Doğrunun Eğimi

Eğimin Tanımı

Bir doğrunun eğimi o doğrunun ne kadar dik olduğunu ve dikliğinin yönünü ifade eder. Bir doğrunun eğimi genellikle \( m \) ile gösterilir.

Eğim doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Bir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır. Doğrunun eğim değeri aynı zamanda bu açının tanjant değerine eşittir.

Doğrunun eğimi
Doğrunun eğimi

Arasındaki eğimi hesapladığımız iki noktadan hangisini formülde önce kullandığımızın bir önemi yoktur.

Eğim değeri aynı zamanda \( x \) değişkeninin her birim artışı için \( y \) değerinin kaç birim arttığını ya da azaldığını verir, ki bu eğimin tanımlarından biridir. Yukarıdaki örnekte \( x \) değeri 4 birim artarken \( y \) değeri 8 birim artmıştır, yani \( x \)'in her birim artışı için \( y \) 2 birim artmıştır, bu da hesapladığımız eğim değerine eşittir.

Doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısı aynı zamanda doğrunun eğimini verir.

Doğrunun kapalı denkleminde eğimi aşağıdaki formülle bulabiliriz.

SORU:

\( A(-2, 4) \) ve \( B(a, 2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi \( \dfrac{2}{7} \) ise \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Eğim Açısı ve Değeri

Bir doğrunun eğim değeri aynı zamanda eğim açısının tanjantına eşittir, dolayısıyla eğim değeri için öncelikle eğim açısını doğru belirlememiz gerekir. Yukarıda eğim açısının doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı olduğunu belirtmiştik, aşağıdaki grafikte bazı doğruların eğim açıları verilmiştir.

Doğruların eğim açısı
Doğruların eğim açısı

Görebileceğimiz gibi, \( y \) eksenine göre sağa yatık (eğim açısı dar açı) doğruların eğimi pozitiftir. \( y \) eksenine göre sola yatık (eğim açısı geniş açı) doğruların eğimi negatiftir.

Farklı doğruların eğim değerleri
Farklı doğruların eğim değerleri

Orijinden geçen farklı eğime sahip bazı doğruların eğim değerleri yukarıdaki grafikte verilmiştir. Eğim değeri eğim açısının tanjant değerine eşit olduğu için alabileceği değerler tanjant fonksiyonunun görüntü kümesi ile aynıdır.

SORU:

\( A(3, 6) \) ve \( B(-4, -1) \) noktalarından geçen doğrunun eğim açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( A(4, -1) \) ve \( B(-1, a) \) noktalarından geçen doğru \( x \) ekseni ile pozitif yönde \( 135° \)'lik açı yaptığına göre \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( 2x - 2y + 3 = 0 \) ve \( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \) doğrularının eğim açıları toplamı kaç derecedir?

Çözümü Göster

Eğim ve Değişim Oranı

Doğrunun eğiminin bir tanımının iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı olduğunu belirttik. Aşağıdaki bunu yorumlayabileceğimiz iki grafik verilmiştir.

Bir ağacın boy grafiği
Bir ağacın boy grafiği

Yukarıdaki grafikte bir ağacın yıllara göre boy grafiği ve denklemi verilmiştir. Bu grafikten ağacın boyunun doğrusal bir artış gösterdiğini söyleyebiliriz. Herhangi bir yılın sonunda ağacın boyunu denklemi kullanarak hesaplayabilecek olsak da, denklemin eğimi (\( x \)'in katsayısı) bize önemli bir ipucu vermektedir. Eğimin değeri 0.5 olduğu için, ağacın boyunun her yıl sabit bir oranda ve 0.5 metre uzadığını söyleyebiliriz. Ağacın fide olarak dikildiği andaki ilk boyunun 1 metre olduğunu düşünürsek (grafiğin \( x = 0 \) anındaki \( y \) değeri), 10. yıl sonunda ağacın boyunun 6 metre (\( = 1 + 10 \cdot 0,5 \)) olacağını söyleyebiliriz ki denklemde \( x = 10 \) değerini yerine koyarsak da aynı sonucu elde ederiz. Bu örnekte eğim değeri bize birim zamanda (1 yıl) ağacın boyundaki metre cinsinden değişimi veriyor oluyor.

Bir aracın konum grafiği
Bir aracın konum grafiği

Yukarıdaki grafikte ise sabit hızla yol alan bir aracın yol-zaman grafiği verilmiştir. Benzer şekilde grafiğin denklemini kullanarak aracın herhangi bir zamanda toplam katettiği yolu bulabilecek olsak da, denklemde \( x \)'in katsayısına baktığımızda aracın sabit ve 120 km/h hızla gittiğini söyleyebiliriz. Bu örnekte eğim değeri bize birim zamanda (1 saat) aracın katettiği yoldaki değişimi kilometre cinsinden veriyor oluyor (120 kilometre).

Bir doğrunun eğim değeri özetle \( x \) ekseninin temsil ettiği değişkendeki bir birimlik artış için, \( y \) ekseninin temsil ettiği değişkenin kaç birim arttığını ya da azaldığını vermektedir.


« Önceki
Analitik Düzlemde Doğru
Sonraki »
Doğrunun Denkleminin Bulunması


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır