Doğrunun Denkleminin Bulunması
Bir doğru hakkında aşağıdakilerden biri biliniyorsa doğrunun denklemi bulunabilir ve grafiği çizilebilir.
- Doğrunun bir noktası ve eğimi
- Doğrunun iki farklı noktası
- Doğrunun eksenleri kestiği iki nokta
Aşağıda paylaşacağımız yöntemlerle elde edilen bir doğru denklemi, ilk bölümde gördüğümüz \( y = mx + c \) ve \( ax + by + c = 0 \) formlarına dönüştürülebilir.
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( A(3, -5) \) noktasından geçen ve eğimi \( m = -2 \) olan doğrunun denklemi:
\( y - (-5) = -2(x - 3) \)
\( y + 5 = -2x + 6 \)
\( y = -2x + 1 \)
İSPATI GÖSTER
Koordinat düzleminde herhangi bir \( P(x, y) \) noktası tanımlayalım.
Denklemini bulmak istediğimiz doğrunun bir noktasını (\( A(x_1, y_1) \)) ve eğimini (\( m \)) biliyoruz.
Doğrunun geometrik yerini (yani denklemini), \( A \) ve \( P \) noktalarını birleştiren doğru parçasının eğimi \( m \) olacak şekilde kısıtlayabiliriz.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m \)
Yukarıdaki eşitliği sadece denklemini elde etmek istediğimiz doğru üzerindeki noktalar sağlar.
Paydadaki ifadeyi karşıya aldığımızda bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini veren formülü elde ederiz.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
Aşağıda bir noktası ve eğimi verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
(a) \( A(5, -2), m = -3 \)
(b) \( A(-6, 7), m = \frac{2}{3} \)
(c) \( A(2, 3), m = 0 \)
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
(a) seçeneği:
\( A(5, -2), m = -3 \)
\( y - (-2) = -3(x - 5) \)
\( y + 2 = -3x + 15 \)
\( y = -3x + 13 \)
(b) seçeneği:
\( A(-6, 7), m = \frac{2}{3} \)
\( y - 7 = \dfrac{2}{3}(x - (-6)) \)
\( y - 7 = \dfrac{2}{3}x + 4 \)
\( y = \dfrac{2}{3}x + 11 \)
(c) seçeneği:
\( A(2, 3), m = 0 \)
\( y - 3 = 0(x - 2) \)
\( y = 3 \)
İki Noktası Bilinen Doğru
Farklı iki noktası bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi:
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A(2, -3) \) ve \( B(8, 9) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{y - (-3)}{x - 2} = \dfrac{9 - (-3)}{8 - 2} \)
\( \dfrac{y + 3}{x - 2} = \dfrac{12}{6} \)
\( y + 3 = 2(x - 2) \)
\( y = 2x - 7 \)
\( m = 2 \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıda bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminin ispatında, doğrunun geometrik yerini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m \)
Bu durumda doğrunun iki noktasını bildiğimiz için, eğim değeri yerine eğim formülünü yazdığımızda iki noktası bilinen doğru denklemini veren formülü elde ederiz.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Bu formülde eşitliğin sağ tarafı verilen iki nokta arasındaki eğime eşit olduğu için, formül bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemine de dönüştürülebilir.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m \)
Aşağıda iki noktası verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
(a) \( A(-2, 5), B(4, 1) \)
(b) \( A(7, 0), B(-3, -5) \)
(c) \( A(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}), B(-\frac{3}{4}, \frac{1}{3}) \)
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
(a) seçeneği:
\( A(-2, 5), B(4, 1) \)
\( \dfrac{y - 1}{x - 4} = \dfrac{1 - 5}{4 - (-2)} \)
\( \dfrac{y - 1}{x - 4} = -\dfrac{2}{3} \)
\( 3y - 3 = -2x + 8 \)
\( 2x + 3y - 11 = 0 \)
(b) seçeneği:
\( A(7, 0), B(-3, -5) \)
\( \dfrac{y - (-5)}{x - (-3)} = \dfrac{-5 - 0}{-3 - 7} \)
\( \dfrac{y + 5}{x + 3} = \dfrac{1}{2} \)
\( 2y + 10 = x + 3 \)
\( x - 2y - 7 = 0 \)
(c) seçeneği:
\( A(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}), B(-\frac{3}{4}, \frac{1}{3}) \)
\( \dfrac{y - \frac{1}{3}}{x - (-\frac{3}{4})} = \dfrac{\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})}{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} \)
\( \dfrac{y - \frac{1}{3}}{x + \frac{3}{4}} = -\dfrac{4}{5} \)
\( 5y - \dfrac{5}{3} = -4x - 3 \)
\( 4x + 5y + \dfrac{4}{3} = 0 \)
\( 12x + 15y + 4 = 0 \)
Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru
Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa yukarıdaki iki noktası bilinen doğrunun denklem formülüne ek olarak aşağıdaki formül de kullanılabilir.
Eksenleri \( A(a, 0) \) ve \( B(0, b) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi:
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
Bu denklem aşağıdaki formda da yazılabilir.
\( bx + ay = ab \)
Doğrunun eğimi: \( m = \tan{\alpha} = -\dfrac{b}{a} \)
Eksenleri \( A(3, 0) \) ve \( B(0, 4) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( 4x + 3y = 12 \)
\( y = -\dfrac{4}{3}x + 4 \)
\( m = -\dfrac{4}{3} \)
İSPATI GÖSTER
İki noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Doğrunun eksenleri kestiği noktalara \( A(a, 0) \) ve \( B(0, b) \) diyelim.
\( \dfrac{y - 0}{x - a} = \dfrac{b - 0}{0 - a} \)
\( \dfrac{y}{x - a} = -\dfrac{b}{a} \)
İçleri aralarında yer değiştirelim.
\( \dfrac{y}{b} = -\dfrac{x - a}{a} \)
Eşitliği düzenleyelim.
\( \dfrac{y}{b} = -\dfrac{x}{a} + \dfrac{a}{a} \)
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
Aşağıda eksenleri kestiği noktalar verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
(a) \( A(3, 0), B(0, -4) \)
(b) \( A(-2, 0), B(0, 7) \)
(c) \( A(\frac{2}{3}, 0), B(0, -\frac{3}{5}) \)
Çözümü GösterEksenleri \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
(a) seçeneği:
\( A(3, 0), B(0, -4) \)
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-4} = 1 \)
\( 4x - 3y = 12 \)
\( 4x - 3y - 12 = 0 \)
(b) seçeneği:
\( A(-2, 0), B(0, 7) \)
\( \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{7} = 1 \)
\( -7x + 2y = 14 \)
\( 7x - 2y + 14 = 0 \)
(c) seçeneği:
\( A(\frac{2}{3}, 0), B(0, -\frac{3}{5}) \)
\( \dfrac{x}{\frac{2}{3}} + \dfrac{y}{-\frac{3}{5}} = 1 \)
\( \dfrac{3x}{2} - \dfrac{5y}{3} = 1 \)
\( 9x - 10y = 6 \)
\( 9x - 10y - 6 = 0 \)
Orijinden Geçen Doğru
Orijinden geçen doğrular \( O(0, 0) \) noktasından geçtiği için sabit terimleri sıfırdır ve denklemleri aşağıdaki formdadır.
\( y = mx + 0 = mx \)
Orijinden geçen ve eğimi \( m = 4 \) olan doğrunun denklemi:
\( y = 4x \)
Koordinat düzleminde \( 2x + 3y - 7 = 0 \) doğrusuna paralel olan ve \( A(-1, 2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster\( ax + by + c = 0 \) şeklinde kapalı denklemi verilen bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{a}{b} \) olur.
\( 2x + 3y - 7 = 0 \)
\( m = -\dfrac{2}{3} \)
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
\( A(-1, 2) \) noktasından geçen ve eğimi \( -\frac{2}{3} \) olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 2 = -\dfrac{2}{3}(x - (-1)) \)
\( 3y - 6 = -2x - 2 \)
İstenen doğrunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( 2x + 3y - 4 = 0 \)
Koordinat düzleminde \( A(2, -1) \) ve \( B(-3, 4) \) noktalarından geçen doğrunun üzerindeki ordinatı 7 olan noktanın apsisi kaçtır?
Çözümü GösterOrdinatı 7 olan noktaya \( C \), apsisine \( a \) diyelim.
\( C(a, 7) \)
\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - 4}{x - (-3)} = \dfrac{4 - (-1)}{(-3) - 2} \)
\( \dfrac{y - 4}{x + 3} = \dfrac{5}{-5} \)
\( y - 4 = -x - 3 \)
\( y = -x + 1 \)
\( C(a, 7) \) noktası bu doğrunun üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 7 = -a + 1 \)
\( a = -6 \)
\( C \) noktasının apsis değeri \( -6 \) olarak bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( d \) doğrusu üzerinde koordinatları toplamı 20 olan noktanın ordinatı kaçtır?
Çözümü Göster\( d \) doğrusunun denklemini bulalım.
\( y = mx + c \)
\( m = \dfrac{3k}{2k} = \dfrac{3}{2} \)
Orijinden geçen doğrunun sabit terimi sıfır olur.
\( y = \dfrac{3}{2}x \)
Koordinatları toplamı 20 olan noktaya \( A(m, \frac{3}{2}m) \) diyelim.
\( A \) noktasının koordinatları toplamı 20 olarak veriliyor.
\( m + \dfrac{3}{2}m = 20 \)
\( 2m + 3m = 40 \)
\( m = 8 \)
\( A \) noktasının ordinatını bulalım.
\( \dfrac{3}{2}(8) = 12 \) bulunur.
\( x = 3t + 1 \)
\( y = 2t - 3 \)
şeklinde parametrik denklemi olan doğrunun kapalı denklemi nedir?
Çözümü GösterVerilen birinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( x = 3t + 1 \)
\( t = \dfrac{x - 1}{3} \)
Bu \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = 2t - 3 \)
\( y = 2(\dfrac{x - 1}{3}) - 3 \)
\( y + 3 = 2(\dfrac{x - 1}{3}) \)
\( 3y + 9 = 2x - 2 \)
\( 3y - 2x + 11 = 0 \) bulunur.
Birim karelerden oluşan şekildeki düzlemde \( K \) noktasının koordinatları \( (-1, -3) \) olduğuna göre, \( [LM] \) doğrusunun denklemini yazınız.
Çözümü Göster\( K \) noktasının koordinatlarını kullanarak bu düzlemde orijinin ve eksenlerin konumunu belirleyelim.
Birim kareleri kullanarak \( L \) ve \( M \) noktalarının koordinatlarını bulalım.
\( L(2, 2) \)
\( M(7, -4) \)
\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - (-4)}{x - 7} = \dfrac{-4 - 2}{7 - 2} \)
\( \dfrac{y + 4}{x - 7} = \dfrac{-6}{5} \)
\( 5y + 20 = -6x + 42 \)
\( 6x + 5y - 22 = 0 \) bulunur.
\( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusundan \( y \) eksenine indirilen dikmelerin orta noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( x = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 2(0) + y - 4 = 0 \)
\( y = 4 \)
\( y = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 2x + 0 - 4 = 0 \)
\( x = 2 \)
Buna göre doğru eksenleri \( (0, 4) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında keser.
İstenen doğru \( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusundan \( y \) eksenine indirilen dikmelerin orta noktasından geçtiğine göre, \( y \) eksenini aynı \( (0, 4) \) noktasında, \( x \) eksenini ise \( (1, 0) \) noktasında keser.
Eksenleri \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
\( \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( y = -4x + 4 \) bulunur.
Uç noktalar dahil olmak üzere, \( (5, 5) \) ve \( (155, 30) \) noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde koordinatları tam sayı olan kaç nokta bulunur?
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - 5}{x - 5} = \dfrac{30 - 5}{155 - 5} \)
\( \dfrac{y - 5}{x - 5} = \dfrac{1}{6} \)
\( x - 5 = 6(y - 5) \)
\( x = 6y - 25 \)
Bu eşitlikte \( y \)'nin her tam sayı değeri için \( x \) de bir tam sayı değer alır.
Buna göre her \( y \in [5, 30] \) değeri için doğru parçası üzerinde koordinatları tam sayı olan bir nokta bulunur.
Bu aralıkta \( 30 - 5 + 1 = 26 \) tam sayı \( y \) değeri vardır.
Dolayısıyla verilen iki nokta arasında koordinatları tam sayı olan 26 nokta bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( d \) doğrusu üzerinde apsis ve ordinatının mutlak değerleri birbirine eşit olan noktaları bulunuz.
Çözümü GösterEksenleri \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
\( \dfrac{x}{12} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( x + 3y = 12 \)
\( y = -\dfrac{1}{3}x + 4 \)
Apsis ve ordinatının mutlak değerleri birbirine eşit olan noktalar \( A(a, a) \) ya da \( B(b, -b) \) formundadır.
\( A(a, a) \) formunda olan noktalar \( y = x \) doğrusu üzerinde, \( B(b, -b) \) formunda olan noktalar \( y = -x \) doğrusu üzerindedir.
\( y = x \) ve \( y = -x \) doğrularını çizelim ve \( d \) doğrusunun bir iki doğru ile kesişim noktalarını bulalım.
\( A \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( d \) doğrusunun denkleminde \( (x, y) = (a, a) \) yazalım.
\( a = -\dfrac{1}{3}a + 4 \)
\( \dfrac{4}{3}a = 4 \)
\( a = 3 \)
\( A(a, a) = A(3, 3) \)
\( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( d \) doğrusunun denkleminde \( (x, y) = (b, -b) \) yazalım.
\( -b = -\dfrac{1}{3}b + 4 \)
\( -\dfrac{2}{3}b = 4 \)
\( b = -6 \)
\( B(b, -b) = B(-6, 6) \)
\( d \) doğrusu üzerinde apsis ve ordinatının mutlak değeri birbirine eşit olan iki nokta aşağıdaki gibidir.
\( A(3, 3), \quad B(-6, 6) \)
Şekildeki \( ABCD \) karesinin \( C \) köşesi \( d: 3x + 5y = 0 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( D \) noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster\( d \) doğrusunun denkleminini kullanarak \( C \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( C \) noktasının ordinatına \( 3k \) diyelim.
\( 3x = -5(3k) \)
\( x = -5k \)
\( C(-5k, 3k) \)
Buna göre karenin bir kenarının uzunluğu \( 3k \) olur.
\( D(-8k, 3k) \)
\( D \) noktasından ve orijinden geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( = \dfrac{3k - 0}{-8k - 0} = -\dfrac{3}{8} \)
Orijinden geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( y = mx \)
\( y = -\dfrac{3}{8}x \)