İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
İki doğrunun birbirine göre durumu üç şekilde olabilir.
- Doğrular tek bir noktada kesişir.
- Bunun özel bir durumu olarak, doğrular dik kesişir.
- Doğrular çakışıktır.
- Doğrular paraleldir.
Bu bölümde bu durumları aşağıda denklemleri verilen iki doğru üzerinden inceleyeceğiz.
\( d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)
\( m_1 = -\dfrac{a_1}{b_1} \)
\( d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)
\( m_2 = -\dfrac{a_2}{b_2} \)
Kesişen Doğrular
Eğimleri farklı iki doğru tek bir noktada kesişir.
İki doğrunun tek bir noktada kesişme koşulu:
\( m_1 \ne m_2 \)
Bu aynı zamanda doğrunun kapalı denkleminde \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranlarının farklı olması anlamına gelir.
\( \dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2} \)
\( d_1: 2x - 5y + 3 = 0 \)
\( d_2: 3x + 2y - 6 = 0 \)
\( \dfrac{2}{3} \ne \dfrac{-5}{2} \)
Katsayıların oranları farklı olduğu için iki doğru tek bir noktada kesişir.
Dik Kesişen Doğrular
Tek bir noktada kesişen doğruların özel bir durumu olarak, iki doğru dik (aralarındaki açı 90° olacak şekilde) kesişiyorsa eğimleri çarpımı \( -1 \) olur. Bu ifadenin karşıtı da doğrudur, yani iki doğrunun eğimleri çarpımı \( -1 \) ise bu doğrular dik kesişir.
\( d_1 \) ve \( d_2 \) iki doğru, \( m_1, m_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( d_1 \perp d_2 \Longleftrightarrow m_1m_2 = -1 \)
\( d_1: 3x + 2y - 4 = 0 \)
\( m_1 = -\dfrac{3}{2} \)
\( d_2: 2x - 3y + 3 = 0 \)
\( m_2 = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3} \)
\( m_1m_2 = -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = -1 \)
Doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olduğu için iki doğru tek bir noktada ve dik kesişir.
İSPATI GÖSTER
Bir çift yönlü koşullu önermeyi ispatlamak için her iki yöndeki koşullu önermeyi ayrı ayrı ispatlamalıyız.
İspat 1: \( (\Longrightarrow) \)
\( d_1 \perp d_2 \Longrightarrow m_1m_2 = -1 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının dik kesiştiğini kabul edelim.
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru çizelim. İşlem kolaylığı açısından bu doğruların orijinden geçtiğini varsayalım. Doğruların kesişim noktaları koordinat düzleminde herhangi bir noktaya taşındığında doğruların eğimleri değişmeyeceği için çarpımları da aynı kalacaktır.
\( C(1, 0) \) noktasından \( x \) eksenine dik bir doğru çizelim. \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 \) olduğu için bu doğrunun \( d_1 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( A(1, m_1) \) olur.
\( m_1 = \dfrac{m_1}{1} \)
Benzer şekilde, \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 \) olduğu için bu doğrunun \( d_2 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( B(1, m_2) \) olur.
Dik \( OCA \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{OA}^2 = 1^2 + m_1^2 \)
\( \abs{OA} = \sqrt{1^2 + m_1^2} \)
Aynı şekilde dik \( OCB \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{OB}^2 = 1^2 + m_2^2 \)
\( \abs{OB} = \sqrt{1^2 + m_2^2} \)
\( OBA \) üçgeni de dik üçgen olduğu için hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{AB}^2 = \abs{OA}^2 + \abs{OB}^2 \)
\( \abs{m_1 - m_2}^2 = (\sqrt{1^2 + m_1^2})^2 + (\sqrt{1^2 + m_2^2})^2 \)
\( m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2 = 1^2 + m_1^2 + 1^2 + m_2^2 \)
İki taraftaki ortak terimleri sadeleştirdiğimizde dik doğruların eğimlerinin çarpımını -1 olarak buluruz.
\( -2m_1m_2 = 2 \)
\( m_1m_2 = -1 \)
Buna göre \( d_1 \perp d_2 \) ise \( m_1m_2 = -1 \) olur.
İspat 2: \( (\Longleftarrow) \)
\( d_1 \perp d_2 \Longleftarrow m_1m_2 = -1 \)
Doğruların eğimleri çarpımının \( -1 \) olduğunu kabul edelim.
Doğruların eğim açılarına sırasıyla \( \alpha_1 \) ve \( \alpha_2 \) diyelim.
Bir doğrunun eğim açısının tanjant değeri doğrunun eğimini verir.
\( m_1 = \tan{\alpha_1} \)
\( m_2 = \tan{\alpha_2} \)
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \dfrac{\tan{\alpha_1} - \tan{\alpha_2}}{1 + \tan{\alpha_1}\tan{\alpha_2}} \)
Tanjant ifadeleri yerine eğim değerlerini koyalım.
\( \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \)
\( m_1m_2 = -1 \) olarak veriliyor.
\( = \dfrac{m_1 - m_2}{1 + (-1)} = \dfrac{m_1 - m_2}{0} \)
Bu sonuç \( \tan(\alpha_1 - \alpha_2) \) ifadesinin tanımsız olduğunu gösterir.
Tanjant fonksiyonu 90° için tanımsız olur.
\( \alpha_1 - \alpha_2 = 90° \)
Buna göre iki doğrunun eğim açıları arasında 90° vardır, dolayısıyla doğrular birbirini dik keser.
Buna göre \( m_1m_2 = -1 \) ise \( d_1 \perp d_2 \) olur.
Her iki koşullu önerme doğru olduğuna göre, verilen çift yönlü koşullu önerme doğrudur.
Bu kuralın bir istisnası olarak; yatay ve dikey iki doğru birbirini dik kesiyor olsa da, eğimleri sırasıyla 0 ve tanımsız olduğu için eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olmaz.
Çakışık Doğrular
Kapalı denklemlerinde tüm katsayılarının oranları birbirine eşit olan iki doğru çakışıktır. Çakışık iki doğrunun tüm noktaları ortaktır ve denklemlerinin ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Çakışık doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)), ancak eğimleri eşit iki doğru çakışık olmak zorunda değildir, aşağıda göreceğimiz üzere paralel de olabilir.
İki doğrunun çakışık olma koşulu:
\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \)
\( d_1: 2x + y - 3 = 0 \)
\( d_2: -6x - 3y + 9 = 0 \)
\( \dfrac{2}{-6} = \dfrac{1}{-3} = \dfrac{-3}{9} \)
Doğruların tüm katsayılarının oranları eşit olduğu için iki doğru çakışıktır.
Paralel Doğrular
Kapalı denklemlerinde \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranları birbirine eşit, sabit terimlerin oranı birbirinden farklı olan iki doğru birbirine paraleldir. Paralel iki doğru hiçbir noktada kesişmezler ve bu doğruların denklemlerinin ortak çözüm kümesi boş kümedir.
Paralel doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)), ancak çakışık doğrulardan farklı olarak sabit terimlerinin oranı birbirinden farklıdır.
İki doğrunun paralel olma koşulu:
\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2} \)
\( d_1: 2x - 3y + 5 = 0 \)
\( d_2: 6x - 9y - 5 = 0 \)
\( \dfrac{2}{6} = \dfrac{-3}{-9} \ne \dfrac{5}{-5} \)
\( x \) ve \( y \) katsayılarının oranları eşit, sabit terimlerin oranı farklı olduğu için iki doğru paraleldir (kesişmez).
Eğim açıları 90° olan (eğimleri tanımsız olan) dikey iki doğru yukarıdaki koşulları sağlamasa da paraleldir ya da çakışıktır.
\( A(1, 2) \) ve \( B(-2, 4) \) noktalarından geçen doğru \( C(-1, a) \) ve \( D(a + 2, 3) \) noktalarından geçen doğruya paralel olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun eğimine \( m_{AB} \), \( C \) ve \( D \) noktalarından geçen doğrunun eğimine \( m_{CD} \) diyelim.
\( m_{AB} = \dfrac{4 - 2}{-2 - 1} = -\dfrac{2}{3} \)
\( m_{CD} = \dfrac{3 - a}{a + 2 - (-1)} = \dfrac{3 - a}{a + 3} \)
Paralel doğruların eğimleri eşittir.
\( m_{AB} = m_{CD} \)
\( -\dfrac{2}{3} = \dfrac{3 - a}{a + 3} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( -2a - 6 = 9 - 3a \)
\( a = 15 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( K(a, 2) \), \( L(6, 5) \) ve \( M(3, 4) \) noktaları veriliyor.
\( [KL] \perp [LM] \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m_{KL} = \dfrac{5 - 2}{6 - a} = \dfrac{3}{6 - a} \)
\( m_{LM} = \dfrac{4 - 5}{3 - 6} = \dfrac{1}{3} \)
Dik kesişen doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olur.
\( m_{KL} \cdot m_{LM} = -1 \)
\( \dfrac{3}{6 - a} \cdot \dfrac{1}{3} = -1 \)
\( 6 - a = -1 \)
\( a = 7 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( (m + 1)x + (n - 3)y + 4 = 0 \) ve \( 3x + 2y - 1 = 0 \) doğruları çakışık olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterÇakışık doğruların kapalı denklemlerinde birbirine karşılık gelen katsayıların oranları birbirine eşittir.
\( \dfrac{m + 1}{3} = \dfrac{n - 3}{2} = \dfrac{4}{-1} \)
\( \dfrac{m + 1}{3} = \dfrac{n - 3}{2} = -4 \)
\( m + 1 = -12 \Longrightarrow m = -13 \)
\( n - 3 = -8 \Longrightarrow n = -5 \)
\( m + n = -13 + (-5) = -18 \) bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları dik kesiştiğine göre, \( \frac{m}{n} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.
Doğruların eksenleri kestikleri noktaları kullanarak eğimlerini bulalım.
\( m_1 = \dfrac{4 - 0}{0 - m} = -\dfrac{4}{m} \)
\( m_2 = \dfrac{n - 0}{0 - (-3)} = \dfrac{n}{3} \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları dik kesiştiğine göre eğimleri çarpımı -1 olur.
\( m_1m_2 = -1 \)
\( -\dfrac{4}{m} \cdot \dfrac{n}{3} = -1 \)
\( \dfrac{n}{m} = \dfrac{3}{4} \)
\( \dfrac{m}{n} = \dfrac{4}{3} \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( d_1: 3x + y - 9 = 0 \) ve \( d_2: 2y - nx + m = 0 \) doğrularının ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, \( n - m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, bu doğrular çakışıktır.
Çakışık doğruların kapalı denklemlerinde birbirine karşılık gelen katsayıların oranları birbirine eşittir.
\( \dfrac{3}{-n} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{-9}{m} \)
Birinci ve ikinci oranlar arasında içler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \dfrac{3}{-n} = \dfrac{1}{2} \)
\( n = -6 \)
İkinci ve üçüncü oranlar arasında içler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \dfrac{1}{2} = \dfrac{-9}{m} \)
\( m = -18 \)
\( n - m = -6 - (-18) = 12 \) bulunur.
Şekilde verilen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine dik olduğuna göre, \( d_2 \) doğrusunun denklemi nedir?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.
Bir doğrunun eğimi aynı zamanda doğrunun eğim açısının tanjant değerine eşittir.
\( m_1 = \tan(\widehat{BCO}) = \dfrac{\abs{BO}}{\abs{CO}} \)
\( = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)
Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı -1 olur.
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( \dfrac{1}{2} \cdot m_2 = -1 \)
\( m_2 = -2 \)
\( B(0, 2) \) noktasından geçen ve eğimi \( m_2 = -2 \) olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 2 = -2(x - 0) \)
\( y = -2x + 2 \) bulunur.
\( A(-2, 6) \) ve \( B(8, 2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesinin \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisi nedir?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasına \( C(a, b) \) diyelim.
İki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri noktaların apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( a = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3 \)
\( b = \dfrac{6 + 2}{2} = 4 \)
\( C(a, b) = C(3, 4) \)
\( [AB] \) doğru parçasının eğimine \( m_{AB} \) diyelim.
\( m_{AB} = \dfrac{2 - 6}{8 - (-2)} = -\dfrac{2}{5} \)
\( [AB] \) doğru parçasına çizilen orta dikme doğru parçasına dik olduğu için eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olur.
Çizilen orta dikmenin eğimine \( m_C \) diyelim.
\( m_{AB} \cdot m_C = -1 \)
\( -\dfrac{2}{5} \cdot m_C = -1 \)
\( m_C = \dfrac{5}{2} \)
\( C(3, 4) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{5}{2} \) olan doğrunun denklemini yazalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 4 = \dfrac{5}{2}(x - 3) \)
Bu denklemin \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y = 0 \) verelim.
\( 0 - 4 = \dfrac{5}{2}(x - 3) \)
\( x - 3 = -\dfrac{8}{5} \)
\( x = \dfrac{7}{5} \)
Buna göre \( [AB] \) doğru parçasının orta dikmesi \( x \) eksenini \( \frac{7}{5} \) apsisli noktada keser.