Noktaların Doğrusallığı
Bir nokta kümesinin doğrusal olması, kümedeki tüm noktalardan geçen bir doğru çizilebilmesi anlamına gelir.
Aşağıdaki şekildeki \( A, B, C \) noktaları doğrusaldır, \( D, E, F \) noktaları ise doğrusal değildir. Üç farklı nokta doğrusal değilse bu noktalar bir üçgen oluşturur.
İki farklı noktadan tek bir doğru geçtiği için herhangi iki farklı nokta her zaman doğrusaldır. Bu nedenle doğrusallık genellikle üç veya daha fazla nokta için incelenir.
Noktaların doğrusal olup olmadığını belirlemek için dört yöntem paylaşacağız. Bu yöntemlerden ilk ikisi 4 ve üstü noktadan oluşan kümelerin doğrusallığı için de kullanılabilir, son iki yöntem ise sadece 3 noktanın doğrusallığı için kullanılır.
Eğim Yöntemi
Bu yöntemde, üç noktanın doğrusal olup olmadığını belirlemek için bu noktalar içinden seçilen herhangi iki nokta ikilisini birleştiren doğru parçalarının eğimleri hesaplanır. Eğimler birbirine eşitse noktalar doğrusaldır, farklı ise noktalar doğrusal değildir.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( m_{AB} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m_{BC} = \dfrac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} \)
\( m_{AB} = m_{BC} \Longleftrightarrow \) noktalar doğrusaldır.
\( A(-3, 8), B(-1, 2), C(5, -16) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( [AB] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( m_{AB} = \dfrac{2 - 8}{-1 - (-3)} = -3 \)
\( [BC] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( m_{BC} = \dfrac{-16 - 2}{5 - (-1)} = -3 \)
İki eğim birbirine eşit olduğu için bu üç nokta doğrusaldır.
Üç nokta için iki eğimin eşit olduğunu göstermek yeterlidir. Aşağıda \( m_{AC} \) eğimi doğrulama amacıyla hesaplanmıştır.
\( [AC] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( m_{AC} = \dfrac{-16 - 8}{5 - (-3)} = -3 \)
Dört ya da daha fazla sayıda noktanın doğrusallığını bu yöntemle belirlemek için, noktalardan biri sabit tutulur ve diğer her bir nokta ile bu nokta arasındaki eğimlerin eşitliğine bakılır.
\( m_{AB} = m_{AC} = m_{AD} = m_{AE} = \ldots \) ise noktalar doğrusaldır.
En az bir eğim diğerlerinden farklı ise noktalar doğrusal değildir.
Dört ya da daha fazla sayıda nokta olduğu durumda noktalardan biri sabit tutulmazsa aşağıdaki örnekteki gibi paralel doğrular üzerindeki noktalar aynı eğime sahip olabilir ve yanlışlıkla noktaların doğrusal olduğu sonucuna varılabilir.
Düşey doğruların eğimi tanımsız olduğundan bu durumda eğimlerin eşitliği kullanılamaz. Tüm noktaların apsisleri eşitse noktalar aynı düşey doğru üzerindedir ve doğrusaldır. Apsislerden en az ikisi farklıysa noktalar doğrusal değildir.
Denklem Yöntemi
Bu yöntemde, verilen farklı noktalardan herhangi ikisinden geçen doğru denklemi bulunur. Diğer noktaların tümü bu doğru denklemini sağlıyorsa noktalar doğrusaldır, en az biri denklemi sağlamıyorsa noktaların tümü doğrusal değildir.
\( A(2, 6), B(5, -3), C(-7, 33), D(8, -10) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
\( \dfrac{y - 6}{x - 2} = \dfrac{-3 - 6}{5 - 2} \)
\( y = -3x + 12 \)
\( C \) ve \( D \) noktalarını denklemde yerine koyalım.
\( C: y = -3(-7) + 12 = 33 \)
\( C \) noktası doğru denklemini sağlar.
\( D: y = -3(8) + 12 = -12 \ne -10 \)
\( D \) noktası doğru denklemini sağlamaz.
Buna göre \( A, B, C \) noktaları doğrusaldır, ancak noktaların tümü doğrusal değildir.
Bu yöntemin eğim yöntemine göre bir avantajı düşey doğrularda da kullanılabilmesidir.
Alan Yöntemi
Bu yöntemde, üç noktanın doğrusal olup olmadığını belirlemek için önceki bölümde verdiğimiz ayakkabı bağcığı (Gauss alan) formülü kullanılır. Alan sıfırsa noktalar doğrusaldır (bir üçgen oluşturmazlar), sıfırdan büyükse noktalar doğrusal değildir (bir üçgen oluştururlar).
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
\( A(ABC) = 0 \) ise noktalar doğrusaldır.
\( A(ABC) \gt 0 \) ise noktalar doğrusal değildir.
\( A(-3, 8), B(-1, 2), C(5, -16) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{((-3)(2) + (-1)(-16) + (5)(8)) - ((-1)(8) + (5)(2) + (-3)(-16))} = 0 \)
\( A(ABC) = 0 \) olduğuna göre bu üç nokta doğrusaldır.
Uzaklık Yöntemi
Bu yöntemde, üç noktanın doğrusal olup olmadığını belirlemek için aralarındaki ikili uzaklıklar hesaplanır. En büyük uzaklık diğer iki uzaklığın toplamına eşitse noktalar doğrusaldır, değilse noktalar doğrusal değildir.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} \)
Hesaplanan uzunluklardan en büyüğü \( \abs{AC} \) ise,
\( \abs{AC} = \abs{AB} + \abs{BC} \) ise noktalar doğrusaldır.
\( \abs{AC} \ne \abs{AB} + \abs{BC} \) ise noktalar doğrusal değildir.
\( A(-3, 8), B(-1, 2), C(5, -16) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( \abs{AB} = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (2 - 8)^2} = 2\sqrt{10} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-16 - 8)^2} = 8\sqrt{10} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-16 - 2)^2} = 6\sqrt{10} \)
En büyük uzunluk \( \abs{AC} = 8\sqrt{10} \) olur.
\( 8\sqrt{10} = 2\sqrt{10} + 6\sqrt{10} \)
Buna göre bu üç nokta doğrusaldır.
Koordinat düzlemindeki \( A(-2, 0), B(4, 2) \) ve \( C(6, k) \) noktaları doğrusal olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyelim.
Bu noktalar doğrusal olduğuna göre, herhangi ikisinden geçen doğruların eğimi eşit olmalıdır.
\( m_{AB} = m_{BC} \)
\( \dfrac{2 - 0}{4 - (-2)} = \dfrac{k - 2}{6 - 4} \)
\( \dfrac{2}{6} = \dfrac{k - 2}{2} \)
\( k - 2 = \dfrac{2}{3} \)
\( k = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
\( A(1, 4), B(a, 0), C(6, -2) \) olmak üzere,
\( \abs{AB} + \abs{BC} \) toplamının en küçük olması için \( a \) kaç olmalıdır?
Çözümü GösterUzaklıklar toplamının en küçük olması için bu üç nokta doğrusal olmalıdır, aksi takdirde noktalar bir üçgen oluşturur.
\( m_{AB} = m_{BC} \)
\( \dfrac{0 - 4}{a - 1} = \dfrac{-2 - 0}{6 - a} \)
\( \dfrac{-4}{a - 1} = \dfrac{-2}{6 - a} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( -24 + 4a = -2a + 2 \)
\( 6a = 26 \)
\( a = \dfrac{13}{3} \) bulunur.
\( (k + 1, 2k - 3) \), \( (2k - 1, 3k - 2) \) ve \( (2k + 3, 5k - 4) \) noktaları \( k \)'nın hangi değerleri için doğrusaldır?
Çözümü GösterVerilen noktaların doğrusal olabilmesi için noktaların birleştirilmesiyle oluşan şeklin alanı sıfır olmalıdır (bir diğer ifadeyle, bu noktalar bir üçgen oluşturmamalıdır).
Üç noktasının koordinatları bilinen üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur.
\( A = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
\( A(x_1, y_1) = A(k + 1, 2k - 3) \)
\( B(x_2, y_2) = B(2k- 1, 3k - 2) \)
\( C(x_3, y_3) = C(2k + 3, 5k - 4) \)
Noktaların koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{[(k + 1)(3k - 2) + (2k- 1)(5k - 4) + (2k + 3)(2k - 3)] - [(2k- 1)(2k - 3) + (2k + 3)(3k - 2) + (k + 1)(5k - 4)]} \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{(3k^2 + k - 2 + 10k^2 - 13k + 4 + 4k^2 - 9) - (4k^2 - 8k + 3 + 6k^2 + 5k - 6 + 5k^2 + k - 4)} \)
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(2k^2 - 10k)} \)
Verilen noktaların doğrusal olması için bu noktaların sınırlandırdığı alan 0 olmalıdır.
\( \dfrac{1}{2} \abs{(2k^2 - 10k)} = 0 \)
\( k(k - 5) = 0 \)
Buna göre \( k \in \{ 0, 5 \} \) değerleri için verilen üç nokta doğrusal olur.
\( A(-3, -3), B(-2, -1), C(1, 5) \) noktalarının doğrusal olup olmadığını uzaklık formülünü kullanarak bulunuz.
Çözümü GösterBu üç nokta arasındaki uzaklıkları bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5} \)
\( [AC] \) uzunluğunun \( [AB] \) ve \( [BC] \) uzunlukları toplamına eşit olduğunu görüyoruz.
\( \abs{AC} = \abs{AB} + \abs{BC} \)
\( 4\sqrt{5} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \)
Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende bir kenar uzunluğu her zaman diğer iki kenar uzunlukları toplamından küçüktür. Bu eşitlik bize bu üç noktanın bir üçgen oluşturmadıklarını, dolayısıyla doğrusal olduklarını gösterir.
Noktaların doğrusal olduğunu aşağıdaki şekilde de görebiliriz.
