İnteraktif uygulama: Doğrunun Katsayıları
Eğim bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve dikliğinin yönünü ifade eder. Bir doğrunun eğimi genellikle \( m \) ile gösterilir.
Bir doğrunun eğimi doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Bir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır. Aşağıdaki şekilde bir doğru üzerindeki iki noktanın oluşturduğu \( ABC \) dik üçgenini incelediğimizde, doğrunun eğiminin aynı zamanda eğim açısının tanjant değerine eşit olduğunu görebiliriz.
\( m = \tan{\alpha} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A(1, -2) \) ve \( B(5, 6) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
Noktaları analitik düzlemde işaretleyelim ve bu iki noktadan geçen doğrunun grafiğini çizelim.
\( m = \dfrac{6 - (-2)}{5 - 1} = \dfrac{8}{4} = 2 \)
Bu değer aynı zamanda grafikte işaretli \( \alpha \) açısının tanjant değerine eşittir.
\( \tan{\alpha} = 2 \)
Eğim hesaplarken hangi noktanın koordinatlarından hangi noktanın koordinatlarını çıkardığımız önemli değildir, önemli olan noktaların koordinatlarını pay ve paydada aynı sırada birbirinden çıkarmamızdır.
\( m = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \dfrac{-2 - 6}{1 - 5} = 2 \)
Eğim değeri \( x \) değişkenindeki her birim artış için \( y \) değişkenindeki artış ya da azalış miktarını verir ve \( y \) değişkeninin hangi hızda arttığını ya da azaldığını gösterir. Yukarıdaki örnekte \( A \) ve \( B \) noktaları arasında \( x \) 4 birim artarken \( y \) 8 birim artmıştır, yani \( x \)'in her birim artışı için \( y \) 2 birim artmıştır, bu da hesapladığımız eğim değerine eşittir.
Aşağıda farklı doğruların \( x \) değerlerindeki belirli miktar artış için \( y \) değerlerindeki artış/azalış miktarları ve bu doğrultuda oluşan eğim değerleri gösterilmiştir.
Doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısı aynı zamanda doğrunun eğimini verir. Bu da \( x \) değerindeki her 1 birimlik artış için \( y \) değerinin \( m \) birim artması ya da azalması anlamına gelir.
\( y = \textcolor{red}{m}x + c \)
Doğrunun kapalı denkleminde eğimi aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( ax + by + c = 0 \)
\( m = -\dfrac{a}{b} \)
\( 3x - 4y + 2 = 0 \) doğrusunun eğimi:
\( a = 3, \quad b = -4 \)
\( m = -\dfrac{3}{-4} = \dfrac{3}{4} \)
\( A(-2, 4) \) ve \( B(a, 2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi \( \frac{2}{7} \) ise \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterBir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır ve doğrunun eğimi bu eğim açısının tanjant değerine eşittir. Aşağıdaki grafikte bazı doğruların eğim açıları verilmiştir.
Bu doğruların eğim açıları doğrultusunda eğim değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( d_1 \) doğrusunun eğim açısı \( 45° \)'dir.
\( m_1 = \tan{45°} = 1 \)
\( d_2 \) doğrusunun eğim açısı \( 135° \)'dir.
\( m_2 = \tan{135°} = -1 \)
\( d_3 \) doğrusunun eğim açısı \( 0° \)'dır.
\( m_3 = \tan{0°} = 0 \)
\( d_4 \) doğrusunun eğim açısı \( 90° \)'dir.
\( m_4 = \tan{90°} \Longrightarrow \) Tanımsız
Görebileceğimiz gibi, \( y \) eksenine göre sağa yatık (eğim açısı dar açı) olan doğruların eğimi pozitif, sola yatık (eğim açısı geniş açı) olan doğruların eğimi negatiftir.
Eğim açısı \( [0°, 180°) \) aralığında değer alabilir. Eğimin alabileceği değerler ise tanjant fonksiyonu ile aynı şekilde tüm reel sayılardır.
\( 0° \le \alpha \lt 180° \)
\( -\infty \lt m \lt +\infty \)
Farklı eğim açı aralıkları için eğim değer aralıkları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( \tan{90°} \) tanımsız olduğu için \( \alpha = 90° \) için eğim tanımsızdır. Bu aynı zamanda eğim açısının \( 90° \) olduğu dikey doğrular için \( x \) değişkenindeki birim artış için \( y \) değişkenindeki değişimin tanımsız olduğuna işaret eder.
\( A(3, 6) \) ve \( B(-4, -1) \) noktalarından geçen doğrunun eğim açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü Göster\( A(4, -1) \) ve \( B(-1, a) \) noktalarından geçen doğru \( x \) ekseni ile pozitif yönde \( 135° \)'lik açı yaptığına göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 2x - 2y + 3 = 0 \) ve \( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \) doğrularının eğim açıları toplamı kaç derecedir?
Çözümü GösterAnalitik düzlemde \( d \) doğrusu \( y \) ekseniyle şekildeki gibi \( 60° \)'lik açı yaptığına göre, \( d \) doğrusunun eğimi kaçtır?
Çözümü Göster\( m \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
Analitik düzlemdeki \( (2m, -8) \) ve \( (-3, 3m) \) noktaları eğimi \( -m \) olan bir doğru üzerindedir.
Buna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (2a - 12)x + (a + 5)y + 12 = 0 \) doğrusu \( x \) eksenine paralel olduğuna göre, \( y \) eksenini hangi noktada keser?
Çözümü GösterYukarıdaki şekle göre \( (a - 5)(b - 7) \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü GösterEğimin bir tanımı da iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı, bir diğer ifadeyle \( y \) değişkenindeki değişim oranıdır. Aşağıdaki bunu yorumlayabileceğimiz iki örnek verilmiştir.
Aşağıdaki grafikte bir ağacın yıllara göre boy grafiği ve denklemi verilmiştir. Buna göre ağacın \( t = 0 \) anındaki boyu 1 metredir ve doğrunun eğimi \( m = 0,5 \) olduğu için ağacın boyu her yıl \( 0,5 \) metre uzamaktadır.
Ağacın 10. yıl sonundaki boyunu hesaplamak istiyor olalım. Ağacın boyu her yıl 0,5 metre uzadığına göre 10 yıl boyunca \( 0,5 \cdot 10 = 5 \) metre uzar. Ağacın ilk boyu 1 metre olduğu için bu süre sonunda ağacın boyu 6 metre olur. Denklemde \( t = 10 \) değerini yerine koyduğumuzda da aynı sonucu elde ederiz.
Aşağıdaki grafikte ise sabit hızla giden bir aracın yol - zaman grafiği verilmiştir. Buna göre araç \( t = 0 \) anında başlangıç noktasındadır ve doğrunun eğimi \( m = 120 \) olduğu için araç her saat \( 120 \) km yol almaktadır.
Bu eğim değerine göre araç \( t = 3 \) anında toplam \( 120 \cdot 3 = 360 \) km, \( t = 5 \) anında da toplam \( 120 \cdot 5 = 600 \) km yol almış olur.
Özetle bir doğrunun eğimi \( x \) ekseninin temsil ettiği değişkendeki bir birimlik artış için \( y \) ekseninin temsil ettiği değişkenin kaç birim arttığını ya da azaldığını verir.