İki Doğrunun Kesişimi

\( x + 2y = 6 \) ve \( y = -x \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için birinci denklemde \( y = -x \) koyalım.

\( x + 2(-x) = 6 \)

\( x = -6, \quad y = 6 \)

Üç doğru aynı noktada kesiştiği için \( (-6, 6) \) noktasının koordinatları \( x + my = 12 \) doğrusunun denklemini de sağlar.

\( -6 + m(6) = 12 \)

\( m = 3 \) bulunur.

Verilen üç doğruyu analitik düzlemde çizelim.

Şekilde oluşan taralı bölge bir dik üçgendir.

\( y = x \) ve \( y = 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözersek \( A \) noktasının koordinatlarını \( A(4, 4) \) olarak buluruz.

\( A(OAB) = \dfrac{\abs{OB} \cdot \abs{BA}}{2} \)

\( = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ br}^2 \) bulunur.

Paralelkenarda köşegenlerin kesiştikleri nokta her iki köşegenin de orta noktasıdır.

Yani \( [AC] \) doğru parçasının orta noktası ile \( [BD] \) doğru parçasının orta noktası aynıdır.

İlk olarak \( [AC] \) doğru parçasının orta noktasını bulalım.

\( [AC] \) köşegeninin orta noktasına \( K \) diyelim.

\( K(\dfrac{4 + (-2)}{2}, \dfrac{6 + 4}{2}) = K(1, 5) \)

\( K(1, 5) \) noktası aynı zamanda \( [BD] \) köşegeninin orta noktası olduğu için \( 2x + ky + 3 = 0 \) doğrusunun üzerindedir ve doğru denklemini sağlar.

\( 1 \cdot 2 + k \cdot 5 + 3 = 0 \)

\( 5k = -5 \)

\( k = -1 \) bulunur.

Karenin bir kenar uzunluğuna \( a \text{ br} \) diyelim.

\( \abs{OA} = \abs{AB} = a \) olur. \( B \) köşesi birinci bölgede olup koordinatları \( B(a, a) \) olur.

\( d \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklem formülü ile bulalım.

\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1 \)

\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için bu doğru denklemini sağlar. Bu yüzden bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{a}{8} + \dfrac{a}{4} = 1 \)

\( a = \dfrac{8}{3} \)

Karenin alanını hesaplayalım.

\( A(OABC) = a^2 = \left( \dfrac{8}{3} \right)^2 = \dfrac{64}{9} \text{ br}^2 \) bulunur.

\( (0, 10) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( A \) aracının hız denklemini bulalım.

\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 10}{5 - 0} = 4 \)

\( y - 30 = 4(x - 5) \)

\( y = 4x + 10 \)

\( (0, 20) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( B \) aracının hız denklemini bulalım.

\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 20}{5 - 0} = 2 \)

\( y - 30 = 2(x - 5) \)

\( y = 2x + 20 \)

İki aracın hızları farkının 100 km/s olduğu ana \( t \) dersek araçların \( t \) anındaki hızları aşağıdaki gibi olur.

\( y_A = 4t + 10 \)

\( y_B = 2t + 20 \)

Bu \( t \) anındaki hız farkını 100'e eşitleyelim.

\( y_A - y_B = (4t + 10) - (2t + 20) = 100 \)

\( 2t - 10 = 100 \)

\( t = 55 \) saat bulunur.

\( d_1 \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklem formülü ile bulalım.

\( \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{2} = 1 \)

\( y = x + 2 \)

\( d_2 \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklem formülü ile bulalım.

\( \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} = 1 \)

\( y = -x + 1 \)

İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemleri taraf tarafa toplayarak ortak çözelim.

\( y = \dfrac{3}{2} \)

\( x = - \dfrac{1}{2} \)

Buna göre taralı alan taban uzunluğu \( 1 - (-2) = 3 \) ve yüksekliği \( y = \frac{3}{2} \) birim olan üçgenin alanıdır.

Alan \( = \dfrac{3 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \dfrac{9}{4} \text{ br}^2 \) bulunur.