Diziler de birer fonksiyon oldukları için fonksiyonlar arasında geçerli olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemler diziler için de geçerlidir.
Diziler arasındaki işlemlerde önemli birkaç nokta aşağıdaki gibidir.
Aşağıdaki örneklerde kullanmak üzere iki dizi tanımlayalım.
\( (a_n) = n^2 - 1 = (0, 3, 8, 15, 24, 35, \ldots) \)
\( (b_n) = 2n + 1 = (3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots) \)
İki dizi arasındaki toplama/çıkarma işleminde dizilerin genel terimleri ve aynı indisli terimleri toplanır/çıkarılır.
\( (a_n) \pm (b_n) = (a_n \pm b_n) \)
\( = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, a_3 \pm b_3, \ldots) \)
\( (a_n) + (b_n) = ((n^2 - 1) + (2n + 1)) \) \( = (n^2 + 2n) \)
\( = (0 + 3, 3 + 5, 8 + 7, \) \( 15 + 9, \ldots) \)
\( = (3, 8, 15, 24, 35, 48, \ldots) \)
\( (a_n) - (b_n) = ((n^2 - 1) - (2n + 1)) \) \( = (n^2 - 2n - 2) \)
\( = (0 - 3, 3 - 5, 8 - 7, \) \( 15 - 9, \ldots) \)
\( = (-3, -2, 1, 6, 13, 22, \ldots) \)
Ortak farkları \( d_1 \) ve \( d_2 \) olan iki aritmetik dizinin toplamı, ortak farkı \( d_1 + d_2 \) olan bir aritmetik dizidir.
Bir dizinin sabit bir sayıyla çarpma işleminde dizinin genel terimi ve tüm terimleri sabit sayıyla çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot (a_n) = (c \cdot a_n) \)
\( = (c \cdot a_1, c \cdot a_2, c \cdot a_3, \ldots) \)
\( 2 \cdot (a_n) = (2 \cdot (n^2 - 1)) = (2n^2 - 2) \)
\( = (2 \cdot 0, 2 \cdot 3, \) \( 2 \cdot 8, 2 \cdot 15, \ldots) \)
\( = (0, 6, 16, 30, 48, 70, \ldots) \)
Ortak farkı \( d \) olan bir aritmetik dizinin sabit bir \( c \) sayısıyla çarpımı, ortak farkı \( cd \) olan bir aritmetik dizidir.
İki dizi arasındaki çarpma işleminde dizilerin genel terimleri ve aynı indisli terimleri birbiriyle çarpılır.
\( (a_n) \cdot (b_n) = (a_n \cdot b_n) \)
\( = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, a_3 \cdot b_3, \ldots) \)
\( (a_n) \cdot (b_n) = ((n^2 - 1) \cdot (2n + 1)) \) \( = (2n^3 + n^2 - 2n - 1) \)
\( = (0 \cdot 3, 3 \cdot 5, \) \( 8 \cdot 7, \ldots) \)
\( = (0, 15, 56, 135, \) \( 264, 455, \ldots) \)
Ortak oranları \( r_1 \) ve \( r_2 \) olan iki geometrik dizinin çarpımı, ortak oranı \( r_1r_2 \) olan bir geometrik dizidir.
İki dizi arasındaki bölme işleminde dizilerin genel terimleri ve aynı indisli terimleri birbirine bölünür.
\( (b_n) \) dizisinin tüm terimleri sıfırdan farklı olmak üzere,
\( \dfrac{(a_n)}{(b_n)} = \left( \dfrac{a_n}{b_n} \right) \)
\( = \left( \dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dfrac{a_3}{b_3}, \ldots \right) \)
\( \dfrac{(a_n)}{(b_n)} = \left( \dfrac{n^2 - 1}{2n + 1} \right) \)
\( = \left( 0, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{7}, \dfrac{15}{9}, \dfrac{24}{11}, \dfrac{35}{13}, \ldots \right) \)