Genel terimi rasyonel bir ifade şeklinde yazılan bir dizinin sabit dizi olması için aşağıdaki koşulu sağlaması gerekir.
Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak çarpanı 1'dir. Aritmetik ve geometrik dizileri önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.
Bir dizinin sonlu olduğu belirtilmediği durumda sonsuz bir dizi olduğu anlaşılmalıdır.
Bir dizideki bir terimin kendisinden önceki bir ya da birkaç terim cinsinden ifade edildiği dizilere indirgemeli dizi denir.
Diğer önemli dizi tipleri aritmetik, geometrik, karesel, üçgensel diziler ve Fibonacci dizileridir. Önümüzdeki bölümlerde bu dizi tiplerini inceleyeceğiz.
SORU 1:
\( (a_n) = (m - 2)n^3 + (k + 1)n + 2m - k \) dizisi bir sabit dizi olduğuna göre,
\( a_{71} + a_{72} + ... + a_{201} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin sabit dizi olması için içinde hiçbir değişken bulunmaması ve sadece sabit terim içermesi gerekir. Buna göre \( n \)'li terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekmektedir.
\( \quad m - 2 = 0 \Longrightarrow m = 2 \)
\( \quad k + 1 = 0 \Longrightarrow k = -1 \)
Bu durumda dizi tanımı aşağıdaki gibi olmaktadır.
\( \quad (a_n) = 2m - k = 2(2) - (-1) = 5 \)
Değeri sorulan ifadeyi hesaplayalım.
\( a_{71} + a_{72} + ... + a_{201} \) ifadesindeki terim sayısı \( 201 - 71 + 1 = 131 \)'dir. Buna göre ifadenin sonucu \( 131 \cdot 5 = 655 \) olmaktadır.
SORU 2:
\( (a_n) \) dizisinde \( a_1 = \dfrac{1}{10!} \) ve \( \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = n + 1 \) olduğuna göre, dizinin 8. terimi nedir?
Çözümü Göster
İndirgemeli tanımı verilmiş dizinin genel terimini bulmaya çalışalım.
\( \quad a_{n + 1} = a_n \cdot (n + 1) \)
\( \quad a_2 = a_1 \cdot 2 \)
\( \quad a_3 = a_2 \cdot 3 \)
\( \quad a_4 = a_3 \cdot 4 \)
\( \quad \vdots \)
\( \quad a_n = a_{n - 1} \cdot n \)
İfadeleri taraf tarafa çarparak genel terimi bulalım.
\( \quad (a_n) = a_1 \cdot n! \)
\( \quad (a_n) = \dfrac{n!}{10!} \)
Genel terimde \( n = 8 \) koyarsak 8. terimi buluruz.
\( a_8 = \dfrac{8!}{10!} = \dfrac{1}{90} \)
SORU 3:
\( (a_n) \) bir sabit dizidir.
\( (a_n) = (x + 1)n + n^y + 5x^y \)
olduğuna göre, \( a_2 \)'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin sabit dizi olabilmesi için genel terimde \( n \) bulunmamalıdır, dolayısıyla aşağıdaki ifade bir sabit sayı olmalıdır.
\( (x + 1)n + n^y \)
Bu ifade iki \( (x, y) \) değer ikilisi için sabit sayı olur.
Durum 1: \( x = -2, y = 1 \)
\( (a_n) = (-2 + 1)n + n^1 + 5(-2)^1 = -10 \)
\( = -n + n + (-10) = -10 \)
\( a_2 = -10 \)
Durum 2: \( x = -1, y = 0 \)
\( (a_n) = (-1 + 1)n + n^0 + 5(-1)^0 \)
\( = 0 + 1 + 5 = 6 \)
\( a_2 = 6 \)
Buna göre \( a_2 \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( (-10) \cdot 6 = -60 \) bulunur.
SORU 4:
\( a_1 = 3 \) olmak üzere,
\( a_n = \dfrac{n}{a_{n-1}} \) dizisinin ilk 8 teriminin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a_1 = 3 \)
\( a_2 = \dfrac{2}{a_1} \)
\( a_3 = \dfrac{3}{a_2} \)
\( a_4 = \dfrac{4}{a_3} \)
\( \vdots \)
\( a_8 = \dfrac{8}{a_7} \)
Terimlerin çarpımını yazalım.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 \cdot a_7 \cdot a_8 \)
İndisi çift sayı olan terimlerin yukarıda bulduğumuz karşılıklarını yazalım.
\( = a_1 \cdot \dfrac{2}{a_1} \cdot a_3 \cdot \dfrac{4}{a_3} \cdot a_5 \cdot \dfrac{6}{a_5} \cdot a_7 \cdot \dfrac{8}{a_7} \)
\( = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \)
\( = 2^7 \cdot 3 \) bulunur.
SORU 5:
\( a_1 = 6 \) olmak üzere,
\( a_n = \sqrt{\abs{(a_{n-1})^2 - 37}} \)
olduğuna göre, \( a_{37} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin terimlerini sırayla hesaplayalım.
\( a_2 = \sqrt{\abs{6^2 - 37}} = 1 \)
\( a_3 = \sqrt{\abs{1^2 - 37}} = 6 \)
\( a_4 = \sqrt{\abs{6^2 - 37}} = 1 \)
\( a_5 = \sqrt{\abs{1^2 - 37}} = 6 \)
Dizinin terimlerinin periyodik şekilde 1 ve 6 değerlerini aldığını görüyoruz. Buna göre indisi çift sayı olan terimler 1, tek sayı olan terimler 6 olmaktadır.
\( a_{37} = 6 \) bulunur.
SORU 6:
\( a_{n + 1} = 6^n \cdot a_n \)
\( a_1 = 6 \) olduğuna göre,
\( a_n \) dizisinin genel terimi nedir?
Çözümü Göster
\( \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = 6^n \)
1'den \( n \)'ye kadarki terimleri hesaplayalım.
\( n = 1 \Longrightarrow \dfrac{a_2}{a_1} = 6^1 \)
\( n = 2 \Longrightarrow \dfrac{a_3}{a_2} = 6^2 \)
\( n = 3 \Longrightarrow \dfrac{a_4}{a_3} = 6^3 \)
\( \vdots \)
\( n = n - 1 \Longrightarrow \dfrac{a_n}{a_{n - 1}} = 6^{n - 1} \)
Eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
\( \dfrac{a_2}{a_1} \cdot \dfrac{a_3}{a_2} \cdot \dfrac{a_4}{a_3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a_n}{a_{n - 1}} = 6^1 \cdot 6^2 \cdot \ldots \cdot 6^{n - 1} \)
Her çarpanın payı bir sonraki çarpanın paydası ile sadeleşir.
\( \dfrac{a_n}{a_1} = 6^{\frac{n(n - 1)}{2}} \)
\( \dfrac{a_n}{6} = 6^{\frac{n^2 - n}{2}} \)
\( (a_n) = 6 \cdot 6^{\frac{n^2 - n}{2}} \)
\( = 6 \cdot 6^{\frac{n^2 - n + 2}{2}} \)
\( = \sqrt{6^{n^2 - n + 2}} \)
SORU 7:
\( (a_n) = n^3 - 24n^2 + 144n + 777 \)
Yukarıda genel terimi verilen dizi için \( a_n \gt a_{n+1} \) şartını sağlayan en büyük \( n \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Bir dizi aynı zamanda tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyondur.
\( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{R} \)<
p>
\( f(x) = x^3 - 24x^2 + 144x + 777 \)
\( a_n \gt a_{n+1} \) eşitsizliği fonksiyonun azalan olduğu aralıkta sağlanır.
Fonksiyonun türevini alarak hangi aralıklarda azalan olduğunu bulalım.
\( f'(x) = 3x^2 - 48x + 144 \lt 0 \)<
p>
\( 3(x - 4)(x - 12) \lt 0 \)
Buna göre fonksiyon \( (4, 12) \) aralığında azalandır.
Fonksiyonu tekrar dizi olarak düşünürsek dizinin azalan olduğu en büyük \( n \) değeri \( n = 11 \) olarak bulunur.
\( a_{11} \gt a_{12} \)
SORU 8:
Genel terimi \( a_n \) olan bir dizide, \( a_1 = 1 \)'dir.
\( a_{n+1} = \dfrac{1 - a_n}{1 + a_n} \) olduğu biliniyor.
Buna göre, \( a_{107} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( a_1 \)'i bildiğimiz için \( n = 1 \) koyarak ilerleyelim.
\( n = 1 \) için:
\( a_2 = \dfrac{1 - a_1}{1 + a_1} \)
\( = \dfrac{1 - 1}{1 + 1} = 0 \)
\( n = 2 \) için:
\( a_3 = \dfrac{1 - a_2}{1 + a_2} \)
\( = \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \)
\( a_1 = a_3 \) olduğunu görüyoruz, dolayısıyla \( n \)'nin artan değerlerinde dizi terimlerinin \( 1, 0, 1, 0 \dots \) şeklinde ilerleyeceğini görebiliriz.
Bu durumda dizinin terimleri \( n \)'nin tek değerleri için 1, çift değerleri için 0 olur.
107 tek sayıdır.
\( a_{107} = 1 \) bulunur.
SORU 9:
\( a_1 = 24 \) ve \( a_2 = 8 \) olmak üzere,
\( a_{n+2} = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \)
eşitliği veriliyor. Buna göre \( a_{718} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin ilk birkaç terimini hesaplayalım.
\( n = 1 \) için:
\( a_3 = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \)
\( n = 2 \) için:
\( a_4 = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\frac{1}{3}}{8} = \dfrac{1}{24} \)
\( n = 3 \) için:
\( a_5 = \dfrac{a_4}{a_3} = \dfrac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{8} \)
\( n = 4 \) için:
\( a_6 = \dfrac{a_5}{a_4} = \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{24}} = 3 \)
\( n = 5 \) için:
\( a_7 = \dfrac{a_6}{a_5} = \dfrac{3}{\frac{1}{8}} = 24 \)
\( n = 6 \) için:
\( a_8 = \dfrac{a_7}{a_6} = \dfrac{24}{3} = 8 \)
\( a_n = (24, 8, \frac{1}{3}, \frac{1}{24}, \frac{1}{8}, 3, 24, 8, \ldots) \)
Bu terimleri incelediğimizde dizinin periyodik olduğunu ve her 6 terimde bir terimlerin tekrar ettiğini görürüz.
\( 718 \bmod{6} = 4 \) olduğuna göre, \( a_{718} = a_4 \) olur.
\( a_{718} = \dfrac{1}{24} \) olarak bulunur.
SORU 10:
\( a_n \) dizisi aşağıdaki şekilde tanımlanıyor.
\( a_1 = 12 \)
\( a_{n + 1} = \sqrt[3]{a_n}, \quad (n \ge 1) \)
Buna göre \( a_{200} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( a_n \) dizisinin ilk birkaç terimini yazalım.
\( n = 1 \) için:
\( a_2 = \sqrt[3]{a_1} = \sqrt[3]{12} = 12^{\frac{1}{3}} \)
\( n = 2 \) için:
\( a_3 = \sqrt[3]{a_2} = \sqrt[3]{12^{\frac{1}{3}} } = 12^{\frac{1}{9}} \)
\( n = 3 \) için:
\( a_4 = \sqrt[3]{a_3} = \sqrt[3]{12^{\frac{1}{9}} } = 12^{\frac{1}{27}} \)
Dizinin terimlerinin \( 12^{\frac{1}{3}}, 12^{\frac{1}{9}}, 12^{\frac{1}{27}}, \ldots \) şeklinde ilerlediğini görüyoruz.
Dizinin terimlerini \( 12^{3^{-1}}, 12^{3^{-2}}, 12^{3^{-3}}, \ldots \) şeklinde de ifade edebiliriz.
Buna göre dizinin genel terimini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (a_n) = 12^{3^{-n + 1}} \)
\( a_{200} \) terimini bulmak için \( n = 200 \) yazalım.
\( a_{200} = 12^{3^{-199}} \) bulunur.