Doğrunun Denkleminin Bulunması
Bir doğruyu çizebilmek için ya doğrunun iki farklı noktası ya da bir noktası ve eğimi bilinmelidir. Buna göre bir doğrunun denklemini yazabilmemiz için aşağıdakilerden birine ihtiyacımız vardır.
- Doğrunun bir noktası ve eğimi
- Doğrunun herhangi iki farklı noktası
- Doğrunun eksenleri kestiği noktalar
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( A(3, -5) \) noktasından geçen ve eğimi \( m = -2 \) olan doğrunun denklemi:
\( y - (-5) = -2(x - 3) \)
\( y + 5 = -2x + 6 \)
\( y = -2x + 1 \)
Bu denklemde \( m \) yalnız bırakıldığında denklemin verilen nokta ile arasındaki eğimin \( m \)'ye eşit olduğu noktaların geometrik yer denklemi olduğu görülebilir.
\( m = \dfrac{y - y_1}{x - x_1} \)
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Farklı iki noktası bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi:
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A(-2, -3) \) ve \( B(4, 9) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{y - 9}{x - 4} = \dfrac{9 - (-3)}{4 - (-2)} \)
\( \dfrac{y - 9}{x - 4} = \dfrac{12}{6} \)
\( y - 9 = 2(x - 4) \)
\( y = 2x + 1 \)
\( m = 2 \)
Bu formülde eşitliğin sağ tarafı verilen iki nokta arasındaki eğime eşit olduğu için bu formül bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemine de dönüştürülebilir.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m \)
Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğrunun Denklemi
Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa yukarıdaki iki noktası bilinen doğrunun denklem formülüne ek olarak aşağıdaki formül de kullanılabilir.
\( \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 \)
Bu denklem aşağıdaki biçimde de yazılabilir.
\( y_2 \cdot x + x_1 \cdot y = x_1 \cdot y_2 \)
Doğrunun eğimi: \( m = \tan{\alpha} = -\dfrac{y_2}{x_1} \)
Eksenleri \( A(3, 0) \) ve \( B(0, 4) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( 4x + 3y = 12 \)
\( y = -\dfrac{4}{3}x + 4 \)
\( m = -\dfrac{4}{3} \)
İSPATI GÖSTER
Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi
Orijinden geçen doğrular \( O(0, 0) \) noktasından geçtiği için sabit terimleri sıfırdır ve denklemleri aşağıdaki şekildedir.
\( y = mx + 0 = mx \)
Orijinden geçen ve eğimi \( m = 4 \) olan doğrunun denklemi:
\( y = 4x \)
\( A(2, 3) \) noktasından geçen ve eğimi sıfır olan doğrunun denklemi nedir?
Çözümü Göster\( x = 3t + 1 \)
\( y = 2t - 3 \)
şeklinde parametrik denklemi olan doğrunun kapalı denklemi nedir?
Çözümü GösterAnalitik düzlemde \( 2x + 3y - 7 = 0 \) doğrusuna paralel ve \( A(-1, 2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü GösterUç noktalar dahil olmak üzere, \( (5, 5) \) ve \( (155, 30) \) noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde koordinatları tam sayı olan kaç nokta bulunur?
Çözümü Göster