Önceki bölümde iki doğrunun birbirine göre üç farklı durumda olabileceğini gördük.
Tek noktada kesişim: Doğruların eğimleri farklı ise bu iki doğru mutlaka ve sadece bir noktada kesişirler ve ortak çözümleri tek elemanlı bir kümedir.
Çakışık: Bu durumda doğrular çakışıktır ve ortak çözümleri sonsuz elemanlı bir kümedir.
Paralel: Bu durumda doğrular hiç kesişmezler ve ortak çözümleri boş kümedir.
Şimdi her bir durum için doğruların kesişim noktalarını nasıl bulabileceğimizi birer örnekle görelim:
Tek Noktada Kesişen Doğrular
İki doğrunun eğimleri birbirinden farklıysa bu doğrular tek bir noktada kesişirler.
\( d_1: y = 3x - 1 \)
\( d_2: y = -x + 3 \)
Denklemlerin eğimleri birbirinden farklı olduğu için doğrular tek bir noktada kesişir. Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( 3x - 1 = -x + 3 \)
\( 4x = 4 \Longrightarrow x = 1 \)
Kesişim noktasının apsisi olan \( x = 1 \) değerini iki doğru denkleminden herhangi birinde yerine koyarak kesişim noktasının ordinat değerini bulalım.
\( y = 3x - 1 = 3 \cdot 1 - 1 \Longrightarrow y = 2 \)
Buna göre, iki doğrunun kesişim noktası \( (1, 2) \) noktasıdır.
Çakışık Doğrular
Çakışık doğruların ortak çözüm kümesi tüm reel sayılardır (sonsuz elemanlıdır).
\( d_1: 2y = 4x - 4 \)
\( d_2: y = 2x - 2 \)
Denklemlerin tüm katsayı oranları birbirine eşit olduğu için doğrular çakışıktır.
Bu sonuç \( x \) değerinden bağımsız olarak ortak çözümün hiçbir zaman sağlanmadığını, dolayısıyla çözüm kümesinin boş küme olduğunu gösterir.
SORU:
\( x + 2y = 6 \), \( x + my = 12 \) doğruları \( y = -x \) doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x + 2y = 6 \) ve \( y = -x \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için birinci denklemde \( y = -x \) koyalım.
\( x + 2 \cdot (-x) = 6 \)
\( x = -6 \) ve \( y = 6 \) olur.
Bu iki doğrunun kesişim noktası \( K(-6, 6) \) aynı zamanda \( x + my = 12 \) doğrusu üzerindendir. Bu yüzden bu noktayı doğru denkleminde yerine koyalım.
\( -6 + m \cdot 6 = 12 \)
\( m = 3 \) bulunur.
SORU:
\( y = x \), \( x = 0 \) ve \( y = 4 \) doğruları ile sınırlı bölgenin alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
Şekilde oluşan taralı bölge bir dik üçgendir.
\( y = x \) ve \( y = 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözersek \( A \) noktasının koordinatlarını \( A(4, 4) \) olarak buluruz.
Şekildeki \( OABC \) karesinin \( B \) köşesi \( d \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( A(OABC) \) kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
Karenin bir kenar uzunluğuna \( a \text{ br} \) diyelim.
\( \abs{OA} = \abs{AB} = a \) olur. \( B \) köşesi birinci bölgede olup koordinatları \( B(a, a) \) olur.
\( d \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklem formülü ile bulalım.
\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için bu doğru denklemini sağlar. Bu yüzden bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.