İki Doğrunun Kesişimi
Önceki bölümde iki doğrunun birbirine göre üç farklı durumda olabileceğini gördük.
- Tek noktada kesişim: Doğruların eğimleri farklı ise bu iki doğru mutlaka ve sadece bir noktada kesişirler ve ortak çözümleri tek elemanlı bir kümedir.
- Çakışık: Bu durumda doğrular çakışıktır ve ortak çözümleri sonsuz elemanlı bir kümedir.
- Paralel: Bu durumda doğrular hiç kesişmezler ve ortak çözümleri boş kümedir.
Şimdi her bir durum için doğruların kesişim noktalarını nasıl bulabileceğimizi birer örnekle görelim:
Tek Noktada Kesişen Doğrular
İki doğrunun eğimleri birbirinden farklıysa bu doğrular tek bir noktada kesişirler.
\( d_1: y = 3x - 1 \)
\( d_2: y = -x + 3 \)
Denklemlerin eğimleri birbirinden farklı olduğu için doğrular tek bir noktada kesişir. Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( 3x - 1 = -x + 3 \)
\( 4x = 4 \Longrightarrow x = 1 \)
Kesişim noktasının apsisi olan \( x = 1 \) değerini iki doğru denkleminden herhangi birinde yerine koyarak kesişim noktasının ordinat değerini bulalım.
\( y = 3x - 1 = 3 \cdot 1 - 1 \Longrightarrow y = 2 \)
Buna göre, iki doğrunun kesişim noktası \( (1, 2) \) noktasıdır.
Çakışık Doğrular
Çakışık doğruların ortak çözüm kümesi tüm reel sayılardır (sonsuz elemanlıdır).
\( d_1: 2y = 4x - 4 \)
\( d_2: y = 2x - 2 \)
Denklemlerin tüm katsayı oranları birbirine eşit olduğu için doğrular çakışıktır.
\( \dfrac{4}{2} = \dfrac{-2}{-1} = \dfrac{-4}{-2} \)
Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( 4x - 4 = 2\cdot(2x - 2) \)
\( 4x - 4 = 4x - 4 \)
\( 0 = 0 \)
Bu sonuç \( x \) değerinden bağımsız olarak ortak çözümün her zaman sağlandığını, dolayısıyla çözüm kümesinin tüm reel sayılar olduğunu gösterir.
Paralel Doğrular
Paralel doğruların ortak çözüm kümesi boş kümedir.
\( d_1: y = 2x + 2 \)
\( d_2: y = 2x - 4 \)
Denklemlerin eğimleri birbirine eşit, ancak sabit terimleri farklı olduğu için doğrular birbirine paraleldir ve hiçbir noktada kesişmezler.
\( \dfrac{2}{2} = \dfrac{-1}{-1} \ne \dfrac{2}{-4} \)
Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( 2x + 2 = 2x - 4 \)
\( 2 = -4 \)
Bu sonuç \( x \) değerinden bağımsız olarak ortak çözümün hiçbir zaman sağlanmadığını, dolayısıyla çözüm kümesinin boş küme olduğunu gösterir.
\( x + 2y = 6 \), \( x + my = 12 \) doğruları \( y = -x \) doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( y = x \), \( x = 0 \) ve \( y = 4 \) doğruları ile sınırlı bölgenin alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
Şekildeki \( OABC \) karesinin \( B \) köşesi \( d \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( A(OABC) \) kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
Yukarıda iki aracın hız-zaman grafikleri verilmiştir. Buna göre bu araçların kaçıncı saatte hızları farkı \( 100 \) km/s olur?
Çözümü Göster
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster