Aritmetik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir.
Aşağıda genel terimleri verilen bazı dizilerin birer aritmetik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.
Aritmetik dizilerin genel terimlerini \( x \)'in katsayısının ortak farka eşit olduğu bir doğrusal fonksiyona benzetebiliriz (\( f(x) = mx + c \)). Buna göre, bir aritmetik dizinin genel terimi \( n \)'ye göre birinci dereceden bir ifade ya da \( n \) içermeyen sabit bir terim olmalıdır.
Bir aritmetik dizinin artan/azalan/sabit dizi olması ortak farkının işaretine göre değişir.
Aritmetik diziler indirgemeli dizi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilirler.
Bir aritmetik dizide n. terim, birinci ya da herhangi diğer bir terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Yukarıdaki formülü \( p. \) ve \( q. \) terimler cinsinden yazıp ortak farkı yalnız bırakırsak, ortak farkın dizinin herhangi iki teriminin farkının bu iki terimin indislerinin farkına oranına eşit olduğunu buluruz.
Bir aritmetik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına (toplamlarının yarısına) eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşittir.
Yukarıdaki kuralın bir diğer sonucu olarak, bir aritmetik dizinin ardışık üç teriminde ortadaki terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
Aynı kuralın bir diğer sonucu olarak, sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
Yukarıdaki kuralı diğer bir şekilde ifade edersek, bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.
\( a \) ve \( b \) sayılarının arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan bir aritmetik dizinin ortak farkını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
Aritmetik dizilerde ilk n terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
SORU 1:
\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,
\( 4a_3 = 5a_7 \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, bu dizinin kaçıncı terimi sıfırdır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikteki terimleri 1. terim cinsinden yazalım.
\( 4(a_1 + 2d) = 5(a_1 + 6d) \)
\( 4a_1 + 8d = 5a_1 + 30d \)
\( a_1 + 22d = 0 \)
Eşitliğin sol tarafı dizinin 23. terimine eşittir.
\( a_{23} = 0 \)
Buna göre dizinin 23. terimi 0'dır.
SORU 2:
\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,
\( x = 3a_1 - 4a_3 \)
\( y = 3a_5 - 2a_3 \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitliklerdeki tüm terimleri \( a_1 \) cinsinden yazalım.
\( x = 3a_1 - 4(a_1 + 2d) \)
\( = 3a_1 - 4a_1 - 8d \)
\( = -a_1 - 8d \)
\( y = 3(a_1 + 4d) - 2(a_1 + 2d) \)
\( = 3a_1 + 12d - 2a_1 - 4d \)
\( = a_1 + 8d \)
2 ifadenin toplamını alalım.
\( x + y = -a_1 - 8d + a_1 + 8d \)
\( = 0 \) bulunur.
SORU 3:
İlk terimi \( \log_3{2} \) olan bir aritmetik dizinin ortak farkı ilk teriminin iki katına eşittir.
Buna göre bu dizinin 5. terimi nedir?
Çözümü Göster
\( a_1 = \log_3{2} \)
\( d = 2a_1 = 2\log_3{2} \)
Dizinin 5. terimini 1. terim cinsinden yazalım.
\( a_5 = a_1 + 4d \)
\( = \log_3{2} + 4 \cdot 2\log_3{2} \)
\( = 9\log_3{2} = \log_3{2^9} \)
\( = \log_3{512} \) bulunur.
SORU 4:
\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,
\( a_3 = \dfrac{7x + 5}{2} \)
\( a_9 = 4x + 15 \)
\( a_{12} = 8x + \dfrac{5}{2} \)
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, \( a_1 + a_7 \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a_9 \)'u \( a_3 \) cinsinden yazalım.
\( a_9 = a_3 + 6d \)
\( 4x + 15 = \dfrac{7x + 5}{2} + 6d \)
\( 8x + 30 = 7x + 5 + 12d \)
\( x + 25 = 12d \)
\( a_{12} \)'yi \( a_3 \) cinsinden yazalım.
\( a_{12} = a_3 + 9d \)
\( 8x + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7x + 5}{2} + 9d \)
\( 16x + 5 = 7x + 5 + 18d \)
\( 9x = 18d \)
\( x = 2d \)
Elde ettiğimiz iki denklemi ortak çözelim.
\( 2d + 25 = 12d \)
\( d = \dfrac{5}{2} \)
\( x = 5 \)
\( a_1 \) değerini bulalım.
\( a_3 = a_1 + 2d \)
\( \dfrac{7 \cdot 5 + 5 }{2} = a_1 + 2 \cdot \dfrac{5}{2} \)
\( a_1 = 15 \)
\( a_7 \) değerini bulalım.
\( a_7 = a_3 + 4d \)
\( a_7 = \dfrac{7 \cdot 5 + 5}{2} + 4 \cdot \dfrac{5}{2} \)
\( a_7 = 30 \)
\( a_1 + a_7 \) toplamını bulalım.
\( a_1 + a_7 = 15 + 30 = 45 \)
SORU 5:
\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,
\( a_5 + a_{13} = 22 \)
olduğuna göre, dizinin ilk 17 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) \)
\( S_{17} = \dfrac{17}{2}(a_1 + a_{17}) \)
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.
\( 5 + 13 = 1 + 17 = 18 \) olduğu için,
\( a_5 + a_{13} = a_1 + a_{17} = 22 \)
Buna göre ilk 17 terimin toplamını aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( S_{17} = \dfrac{17}{2}(a_5 + a_{13}) \)
\( = \dfrac{17}{2}(22) = 187 \) bulunur.
SORU 6:
\( S = \{4, 5, 6, \ldots, 500\} \) kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek ilk terimi 4 ve son terimi 500 olan aritmetik dizi sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Oluşturabileceğimiz dizilerin genel terimini yazalım.
\( (a_n) = a_1 + (n - 1)d \)
Dizilerin ilk terimi \( a_1 = 4 \)'tür ve terim sayısı kaç olursa olsun \( n \)'nin alabileceği en yüksek değer \( a_n = 500 \)'dür.
\( (a_n) = (4, \ldots, 500) \)
\( 500 = 4 + (n - 1)d \)
\( 496 = (n - 1)d \)
496 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp pozitif tam bölenlerinin sayısını bularak \( n \) sayısının kaç farklı değer alabileceğini bulalım.
\( 496 = 2^4 \cdot 31^1 \)
Pozitif tam bölen sayısı \( = (4 + 1)(1 + 1) = 10 \)
\( n \) sayısı 10 farklı değer alabildiğine göre yazabileceğimiz farklı aritmetik dizi sayısı 10 olur.
SORU 7:
Bir çift fonksiyon olan \( f(x) \) fonksiyonunun kökleri, aynı zamanda bir \( a_n \) aritmetik reel sayı dizisinin birbirinden farklı ilk dört terimidir.
\( a_{10} = 30 \) olduğuna göre, \( a_{30} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) bir çift fonksiyon olduğu için kökleri \( y \) eksenine göre simetriktir. Kökler arası ortak fark eşit olacağı için, bu kökleri aritmetik dizinin ortak farkı \( d \) cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \quad (a_n) = (-\frac{3d}{2}, -\frac{d}{2}, \frac{d}{2}, \frac{3d}{2}, ...) \)
Dizinin genel terimi aşağıdaki şekilde olacaktır.
\( \quad (a_n) = a_1 + (n - 1)d \)
\( \quad (a_n) = -\dfrac{3d}{2} + (n - 1)d \)
\( a_{10} = 30 \) değerini kullanarak ortak farkı bulalım.
\( \quad a_{10} = -\dfrac{3d}{2} + (10 - 1)d = 30 \)
\( \quad d = 4 \)
\( \quad a_1 = -\dfrac{3d}{2} = -6 \)
\( \quad (a_n) = -6 + (n - 1)d \)
\( a_{30} \)'u bulmak için genel terimi kullanalım.
\( \quad a_{30} = -6 + (30 - 1)4 = 110 \)
SORU 8:
\( a_n \) aritmetik dizisinin ilk \( n \) terim toplamı \( S_n = n^2 + 3n \) olduğuna göre, dizinin 20. terimi nedir?
Çözümü Göster
Bir dizinin ilk \( n \) terim toplamının formülü verildiyse, herhangi bir terimi bu formülü kullanarak bulabiliriz.
\( a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \)
\( S_{20} = 20^2 + 3 \cdot 20 \)
\( S_{19} = 19^2 + 3 \cdot 19 \)
\( a_{20} = S_{20} - S_{19} \)
\( a_{20} = 20^2 - 19^2 + 3(20 - 19) \)
\( a_{20} = (20 - 19)(20 + 19) + 3 = 42 \)
SORU 9:
\( a_n \) dizisinin ilk \( n \) teriminin toplamı \( S_n \) olmak üzere,
\( S_{35} = S_{46} \) olduğuna göre,
I. \( a_n \) aritmetik dizi ise \( a_{41} = 0 \)
II. \( a_n \) sabit dizidir.
III. \( S_{15} = S_{66} \)
ifadelerinden kaç tanesi daima doğrudur?
Çözümü Göster
\( a_n \) aritmetik dizi ise,
\( S_{46} = S_{35} + a_{36} + \ldots + a_{46} = S_{35} \)
\( a_{36} + \ldots + a_{46} = 0 \)
Bir aritmetik dizinin belirli sayıda teriminin toplamı terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir. \( a_{36} \) ve \( a_{46} \) arası terimlerin ortanca terimi \( a_{41} \)'dir
\( 11 \cdot a_{41} = 0 \Longrightarrow a_{41} = 0 \). I. öncül daima doğrudur.
Dizi aritmetik dizi de olabileceği için II. öncül daima doğru değildir.
III. öncül aritmetik ya da sabit dizi için doğrudur ama dizi farklı türde olabileceği için daima doğru diyemeyiz.
Buna göre sadece I. öncül daima doğrudur.
SORU 10:
Bir aritmetik dizide,
\( a_x = 2y \) ve \( a_y = 2x \) olup \( y \gt x \)'dir.
Buna göre \( a_{x + y} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( d \) aritmetik dizinin ortak farkı olmak üzere,
\( a_{x + y} = a_x + dy = 2y + dy \)
\( a_{x + y} = a_y + dx = 2x + dx \)
Alttaki denklemi üstteki denklemden taraf tarafa çıkaralım.
\( 0 = 2y - 2x + d(y - x)\)
\( -2(y - x) = d(y - x) \)
\( d = -2 \)
\( a_{x + y} = 2y - 2y = 0 \) bulunur.
SORU 11:
\( (a_n) = 7k + 2 \) sayı dizisinin ilk 105 terimi \( 91623 \ldots \) şeklinde yan yana yazılarak bir sayı oluşturuluyor.
Oluşan sayının 8 ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Bir sayının son 3 basamağındaki sayı 8 ile tam bölünüyorsa o sayı 8 ile tam bölünür.
Sayı 8 ile tam bölünmüyorsa son 3 basamağının 8 ile bölümünden kalan, o sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Sayının son 3 basamağını bulmak için \( (a_n) \) dizisinin 105. terimini bulalım.
\( a_{105} = 7 \cdot 105 + 2 = 737 \)
737 sayısı 3 basamaklı olduğu için oluşan sayının son üç basamağını oluşturur.
737 sayısının 8 ile bölümünden kalanı bulalım.
\( 737 = 8 \cdot 92 + 1 \)
Buna göre \( 91623 \ldots 737 \) sayısının 8 ile bölümünden kalan 1 olarak bulunur.
SORU 12:
9 ile tam bölünen dört basamaklı kaç doğal sayı vardır?
Çözümü Göster
9 ile tam bölünen dört basamaklı doğal sayılardan oluşan bir aritmetik dizi tanımlayalım.
Bu dizinin en küçük terimi 1008 olur.
\( a_1 = 1008 \)
\( d = 9 \)
Bu dizinin en büyük terimi 9999 olur.
\( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \)
\( 9999 = 1008 + (n - 1) \cdot 9 \)
\( 9(n - 1) = 8991 \)
\( n = 1000 \)
Buna göre 9 ile tam bölünen dört basamaklı 1000 doğal sayı vardır.
SORU 13:
\( (a_n) \) bir aritmetik dizi olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{10}{a_n} = 215 \)
\( a_1 = 8 \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, \( a_7 - a_2 \) farkı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen toplam sembolü dizinin ilk 10 teriminin toplamını ifade etmektedir.
Aritmetik dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı formülünü yazalım.
\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1) \cdot d] \)
\( S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot (2 \cdot 8 + 9d) = 215 \)
\( 5(16 + 9d) = 215 \)
\( 16 + 9d = 43 \)
\( d = 3 \)
2. ve 7. terimlerin farkı 5 ortak fark kadardır.
\( a_7 - a_2 = (7 - 2)d = 15 \) bulunur.
SORU 14:
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) aritmetik dizilerdir.
\( (a_n) = 7n + 25 \)
\( (b_n) = 10n + 13 \)
olduğuna göre, bu dizilerin ortak terimlerinden en küçük üçünün toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Ortak terimlerin indislerine \( i \) ve \( j \) diyelim.
\( a_i = b_j = A \)
\( 7i + 25 = 10j + 13 = A \)
Eşitliğin taraflarını aralarında asal 7 ve 10 parantezine alabilecek şekilde eşitliğin taraflarına 17 ekleyelim.
\( 7i + 42 = 10j + 30 = A + 17 \)
\( 7 \cdot (i + 6) = 10 \cdot (j + 3) = A + 17 \)
Buna göre dizilerin her bir ortak teriminin 17 fazlası 7 ve 10'un bir ortak katıdır.
\( EKOK(7, 10) = 70 \)
\( A + 17 \in \{70, 140, 210, \ldots\} \)
\( A \in \{53, 123, 193, \ldots\} \)
Buna göre dizilerin ortak terimlerinden en küçük üçünün toplamı \( 53 + 123 + 193 = 369 \) olarak bulunur.
SORU 15:
\( (a_n) \) dizisi bir aritmetik dizidir.
\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = a_2 + a_4 + a_6 + 4 \)
\( a_{10} = 4a_8 \)
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, \( a_1 \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( a_2 \), \( a_4 \) ve \( a_6 \) terimlerini \( a_1 \), \( a_3 \) ve \( a_5 \) cinsinden yazalım.
\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = a_1 + d + a_3 + d + a_5 + d + 4 \)
\( a_7 = 3d + 4 \)
\( a_8 \) ve \( a_{10} \) terimlerini \( a_7 \) cinsinden yazalım.
\( a_7 + 3d = 4(a_7 + d) \)
\( a_7 + 3d = 4a_7 + 4d \)
\( 3a_7 = -d \)
\( a_7 = -\dfrac{d}{3} \)
\( a_7 \) ve \( d \) ile bulduğumuz iki eşitliği ortak çözelim.
\( 3d + 4 = -\dfrac{d}{3} \)
\( d = -\dfrac{6}{5} \)
\( a_7 = 3d + 4 = 3 \cdot (-\dfrac{6}{5}) + 4 \)
\( a_7 = \dfrac{2}{5} \)
\( a_7 \) terimini kullanarak \( a_1 \) terimini bulalım.
\( a_7 = a_1 + 6d \)
\( \dfrac{2}{5} = a_1 + 6 \cdot (-\dfrac{6}{5}) \)
\( a_1 = \dfrac{2}{5} + \dfrac{36}{5} \)
\( = \dfrac{38}{5} \) bulunur.
SORU 16:
Bir aritmetik dizinin ilk 5 terimi sırasıyla \( a, (2a + b), 32, (6a - b), (6a + 2b) \) olduğuna göre, dizinin 111. terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Aritmetik diziye \( a_n \), dizinin ortak farkına \( d \) diyelim.
\( a_1 = a \)
\( a_2 = 2a + b \)
\( a_3 = 32 \)
\( a_4 = 6a - b \)
\( a_5 = 6a + 2b \)
\( a_4 \) ve \( a_5 \) terimlerinin arasındaki farkı bulalım.
\( d = a_5 - a_4 \)
\( = 6a + 2b - (6a - b) = 3b \)
Bu eşitliği kullanarak dizinin terimlerini birbirleri cinsinden yazalım.
\( a_2 = a_1 + d \)
\( 2a + b = a + 3b \)
\( a = 2b \)
\( a_3 = a_2 + d \)
\( 32 = 2a + b + 3b \)
\( 32 = 2a + 4b \)
\( 32 = 2 \cdot 2b + 4b \)
\( 32 = 8b \Longrightarrow b = 4 \)
\( a = 2b \Longrightarrow a = 8 \)
\( d = 3b \Longrightarrow d = 12 \)
Bulduğumuz değerleri kullanarak \( a_{111} \) terimini bulalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( a_{111} = a_1 + (111 - 1)d \)
\( a_1 = a = 8 \)
\( = 8 + 110 \cdot 12 \)
\( = 8 + 1320 = 1328 \) bulunur.
SORU 17:
Bir aritmetik dizinin 2. ve 13. terimlerinin çarpımı, 5. ve 11. terimlerinin çarpımına eşittir.
Buna göre, bu dizideki kaçıncı terim sıfıra eşittir?
Çözümü Göster
Bu dizinin 2. terimine \( a_2 \), ortak farkına \( d \) diyelim.
5., 11. ve 13. terimleri 2. terim cinsinden yazalım.
\( a_{13} = a_2 + 11d \)
\( a_5 = a_2 + 3d \)
\( a_{11} = a_2 + 9d \)
Dizinin 2. ve 13. terimlerinin çarpımı, 5. ve 11. terimlerinin çarpımına eşittir.
\( a_2 \cdot a_{13} = a_5 \cdot a_{11} \)
\( a_2 \cdot (a_2 + 11d) = (a_2 + 3d) \cdot (a_2 + 9d) \)
\( a_2^2 + 11da_2 = a_2^2 + 3da_2 + 9da_2 + 27d^2 \)
\( a_2d = -27d^2 \)
\( a_2 = -27d \)
Sıfıra eşit olan terime \( k \). terim diyelim.
\( a_k = a_2 + (k - 2)d = 0 \)
\( -27d + (k - 2)d = 0 \)
\( 27d = (k - 2)d \)
\( k = 29 \)
Buna göre dizinin 29. terimi sıfıra eşittir.
SORU 18:
Bir aritmetik dizide ilk 7 terimin toplamı, ilk 17 terimin toplamına eşittir.
Buna göre, ilk 24 terimin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Aritmetik dizinin ilk terimine \( a \), dizinin ortak farkına \( d \) diyelim.
Aritmetik dizi terimler toplamı formülü ile ilk 7 terimin toplamını bulalım.
\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot [a_1 + a_n] \)
\( S_7 = \dfrac{7}{2} \cdot [a + (a + 6d)] \)
\( = 7(a + 3d) \)
Aynı formül ile ilk 17 terimin toplamını bulalım.
\( S_{17} = \dfrac{17}{2} \cdot [a + (a + 16d)] \)
\( = 17(a + 8d) \)
İki toplam birbirine eşittir.
\( 7(a + 3d) = 17(a + 8d) \)
\( 7a + 21d = 17a + 136d \)
\( 10a = -115d \)
\( 2a = -23d \)
İlk 24 terimin toplamını bulalım.
\( S_{24} = \dfrac{24}{2} \cdot [a + (a + 23d)] \)
\( = 12(2a + 23d) \)
\( 2a = -23d \) ifadesini \( 2a \) yerine kullanalım.
\( = 12(-23d + 23d) = 0 \)
Buna göre aritmetik dizinin ilk 24 teriminin toplamı 0'a eşittir.
SORU 19:
Aralarında aritmetik ilişki bulunan üç sayının toplamı 33, çarpımları 440'tır.
Bu sayılardan en büyük olanı kaçtır?
Çözümü Göster
Üç sayı arasında aritmetik ilişki olduğuna göre bu sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (b - x), b, (b + x) \)
Üç sayının toplamını yazalım.
\( b - x + b + b + x = 33 \)
\( 3b = 33 \)
\( b = 11 \)
Buna göre sayılar aşağıdaki gibi olur.
\( (11 - x), b, (11 + x) \)
Üç sayının çarpımını yazalım.
\( (11 - x) \cdot 11 \cdot (11 + x) = 440 \)
\( 121 - x^2 = 40 \)
\( 81 = x^2 \)
\( x = \pm 9 \)
Aritmetik dizinin artan ya da azalan olduğu bilgisi verilmemiş olsa da her iki durumda da sayılardan en büyük olanı aynı olacaktır.
\( x = -9 \) olduğunda sayılar aşağıdaki gibi olur.
\( 20, 11, 2 \)
\( x = 9 \) olduğunda sayılar aşağıdaki gibi olur.
\( 2, 11, 20 \)
Her iki durumda da sayıların en büyüğü 20 olur.
SORU 20:
\( 37, 61, 85, \ldots \) aritmetik dizisindeki 3 basamaklı terimlerin ortalaması kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin genel terimini bulalım.
\( (a_n) = a_1 + (n - 1)d \)
Dizinin ilk terimi \( a_1 = 37 \) ve ortak farkı \( d = 61 - 37 = 24 \)'tür.
\( (a_n) = 37 + (n - 1) \cdot 24 \)
\( (a_n) = 24n + 13 \)
3 basamaklı terimler aşağıdaki aralıkta bulunur.
\( 100 \le 24n + 13 \le 999 \)
\( 87 \le 24n \le 986 \)
\( \dfrac{87}{24} \le n \le \dfrac{986}{24} \)
Eşitsizliğin sınır değerlerinin yaklaşık değerlerini yazalım.
\( 3,6 \le n \le 41,08 \)
\( n \) tam sayı olduğu için aralığı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( 4 \le n \le 41 \)
Aritmetik dizilerin toplam formülü aşağıdaki gibidir.
\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)
4. terimden 41. terime kadar olan terimlerin toplamını bulmak için \( a_4 \)'ü birinci terim olarak düşünebiliriz.
\( a_4 = 24 \cdot 4 + 13 = 109 \)
\( a_{41} = 24 \cdot 41 + 13 = 997 \)
\( a_4 \)'ten \( a_{41} \)'e \( 41 - 4 + 1 = 38 \) terim vardır.
\( S_{41} = \dfrac{38}{2} \cdot (109 + 997) \)
\( = 19 \cdot 1106 = 21014 \)
3 basamaklı terimlerin ortalaması \( = \dfrac{21014}{38} = 553 \) bulunur.
SORU 21:
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) birer aritmetik dizidir.
\( (a_n) = (8, 16, \ldots, 368) \)
\( (b_n) = (13, 16, \ldots, 352) \)
olduğuna göre, bu iki dizinin ortak terim sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (a_n) \) dizisinin ortak farkına \( d_a \) diyelim ve genel terimini bulalım.
\( (a_n) = a_1 + (n - 1)d_a \)
Dizinin ilk terimi \( a_1 = 8 \) ve ortak farkı \( d_a = 16 - 8 = 8 \)'dir.
\( (a_n) = 8 + (n - 1) \cdot 8 \)
\( = 8n \)
\( (b_n) \) dizisinin ortak farkına \( d_b \) diyelim ve genel terimini bulalım.
\( (b_n) = b_1 + (n - 1)d_b \)
Dizinin ilk terimi \( b_1 = 13 \) ve ortak farkı \( d_b = 16 - 13 = 3 \)'tür.
\( (b_n) = 13 + (n - 1) \cdot 3 \)
\( = 3n + 10 \)
Dizilerin ilk ortak terimi 16'dır. Buna göre dizilerin ortak terimleri 3 ve 8'in ortak katlarının 16 fazlasıdır.
\( EKOK(3, 8) = 24 \)
Verilen diziler sonlu olduğu için en büyük ortak terim son terimlerden küçük olandan, yani 352'den küçük ya da 352'ye eşit olmalıdır.
Dizilerin ortak terim sayılarına \( x \) dersek, 16 hariç \( x - 1 \) ortak terim vardır.
\( 16 + 24(x - 1) \le 352 \)
\( 24x \le 360 \)
\( x \le 15 \)
\( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olduğuna göre, dizilerin ortak terim sayısı 15 olarak bulunur.
SORU 22:
\( (a_n) \) aritmetik dizisinin ortak farkı \( d \) olarak veriliyor.
Bu aritmetik dizinin ilk 7 teriminin toplamı ilk 12 teriminin toplamına eşit ise 6. teriminin \( d \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Dizinin genel terimini ve ilk \( n \) teriminin toplam formülünü yazalım.
\( (a_n) = a_1 + (n - 1)d \)
\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d] \)
Aritmetik dizinin ilk 7 teriminin toplamı ilk 12 teriminin toplamına eşittir.
\( S_7 = S_{12} \)
\( \dfrac{7}{2} \cdot (2a_1 + 6d) = \dfrac{12}{2} \cdot (2a_1 + 11d) \)
\( 14a_1 + 42d = 24a_1 + 132d \)
\( 10a_1 = -90d \)
\( a_1 = -9d \)
Bu eşitliği kullanarak dizinin 6. terimini bulalım.
\( a_6 = a_1 + (6 - 1)d \)
\( = a_1 + 5d \)
\( a_1 \) yerine bulduğumuz eşitini yazalım.
\( = -9d + 5d = -4d \) bulunur.
SORU 23:
\( (a_n) \) ilk terimi 8 ve ortak farkı 5 olan, \( (b_n) \) ise ilk terimi 1 ve ortak farkı 7 olan aritmetik dizilerdir.
İki dizinin ortak elemanlarından oluşan dizinin 15. terimi kaçtır?
Çözümü Göster
\( (a_n) \) dizisinin ilk terimini ve ortak farkını kullanarak dizinin terimlerini yazalım.
\( (a_n) = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, \ldots) \)
Aynı şekilde \( (b_n) \) dizisinin ilk terimini ve ortak farkını kullanarak dizinin terimlerini yazalım.
\( (b_n) = (1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, \ldots) \)
İki dizinin ortak elemanlarından oluşan bir \( (c_n) \) dizisi tanımlayalım.
\( (c_n) \) dizisinin ilk elemanının 8 olduğunu yukarıdaki dizi tanımlarından görebiliriz. Ayrıca dizinin ortak farkı iki dizinin ortak farklarının EKOK'u olur.
\( EKOK(5, 7) = 35 \)
\( (c_n) = (8, 43, 78, \ldots) \)
Bu bilgilerle \( (c_n) \) dizisinin genel terimini yazalım.
\( (c_n) = 8 + 35(n - 1) \)
\( = 35n - 27 \)
\( (c_n) \) dizisinin 15. terimini bulalım.
\( c_{15} = 35 \cdot 15 - 27 = 498 \) bulunur.