Denklemlerin Karmaşık Sayı Kökleri

İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerini aşağıdaki formülle bulabileceğimizi öğrenmiştik.

Buna göre \( \Delta \lt 0 \) olduğu durumda yukarıdaki formüldeki \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin içi negatif olur ve denklemin kökleri \( i \) cinsinden oluşur.

Denklemin iki karmaşık sayı kökü \( \sqrt{\Delta} \) önündeki \( \pm \) işareti ile birbirinden ayrıldığı için, ikinci dereceden bir denklemin karmaşık sayı kökleri varsa bu kökler her zaman birbirinin eşleniği olur.

Cebirin temel teoremine göre, reel katsayılı ve \( n \). dereceden (\( n \ge 1 \)) bir polinom denkleminin, tekrar eden kökler katları adedince sayılmak koşuluyla, reel ya da karmaşık sayı toplam \( n \) kökü vardır ve denklemin karmaşık sayı kökleri, sayıları ikinin katı olacak ve karmaşık kökler ikişerli birbirinin eşleniği olacak şekilde bulunur.

Örnek vermek gerekirse, reel katsayılı ve 6. dereceden bir polinom denklemin kökleri aşağıdaki şekillerde olabilir.

  • 6 reel kök
  • 4 reel kök, birbirinin eşleniği 2 karmaşık kök
  • 2 reel kök, ikişerli olarak birbirinin eşleniği 4 karmaşık kök
  • İkişerli olarak birbirinin eşleniği 6 karmaşık kök

Reel katsayılı ve 5. dereceden bir polinom denklemin kökleri ise aşağıdaki şekillerde olabilir.

  • 5 reel kök
  • 3 reel kök, birbirinin eşleniği 2 karmaşık kök
  • 1 reel kök, ikişerli olarak birbirinin eşleniği 4 karmaşık kök
SORU 1:

\( z \) bir karmaşık sayı olmak üzere,

\( z^2 - 2(z + 1) + 5a = 0 \)

denkleminin bir kökü \( 1 + 2i \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( x^2 - 2mx + 12 = 0 \)

denkleminin bir kökü \( 4 + \sqrt{2n}i \) olduğuna göre, \( m + n \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

Bir kökü \( 3 + 2i \) ve başkatsayısı 3 olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 4:

\( a \) ve \( b \) birer reel sayı olmak üzere,

\( x^2 - ax + b = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( 1 + i \)'dir.

Verilenlere göre \( a \cdot b \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( x^2 + 6x + m = 0 \)

denkleminin reel kökü yoksa \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:

Köklerinden ikisi \( 2 \) ve \( 3 - i \) olan ve başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden reel katsayılı polinom denklemini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 7:

\( x^4 = 16 \) denkleminin karmaşık sayılar kümesinde tanımlı çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( z \) bir karmaşık sayı olmak üzere,

\( 2x^2 - (z - 3)x + 80 = 0 \) denkleminin bir kökü \( 4 + 2i \)'dir.

Buna göre \( z \) karmaşık sayısı nedir?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( z^2 + 6\overline{z} + 5 = 0 \)

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 10:

\( 8z^3 - 125 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 11:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( z^2 - 6iz - 13 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 12:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( 2z^3 - 15z^2 + 44z - 39 = 0 \)

denkleminin bir kökü \( 3 + 2i \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 13:

\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,

\( z^4 - 12z^3 + 57z^2 -120z + 100 = 0 \)

denkleminin bir kökü \( 4 - 2i \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 14:

\( 3ix^2 - 7x - 4i = 0 \)

denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 15:

\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( 3 + 20i - xy^3i = \overline{\sqrt{y} + \sqrt[6]{x} + 44i} \)

denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster

« Önceki
Karmaşık Sayıların Eşleniği
Sonraki »
Karmaşık Sayıların Grafiksel Gösterimi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır