Analitik Düzlemde Doğru
Tek boyutlu, düz ve her iki yönde sonsuza giden geometrik şekle doğru denir.
Tek bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. Birbirinden farklı iki noktadan sadece bir doğru geçer. Birbirinden farklı üç ya da daha fazla noktadan tek bir doğru geçebilmesi için bu noktalar doğrusal olmalıdır.
Doğrunun Denklemi
Bir doğrunun denklemi birinci dereceden iki değişkenli denklemdir. Denklemin iki değişkeni doğru üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerlerini temsil eden \( x \) ve \( y \) değişkenleridir. Denklemin birinci dereceden olması değişkenlerin 1 dışında bir kuvvetinin (\( x^2, x^3, \sqrt{x} \) vb.) bulunmaması anlamına gelir.
Bir doğrunun denklemi açık ve kapalı olmak üzere iki farklı şekilde yazılabilir.
Doğrunun Açık Denklemi
Doğrunun açık denkleminde \( y \) değişkeni katsayısı 1 olacak şekilde yalnız bırakılır.
\( y = mx + c \)
\( y = 3x - 2 \)
\( m = 3, \quad c = -2 \)
Doğrunun Kapalı Denklemi
Doğrunun kapalı denkleminde tüm terimler tek tarafta toplanır ve ifade sıfıra eşitlenir.
\( ax + by + c = 0 \)
\( 3x - y - 2 = 0 \)
\( a = 3, \quad b = -1, \quad c = -2 \)
Kapalı denklemi verilen bir doğrunun açık denklemi, \( y \) değişkeni yalnız bırakılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \)
\( 5x - 2y - 12 = 0 \)
\( 2y = 5x - 12 \)
\( y = \dfrac{5}{2}x - 6 \)
\( 3x - 2y + a + 5 = 0 \) doğrusu \( (3, -1) \) noktasından geçiyorsa \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterDoğrunun Eksenleri Kestiği Noktalar
Doğrunun \( y \) Eksenini Kestiği Nokta
\( y \) ekseni üzerindeki tüm noktaların apsis değeri 0 olduğu için bir doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinat değeri doğru denkleminde \( x = 0 \) yazılarak bulunabilir.
\( d_1: 2x - 3y + 6 = 0 \)
\( x = 0 \) yazıp denklemi \( y \) için çözelim.
\( 2(0) - 3y + 6 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)
Buna göre, doğru \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
Doğrunun açık denklemindeki sabit terim aynı zamanda doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir. Doğrunun kapalı denklemini açık denkleme çevirerek bunu teyit edebiliriz.
Kapalı denklem: \( 2x - 3y + 6 = 0 \)
Açık denklem: \( y = \frac{2}{3}x \textcolor{red}{+ 2} \)
Doğrunun \( x \) Eksenini Kestiği Nokta
\( x \) ekseni üzerindeki tüm noktaların ordinat değeri 0 olduğu için bir doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktanın apsis değeri doğru denkleminde \( y = 0 \) yazılarak bulunabilir.
\( d_1: 2x - 3y + 6 = 0 \)
\( y = 0 \) yazıp denklemi \( x \) için çözelim.
\( 2x - 3(0) + 6 = 0 \Longrightarrow x = -3 \)
Buna göre, doğru \( x \) eksenini \( (-3, 0) \) noktasında keser.
Özel Bazı Doğrular
Yatay Doğrular
\( x \) eksenine paralel doğruların üzerindeki noktaların ordinat değeri tüm doğru boyunca sabittir, bu yüzden bu doğruların denklemi \( x \) değişkeni içermez ve \( c \) bir reel sayı olmak üzere \( y = c \) şeklinde ifade edilir.
Kendisi de bir yatay doğru olan \( x \) ekseni \( y = 0 \) doğrusuna karşılık gelir.
Dikey Doğrular
\( y \) eksenine paralel doğruların üzerindeki noktaların apsis değeri tüm doğru boyunca sabittir, bu yüzden bu doğruların denklemi \( y \) değişkeni içermez ve \( c \) bir reel sayı olmak üzere \( x = c \) şeklinde ifade edilir.
Kendisi de bir dikey doğru olan \( y \) ekseni \( x = 0 \) doğrusuna karşılık gelir.
1. ve 2. Açıortay Doğruları
Aşağıda grafikleri verilen \( y = x \) ve \( y = -x \) doğrularına sırasıyla 1. açıortay ve 2. açıortay doğruları da denir.
1. açıortay doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirine eşittir. 2. açıortay doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirinin ters işaretlisidir. Bu iki doğru üzerindeki noktalar eksenlere eşit uzaklıktadır.
Doğrunun Katsayıları
Sabit Terimin Grafiğe Etkisi
Doğrunun açık denklemindeki sabit terim doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir. Aşağıdaki grafikte \( x \) katsayıları aynı, sabit terimleri farklı üç doğrunun \( y \) eksenini her doğrunun sabit teriminin belirttiği noktada kestiğini görebiliriz.
x'in Katsayısının Grafiğe Etkisi
Doğrunun açık denklemindeki \( x \) katsayısı doğrunun dikliğini belirler. Aşağıdaki grafikte sabit terimleri aynı, diklikleri farklı beş doğru \( y \) eksenini aynı noktada kesmektedir.
Önümüzdeki bölümde bu dikliği doğrunun eğimi olarak tanımlayacağız.