Bir önceki bölümde incelediğimiz aritmetik ve geometrik diziler dışında karşımıza sıklıkla çıkabilecek diğer dizi tiplerini bu bölümde inceleyeceğiz.
İlk iki terimi 0 ve 1 olan ve sonraki her terimi kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olan sayı dizisine Fibonacci dizisi denir.
\( F_n = \begin{cases} 0 & n = 0 \\ 1 & n = 1 \\ F_{n - 1} + F_{n - 2} & n \gt 1 \end{cases} \)
\( (F_n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots) \)
Fibonacci dizisinde bir terim ile kendisinden önceki terimlerin toplamı arasında aşağıdaki ilişki vardır.
\( n \gt 2 \) olmak üzere,
\( F_n = F_0 + F_1 + F_2 + \ldots + F_{n - 2} + 1 \)
Fibonacci dizisinin önemli bir özelliği, terimler büyüdükçe ardışık terimlerin oranının altın orana yaklaşmasıdır (\( \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618... \)).
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, \( n^2 \) şeklinde yazılabilen sayılara karesel sayı, karesel sayılardan oluşan sayı dizisine karesel sayı dizisi denir.
Karesel sayı dizisinin genel terimi ve bazı terimleri aşağıdaki gibidir.
\( (a_n) = (1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \ldots) \)
\( (a_n) = (1, 4, 9, 16, 25, \ldots) \)
\( (a_n) = n^2 \)
Karesel sayı dizilerini indirgemeli dizi şeklinde aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, \( 1 \)'den kendisine kadarki sayma sayılarının toplamına eşit olan sayılara üçgensel sayı, üçgensel sayılardan oluşan sayı dizisine üçgensel sayı dizisi denir.
Üçgensel sayı dizisinin genel terimi ve bazı terimleri aşağıdaki gibidir.
\( (a_n) = (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, \) \( 1 + 2 + 3 + 4, \ldots) \)
\( (a_n) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, \) \( 36, 45, 55, \ldots) \)
\( (a_n) = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)
Üçgensel sayı dizilerini indirgemeli dizi şeklinde aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
1'den başlayan üçgensel ve karesel sayı dizileri için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. İki basamaklı en büyük üçgensel sayı, iki basamaklı en büyük karesel sayıdan 10 fazladır.
II. Karesel sayı dizisinin 1'den büyük her elemanı üçgensel sayı dizisinin ardışık iki elemanın toplamına eşittir.
III. İki dizinin toplamı bir aritmetik dizidir.
Çözümü GösterSabit ivmeyle hızlanan bir aracın hareketinin her saniyesinde aldığı yollar aşağıdaki gibi bir dizi oluşturuyor.
\( 8, 22, 42, 68, \ldots \)
Buna göre bu araç hareketinin 13. saniyesinde kaç metre yol alır?
Çözümü Göster\( A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L \) 12 terimden oluşan bir dizidir. Bu dizide ardışık herhangi 4 terimin toplamı 55'tir. Dizinin üçüncü terimi ilk terimin \( -2 \) katı olduğuna ve ikinci terim 7 olduğuna göre, dizinin 4., 7. ve 9. terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterTerimleri doğal sayı olan bir dizide ilk iki terimden sonraki terimler kendinden önceki iki terimin çarpımına eşittir.
Bu dizinin beşinci terimi 1323'e eşitse, ilk iki terimin toplamı kaça eşittir?
Çözümü GösterTerimleri doğal sayı olan bir dizide ilk iki terimden sonraki terimler, kendinden bir önceki terimin kendinden iki önceki terime bölümüne eşittir.
Dizinin 807. terimi \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, 810. terimi kaça eşittir?
Çözümü Göster