin her biri aşağıdaki formülle bulunabilen \( n \) kökü vardır. \( k \)'nın bu aralık dışındaki değerleri bu \( n \) kök ile aynı kökleri üretir.
\( k \in \{ 0, 1, 2, \ldots, n - 1 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[n]{r_0}e^{i\left( \frac{\theta_0}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right)} \)
Elde edilen \( n \) kök, merkezi orijin noktası ve yarıçapı \( \sqrt[n]{r_0} \) birim olan bir çember üzerinde, aralarında \( \frac{2\pi}{n} \) radyanlık açı olacak şekilde bulunurlar ve bir düzgün \( n \)-genin köşelerini oluştururlar.
Aşağıdaki şekilde \( n = 8 \) için bu köklerin nasıl oluştuğu örnek bir \( z^8 = w \) denklemi için gösterilmiştir.
Bir denklemin köklerini bulmayı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( z^3 = -8i \) denkleminin köklerini bulalım.
Eşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = -8i \)
\( r_0 = \abs{-8i} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8 \)
\( w = (0, -8) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = -\frac{\pi}{2} \) açısına karşılık gelir.
\( w = -8i = 8e^{-i\frac{\pi}{2}} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[3]{8}e^{i\left( \frac{-\frac{\pi}{2}}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right)} = 2e^{i\left( -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \right)} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \frac{2\pi}{3} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( 2e^{-i\frac{\pi}{6}} \) |
\( 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})) \) |
\( \sqrt{3} - i \) |
\( z_1 \) |
\( 2e^{i\frac{\pi}{2}} \) |
\( 2(\cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}}) \) |
\( 2i \) |
\( z_2 \) |
\( 2e^{-i\frac{5\pi}{6}} \) |
\( 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6})) \) |
\( -\sqrt{3} - i \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
Birimin Kökleri
Yukarıda paylaştığımız yöntemin özel bir durumu olarak, \( z^n = 1 \) denkleminin köklerine birimin \( n \). kökleri denir.
\( n = 5 \) için birimin köklerini bulalım.
Soruda istenen aşağıdaki denklemin kökleridir.
\( z^6 = 1 \)
Eşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = 1 \)
\( r_0 = \abs{1} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \)
\( w = (1, 0) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = 0 \) açısına karşılık gelir.
\( w = 1 = e^{i0} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[6]{1}e^{i\left( \frac{0}{6} + \frac{2k\pi}{6} \right)} = e^{i\frac{k\pi}{3}} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \frac{\pi}{3} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( e^{i0} \) |
\( \cos{0} + i\sin{0} \) |
\( 1 \) |
\( z_1 \) |
\( e^{i\frac{\pi}{3}} \) |
\( \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}} \) |
\( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) |
\( z_2 \) |
\( e^{i\frac{2\pi}{3}} \) |
\( \cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}} \) |
\( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) |
\( z_3 \) |
\( e^{i\pi} \) |
\( \cos{\pi} + i\sin{\pi} \) |
\( -1 \) |
\( z_4 \) |
\( e^{i\frac{4\pi}{3}} \) |
\( \cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}} \) |
\( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) |
\( z_5 \) |
\( e^{i\frac{5\pi}{3}} \) |
\( \cos{\frac{5\pi}{3}} + i\sin{\frac{5\pi}{3}} \) |
\( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
Birimin \( n \). köklerinde \( k = 0 \) için bulunan \( z_0 = 1 \) köküne basit çözüm, \( k = 1 \) için bulunan \( z_1 = e^{i\frac{2\pi}{n}} \) köküne birimin \( n \). ilkel kökü denir ve \( w_n \) ile gösterilir.
Dikkat edilirse birimin \( n \). köklerinde \( (k + 1) \). kök \( k \). kökün argümentine \( \frac{2\pi}{n} \) eklenerek bulunur, bu da her kökü birimin \( n \). ilkel kökü ile çarpmakla özdeştir. Buna göre birimin tüm \( n \). kökleri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( w_n = e^{i\frac{2\pi}{n}} \) olmak üzere,
\( 1, w_n, w_n^2, w_n^3, \ldots, w_n^{n-1} \)
Bir \( z^n = w \) denkleminin köklerine \( z_0, z_1, \ldots, z_{n-1} \) dersek \( z - w \) polinomunu aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( z - w = 0 \)
\( z - w = (z - z_0)(z - z_1) \ldots (z - z_{n-1}) \)
\( z^4 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}i}{2} \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}i}{2} \)
\( r_0 = \abs{-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}i}{2}} = \sqrt{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = 1 \)
\( w = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = -\frac{2\pi}{3} \) açısına karşılık gelir.
\( w = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}i}{2} = e^{-i\frac{2\pi}{3}} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2, 3 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[4]{1}e^{i\left( \frac{-\frac{2\pi}{3}}{4} + \frac{2k\pi}{4} \right)} = e^{i\left( -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \right)} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \frac{\pi}{2} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( e^{-i\frac{\pi}{6}} \) |
\( \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}) \) |
\( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \) |
\( z_1 \) |
\( e^{i\frac{\pi}{3}} \) |
\( \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}} \) |
\( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2} \) |
\( z_2 \) |
\( e^{i\frac{5\pi}{6}} \) |
\( \cos{\frac{5\pi}{6}} + i\sin{\frac{5\pi}{6}} \) |
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \) |
\( z_3 \) |
\( e^{i\frac{4\pi}{3}} \) |
\( \cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}} \) |
\( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}i}{2} \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z^6 = -8\sqrt{3} + 8i \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = -8\sqrt{3} + 8i \)
\( r_0 = \abs{-8\sqrt{3} + 8i} = \sqrt{(-8\sqrt{3})^2 + 8^2} = 16 \)
\( w = (-8\sqrt{3}, 8) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = \frac{5\pi}{6} \) açısına karşılık gelir.
\( w = -8\sqrt{3} + 8i = 16e^{i\frac{5\pi}{6}} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[6]{16}e^{i\left( \frac{\frac{5\pi}{6}}{6} + \frac{2k\pi}{6} \right)} = \sqrt[3]{4}e^{i\left( \frac{5\pi}{36} + \frac{k\pi}{3} \right)} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \frac{\pi}{3} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal |
|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( \sqrt[3]{4}e^{i\frac{5\pi}{36}} \) |
\( \sqrt[3]{4}(\cos{\frac{5\pi}{36}} + i\sin{\frac{5\pi}{36}}) \) |
\( z_1 \) |
\( \sqrt[3]{4}e^{i\frac{17\pi}{36}} \) |
\( \sqrt[3]{4}(\cos{\frac{17\pi}{36}} + i\sin{\frac{17\pi}{36}}) \) |
\( z_2 \) |
\( \sqrt[3]{4}e^{i\frac{29\pi}{36}} \) |
\( \sqrt[3]{4}(\cos{\frac{29\pi}{36}} + i\sin{\frac{29\pi}{36}}) \) |
\( z_3 \) |
\( \sqrt[3]{4}e^{i\frac{41\pi}{36}} \) |
\( \sqrt[3]{4}(\cos{\frac{41\pi}{36}} + i\sin{\frac{41\pi}{36}}) \) |
\( z_4 \) |
\( \sqrt[3]{4}e^{i\frac{53\pi}{36}} \) |
\( \sqrt[3]{4}(\cos{\frac{53\pi}{36}} + i\sin{\frac{53\pi}{36}}) \) |
\( z_5 \) |
\( \sqrt[3]{4}e^{i\frac{65\pi}{36}} \) |
\( \sqrt[3]{4}(\cos{\frac{65\pi}{36}} + i\sin{\frac{65\pi}{36}}) \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z^8 = 2 \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = 2 \)
\( r_0 = \abs{2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \)
\( w = (2, 0) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = 0 \) açısına karşılık gelir.
\( w = 2 = 2e^{i0} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[8]{2}e^{i\left( \frac{0}{8} + \frac{2k\pi}{8} \right)} = \sqrt[8]{2}e^{i\left( \frac{k\pi}{4} \right)} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \frac{\pi}{4} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i0} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{0} + i\sin{0}) \) |
\( \sqrt[8]{2} \) |
\( z_1 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) \) |
\( \sqrt[8]{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}i}{2}) \) |
\( z_2 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\frac{\pi}{2}} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}}) \) |
\( \sqrt[8]{2}i \) |
\( z_3 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\frac{3\pi}{4}} + i\sin{\frac{3\pi}{4}}) \) |
\( \sqrt[8]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}i}{2}) \) |
\( z_4 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\pi} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\pi} + i\sin{\pi}) \) |
\( -\sqrt[8]{2} \) |
\( z_5 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\frac{5\pi}{4}} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\frac{5\pi}{4}} + i\sin{\frac{5\pi}{4}}) \) |
\( \sqrt[8]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}i}{2}) \) |
\( z_6 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\frac{3\pi}{2}} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\frac{3\pi}{2}} + i\sin{\frac{3\pi}{2}}) \) |
\( -\sqrt[8]{2}i \) |
\( z_7 \) |
\( \sqrt[8]{2}e^{i\frac{7\pi}{4}} \) |
\( \sqrt[8]{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}} + i\sin{\frac{7\pi}{4}}) \) |
\( \sqrt[8]{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}i}{2}) \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z^5 = 16\sqrt{3} - 16i \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = 16\sqrt{3} - 16i \)
\( r_0 = \abs{16\sqrt{3} - 16i} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + (-16)^2} = 32 \)
\( w = (16\sqrt{3}, -16) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = -\frac{\pi}{6} \) açısına karşılık gelir.
\( w = 16\sqrt{3} - 16i = 32e^{-i\frac{\pi}{6}} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[5]{32}e^{i\left( \frac{-\frac{\pi}{6}}{5} + \frac{2k\pi}{5} \right)} = 2e^{i\left( -\frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} \right)} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \frac{2\pi}{5} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal |
|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( 2e^{-i\frac{\pi}{30}} \) |
\( 2(\cos(-\frac{\pi}{30}) + i\sin(-\frac{\pi}{30})) \) |
\( z_1 \) |
\( 2e^{i\frac{11\pi}{30}} \) |
\( 2(\cos{\frac{11\pi}{30}} + i\sin{\frac{11\pi}{30}}) \) |
\( z_2 \) |
\( 2e^{i\frac{23\pi}{30}} \) |
\( 2(\cos{\frac{23\pi}{30}} + i\sin{\frac{23\pi}{30}}) \) |
\( z_3 \) |
\( 2e^{i\frac{7\pi}{6}} \) |
\( 2(\cos{\frac{7\pi}{6}} + i\sin{\frac{7\pi}{6}}) \) |
\( z_4 \) |
\( 2e^{i\frac{47\pi}{30}} \) |
\( 2(\cos{\frac{47\pi}{30}} + i\sin{\frac{47\pi}{30}}) \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z^{\frac{2}{3}} = \sqrt{3} + i \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( z^2 = (\sqrt{3} + i)^3 \)
\( = \left( 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{\pi}{6}} \right) \right)^3 \)
De Moivre formülünü kullanalım.
\( = 8\left( \cos{\dfrac{\pi}{2}} + i\sin{\dfrac{\pi}{2}} \right) \)
\( = 8i \)
Eşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = 8i \)
\( r_0 = \abs{8i} = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8 \)
\( w = (0, 8) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = \frac{\pi}{2} \) açısına karşılık gelir.
\( w = 8i = 8e^{i\frac{\pi}{2}} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt{8}e^{i\left( \frac{\frac{\pi}{2}}{2} + \frac{2k\pi}{2} \right)} = 2\sqrt{2}e^{i\left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right)} \)
Denklemin tüm köklerini ilk kökün argümentine \( \pi \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) |
\( 2\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) \) |
\( 2 + 2i \) |
\( z_1 \) |
\( 2\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}} \) |
\( 2\sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{4}} + i\sin{\frac{5\pi}{4}}) \) |
\( -2 - 2i \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
