Analitik Düzlemde Doğru

Tek boyutlu, düz ve her iki yönde sonsuza giden geometrik şekle doğru denir.

Tek bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. Birbirinden farklı iki noktadan sadece bir doğru geçer. Birbirinden farklı üç noktadan bir doğru geçebilmesi için bu noktaların doğrusal olması gerekir.

Bir ve iki noktadan geçen doğrular
Bir ve iki noktadan geçen doğrular

Bir doğrunun cebirsel karşılığı birinci dereceden iki değişkenli denklemdir. Denklemin iki değişkenli olması doğru üzerindeki her noktanın apsis ve ordinat değerlerini temsil eden \( x \) ve \( y \) değişkenlerini içermesi, birinci dereceden olması da denklemde bu değişkenlerin kendisi dışında bir kuvvetinin (\( x^2, x^3, \sqrt{x} \) vb.) bulunmaması anlamına gelir.

Doğrunun Denklemi

Bir doğrunun denklemini doğrunun açık ve kapalı denklemi olarak isimlendirilen iki farklı şekilde yazabiliriz. Her doğru bu iki denklem şeklinde ifade edilebilir.

Doğrunun açık ve kapalı denklemleri
Doğrunun açık ve kapalı denklemleri

Doğrunun Açık Denklemi

\( y \)'nin katsayısı 1 olacak şekilde yalnız bırakıldığı denklem tipine doğrunun açık denklemi denir.

Doğrunun Kapalı Denklemi

Tüm terimlerin tek tarafta toplandığı ve toplamın sıfıra eşitlendiği denklem tipine doğrunun kapalı denklemi denir.

Kapalı denklemi verilen bir doğrunun açık denklemi, \( y \) yalnız bırakılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.

SORU:

\( 3x - 2y + a + 5 = 0 \) doğrusu \( (3, -1) \) noktasından geçiyorsa \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Doğrunun y Eksenini Kestiği Nokta

Bir doğru \( y \) eksenini apsis değeri 0 olan bir noktada kestiği için denklemde \( x = 0 \) koyarak bu noktayı bulabiliriz.

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar
Doğrunun eksenleri kestiği noktalar

Yukarıdaki grafikte bu doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktayı görebiliriz.

Doğrunun açık denklemindeki sabit terim aynı zamanda doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir. Doğrunun kapalı denklemini açık denkleme çevirerek bunu teyit edebiliriz.

Doğrunun x Eksenini Kestiği Nokta

Bir doğru \( x \) eksenini ordinat değeri 0 olan bir noktada kestiği için denklemde \( y = 0 \) koyarak bu noktayı bulabiliriz.

Yukarıdaki grafikte bu doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktayı görebiliriz.

Özel Bazı Doğrular

Yatay Doğrular

\( x \) eksenine paralel doğruların üzerindeki tüm noktaların ordinat değeri tüm doğru boyunca sabittir, bu yüzden bu doğruların denklemi \( x \) değişkeni içermez ve \( y = c \) (\( c \in \mathbb{R} \)) şeklinde ifade edilir.

Kendisi de bir yatay doğru olan \( x \) ekseni \( y = 0 \) doğrusuna karşılık gelir.

Yatay doğrular
Yatay doğrular

Dikey Doğrular

\( y \) eksenine paralel doğruların üzerindeki tüm noktaların apsis değeri tüm doğru boyunca sabittir, bu yüzden bu doğruların denklemi \( y \) değişkeni içermez ve \( x = c \) (\( c \in \mathbb{R} \)) şeklinde ifade edilir.

Kendisi de bir dikey doğru olan \( y \) ekseni \( x = 0 \) doğrusuna karşılık gelir.

Dikey doğrular
Dikey doğrular

1. ve 2. Açıortay Doğruları

Grafiği aşağıda verilen \( y = x \) ve \( y = -x \) doğrularına sırasıyla 1. açıortay ve 2. açıortay doğruları da denir.

1. ve 2. açıortay doğruları
1. ve 2. açıortay doğruları

1. açıortay doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirine eşittir. 2. açıortay doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirinin ters işaretlisidir. 1. ya da 2. açıortay doğrusu üzerindeki noktalar eksenlere eşit uzaklıktadır.

Sabit Terimin Doğru Grafiğine Etkisi

Doğrunun açık denklemindeki sabit terim doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir. Aşağıdaki grafikte \( x \) katsayıları aynı, sabit terimleri farklı üç doğrunun \( y \) eksenini her doğrunun sabit teriminin belirttiği noktada kestiğini görebiliriz.

Sabit terimin doğru grafiğine etkisi
Sabit terimin doğru grafiğine etkisi

x'in Katsayısının Doğru Grafiğine Etkisi

Doğrunun açık denklemindeki \( x \) katsayısı bize doğrunun dikliğini verir. Aşağıdaki grafikte sabit terimleri aynı, diklikleri farklı beş doğru \( y \) eksenini aynı noktada kesmektedir.

x'in katsayısının doğru grafiğine etkisi
x'in katsayısının doğru grafiğine etkisi

Önümüzdeki bölümde bu dikliği doğrunun eğimi olarak tanımlayacağız.


« Önceki
Doğrunun Analitiği
Sonraki »
Doğrunun Eğimi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır