Doğrunun Eğimi

Eğim formülü ile iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( \dfrac{2}{7} = \dfrac{2 - 4}{a - (-2)} = \dfrac{-2}{a + 2} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2a + 4 = -14 \)

\( a = -9 \) bulunur.

İki noktadan geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( d_1 \) doğrusu \( (0, 7) \) ve \( (3, 0) \) noktalarından geçmektedir.

\( m_1 = \dfrac{0 - 7}{3 - 0} = -\dfrac{7}{3} \)

\( d_2 \) doğrusu \( (-3, 0) \) ve \( (0, 4) \) noktalarından geçmektedir.

\( m_2 = \dfrac{4 - 0}{0 - (-3)} = \dfrac{4}{3} \)

\( d_3 \) doğrusu \( (0, -5) \) ve \( (6, 0) \) noktalarından geçmektedir.

\( m_3 = \dfrac{0 - (-5)}{6 - 0} = \dfrac{5}{6} \)

Eğimlerin toplamını bulalım.

\( m_1 + m_2 + m_3 = -\dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{6} \)

\( = -\dfrac{1}{6} \) bulunur.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Eğim formülünü kullanarak \( [AB] \) doğrusunun eğimini bulalım.

\( m = \dfrac{4p + 4 - (7p - 2)}{4 - 2p} \)

\( = \dfrac{6 - 3p}{4 - 2p} = \dfrac{3(2 - p)}{2(2 - p)} \)

\( = \dfrac{3}{2} \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( y - 5 = 0 \)

\( y = 5 = 0x + 5 \)

Bu doğru \( x \) eksenine paralel (yatay) bir doğrudur ve eğim açısı 0°'dir.

Yatay doğruların ordinatı doğru boyunca sabit olduğu için eğimleri sıfırdır.

\( m = \tan{0°} = 0 \)

(b) seçeneği:

\( x + 4 = 0 \)

\( x = -4 \)

Bu doğru \( y \) eksenine paralel (dikey) bir doğrudur ve eğim açısı 90°'dir.

Yatay doğruların apsisi doğru boyunca sabit olduğu için eğimleri tanımsızdır.

\( m = \tan{90°} \): Tanımsız

(c) seçeneği:

\( x = 2y \)

\( y = \dfrac{1}{2}x \)

Denklemi \( y = mx + c \) formunda olan bir doğrunun eğimi \( m \) olur.

\( m = \dfrac{1}{2} \)

İki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{-1 - 6}{-4 - 3} = \dfrac{-7}{-7} = 1 \)

Bir doğrunun eğimi aynı zamanda doğrunun eğim açısının tanjant değerine eşittir.

\( m = \tan{\alpha} = 1 \)

\( [0°, 180°) \) aralığında tanjant değeri 1 olan açı \( 45° \) olduğu için doğrunun eğim açısının ölçüsü \( 45° \) olur.

İki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1 }{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{a - (-1)}{-1 - 4} = \dfrac{a + 1}{-5} \)

Bir doğrunun eğimi aynı zamanda doğrunun eğim açısının tanjant değerine eşittir.

Doğru \( x \) ekseni ile pozitif yönde 135°'lik açı yapıyorsa eğim açısı 135° olur.

\( m = \tan{135°} \)

\( \dfrac{a + 1}{-5} = -1 \)

\( a = 4 \) bulunur.

Doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktaya \( B \) diyelim.

Doğrunun eğim açısı 60°'dir.

\( m(\widehat{ABO}) = 60° \)

\( ABO \) üçgeni 30-60-90° özel üçgenidir.

30-60-90° özel üçgeninde 60° açının gördüğü kenar 30° açının gördüğü kenarın \( \sqrt{3} \) katıdır.

\( \abs{AO} = 9 \)

\( \abs{BO} = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \)

Buna göre \( B \) noktasının koordinatları \( B(-3\sqrt{3}, 0) \) ve apsis değeri \( -3\sqrt{3} \) olarak bulunur.

Bir doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısı doğrunun eğimini verir.

Birinci doğrunun eğim değerine \( m_1 \) ve eğim açısına \( \alpha \), ikinci doğrunun eğim değerine \( m_2 \) ve eğim açısına \( \beta \) diyelim.

\( 2x - 2y + 3 = 0 \) doğrusunun açık denklemini yazalım.

\( y = x + \dfrac{3}{2} \)

\( m_1 = 1 \)

\( [0°, 180°) \) aralığında tanjant değeri \( 1 \) olan açı \( 45° \)'dir.

\( \alpha = 45° \)

\( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \) doğrusunun açık denklemini yazalım.

\( y = -\sqrt{3}x - 2 \)

\( m_2 = -\sqrt{3} \)

\( [0°, 180°) \) aralığında tanjant değeri \( -\sqrt{3} \) olan açı \( 120° \)'dir.

\( \beta = 120° \)

Doğruların eğim açılarının toplamını bulalım.

\( \alpha + \beta = 45° + 120° = 165° \) bulunur.

Eğim açısı 30° olan \( d \) doğrusunun eğimini bulalım.

\( \tan{30°} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

Denklemi \( ax + by + c = 0 \) formunda olan bir doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.

\( m = -\dfrac{a}{b} \)

Verilen doğru denklemindeki katsayıları kullanarak eğim formülünü yazalım ve \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) değerine eşitleyelim.

\( -\dfrac{-(\sqrt{3} + 1)}{\frac{n + 3}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{n + 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( \dfrac{\sqrt{3} + 1}{n + 3} = \dfrac{1}{3} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 3\sqrt{3} + 3 = n + 3 \)

\( n = 3\sqrt{3} \) bulunur.

Bir doğrunun eğimi o doğrunun \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değerine eşittir.

Aşağıdaki şekle göre \( d \) doğrusunun \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı 150° olur.

\( m = \tan{150°} = -\tan{30°} \)

\( = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \) bulunur.

Eğim açısı dar açı olan (sağa yatık) doğruların eğimi pozitif, geniş açı olan (sola yatık) doğruların eğimi negatif olur.

\( d_1 \) doğrusunun eğim açısı geniş açı olduğu için eğimi negatiftir.

\( d_2 \) ve \( d_3 \) doğrularının eğim açıları dar açı olduğu için eğimleri pozitiftir.

Bir doğrunun eğimi doğrunun eğim açısının tanjant değerine eşittir.

\( d_2 \) doğrusunun eğim açısı \( d_3 \) doğrusundan daha büyük olduğu için tanjant değeri, dolayısıyla eğimi daha büyüktür.

Buna göre doğruların eğimlerinin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( m_1 \lt m_3 \lt m_2 \)

Alternatif olarak, \( d_2 \) ve \( d_3 \) doğrularının eğimlerini eğim formülünü kullanarak bulalım.

\( d_2 \) ve \( d_3 \) doğrularını kesen \( y = 3 \) doğrusu çizelim ve doğruların bu doğruyu kestiği noktaların apsis değerlerine sırasıyla \( x_2 \) ve \( x_3 \) diyelim.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

İki doğrunun orijin ve \( y = 3 \) doğrusunu kestikleri noktaları kullanarak eğimlerini hesaplayalım

\( m_{d_2} = \dfrac{3 - 0}{x_2 - 0} = \dfrac{3}{x_2} \)

\( m_{d_3} = \dfrac{3 - 0}{x_3 - 0} = \dfrac{3}{x_3} \)

\( 0 \lt x_2 \lt x_3 \) olduğu için \( m_3 \lt m_2 \) olur.

Buna göre doğruların eğimlerinin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( m_1 \lt m_3 \lt m_2 \)

Bir doğrunun eğim açısı, doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır.

125°'lik açının bütünler açısı 55°'dir.

\( d \) doğrusunun \( x \) ekseni ile negatif yönde yaptığı açıya \( a \) diyelim.

\( a + 55° + 90° = 180° \)

\( a = 35° \)

\( a \) açısının bütünler açısı \( d \) doğrusunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıyı verir.

\( 180° - 35° = 145° \)

\( d \) doğrusunun eğim açısı 145° olarak bulunur.

Verilen doğruların eğim açılarına sırasıyla \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \) diyelim.

Verilen eğim değerlerini kullanarak göre analitik düzlemde örnek doğrular çizelim.

Pozitif eğime sahip doğrular \( x \) ekseni ile pozitif yönde dar açı, negatif eğime sahip doğrular \( x \) ekseni ile pozitif yönde geniş açı yapar.

Pozitif eğimli doğrularda eğim açısı arttıkça eğim değeri artar.

Negatif eğimli doğrularda eğim açısı arttıkça eğim değeri artar (mutlak değer olarak azalır).

Buna göre doğruların eğim açılarının sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( \alpha_2 \lt \alpha_4 \lt \alpha_3 \lt \alpha_1 \)

İki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( -a = \dfrac{3a - (-8)}{-3 - 2a} \)

\( 3a + 2a^2 = 3a + 8 \)

\( a^2 = 4 \)

Doğrunun eğim açısı dar açı ise \( (0°, 90°) \) aralığındadır, dolayısıyla \( -a \) olan eğim değeri pozitif, yani \( a \lt 0 \) olmalıdır.

\( a = -2 \) bulunur.

Doğrunun eğim açısı geniş açı olduğuna göre eğimi negatiftir.

\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki eğimi hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( \dfrac{5k - 7 - (3k + 1)}{2 - 3} \lt 0 \)

\( \dfrac{2k - 8}{-1} \lt 0 \)

\( -2k + 8 \lt 0 \)

\( k \gt 4 \)

\( k \)'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 5'tir.

\( [KL] \) doğru parçasının eğim açısı geniş açı olduğuna göre doğrunun eğimi negatiftir.

\( K \) ve \( L \) noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{n^2 - (n + 12)}{2n - 2} \)

Bu eğim değeri negatiftir.

\( \dfrac{n^2 - n - 12}{2n - 2} \lt 0 \)

\( \dfrac{(n + 3)(n - 4)}{2(n - 1)} \lt 0 \)

Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan \( \{ -3, 1, 4 \} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.

Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 1) \), \( (1, 4) \) ve \( (4, +\infty) \) aralıklarını oluşturur.

Bir işaret tablosu oluşturalım.

Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.

Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.

Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan \( n = 1 \) değerinde tanımsız, payı sıfır yapan \( \{ -3, 4 \} \) değerlerinde sıfır olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -3) \cup (1, 4) \)

\( n \) ifadesi doğal sayı olduğuna göre \( n \)'nin alabileceği değerler \( (1, 4) \) açık aralığındadır.

\( n \)'nin alabileceği değerlerin toplamı \( 2 + 3 = 5 \) bulunur.

\( x \) eksenine paralel olan bir doğrunun eğimi sıfır olur.

Denklemi verilen doğrunun eğimini bulalım.

\( m = -\dfrac{2a - 12}{a + 5} \)

Eğimi sıfır yapan \( a \) değerini bulalım.

\( 2a - 12 = 0 \)

\( a = 6 \)

Doğrunun denklemini yazalım.

\( (2(6) - 12)x + (6 + 5)y + 12 = 0 \)

\( 11y + 12 = 0 \)

\( y = -\dfrac{12}{11} \)

Bu doğru \( y \) eksenini \( (0, -\frac{12}{11}) \) noktasında keser.

Bir doğrunun eğim açısının tanjantı doğrunun eğimine eşittir.

\( \tan{60°} = \sqrt{3} \)

Doğrunun açık denklemini yazalım.

\( y = -\dfrac{m}{2}x + \dfrac{n}{2} \)

Bir doğrunun eğimi doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısına eşittir.

Buna göre verilen doğrunun eğimi \( m \) değil, \( -\frac{m}{2} \) değeridir.

\( y = \sqrt{3}x + \dfrac{n}{2} \)

\( m \) değerini bulalım.

\( -\dfrac{m}{2} = \sqrt{3} \)

\( m = -2\sqrt{3} \)

\( A(p, 3p) \) noktası doğrunun üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 3p = \sqrt{3}p + \dfrac{n}{2} \)

\( 6p = 2\sqrt{3}p + n \)

\( n = (6 - 2\sqrt{3})p \)

\( \frac{mn}{p} \) oranını bulalım.

\( \dfrac{mn}{p} = \dfrac{-2\sqrt{3} \cdot (6 - 2\sqrt{3})p}{p} \)

\( = 12 - 12\sqrt{3} \) bulunur.

\( A(0, 7\sqrt{3}) \)

\( C(0, 4) \)

\( AOB \) bir dik üçgendir.

\( m(\widehat{ABO}) = 60° \)

30-60-90° özel üçgeninde 60°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğu 30°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğunun \( \sqrt{3} \) katıdır.

\( \abs{OB} = 7 \)

\( B(7, 0) \)

\( OCDE \) bir karedir.

\( \abs{OC} = \abs{OE} = 4 \)

\( D(-4, 4) \)

Karenin \( D \) köşesinden geçen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerini iki noktası bilinen doğrunun eğimi formülü ile bulalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( d_1 \) doğrusunun eğimi için \( D \) ve \( A \) noktalarını, \( d_2 \) doğrusunun eğimi için \( D \) ve \( B \) noktalarını kullanalım.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.

\( m_1 = \dfrac{7\sqrt{3} - 4}{0 - (-4)} \)

\( = \dfrac{7\sqrt{3} - 4}{4} \)

\( m_2 = \dfrac{0 - 4}{7 - (-4)} \)

\( = \dfrac{-4}{11} \)

İki doğrunun eğimlerinin çarpımını bulalım.

\( m_{1} \cdot m_{2} = \dfrac{7\sqrt{3} - 4}{4} \cdot \dfrac{-4}{11} \)

\( = \dfrac{4 - 7\sqrt{3}}{11} \) bulunur.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları dik kesiştiğine göre eğimleri çarpımı -1 olur.

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Doğruların eksenleri kestikleri noktaları kullanarak eğimlerini bulalım.

\( m_1 = \dfrac{4 - 0}{0 - (-m)} = \dfrac{4}{m} \)

\( m_2 = \dfrac{n - 0}{0 - (-3)} = \dfrac{n}{3} \)

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

\( \dfrac{4}{m} \cdot \dfrac{n}{3} = -1 \)

\( \dfrac{n}{m} = -\dfrac{3}{4} \)

\( \dfrac{m}{n} = -\dfrac{4}{3} \) bulunur.

\( A \) ve \( B \) noktalarını kullanarak doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m_{AB} = \dfrac{7}{a - 5} \)

\( B \) ve \( C \) noktalarını kullanarak doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m_{BC} = \dfrac{b - 7}{5} \)

Doğrunun eğimi tüm doğru boyunca sabittir.

\( m_{AB} = m_{BC} \)

\( \dfrac{7}{a - 5} = \dfrac{b - 7}{5} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( (a - 5)(b - 7) = 35 \) bulunur.

Öteleme sonrası oluşan doğruya \( d' \) diyelim.

\( d \) doğrusu 9 birim sola ötelendiğinde oluşan \( d' \) doğrusu \( x \) eksenini \( 3 - 9 = -6 \) apsisli noktada keser.

\( d' \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için doğruların eğimini kullanalım.

Bir doğru \( x \) ya da \( y \) ekseni boyunca ötelendiğinde eğimi değişmez.

\( m_d = m_{d'} \)

\( d' \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinat değerine \( k \) diyelim.

Her iki doğrunun eğim değerlerini bulalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( m_d = \dfrac{0 - 2}{3 - 0} = -\dfrac{2}{3} \)

\( m_{d'} = \dfrac{k - 0}{0 - (-6)} = \dfrac{k}{6} \)

İki eğim birbirine eşittir.

\( -\dfrac{2}{3} = \dfrac{k}{6} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 3k = -12 \)

\( k = -4 \)

Buna göre \( d' \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, -4) \) noktasında keser.

Öteleme sonrası oluşan doğruya \( d' \) diyelim.

Bir doğru \( x \) ya da \( y \) ekseni boyunca ötelendiğinde eğimi değişmez, dolayısıyla \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki formda olur.

\( d': 2x + y + c = 0 \)

\( d \) doğrusunu sağlayan bir nokta seçelim.

\( x = 0 \) için:

\( 2(0) + y - 7 = 0 \)

\( y = 7 \)

Buna göre \( (0, 7) \) noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.

Bir nokta 4 birim sağa ötelendiğinde apsisi 4 birim artar, 4 birim aşağı ötelendiğinde ordinatı 4 birim azalır.

\( (0, 7) \longmapsto (4, 3) \)

Bir doğru ötelendiğinde üzerindeki tüm noktalar da ötelendiği için \( (4, 3) \) noktası \( d' \) doğrusu üzerindedir ve bu doğrunun denklemini sağlar.

\( d' \) doğrusunun denklemini bulmak için \( (4, 3) \) noktasının koordinatlarını kullanalım.

\( d': 2x + y + c = 0 \)

\( 2(4) + 3 + c = 0 \)

\( c = -11 \)

\( d': 2x + y - 11 = 0 \) bulunur.

Eğim değerlerini kullanarak \( A \) ve \( B \) noktalarının koordinatlarını bulalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( A(x_1, y_1) \)

\( m_{OA} = \dfrac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = -1 \)

\( y_1 = -x_1 \)

\( A \) noktasının apsisine \( a \) diyelim.

\( A(x_1, y_1) = A(a, -a) \)

\( m_{OB} = \dfrac{y_2 - 0}{x_2 - 0} = -3 \)

\( y_2 = -3x_2 \)

\( B \) noktasının apsisine \( b \) diyelim.

\( B(x_2, y_2) = B(b, -3b) \)

\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğuna göre doğruların uzunluklarını hesaplayalım.

\( \abs{OA} = \sqrt{(a - 0)^2 + (-a - 0)^2} = \sqrt{2}a \)

\( \abs{OB} = \sqrt{(b - 0)^2 + (-3b - 0)^2} = \sqrt{10}b \)

Doğruların uzunlukları birbirine eşittir.

\( \sqrt{2}a = \sqrt{10}b \)

\( a = \sqrt{5}b \)

\( A(a, -a) = A(\sqrt{5}b , -\sqrt{5}b) \)

\( B(b, -3b) \)

Bu değerleri kullanarak \( [AB] \) doğrusunun eğimini bulalım.

\( m_{AB} = \dfrac{-3b - (-\sqrt{5}b)}{b - \sqrt{5}b} \)

\( = \dfrac{-b(3 - \sqrt{5})}{-b(\sqrt{5} - 1)} \)

\(= \dfrac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} \)

Paydayı rasyonel hale getirmek için eşleniği ile çarpalım.

\(= \dfrac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} \)

\(= \dfrac{3\sqrt{5} + 3 - 5 - \sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} \)

\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \) bulunur.