Aritmetik Dizi

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit farka ortak fark denir ve \( d \) ile gösterilir.

Aritmetik dizi
Aritmetik dizi

Aritmetik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir.

Aşağıda genel terimleri verilen bazı dizilerin birer aritmetik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.

Genel Terim Terimler Açıklama
\( (a_n) = 2n \) \( (2, 4, 6, 8, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = 2 \))
\( (a_n) = 3n + 1 \) \( (4, 7, 10, 13, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = 3 \))
\( (a_n) = -5n + 10 \) \( (5, 0, -5, -10, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = -5 \))
\( (a_n) = 5 \) \( (5, 5, 5, 5, \ldots) \) Aritmetik dizi (\( d = 0 \))
\( (a_n) = n^2 \) \( (1, 4, 9, 16, \ldots) \) Aritmetik dizi değil
\( (a_n) = 2^n - 1 \) \( (1, 3, 7, 15, \ldots) \) Aritmetik dizi değil
\( (a_n) = \dfrac{n + 1}{n + 2} \) \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots) \) Aritmetik dizi değil

Aritmetik dizilerin genel terimlerini \( x \)'in katsayısının ortak farka eşit olduğu bir doğrusal fonksiyona benzetebiliriz (\( f(x) = mx + c \)). Buna göre, bir aritmetik dizinin genel terimi \( n \)'ye göre birinci dereceden bir ifade ya da \( n \) içermeyen sabit bir terim olmalıdır.

Bir aritmetik dizinin artan/azalan/sabit dizi olması ortak farkının işaretine göre değişir.

Aritmetik diziler indirgemeli dizi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilirler.

Bir aritmetik dizide n. terim, birinci ya da herhangi diğer bir terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

Aritmetik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi
Aritmetik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi

Yukarıdaki formülü \( p. \) ve \( q. \) terimler cinsinden yazıp ortak farkı yalnız bırakırsak, ortak farkın dizinin herhangi iki teriminin farkının bu iki terimin indislerinin farkına oranına eşit olduğunu buluruz.

Bir aritmetik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına (toplamlarının yarısına) eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşittir.

Aritmetik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı
Aritmetik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı

Yukarıdaki kuralın bir diğer sonucu olarak, bir aritmetik dizinin ardışık üç teriminde ortadaki terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.

Aynı kuralın bir diğer sonucu olarak, sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

Yukarıdaki kuralı diğer bir şekilde ifade edersek, bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.

\( a \) ve \( b \) sayılarının arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan bir aritmetik dizinin ortak farkını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

İki sayı arasında n terimle oluşturulan aritmetik dizi
İki sayı arasında n terimle oluşturulan aritmetik dizi

Aritmetik dizilerde ilk n terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

SORU 1:

\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,

\( 4a_3 = 5a_7 \) eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu dizinin kaçıncı terimi sıfırdır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,

\( x = 3a_1 - 4a_3 \)

\( y = 3a_5 - 2a_3 \) eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

İlk terimi \( \log_3{2} \) olan bir aritmetik dizinin ortak farkı ilk teriminin iki katına eşittir.

Buna göre bu dizinin 5. terimi nedir?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,

\( a_3 = \dfrac{7x + 5}{2} \)

\( a_9 = 4x + 15 \)

\( a_{12} = 8x + \dfrac{5}{2} \)

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, \( a_1 + a_7 \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,

\( a_5 + a_{13} = 22 \)

olduğuna göre, dizinin ilk 17 teriminin toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:

\( S = \{4, 5, 6, \ldots, 500\} \) kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek ilk terimi 4 ve son terimi 500 olan aritmetik dizi sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 7:

Bir çift fonksiyon olan \( f(x) \) fonksiyonunun kökleri, aynı zamanda bir \( a_n \) aritmetik reel sayı dizisinin birbirinden farklı ilk dört terimidir.

\( a_{10} = 30 \) olduğuna göre, \( a_{30} \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( a_n \) aritmetik dizisinin ilk \( n \) terim toplamı \( S_n = n^2 + 3n \) olduğuna göre, dizinin 20. terimi nedir?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( a_n \) dizisinin ilk \( n \) teriminin toplamı \( S_n \) olmak üzere,

\( S_{35} = S_{46} \) olduğuna göre,

I. \( a_n \) aritmetik dizi ise \( a_{41} = 0 \)

II. \( a_n \) sabit dizidir.

III. \( S_{15} = S_{66} \)

ifadelerinden kaç tanesi daima doğrudur?

Çözümü Göster
SORU 10:

Bir aritmetik dizide,

\( a_x = 2y \) ve \( a_y = 2x \) olup \( y \gt x \)'dir.

Buna göre \( a_{x + y} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 11:

\( (a_n) = 7k + 2 \) sayı dizisinin ilk 105 terimi \( 91623 \ldots \) şeklinde yan yana yazılarak bir sayı oluşturuluyor.

Oluşan sayının 8 ile bölümünden kalan nedir?

Çözümü Göster
SORU 12:

9 ile tam bölünen dört basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Çözümü Göster
SORU 13:

\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,

\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{10}{a_n} = 215 \)

\( a_1 = 8 \) eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, \( a_7 - a_2 \) farkı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 14:

\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) aritmetik dizilerdir.

\( (a_n) = 7n + 25 \)

\( (b_n) = 10n + 13 \)

olduğuna göre, bu dizilerin ortak terimlerinden en küçük üçünün toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 15:

\( (a_n) \) dizisi bir aritmetik dizidir.

\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = a_2 + a_4 + a_6 + 4 \)

\( a_{10} = 4a_8 \)

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, \( a_1 \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 16:

Bir aritmetik dizinin ilk 5 terimi sırasıyla \( a, (2a + b), 32, (6a - b), (6a + 2b) \) olduğuna göre, dizinin 111. terimi kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 17:

Bir aritmetik dizinin 2. ve 13. terimlerinin çarpımı, 5. ve 11. terimlerinin çarpımına eşittir.

Buna göre, bu dizideki kaçıncı terim sıfıra eşittir?

Çözümü Göster
SORU 18:

Bir aritmetik dizide ilk 7 terimin toplamı, ilk 17 terimin toplamına eşittir.

Buna göre, ilk 24 terimin toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 19:

Aralarında aritmetik ilişki bulunan üç sayının toplamı 33, çarpımları 440'tır.

Bu sayılardan en büyük olanı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 20:

\( 37, 61, 85, \ldots \) aritmetik dizisindeki 3 basamaklı terimlerin ortalaması kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 21:

\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) birer aritmetik dizidir.

\( (a_n) = (8, 16, \ldots, 368) \)

\( (b_n) = (13, 16, \ldots, 352) \)

olduğuna göre, bu iki dizinin ortak terim sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 22:

\( (a_n) \) aritmetik dizisinin ortak farkı \( d \) olarak veriliyor.

Bu aritmetik dizinin ilk 7 teriminin toplamı ilk 12 teriminin toplamına eşit ise 6. teriminin \( d \) cinsinden eşiti nedir?

Çözümü Göster
SORU 23:

\( (a_n) \) ilk terimi 8 ve ortak farkı 5 olan, \( (b_n) \) ise ilk terimi 1 ve ortak farkı 7 olan aritmetik dizilerdir.

İki dizinin ortak elemanlarından oluşan dizinin 15. terimi kaçtır?

Çözümü Göster

« Önceki
Dizi Tipleri
Sonraki »
Geometrik Dizi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır