Sıralı sayı listelerine dizi denir. Diziler genellikle \( (a_n) \), \( (b_n) \), \( (c_n) \) şeklinde ifade edilirler.
Pozitif tam sayılar dizisi:
\( (a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, \ldots) \)
Pozitif çift sayılar dizisi:
\( (b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, \ldots) \)
Tam kare sayılar dizisi:
\( (c_n) = (1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots) \)
Bir dizinin her bir elemanına o dizinin terimi denir. Bir dizinin \( k \). terimi \( a_k \) şeklinde gösterilir. Bir terimin dizinin kaçıncı terimi olduğunu gösteren bu \( k \) sayısına indis denir.
\( (a_n) = (a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots) \)
\( a_1 \): Dizinin 1. terimi
\( a_k \): Dizinin k. terimi
Bir dizinin terimlerini listelememize gerek kalmadan dizinin genel kuralını veren ve dizinin tüm terimlerini hesaplamamızı sağlayan ifadeye dizinin genel terimi denir.
\( (a_n) = 3n + 2 \)
\( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
\( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
\( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
\( a_{10} = 3(10) + 2 = 32 \)
\( (a_n) = (5, 8, 11, \ldots, 32, \ldots) \)
Dizilerin indisleri genellikle 1 ile başlasa da, Fibonacci dizisi gibi indisi 0 ile başlayan diziler de tanımlanabilir. Özellikle belirtilmediği sürece dizilerin indisinin 1 ile başladığını varsayabiliriz.
Bir dizinin terimleri arasında bir formül ile ifade edebileceğimiz bir matematiksel ilişki olmak zorunda değildir. Örneğin tüm asal sayıları içerecek şekilde tanımlayacağımız bir dizinin genel terimi bir formül ile ifade edilemez.
\( (a_n) = (2, 3, 5, 7, 11, \ldots) \)
Diziler terimlerinin ait oldukları sayı kümelerine göre isimlendirilirler (reel sayı dizisi, tam sayı dizisi, karmaşık sayı dizisi vb.)
Bir diğer tanıma göre, bir dizi tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyondur. Bir fonksiyon olarak dizilerin tanım kümeleri indis değerleri, görüntü kümesi de dizinin terimleri olur. Buna göre, yukarıda paylaştığımız örnek dizinin fonksiyon gösterimi aşağıdaki gibidir.
Aşağıdaki fonksiyonlar tüm pozitif tam sayılarda tanımlı oldukları için aynı zamanda birer dizidir.
\( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{R} \)
\( f(n) = \dfrac{1}{n + 2} \)
\( f = \{ (1, \frac{1}{3}), (2, \frac{1}{4}), (3, \frac{1}{5}), \ldots \} \)
\( g: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{R} \)
\( g(n) = \sqrt{n - 1} \)
\( g = \{ (1, 0), (2, 1), (3, \sqrt{2}), \ldots \} \)
Aşağıdaki fonksiyonlar tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olmadıkları için birer dizi değildir.
\( f: \mathbb{Z^+} - \{2\} \to \mathbb{R} \)
\( f(n) = \dfrac{1}{n - 2} \)
Fonksiyon \( n = 2 \) için tanımlı değildir.
\( g: \mathbb{Z^+} - \{1, 2\} \to \mathbb{R} \)
\( g(n) = \sqrt{n - 3} \)
Fonksiyon \( n \in \{1, 2\} \) için tanımlı değildir.
\( h: \mathbb{Z^+} - \{1, 2, 3, 4\} \to \mathbb{R} \)
\( h(n) = \log(n - 4) \)
Fonksiyon \( n \in \{1, 2, 3, 4\} \) için tanımlı değildir.
Diziler kümelere benzemekle birlikte bazı açılardan kümelerden ayrılırlar.
\( (a_n) = \dfrac{2^n}{n!} \) dizisi veriliyor. Buna göre, \( \dfrac{a_5}{a_3} \) oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( (a_n) = \dfrac{n^2 - 4n + k}{n^2 + 1} \) dizisi veriliyor. Bu dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçek sayı olabilmesi için \( k \)'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (a_n) = 2x^2 + x - 15 \) dizisinin kaç terimi negatiftir?
Çözümü Göster\( B = \{1, 2, 3, \ldots, 50\} \) olmak üzere,
\( b_n: B \to \mathbb{R} \)
\( (b_n) = \sin(\frac{n \cdot \pi}{2}) \) dizisinin terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (a_n) = (-3)^{n - 5} \cdot \dfrac{4n + 78}{n} \)
dizisinin kaç terimi pozitif tam sayıdır?
Çözümü Göster\( (a_n) = \dfrac{37!}{3^n} \)
Yukarıda verilen dizinin kaç terimi tam sayıdır?
Çözümü Göster\( (a_n) = \dfrac{n^2 + 2n + 6}{n + 5} \)
dizisinin tam sayı terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (a_n) = \dfrac{3^{2n}}{(n + 3)!} \) dizisi veriliyor.
\( \dfrac{a_{k + 1}}{a_{k + 2}} = \dfrac{4}{3} \)
olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster