Ara Değer Teoremi

Ara Değer Teoremi'ne göre, bir \( f \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki bir \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli ise fonksiyon bu aralıkta \( f(a) \) ve \( f(b) \) arasındaki bir \( s \) değerini en az bir kez alır.

Ara Değer Teoremi
Ara Değer Teoremi

Ara Değer Teoremi'ni şu şekilde de ifade edebiliriz: Yukarıdaki gibi bir sürekli fonksiyon ve aralık için, fonksiyon \( I \) aralığında \( [f(a), f(b)] \) aralığındaki tüm değerleri en az bir kez alır.

Ara Değer Teoremi'nin uygulamalarından biri de bir fonksiyonun belirli bir aralıkta kökünün olup olmadığını bulmaktır. Eğer bir \( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığında sürekli olduğunu biliyorsak ve \( f(a) \) ve \( f(b) \) değerleri ters işaretli ise fonksiyon \( [a, b] \) aralığında en azından bir noktada \( f(x) = 0 \) değerini almak zorundadır, dolayısıyla fonksiyonun bu aralıkta en az bir kökü vardır. Dikkat edilirse, Ara Değer Teoremi bize bir kök değerlerini vermemekte, sadece bir aralıkta fonksiyonun kökünün olup olmadığını söylemektedir.

Aşağıda Ara Değer Teoremi'nin bu uygulaması ile ilgili bir örnek verilmiştir.

SORU:

Aşağıdaki fonksiyonun \( [-2, 2] \) aralığında hangi tam sayı aralıklarında kökü olduğunu bulalım.

\( f(x) = x^5 - 5x^2 - x + 3 \)

Çözümü Göster


« Önceki
Fonksiyon İşlemleri ve Süreklilik
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır