Doğrunun Eğimi

Eğimin Tanımı

Eğim bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve dikliğinin yönünü ifade eder. Bir doğrunun eğimi genellikle \( m \) ile gösterilir.

Bir doğrunun eğimi doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Bir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır. Aşağıdaki şekilde bir doğru üzerindeki iki noktanın oluşturduğu \( ABC \) dik üçgenini incelediğimizde, doğrunun eğiminin aynı zamanda eğim açısının tanjant değerine eşit olduğunu görebiliriz.

Doğrunun eğimi
Doğrunun eğimi

Eğim hesaplarken hangi noktanın koordinatlarından hangi noktanın koordinatlarını çıkardığımız önemli değildir, önemli olan noktaların koordinatlarını pay ve paydada aynı sırada birbirinden çıkarmamızdır.

Eğim değeri \( x \) değişkenindeki her birim artış için \( y \) değişkenindeki artış ya da azalış miktarını verir ve \( y \) değişkeninin hangi hızda arttığını ya da azaldığını gösterir. Yukarıdaki örnekte \( A \) ve \( B \) noktaları arasında \( x \) 4 birim artarken \( y \) 8 birim artmıştır, yani \( x \)'in her birim artışı için \( y \) 2 birim artmıştır, bu da hesapladığımız eğim değerine eşittir.

Aşağıda farklı doğruların \( x \) değerlerindeki belirli miktar artış için \( y \) değerlerindeki artış/azalış miktarları ve bu doğrultuda oluşan eğim değerleri gösterilmiştir.

Doğruların eğim değerleri
Doğruların eğim değerleri

Doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısı aynı zamanda doğrunun eğimini verir. Bu da \( x \) değerindeki her 1 birimlik artış için \( y \) değerinin \( m \) birim artması ya da azalması anlamına gelir.

Doğrunun kapalı denkleminde eğimi aşağıdaki formülle bulabiliriz.

SORU 1 :

\( A(-2, 4) \) ve \( B(a, 2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi \( \frac{2}{7} \) ise \( a \) kaçtır?

Eğim formülü ile iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{2 - 4}{a - (-2)} = \dfrac{-2}{a + 2} = \dfrac{2}{7} \)

\( 2a + 4 = -14 \)

\( a = -9 \) bulunur.

Eğim Açısı ve Değeri

Bir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır ve doğrunun eğimi bu eğim açısının tanjant değerine eşittir. Aşağıdaki grafikte bazı doğruların eğim açıları verilmiştir.

Doğruların eğim açısı
Doğruların eğim açısı

Bu doğruların eğim açıları doğrultusunda eğim değerleri aşağıdaki gibi olur.

Görebileceğimiz gibi, \( y \) eksenine göre sağa yatık (eğim açısı dar açı) olan doğruların eğimi pozitif, sola yatık (eğim açısı geniş açı) olan doğruların eğimi negatiftir.

Eğim açısı \( [0°, 180°) \) aralığında değer alabilir. Eğimin alabileceği değerler ise tanjant fonksiyonu ile aynı şekilde tüm reel sayılardır.

Farklı eğim açı aralıkları için eğim değer aralıkları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Farklı doğruların eğim değerleri
Farklı doğruların eğim değerleri

\( \tan{90°} \) tanımsız olduğu için \( \alpha = 90° \) için eğim tanımsızdır. Bu aynı zamanda eğim açısının \( 90° \) olduğu dikey doğrular için \( x \) değişkenindeki birim artış için \( y \) değişkenindeki değişimin tanımsız olduğuna işaret eder.

SORU 2 :

\( A(3, 6) \) ve \( B(-4, -1) \) noktalarından geçen doğrunun eğim açısının ölçüsü kaç derecedir?

Eğim formülü ile iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.

\( m = \tan{\alpha} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{-1 - 6}{-4 - 3} = \dfrac{-7}{-7} = 1 \)

\( [0°, 180°) \) aralığında tanjant değeri 1 olan açı \( 45° \) olduğu için doğrunun eğim açısının ölçüsü \( 45° \) olur.


SORU 3 :

\( A(4, -1) \) ve \( B(-1, a) \) noktalarından geçen doğru \( x \) ekseni ile pozitif yönde \( 135° \)'lik açı yaptığına göre \( a \) kaçtır?

\( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

\( m = \tan{\alpha} = \dfrac{y_2 - y_1 }{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{a - (-1)}{-1 - 4} = \dfrac{a + 1}{-5} \)

Doğru \( x \) ekseni ile pozitif yönde \( 135° \)'lik açı yapıyorsa eğim \( \tan{135°} = -1 \) olur.

\( m = \dfrac{a + 1}{-5} = -1 \)

\( a = 4 \) bulunur.


SORU 4 :

\( 2x - 2y + 3 = 0 \) ve \( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \) doğrularının eğim açıları toplamı kaç derecedir?

Bir doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısı doğrunun eğimini verir.

Birinci doğrunun eğim değerine \( m_1 \) ve eğim açısına \( \alpha \), ikinci doğrunun eğim değerine \( m_2 \) ve eğim açısına \( \beta \) diyelim.

\( 2x - 2y + 3 = 0 \) doğrusunun açık denklemini yazalım.

\( y = x + \dfrac{3}{2} \)

\( m_1 = 1 \)

\( [0°, 180°) \) aralığında tanjant değeri \( 1 \) olan açı \( 45° \)'dir.

\( \alpha = 45° \)

\( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \) doğrusunun açık denklemini yazalım.

\( y = -\sqrt{3}x - 2 \)

\( m_2 = -\sqrt{3} \)

\( [0°, 180°) \) aralığında tanjant değeri \( -\sqrt{3} \) olan açı \( 120° \)'dir.

\( \beta = 120° \)

Doğruların eğim açılarının toplamını bulalım.

\( \alpha + \beta = 45° + 120° = 165° \) bulunur.


SORU 5 :
Soru

Analitik düzlemde \( d \) doğrusu \( y \) ekseniyle şekildeki gibi \( 60° \)'lik açı yaptığına göre, \( d \) doğrusunun eğimi kaçtır?

Bir doğrunun eğimi o doğrunun \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değerine eşittir.

Aşağıdaki şekle göre \( d \) doğrusunun \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı \( 150° \) olur.

Soru

\( m = \tan{150°} = -\tan{30°} \)

\( = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \) bulunur.


SORU 6 :

\( m \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,

Analitik düzlemdeki \( (2m, -8) \) ve \( (-3, 3m) \) noktaları eğimi \( -m \) olan bir doğru üzerindedir.

Buna göre, \( m \) kaçtır?

Eğim formülü ile iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım ve çıkan sonucu \( -m \)'e eşitleyelim.

\( \dfrac{3m - (-8)}{-3 - 2m} = -m \)

\( 3m + 8 = 2m^2 + 3m \)

\( 8 = 2m^2 \)

\( m = \{-2, 2\} \)

\( m \in \mathbb{R^+} \) olduğundan \( m = 2 \) bulunur.


SORU 7 :

\( (2a - 12)x + (a + 5)y + 12 = 0 \) doğrusu \( x \) eksenine paralel olduğuna göre, \( y \) eksenini hangi noktada keser?

\( x \) eksenine paralel olan bir doğrunun eğimi sıfır olur.

Denklemi verilen doğrunun eğimini bulalım.

\( m = -\dfrac{2a - 12}{a + 5} \)

Eğimi sıfır yapan \( a \) değerini bulalım.

\( 2a - 12 = 0 \)

\( a = 6 \)

Doğrunun denklemini yazalım.

\( (2(6) - 12)x + (6 + 5)y + 12 = 0 \)

\( 11y + 12 = 0 \)

\( y = -\dfrac{12}{11} \)

Bu doğru \( y \) eksenini \( (0, -\frac{12}{11}) \) noktasında keser.


SORU 8 :
Soru

Yukarıdaki şekle göre \( (a - 5)(b - 7) \) çarpımının sonucu kaçtır?

Soru

Şekildeki doğrunun \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki eğimini hesaplayalım.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{7}{a - 5} \)

Doğrunun \( B \) ve \( C \) noktaları arasındaki eğimini hesaplayalım.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{b - 7}{5} \)

Doğrunun eğimi tüm doğru boyunca sabit olduğu için iki tanjant değerini birbirine eşitleyebiliriz.

\( \dfrac{7}{a - 5} = \dfrac{b - 7}{5} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( (a - 5)(b - 7) = 35 \) bulunur.

Eğim ve Değişim Oranı

Eğimin bir tanımı da iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı, bir diğer ifadeyle \( y \) değişkenindeki değişim oranıdır. Aşağıdaki bunu yorumlayabileceğimiz iki örnek verilmiştir.

Aşağıdaki grafikte bir ağacın yıllara göre boy grafiği ve denklemi verilmiştir. Buna göre ağacın \( t = 0 \) anındaki boyu 1 metredir ve doğrunun eğimi \( m = 0,5 \) olduğu için ağacın boyu her yıl \( 0,5 \) metre uzamaktadır.

Bir ağacın boy grafiği
Bir ağacın boy grafiği

Ağacın 10. yıl sonundaki boyunu hesaplamak istiyor olalım. Ağacın boyu her yıl 0,5 metre uzadığına göre 10 yıl boyunca \( 0,5 \cdot 10 = 5 \) metre uzar. Ağacın ilk boyu 1 metre olduğu için bu süre sonunda ağacın boyu 6 metre olur. Denklemde \( t = 10 \) değerini yerine koyduğumuzda da aynı sonucu elde ederiz.

Aşağıdaki grafikte ise sabit hızla giden bir aracın yol - zaman grafiği verilmiştir. Buna göre araç \( t = 0 \) anında başlangıç noktasındadır ve doğrunun eğimi \( m = 120 \) olduğu için araç her saat \( 120 \) km yol almaktadır.

Bir aracın konum grafiği
Bir aracın konum grafiği

Bu eğim değerine göre araç \( t = 3 \) anında toplam \( 120 \cdot 3 = 360 \) km, \( t = 5 \) anında da toplam \( 120 \cdot 5 = 600 \) km yol almış olur.

Özetle bir doğrunun eğimi \( x \) ekseninin temsil ettiği değişkendeki bir birimlik artış için \( y \) ekseninin temsil ettiği değişkenin kaç birim arttığını ya da azaldığını verir.


« Önceki
Analitik Düzlemde Doğru
Sonraki »
Doğrunun Denkleminin Bulunması


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır