Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi
Bir \( z = x + yi \) karmaşık sayısının \( (x, y) \) şeklindeki kartezyen koordinatlarına ek olarak bir diğer gösterimi, \( (r, \theta) \) şeklindeki kutupsal koordinatlarıdır.
Kutupsal gösterimde;
- \( r \) parametresi \( \abs{z} \) modül değerine eşittir ve sayının karmaşık düzlemde karşılık geldiği noktanın orijine olan uzaklığını temsil eder.
- \( \theta \) parametresi sayının reel eksenin pozitif tarafıyla yaptığı radyan cinsinden açıya karşılık gelir.
Bir karmaşık sayının karmaşık düzlemde oluşturduğu dik üçgen ve \( \theta \) açısının trigonometrik oranları kullanılarak, sayının kartezyen ve kutupsal koordinatları arasında aşağıdaki ilişkiler kurulabilir.
\( x = r\cos{\theta} \)
\( y = r\sin{\theta} \)
\( \theta \) açısı karmaşık düzlemde \( z = (x, y) \) noktası ile aynı bölgede olan ve tanjant değeri \( \frac{y}{x} \) olan açıdır.
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{Im(z)}{Re(z)} \)
Bu değerler \( z = x + yi \) şeklindeki kartezyen gösteriminde yerine konduğunda karmaşık sayıların kutupsal gösterimi elde edilir.
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \)
İSPATI GÖSTER
Kartezyen gösterimi aşağıdaki gibi olan bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = x + yi \)
Kartezyen koordinatlarını kutupsal koordinatlara çevirmek için aşağıdaki dönüşümleri uygulayalım.
\( x = r\cos{\theta} \)
\( y = r\sin{\theta} \)
\( z = r\cos{\theta} + (r\sin{\theta})i \)
İfadeyi \( r \) parantezine aldığımızda karmaşık sayının kutupsal gösterimini elde ederiz.
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \)
Analitik geometri ve analiz konularında incelediğimiz kutupsal koordinatlarda \( r \) parametresi negatif değer alabilmekteydi. Karmaşık sayılarda ise \( r \) negatif değer alamaz, \( r = 0 \) olduğunda ise sayı orijin noktasına karşılık gelir ve bu noktada \( \theta \) değeri tanımsız olur.
Kartezyen gösterimi verilen bir karmaşık sayının kutupsal gösterimini bulalım.
\( z = -2\sqrt{3} + 2i \) sayısının kutupsal gösterimini bulalım.
\( r = \abs{z} = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = 4 \)
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{-2\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( z = (x, y) = (-2\sqrt{3}, 2) \) noktası II. bölgededir.
II. bölgede tanjant değeri \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) olan açı \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) açısıdır.
Buna göre \( z \) sayısının kutupsal gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z = 4\left( \cos{\dfrac{5\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{5\pi}{6}} \right) \)
\( z \) sayısının karmaşık düzlemdeki gösterimi aşağıdaki gibidir.
Kutupsal gösterimi verilen bir karmaşık sayının kartezyen gösterimini bulalım.
\( z = 3\sqrt{2}\left( \cos{\dfrac{7\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{7\pi}{4}} \right) \) sayısının kartezyen gösterimini bulalım.
\( x = 3\sqrt{2}\cos{\dfrac{7\pi}{4}} = 3 \)
\( y = 3\sqrt{2}\sin{\dfrac{7\pi}{4}} = -3 \)
Buna göre \( z \) sayısının kartezyen gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z = 3 - 3i \)
\( z \) sayısının karmaşık düzlemdeki gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( \cos{\theta} + i\sin{\theta} \) ifadesi kısaca \( \cis{\theta} \) şeklinde de ifade edilir.
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) = r\cis{\theta} \)
\( z = 3\left( \cos{\dfrac{\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{\pi}{3}} \right) = 3\cis{\dfrac{\pi}{3}}\)
Bir \( z = x + yi \) sayısının kutupsal gösterimini bulurken sadece \( \theta = \arctan{\frac{y}{x}} \) formülünü kullanmak hatalı sonuç verebilir, çünkü tanjant fonksiyonu iki bölgede pozitif ve iki bölgede negatif değer alır, ancak ters tanjant fonksiyonu pozitif ve negatif değerler için sadece birer bölgede açı döndürür.
\( z_1 = 1 + \sqrt{3}i \)
\( z_2 = -1 - \sqrt{3}i \)
\( \arctan{\dfrac{\sqrt{3}}{1}} = \arctan{\dfrac{-\sqrt{3}}{-1}} = \dfrac{\pi}{3} \)
\( z_1 \) ve \( z_2 \) farklı bölgelerde bulunan ve farklı açılara sahip sayılar olsa da, ters tanjant fonksiyonu aynı açıyı vermektedir.
Bu sitedeki örneklerde ters tanjant fonksiyonu yerine, sayının karmaşık düzlemde bulunduğu bölgeyi ve tanjant değerini birlikte yorumlayarak \( \theta \) açısını buluyor olacağız.
\( z_1 = (1, \sqrt{3}) \) noktası I. bölgededir.
\( \tan{\theta_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)
I. bölgede tanjant değeri \( \sqrt{3} \) olan açı \( \theta_1 = \frac{\pi}{3} \) açısıdır.
\( z_2 = (-1, -\sqrt{3}) \) noktası III. bölgededir.
\( \tan{\theta_2} = \dfrac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} \)
III. bölgede tanjant değeri \( \sqrt{3} \) olan açı \( \theta_2 = \frac{4\pi}{3} \) açısıdır.
Bir Sayının Argümenti
Yönlü açılarda bir \( \theta \) açısına \( 2\pi \) radyanın herhangi bir tam sayı katının eklenmesi ile elde edilen tüm açılar \( \theta \) açısına denktir. Aşağıdaki şekilde görülebileceği üzere, \( z = (r, \theta) \) şeklindeki bir karmaşık sayının \( \theta \) açısına denk olan her açı için ayrı ve yine \( z \) sayısına eşit olan bir kutupsal gösterimi vardır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \) ise,
\( z = r(\cos(\theta + 2\pi k) + i\sin(\theta + 2\pi k)) \)
\( z = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{\pi}{3}} \right) \)
\( = 2\left( \cos{\dfrac{7\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{7\pi}{3}} \right) \)
\( = 2\left( \cos{\dfrac{13\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{13\pi}{3}} \right) = \ldots \)
Bir \( z \) karmaşık sayısının kutupsal gösterimindeki \( \theta \) açısına denk olan tüm açıların kümesine sayının argümenti denir ve \( \arg{z} \) şeklinde gösterilir.
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \) olmak üzere,
\( \arg{z} = \{ \theta + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \} \)
\( \theta \in \arg{z} \)
\( z = 3\left( \cos{\dfrac{\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{\pi}{4}} \right) \) ise,
\( \arg{z} = \left\{ \ldots, -\dfrac{15\pi}{4}, -\dfrac{7\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{9\pi}{4}, \ldots \right\} \)
Bir karmaşık sayının argüment kümesi içinde \( (-\pi, \pi] \) aralığında bulunan açıya sayının esas argümenti denir ve ilk harfi büyük olacak şekilde \( \text{Arg }{z} \) şeklinde gösterilir. Her karmaşık sayının argüment kümesi sonsuz elemanlıdır, ancak tek bir esas argümenti vardır.
\( z = 4\left( \cos{\dfrac{5\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{5\pi}{3}} \right) \) ise,
\( \arg{z} = \left\{ \ldots, -\dfrac{7\pi}{3}, -\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{3}, \ldots \right\} \)
\( \text{Arg }{z} = -\dfrac{\pi}{3} \)
Bir karmaşık sayının argüment kümesi esas argümenti cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( \arg{z} = \{ \text{Arg }{z} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \} \)
Birim çember üzerindeki farklı karmaşık sayıların esas argümentleri ile kutupsal gösterimi aşağıda verilmiştir.
Aşağıda ve önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz üzere, kutupsal gösterimdeki karmaşık sayılarda çarpma, bölme, üs ve kök alma işlemleri kartezyen gösterimindeki sayılara göre çok daha kolay bir şekilde yapılabilir.
Kutupsal Gösterimde Çarpma ve Bölme
Kutupsal gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde sayıların modüllerinin çarpımı, argümanlarının toplamı alınır.
\( z_1 = r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1}) \)
\( z_2 = r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2}) \) olmak üzere,
\( z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] \)
\( z_1 = 2\left( \cos{\dfrac{2\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{2\pi}{3}} \right) \)
\( z_2 = 3\left( \cos{\dfrac{\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{\pi}{6}} \right) \)
\( z_1z_2 = (2 \cdot 3)\left[ \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} \right) + i\sin\left( \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] \)
\( = 6\left( \cos{\dfrac{5\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{5\pi}{6}} \right) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi kutupsal formda iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1}) \)
\( z_2 = r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2}) \)
Sayıların çarpımını alalım.
\( z_1z_2 = [r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})][r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})] \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = r_1r_2(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2}) \)
Parantezleri genişletelim.
\( = r_1r_2(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} + i\cos{\theta_1}\sin{\theta_2} + i\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} + i^2\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) \)
Parantez içindeki ifadeyi düzenleyelim.
\( = r_1r_2[(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} - \sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) + i(\cos{\theta_1}\sin{\theta_2} + \sin{\theta_1}\cos{\theta_2})] \)
Parantez içindeki karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri, sırasıyla kosinüs ve sinüs toplam formüllerinin açılımıdır.
\( = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] \)
Kutupsal gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde sayıların modüllerinin bölümü, argümanlarının farkı alınır.
\( r_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
\( z_1 = 6\left( \cos{\dfrac{3\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{3\pi}{4}} \right) \)
\( z_2 = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{\pi}{6}} \right) \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{6}{2}\left[ \cos\left( \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} \right) + i\sin\left( \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} \right) \right] \)
\( = 3\left( \cos{\dfrac{7\pi}{12}} + i\sin{\dfrac{7\pi}{12}} \right) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi kutupsal formda iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1}) \)
\( r_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( z_2 = r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2}) \)
Birinci sayıyı ikinciye bölelim.
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})}{r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})} \)
Payı ve paydayı paydadaki parantez ifadesinin eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})(\cos{\theta_2} - i\sin{\theta_2})}{r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})(\cos{\theta_2} - i\sin{\theta_2})} \)
Parantezleri genişletelim.
\( = \dfrac{r_1(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} - i\cos{\theta_1}\sin{\theta_2} + i\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} - i^2\sin{\theta_1}\sin{\theta_2})}{r_2(\cos^2{\theta_2} - i^2\sin^2{\theta_2})} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{r_1[(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} + \sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) + i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} - \cos{\theta_1}\sin{\theta_2})]}{r_2(\cos^2{\theta_2} + \sin^2{\theta_2})} \)
Pisagor özdeşliğine göre paydadaki ifade 1'e eşittir.
\( = \dfrac{r_1}{r_2}[(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} + \sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) + i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} - \cos{\theta_1}\sin{\theta_2})] \)
Parantez içindeki karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri, sırasıyla kosinüs ve sinüs fark formüllerinin açılımıdır.
\( = \dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
Argümentin Özellikleri
Bir karmaşık sayı ve eşleniği karmaşık düzlemde \( x \) eksenine göre simetrik oldukları için, iki sayının argümentleri birbirinin ters işaretlisi olur.
\( \arg{\overline{z}} = -\arg{z} \)
İki karmaşık sayının çarpımlarının (bölümlerinin) argümenti, argümentlerinin toplamına (farkına) eşittir.
\( \arg(z_1z_2) = \arg{z_1} + \arg{z_2} \)
\( \arg\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right) = \arg{z_1} - \arg{z_2} \)
Aynı eşitlik sayıların esas argümentleri arasında her zaman sağlanmayabilir. Bunun sebebi sayıların çarpımının argümenti \( (-\pi, \pi] \) aralığının dışında kalırsa bu aralıkta denk olduğu açıya dönüştürülür.
\( \text{Arg }(z_1z_2) \ne \text{Arg }{z_1} + \text{Arg }{z_2} \)
\( z_1 = \left( 3, \dfrac{2\pi}{3} \right) \)
\( \text{Arg }{z_1} = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( z_2 = \left( 2, \dfrac{3\pi}{4} \right) \)
\( \text{Arg }{z_2} = \dfrac{3\pi}{4} \)
\( z_1z_2 = \left( 3 \cdot 2, \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{3\pi}{4} \right) = \left( 6, \dfrac{17\pi}{12} \right) \)
\( \frac{17\pi}{12} \) açısının \( (-\pi, \pi] \) aralığında denk olduğu açı \( \frac{17\pi}{12} - 2\pi = -\frac{7\pi}{12} \) açısıdır.
\( \text{Arg }(z_1z_2) = -\dfrac{7\pi}{12} \)
Yukarıdaki çarpma kuralı bir karmaşık sayının \( n \). üssüne uygulandığında aşağıdaki sonuç elde edilir.
\( \arg(z^n) = n\arg{z} \)
İSPATI GÖSTER
Üs ifadesini çarpma şeklinde yazalım.
\( \arg(z^n) = \arg(\underbrace{zz\ldots z}_{\text{n tane}}) \)
Argüment çarpma kuralını kullanalım.
\( = \underbrace{\arg(z) + \arg(z) + \ldots + \arg(z)}_{\text{n tane}} \)
\( = n\arg(z) \)