İkinci Dereceden Dizi
Genel terimi ikinci dereceden polinom olan dizilere ikinci dereceden dizi denir. Tüm ikinci dereceden diziler \( n^2 \)'li bir terim içerir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) ve,
\( a, b, c \in \mathbb{R}, a \ne 0 \) olmak üzere,
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
\( (a_n) = n^2 \)
\( (b_n) = 3n^2 + 4n \)
\( (c_n) = 2n^2 - 5 \)
\( (d_n) = n^2 + 2n - 1 \)
Örnek bir ikinci dereceden dizinin terimlerini bulalım.
\( (a_n) = 2n^2 + 3n - 1 \)
\( a_1 = 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 4 \)
\( a_2 = 2(2)^2 + 3(2) - 1 = 13 \)
\( a_3 = 2(3)^2 + 3(3) - 1 = 26 \)
\( a_4 = 2(4)^2 + 3(4) - 1 = 43 \)
\( a_5 = 2(5)^2 + 3(5) - 1 = 64 \)
\( a_6 = 2(6)^2 + 3(6) - 1 = 89 \)
\( (a_n) = (4, 13, 26, 43, 64, 89, \ldots) \)
Bir dizinin ardışık terimleri arasındaki farklara 1. farklar, ardışık 1. farkları arasındaki farklara da 2. farklar diyelim. İkinci dereceden dizilerin en önemli özelliği 1. farkların aritmetik dizi oluşturması, dolayısıyla 2. farkların dizi boyunca sabit olmasıdır.
Genel Terimin Bulunması
Terimleri verilen ikinci dereceden bir dizinin genel terimini iki yöntemle bulabiliriz.
Lineer Denklem Sistemi Çözümü
Bu yöntemde dizinin herhangi üç terimi seçilir ve \( (a_n) = an^2 + bn + c \) formundaki genel terimde yerine konur. Elde edilen üç bilinmeyenli üç denklem, birinci dereceden denklem sistemleri bölümünde incelediğimiz çözüm yöntemlerinden biriyle çözülür ve \( a \), \( b \), \( c \) katsayıları bulunur.
\( (a_n) = (5, 12, 25, 44, 69, 100, \ldots) \)
İlk 6 terimi yukarıda verilen ikinci dereceden dizinin genel terimini bulalım.
Dizinin genel terimini yazalım.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
Dizinin ilk 3 terimini bu genel terimde yerine koyalım.
\( a_1 = a(1)^2 + b(1) + c = 5 \)
\( a_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 12 \)
\( a_3 = a(3)^2 + b(3) + c = 25 \)
Buna göre aşağıdaki üç bilinmeyenli üç denklemi elde ederiz.
\( a + b + c = 5 \)
\( 4a + 2b + c = 12 \)
\( 9a + 3b + c = 25 \)
Bu lineer denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = -2, \quad c = 4 \)
\( (a_n) = 3n^2 - 2n + 4 \)
Formül Çözümü
Pratik bir yöntem olarak aşağıdaki üç formül kullanılarak da genel terimin \( a \), \( b \) ve \( c \) katsayıları bulunabilir.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \) ikinci dereceden dizi,
\( (d1_n) = (d_1, d_2, d_3, \ldots) \) 1. farkların oluşturduğu aritmetik dizi,
\( (d2_n) = (d, d, d, \ldots) \) 2. farkların oluşturduğu sabit dizi olmak üzere,
\( a \), \( b \) ve \( c \) katsayıları aşağıdaki üç formülle bulunabilir.
\( 2a = d \)
\( 3a + b = d_1 \)
\( a + b + c = a_1 \)
İSPATI GÖSTER
Bu formüllerin kullanımını bir örnek üzerinden gösterelim.
\( (a_n) = (4, 13, 26, 43, 64, 89, \ldots) \)
İlk 6 terimi yukarıda verilen ikinci dereceden dizinin genel terimini bulalım.
Dizinin 1. ve 2. farklarını bulalım.
\( a \) katsayısının iki katı 2. farkların sabit terimine eşittir.
\( 2a = 4 \)
\( \Longrightarrow a = 2 \)
\( 3a + b \) değeri 1. farkların ilk terimine eşittir.
\( 3a + b = 9 \)
\( 3(2) + b = 9 \)
\( \Longrightarrow b = 3 \)
Dizinin katsayılar toplamı dizinin ilk terimine eşittir.
\( a + b + c = 4 \)
\( 2 + 3 + c = 4 \)
\( \Longrightarrow c = -1 \)
Buna göre dizinin genel terimini aşağıdaki gibi buluruz.
\( (a_n) = 2n^2 + 3n - 1 \)
Doğal sayılar kümesinin elemanları aşağıdaki şekilde farklı kümelere bölünüyor.
\( P_1 = \{1\} \)
\( P_2 = \{2, 3\} \)
\( P_3 = \{4, 5, 6\} \)
\( P_4 = \{7, 8, 9, 10\} \)
Buna göre \( P_{25} \) kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster