Denklemlerin Karmaşık Sayı Kökleri

\( 1 + 2i \) denklemin bir kökü ise denklemde \( z \) yerine konduğunda denklemi sağlar.

\( (1 + 2i)^2 - 2(1 + 2i + 1) + 5a = 0 \)

\( 1^2 + 4i + (2i)^2 - 4 - 4i + 5a = 0 \)

\( 1 + 4i - 4 - 4 - 4i + 5a = 0 \)

\( -7 + 5a = 0 \)

\( a = \dfrac{7}{5} \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( x^2 + 2x + 5 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 2^2 - 4(1)(5) = -16 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kökü vardır.

Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.

\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\( = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2(1)} \)

\( = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} \)

\( = -1 \pm 2i \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -1 - 2i, -1 + 2i \} \)

(b) seçeneği:

\( -x^2 + 6x - 20 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( a = -1, \quad b = 6, \quad c = -20 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 6^2 - 4(-1)(-20) = -44 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kökü vardır.

Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.

\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\( = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-44}}{2(-1)} \)

\( = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{11}i}{-2} \)

\( = 3 \pm \sqrt{11}i \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 3 - \sqrt{11}i, 3 + \sqrt{11}i \} \)

(c) seçeneği:

\( 2x^2 - 2x + 7 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( a = 2, \quad b = -2, \quad c = 7 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = (-2)^2 - 4(2)(7) = -52 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kökü vardır.

Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.

\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\( = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{-52}}{2(2)} \)

\( = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{13}i}{4} \)

\( = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}i \)

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{13}}{2}i, \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{13}}{2}i \right\} \)

İkinci dereceden bir denklemin reel sayı köklerinin olmaması için deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( a = m - 4, \quad b = -2m, \quad c = m \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-2m)^2 - 4(m - 4)m \lt 0 \)

\( 4m^2 - 4m^2 + 16m \lt 0 \)

\( m \lt 0 \) bulunur.

Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık ise diğer kökü de karmaşıktır ve kökler birbirinin eşleniğidir.

Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{4 - \sqrt{2n}i, 4 + \sqrt{2n}i\} \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = 12 \)

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2m}{1} = 2m \)

\( 4 - \sqrt{2n}i + 4 + \sqrt{2n}i = 2m \)

\( m = 4 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{12}{1} = 12 \)

\( (4 - \sqrt{2n}i) \cdot (4 + \sqrt{2n}i) = 12 \)

\( 4^2 - (\sqrt{2n}i)^2 = 12 \)

\( 16 + 2n = 12 \)

\( n = -2 \)

\( m + n = 4 + (-2) = 2 \) bulunur.

Katsayıları reel sayı olan ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.

\( x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i \)

Denklemin katsayılar toplamını bulalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n \)

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{1} = m \)

\( (1 + i) + (1 - i) = 2 = m \)

Denklemin katsayılar çarpımını bulalım.

\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m}{1} = n \)

\( (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 2 = n \)

Buna göre \( mn = 2 \cdot 2 = 4 \) bulunur.

Reel katsayılı ikinci dereceden denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.

\( x_1 = 3 + 2i, \quad x_2 = 3 - 2i \)

Denklemin denklemine \( ax^2 + bx + c = 0 \) diyelim.

\( a = 3 \) olarak veriliyor.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( 3 + 2i + 3 - 2i = -\dfrac{b}{3} \)

\( b = -18 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( (3 + 2i)(3 - 2i) = \dfrac{c}{3} \)

\( 3^2 + 2^2 = \dfrac{c}{3} \)

\( c = 39 \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( 3x^2 - 18x + 39 = 0 \)

Reel katsayılı bir polinom denkleminin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.

Üçüncü dereceden bir polinom denkleminin en fazla üç kökü olabileceği için denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.

\( x_1 = 2, x_2 = 3 - i, x_3 = 3 + i \)

Buna göre başkatsayısı 1 olan denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( (x - 2)(x - (3 - i))(x - (3 + i)) = 0 \)

\( (x - 2)(x^2 - 6x + 10) = 0 \)

\( x^3 - 6x^2 + 10x - 2x^2 + 12x - 20 = 0 \)

\( x^3 - 8x^2 + 22x - 20 = 0 \)

\( x^4 - 16 = 0 \)

Denklemi çarpanlarına ayıralım.

\( (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \)

\( (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.

İlk iki çarpanı sıfır yapan kökler \( 2 \) ve \( -2 \) reel sayılarıdır.

\( x^2 + 4 = 0 \)

\( x^2 = -4 \)

\( x = \pm2i \)

Üçüncü çarpanı sıfır yapan kökler \( -2i \) ve \( 2i \) karmaşık sayılarıdır.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ \pm 2, \pm 2i \} \)

\( z \) değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.

\( a = 1, \quad b = -6i, \quad c = -13 \)

\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( = \dfrac{6i \pm \sqrt{(-6i)^2 - 4(1)(-13)}}{2} \)

\( = \dfrac{6i \pm \sqrt{-36 + 52}}{2} \)

\( = \dfrac{6i \pm 4}{2} = 3i \pm 2 \)

Çözüm kümesi: \( z \in \{2 + 3i, -2 + 3i\} \)

Küp farkı özdeşliğini kullanalım.

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( 8z^3 - 125 = (2z)^3 - 5^3 = 0 \)

\( (2z - 5)(4z^2 + 10z + 25) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 2z - 5 = 0 \)

\( z = \dfrac{5}{2} \)

Durum 2:

\( 4z^2 + 10z + 25 = 0 \)

Bu denklemin çözüm kümesi için kök bulma formülünü kullanalım.

\( a = 4, \quad b = 10, \quad c = 25 \)

\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( = \dfrac{-10 \pm \sqrt{100 - 4(4)(25)}}{2(4)} \)

\( = \dfrac{-10 \pm 10\sqrt{3}i}{8} = -\dfrac{5}{4} \pm \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( z \in \left\{ \dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{4} - \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i, -\dfrac{5}{4} + \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i \right\} \)

Denklem reel katsayılı olduğu için denklemin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.

\( z_1 = 3 + 2i, \quad z_2 = 3 - 2i \)

Üçüncü dereceden bir polinom denklemi için kökler toplamı formülünü yazalım.

\( a = 2, \quad b = -15, \quad c = 44, \quad d = -39 \)

\( z_1 + z_2 + z_3 = -\dfrac{b}{a} \)

\( (3 + 2i) + (3 - 2i) + z_3 = -\dfrac{-15}{2} \)

\( 6 + z_3 = \dfrac{15}{2} \)

\( z_3 = \dfrac{3}{2} \)

Çözüm kümesi: \( z \in \left\{ 3 - 2i, 3 + 2i, \dfrac{3}{2} \right\} \)

Alternatif bir çözüm olarak, verilen üçüncü dereceden ifadeyi birbirinin eşleniği olan iki kökün çarpımından oluşan ikinci dereceden ifadeye polinom bölmesi ile bölerek de üçüncü kökü bulabiliriz.

\( \dfrac{2z^3 - 15z^2 + 44z - 39}{(z - (3 - 2i))(z - (3 + 2i))} \)

Verilen denklem karmaşık katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir, dolayısıyla karmaşık kökler birbirinin eşleniği olmak zorunda değildir.

Eşitliğin taraflarını \( i \)'ye bölelim.

\( 3x^2 - \dfrac{7x}{i} - 4 = 0 \)

\( 3x^2 - \dfrac{7ix}{i^2} - 4 = 0 \)

\( 3x^2 + 7ix - 4 = 0 \)

Kök bulma formülünü kullanalım.

\( a = 3, \quad b = 7i, \quad c = -4 \)

\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( = \dfrac{-7i \pm \sqrt{49i^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} \)

\( = \dfrac{-7i \pm \sqrt{-1}}{6} \)

\( = \dfrac{-7i \pm i}{6} \)

\( x_1 = -i \)

\( x_2 = -\dfrac{4i}{3} \)

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -\dfrac{4i}{3}, -i \right\} \)

Verilen denklem karmaşık katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir, dolayısıyla karmaşık kökler birbirinin eşleniği olmak zorunda değildir.

Denklemin kökler çarpımı reel sayı olduğu için ikinci kök \( 4 + 2i \) ile çarpıldığında bir reel sayı verecek şekilde \( k(4 - 2i) \) formunda olmalıdır. İkinci kök \( k \) katsayısı dışında birinci kökün eşleniği olmadığı durumda iki kökün çarpımı \( i \) sayısını içerecektir.

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( a = 2, \quad b = -(z - 3), \quad c = 80 \)

\( (4 + 2i)[k(4 - 2i)] = \dfrac{c}{a} = \dfrac{80}{2} = 40 \)

\( k(4^2 + 2^2) = 40 \)

\( k = 2 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( 4 + 2i + 2(4 - 2i) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(z - 3)}{2} = \dfrac{z - 3}{2} \)

\( 12 - 2i = \dfrac{z - 3}{2} \)

\( 24 - 4i = z - 3 \)

\( z = 27 - 4i \) bulunur.

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( z = a + bi \) diyelim.

\( \overline{z} = a - bi \)

\( (a + bi)^2 + 6(a - bi) + 5 = 0 \)

\( a^2 + 2abi + b^2i^2 + 6a - 6bi + 5 = 0 \)

Reel ve sanal terimleri gruplayalım.

\( a^2 + 6a - b^2 + 5 + (2ab - 6b)i = 0 \)

İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.

\( 2ab - 6b = 0 \)

\( 2b(a - 3) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( b = 0 \)

Bu durumda geçerli \( a \) değerlerini bulalım.

\( a^2 + 6a - b^2 + 5 = 0 \)

\( a^2 + 6a + 5 = 0 \)

\( (a + 1)(a + 5) = 0 \)

\( a \in \{ -1, -5 \} \)

\( (a, b) \in \{ (-1, 0), (-5, 0) \} \)

\( z_1 = -5 \)

\( z_2 = -1 \)

Durum 2:

\( a - 3 = 0 \)

\( a = 3 \)

\( (a, b) \in \{ (-1, 0), (-5, 0) \} \)

Bu durumda geçerli \( b \) değerlerini bulalım.

\( (3 + bi)^2 + 6(3 - bi) + 5 = 0 \)

\( 9 + 6bi + b^2i^2 + 18 - 6bi + 5 = 0 \)

\( 32 - b^2 = 0 \)

\( b = \pm 4\sqrt{2} \)

\( (a, b) \in \{ (3, -4\sqrt{2} ), (3, 4\sqrt{2} ) \} \)

\( z_3 = 3 - 4\sqrt{2}i \)

\( z_4 = 3 + 4\sqrt{2}i \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( z \in \{-5, -1, 3 - 4\sqrt{2}i, 3 + 4\sqrt{2}i\} \)

Denklem reel katsayılı olduğu için denklemin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.

\( z_1 = 4 - 2i, \quad z_2 = 4 + 2i \)

Bu iki kökün çarpımından oluşan ikinci dereceden ifadeyi bulalım.

\( (z - (4 - 2i))(z - (4 + 2i)) = ((z - 4) + 2i)((z - 4) - 2i) \)

\( = (z - 4)^2 - 4i^2 = (z - 4)^2 + 4 \)

\( = z^2 - 8z + 20 \)

Diğer iki kökü bulmak için soruda verilen 4. dereceden ifadeyi bulduğumuz 2. dereceden ifadeye polinom bölmesi ile bölelim.

\( \dfrac{z^4 - 12z^3 + 57z^2 -120z + 100}{z^2 - 8z + 20} = z^2 - 4z + 5 \)

Bulduğumuz ikinci dereceden denklemin köklerini kök bulma formülü ile bulalım.

\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \)

\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2} \)

\( = \dfrac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \dfrac{4 \pm 2i}{2} \)

\( = 2 \pm i \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( z \in \{4 - 2i, 4 + 2i, 2 - i, 2 + i\} \)

Eşitliğin sağ tarafının eşleniğini alalım.

\( 3 + 20i - xy^3i = \sqrt{y} + \sqrt[6]{x} - 44i \)

İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.

\( 3 = \sqrt{y} + \sqrt[6]{x} \) ve \( 20 - xy^3 = -44 \)

\( 20 - xy^3 = -44 \) için:

\( 64 = xy^3 \)

\( x = \dfrac{64}{y^3} \)

\( 3 = \sqrt{y} + \sqrt[6]{x} \) için:

\( 3 = \sqrt{y} + \sqrt[6]{\dfrac{64}{y^3}} \)

\( 3 = \sqrt{y} + \dfrac{2}{\sqrt{y}} \)

\( \sqrt{y} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( 3 = t + \dfrac{2}{t} \)

\( 3t = t^2 + 2 \)

\( t^2 - 3t + 2 = 0 \)

\( (t - 1)(t - 2) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t - 1 = 0 \)

\( t = 1 = \sqrt{y} \)

\( y = 1 \)

\( x = \dfrac{64}{y^3} = \dfrac{64}{1^3} = 64 \)

Durum 2:

\( t - 2 = 0 \)

\( t = 2 = \sqrt{y} \)

\( y = 4 \)

\( x = \dfrac{64}{y^3} = \dfrac{64}{4^3} = 1 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( (x, y) \in \{ (1, 4), (64, 1) \} \)