Aritmetik Dizi

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit farka ortak fark denir ve \( d \) ile gösterilir.

Aritmetik dizi
Aritmetik dizi

Aritmetik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir.

Aşağıda genel terimleri verilen bazı dizilerin birer aritmetik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.

Genel Terim Terimler Açıklama
\( (a_n) = 2n \) \( (2, 4, 6, 8, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = 2 \))
\( (a_n) = 3n + 1 \) \( (4, 7, 10, 13, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = 3 \))
\( (a_n) = -5n + 10 \) \( (5, 0, -5, -10, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = -5 \))
\( (a_n) = 5 \) \( (5, 5, 5, 5, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = 0 \))
\( (a_n) = n^2 \) \( (1, 4, 9, 16, \ldots) \) Aritmetik dizi değil
\( (a_n) = 2^n - 1 \) \( (1, 3, 7, 15, \ldots) \) Aritmetik dizi değil
\( (a_n) = \dfrac{n + 1}{n + 2} \) \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots) \) Aritmetik dizi değil

Aritmetik dizilerin genel terimlerini \( x \)'in katsayısının ortak farka eşit olduğu bir doğrusal fonksiyona benzetebiliriz (\( f(x) = mx + c \)). Buna göre, bir aritmetik dizinin genel terimi \( n \)'ye göre birinci dereceden bir ifade ya da \( n \) içermeyen sabit bir terim olmalıdır.

Bir aritmetik dizinin artan/azalan/sabit dizi olması ortak farkının işaretine göre değişir.

Aritmetik diziler indirgemeli dizi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilirler.

Bir aritmetik dizide n. terim, birinci ya da herhangi diğer bir terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

Aritmetik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi
Aritmetik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi

Yukarıdaki formülü \( p. \) ve \( q. \) terimler cinsinden yazıp ortak farkı yalnız bırakırsak, ortak farkın dizinin herhangi iki teriminin farkının bu iki terimin indislerinin farkına oranına eşit olduğunu buluruz.

Bir aritmetik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına (toplamlarının yarısına) eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşittir.

Aritmetik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı
Aritmetik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı

Yukarıdaki kuralın bir diğer sonucu olarak, sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

Yukarıdaki kuralı diğer bir şekilde ifade edersek, bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.

\( a \) ve \( b \) sayılarının arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan bir aritmetik dizinin ortak farkını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

İki sayı arasında n terimle oluşturulan aritmetik dizi
İki sayı arasında n terimle oluşturulan aritmetik dizi

Aritmetik dizilerde ilk n terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

SORU:

Bir çift fonksiyon olan \( f(x) \) fonksiyonunun kökleri, aynı zamanda bir \( a_n \) aritmetik reel sayı dizisinin birbirinden farklı ilk dört terimidir.

\( a_{10} = 30 \) olduğuna göre, \( a_{30} \) değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( a_n \) aritmetik dizisinin ilk \( n \) terim toplamı \( S_n = n^2 + 3n \) olduğuna göre, dizinin 20. terimini bulalım.

Çözümü Göster


« Önceki
Dizi Tipleri
Sonraki »
Geometrik Dizi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır