Ana Sayfa Diziler Dizilerle İşlemler
Dizilerle İşlemler
Diziler de birer fonksiyon oldukları için fonksiyonlar arasında geçerli olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemler diziler için de geçerlidir. İki dizi arasında bu işlemleri yapabilmemiz için dizilerin aynı indisle başlayan diziler olması gerekmektedir.
Aşağıdaki örneklerde kullanmak üzere iki dizi tanımlayalım.
\( (a_n) = n^2 - 1 \)
\( (a_n) = (0, 3, 8, 15, 24, 35, \ldots) \)
\( (b_n) = 2n + 1 \)
\( (b_n) = (3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots) \)
İki dizi arasındaki toplama işleminde dizilerin genel terimleri toplanır.
\( (a_n) + (b_n) = (a_n + b_n) \)
\( = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \) \( a_3 + b_3, \ldots) \)
ÖRNEK:
\( (a_n) + (b_n) = ((n^2 - 1) + (2n + 1)) \) \( = (n^2 + 2n) \)
\( = (0 + 3, 3 + 5, 8 + 7, \) \( 15 + 9, \ldots) \)
\( = (3, 8, 15, 24, 35, 48, \ldots) \)
İki dizi arasındaki çıkarma işleminde dizilerin genel terimleri birbirinden çıkarılır.
\( (a_n) - (b_n) = (a_n - b_n) \)
\( = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \) \( a_3 - b_3, \ldots) \)
ÖRNEK:
\( (a_n) - (b_n) = ((n^2 - 1) - (2n + 1)) \) \( = (n^2 - 2n - 2) \)
\( = (0 - 3, 3 - 5, 8 - 7, \) \( 15 - 9, \ldots) \)
\( = (-3, -2, 1, 6, 13, 22, \ldots) \)
Bir dizinin sabit bir sayıyla çarpma işleminde dizinin genel terimi sabit sayıyla çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot (a_n) = (c \cdot a_n) \)
\( = (c \cdot a_1, c \cdot a_2, c \cdot a_3, \ldots) \)
ÖRNEK:
\( 2 \cdot (a_n) = (2 \cdot (n^2 - 1)) = (2n^2 - 2) \)
\( = (2 \cdot 0, 2 \cdot 3, \) \( 2 \cdot 8, 2 \cdot 15, \ldots) \)
\( = (0, 6, 16, 30, 48, 70, \ldots) \)
İki dizi arasındaki çarpma işleminde dizilerin genel terimleri birbiriyle çarpılır.
\( (a_n) \cdot (b_n) = (a_n \cdot b_n) \)
\( = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, a_3 \cdot b_3, \ldots) \)
ÖRNEK:
\( (a_n) \cdot (b_n) = ((n^2 - 1) \cdot (2n + 1)) \) \( = (2n^3 + n^2 - 2n - 1) \)
\( = (0 \cdot 3, 3 \cdot 5, \) \( 8 \cdot 7, \ldots) \)
\( = (0, 15, 56, 135, \) \( 264, 455, \ldots) \)
İki dizi arasındaki bölme işleminde dizilerin genel terimleri birbirine bölünür.
\( (b_n) \) dizisinin tüm terimleri sıfırdan farklı olmak üzere,
\( \dfrac{(a_n)}{(b_n)} = \left( \dfrac{a_n}{b_n} \right) \)
\( = \left( \dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dfrac{a_3}{b_3}, \ldots \right) \)
ÖRNEK:
\( \dfrac{(a_n)}{(b_n)} = \left( \dfrac{n^2 - 1}{2n + 1} \right) \)
\( = \left( 0, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{7}, \dfrac{15}{9}, \dfrac{24}{11}, \dfrac{35}{13}, \ldots \right) \)
SORU 1:
\( (a_n) = \dfrac{1}{n^2 + 5n + 6} \) dizisi tanımlanıyor.
Buna göre, \( (a_n) \) dizisinin ilk 18 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( n^2 + 5n + 6 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} = \dfrac{A}{n + 3} + \dfrac{B}{n + 2} \)
\( = \dfrac{A(n + 2)}{(n + 3)(n + 2)} + \dfrac{B(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} \)
\( An + 2A + Bn + 3B = 1 \)
Bu ifadeyi değişkeni \( n \) olan bir polinom olarak düşünerek polinomların eşitliğini kullanalım.
\( An + Bn = 0 \Longrightarrow A = -B \)
\( 2A + 3B = -2B + 3B = 1 \Longrightarrow B = 1 \)
\( A = -B = -1 \)
\( \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} = \dfrac{-1}{n + 3} + \dfrac{1}{n + 2} \)
İlk 18 terimi yazalım
1. terim: \( \dfrac{-1}{4} + \dfrac{1}{3} \)
2. terim: \( \dfrac{-1}{5} + \dfrac{1}{4} \)
3. terim: \( \dfrac{-1}{6} + \dfrac{1}{5} \)
...
18. terim: \( \dfrac{-1}{21} + \dfrac{1}{20} \)
Tüm terimleri alt alta topladığımızda dizinin her teriminin 1. terimi sonraki terimin ikinci terimi ile birbirini götürür.
\( \dfrac{1}{3} + \dfrac{-1}{21} = \dfrac{7-1}{21} = \dfrac{2}{7} \) bulunur.
SORU 2:
\( K_n = \sin(\frac{n\pi}{2}) + 4 \)
\( K_n \) ifadesi bir \( a_n \) dizisinin ilk \( n \) teriminin çarpımını vermektedir.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( a_2 = a_6 \)
II. \( a_2 \cdot a_3 = \dfrac{3}{5} \)
III. \( a_n \) bir geometrik dizidir.
Çözümü Göster
\( K_1 = \sin(\frac{\pi}{2}) + 4 = 5 \)
\( a_1 = 5 \)
\( K_2 = \sin(\frac{2\pi}{2}) + 4 = 4 \)
\( K_2 = K_1 \cdot a_2 \)
\( a_2 = \dfrac{4}{5} \)
\( K_3 = \sin(\frac{3\pi}{2}) + 4 = 3 \)
\( K_3 = K_2 \cdot a_3 \)
\( a_3 = \dfrac{3}{4} \)
\( K_4 = \sin(\frac{4\pi}{2}) + 4 = 4 \)
\( K_4 = K_3 \cdot a_4 \)
\( a_4 = \dfrac{4}{3} \)
\( K_5 = \sin(\frac{5\pi}{2}) + 4 = 5 \)
\( K_5 = K_4 \cdot a_5 \)
\( a_5 = \dfrac{5}{4} \)
\( K_6 = \sin(\frac{6\pi}{2}) + 4 = 4 \)
\( K_6 = K_5 \cdot a_6 \)
\( a_6 = \dfrac{4}{5} \)
I. ifade: \( a_2 = a_6 = \frac{4}{5} \) olduğu için doğrudur.
II. ifade: \( a_2 \cdot a_3 = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5} \) olduğu için doğrudur.
III. ifade: Ardışık terimlerin birbirine oranı sabit olmadığı için bu ifade doğru değildir.
Buna göre I. ve II. ifadeler doğrudur.
SORU 3:
\( (a_n) = 3^{2^n} + 1 \)
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \ldots a_9 = \dfrac{3^x - 1}{8} \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Sırayla dizinin terimlerini hesaplayalım.
\( a_1 = 3^{2^1} + 1 \)
\( a_2 = 3^{2^2} + 1 \)
\( a_3 = 3^{2^3} + 1 \)
\( \vdots \)
\( a_9 = 3^{2^9} + 1 \)
İlk 9 terimin çarpımını bulalım.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \ldots a_9 = \dfrac{3^x - 1}{8} \)
\( (3^2 + 1) \cdot (3^{2^2} + 1) \cdot (3^{2^3} + 1) \cdot \ldots \cdot (3^{2^9} + 1) = \dfrac{3^x - 1}{8} \)
Eşitliğin her iki tarafını \( 3^2 - 1 \) ile çarpalım.
\( (3^2 - 1) \cdot (3^2 + 1) \cdot (3^{2^2} + 1) \cdot (3^{2^3} + 1) \cdot \ldots \cdot (3^{2^9} + 1) = \dfrac{(3^x - 1)(3^2 - 1)}{8} \)
Eşitliğin solundaki ilk 2 çarpan kare farklı özdeşliği oluşturur.
\( (3^2 - 1) \cdot (3^2 + 1) = 3^4 - 1 \)
\( (3^4 - 1) \cdot (3^4 + 1) \cdot (3^{2^3} + 1) \cdot \ldots \cdot (3^{2^9} + 1) = \dfrac{(3^x - 1)(8)}{8} \)
Eşitliğin solundaki ilk 2 çarpan kare farklı özdeşliği oluşturur.
\( (3^4 - 1) \cdot (3^4 + 1) = 3^8 - 1 \)
\( (3^8 - 1) \cdot (3^8 + 1) \cdot \ldots \cdot (3^{2^9} + 1) = 3^x - 1 \)
Eşitliğin solundaki tüm çarpanlar bu şekilde sadeleşir.
\( 3^{2^{10}} - 1 = 3^x - 1 \)
Buradan \( x = 2^{10} \) olarak bulunur.
SORU 4:
\( (a_n) = \dfrac{2}{n^2 + 2n} \)
olmak üzere, \( (a_n) \) dizisinin ilk 12 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (a_n) \) dizisinin genel terimini düzenleyelim.
\( (a_n) = \dfrac{2}{n \cdot (n + 2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2} \)
\( (a_n) \) dizisinin ilk 12 teriminin toplamını yazalım.
\( \underbrace{\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3}}_{a_1} + \underbrace{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}}_{a_2} + \underbrace{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}}_{a_3} + \ldots + \underbrace{\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{14}}_{a_{12}} \)
Bu toplamda dizinin her teriminin ilk terimi kendinden iki önceki terimin ikinci terimi ile sadeleşir.
Terimler bu şekilde sadeleşince geriye dizinin ilk iki teriminin birinci terimleri ve son iki terimin ikinci terimleri kalır.
\( = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{14} \)
\( = \dfrac{246}{182} = \dfrac{123}{91} \)