Doğrunun Denkleminin Bulunması
Bir doğrunun denklemini yazabilmemiz için aşağıdakilerden birine ihtiyacımız vardır.
- Doğrunun bir noktası ve eğimi
- Doğrunun iki farklı noktası
- Bunun özel bir durumu olarak, doğrunun eksenleri kestiği noktalar
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
Bir noktasını ve eğimini bildiğimiz doğrunun denklemini aşağıdaki formülle yazabiliriz.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
Doğrunun eğimi: \( m = \tan{\alpha} \)
\( A(3, -5) \) noktasından geçen ve eğimi \( m = -2 \) olan doğrunun denklemi:
\( y - (-5) = -2(x - 3) \)
\( y + 5 = -2x + 6 \)
\( y = -2x + 1 \)
Bu denklemde \( m \)'yi yalnız bırakırsak, yukarıdaki doğru denkleminin verilen nokta ile arasındaki eğim \( m \)'ye eşit olan noktaların geometrik yer denklemi olduğunu görebiliriz.
\( m = \dfrac{y - y_1}{x - x_1} \)
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Farklı iki noktadan sadece bir doğru geçtiği için iki noktasını bildiğimiz bir doğrunun denklemini aşağıdaki formülle yazabiliriz.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A(-2, -3) \) ve \( B(4, 9) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{y - 9}{x - 4} = \dfrac{9 - (-3)}{4 - (-2)} \)
\( \dfrac{y - 9}{x - 4} = \dfrac{12}{6} \)
\( y - 9 = 2(x - 4) \)
\( y = 2x + 1 \)
\( m = 2 \)
Bu formül grafikte verilen üç noktadan herhangi ikisi seçilerek çizilen doğruların eğimlerinin eşitliğinden gelmektedir.
\( m = \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğrunun Denklemi
Bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları biliyorsak yukarıdaki iki noktası bilinen doğrunun denklem formülüne ek olarak aşağıdaki formülü de kullanabiliriz.
\( \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 \)
Bu denklem aşağıdaki biçimde de yazılabilir.
\( y_2 \cdot x + x_1 \cdot y = x_1 \cdot y_2 \)
Doğrunun eğimi: \( m = \tan{\alpha} = -\dfrac{y_2}{x_1} \)
Eksenleri \( A(3, 0) \) ve \( B(0, 4) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( 4x + 3y = 12 \)
\( y = -\dfrac{4}{3}x + 4 \)
\( m = -\dfrac{4}{3} \)
Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi
Orijinden geçen doğrular \( O(0, 0) \) noktasından geçtiği için sabit terimleri sıfırdır ve denklemleri aşağıdaki şekildedir.
\( y = mx + 0 = mx \)
Orijinden geçen ve eğimi \( m = 4 \) olan doğrunun denklemi:
\( y = 4x \)
\( A(2, 3) \) noktasından geçen ve eğimi sıfır olan doğrunun denklemi nedir?
Çözümü Göster
\( x = 3t + 1 \)
\( y = 2t - 3 \)
şeklinde parametrik denklemi olan doğrunun kapalı denklemi nedir?
Çözümü Göster