İki Doğrunun Kesişimi

Doğruların kesişim noktalarında \( y \) değerleri eşittir.

\( 3x + 2a = 4 \)

Bu noktanın apsis değeri \( -2 \) olarak veriliyor.

\( 3(-2) + 2a = 4 \)

\( a = 5 \) bulunur.

Verilen üç doğruyu analitik düzlemde çizelim.

Şekilde oluşan taralı bölge bir dik üçgendir.

\( y = x \) ve \( y = 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözdüğümüzde \( A \) noktasının koordinatlarını \( A(4, 4) \) olarak buluruz.

\( A(OAB) = \dfrac{\abs{OB} \cdot \abs{BA}}{2} \)

\( = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8 \) birimkare bulunur.

Verilen bilgiye göre üç doğru aynı noktada kesişirler.

\( d_1 \) ve \( y = -x \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için birinci denklemde \( y = -x \) yazalım.

\( x + 2(-x) = 6 \)

\( x = -6, \quad y = 6 \)

Üç doğru \( (-6, 6) \) noktasında kesiştiğine göre, \( d_2 \) doğrusu bu noktadan geçer, dolayısıyla noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlar.

\( -6 + m(6) = 12 \)

\( m = 3 \) bulunur.

Verilen doğrular \( y \) eksenini \( A \) noktasında kesmektedir.

Doğru denklemlerinden birinde \( x = 0 \) yazarak \( A \) noktasının ordinatını bulalım.

\( 2(0) + 6y - 12 = 0 \)

\( y = 2 \)

\( A(0, 2) \)

\( B \) noktasının apsisini bulmak için \( 2x + 6y - 12 = 0 \) denkleminde \( y = 0 \) yazalım.

\( 2x + 6(0) - 12 = 0 \)

\( x = 6 \)

\( B(6, 0) \)

\( C \) noktasının apsisini bulmak için \( \frac{x}{2} + 4y = 8 \) denkleminde \( y = 0 \) yazalım.

\( \dfrac{x}{2} + 4(0) = 8 \)

\( x = 16 \)

\( C(16, 0) \)

Taralı \( ABC \) üçgeninin alanını, \( [BC] \) doğru parçasını taban ve \( [AO] \) doğru parçasını yükseklik olarak kabul ederek hesaplayalım.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC}\abs{AO}}{2} \)

\( = \dfrac{10 \cdot 2}{2} = 10 \) bulunur.

Doğrular \( (0, k) \) noktasında, yani \( y \) ekseni üzerinde kesiştiklerine göre sabit terimleri \( k \) olur.

Doğrulara ait denklemler aşağıdaki gibidir.

\( d_1: y = 3x + k \)

\( d_2: y = -6x + k \)

Her bir doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazalım.

\( 0 = 3x + k \Longrightarrow x = -\frac{k}{3} \)

\( 0 = -6x + k \Longrightarrow x = \frac{k}{6} \)

\( x \) ekseni üzerindeki bu iki nokta arasındaki uzaklık 3 birim olarak veriliyor.

\( \abs{\dfrac{k}{6} - (-\dfrac{k}{3})} = 3 \)

\( \abs{\dfrac{k}{2}} = 3 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( \dfrac{k}{2} = 3 \)

\( k = 6 \)

Durum 2:

\( \dfrac{k}{2} = -3 \)

\( k = -6 \)

\( k \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı \( 6 \cdot (-6) = -36 \) olarak bulunur.

Eksenleri \( (x_1, 0) \) ve \( (0, y_2) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 \)

\( d_1 \) doğrusunun denklemini bulalım.

\( \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{2} = 1 \)

\( y = x + 2 \)

\( d_2 \) doğrusunun denklemini bulalım.

\( \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} = 1 \)

\( y = -x + 1 \)

İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözelim.

\( y = x + 2 = -x + 1 \)

\( x = -\dfrac{1}{2} \)

\( y = \dfrac{3}{2} \)

Buna göre taralı alan taban uzunluğu \( 1 - (-2) = 3 \) birim ve yüksekliği \( y = \frac{3}{2} \) birim olan üçgenin alanıdır.

\( A = \dfrac{3 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \dfrac{9}{4} \) birimkare bulunur.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının kesişim noktasına \( A \) diyelim.

\( d_2 \) doğrusunun denklemini bulmak için \( d_1 \) doğrusu ile kesiştiği noktanın koordinatlarını bulalım.

\( d_1 \) doğrusu \( y = -x \) doğrusu ile kesiştiğine göre doğru denkleminde \( y = -x \) yazalım.

\( 3x + y + 6 = 0 \)

\( 3x - x + 6 = 0 \)

\( x = -3 \)

\( A(-3, 3) \)

\( d_1 \) doğrusunun eğimine \( m_1 \), \( d_2 \) doğrusunun eğimine \( m_2 \) diyelim.

\( ax + by + c = 0 \) şeklinde kapalı denklemi verilen bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{a}{b} \) olur.

\( m_1 = -\dfrac{3}{1} = -3 \)

\( d_1 \perp d_2 \) olduğuna göre, doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) olur.

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

\( m_2 = \dfrac{1}{3} \)

\( (x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 3 = \dfrac{1}{3}(x - (-3)) \)

\( d_2: 3y - x - 12 = 0 \)

\( d_1 \) doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

\( x = 0 \) için denklemi çözelim.

\( 3(0) + y + 6 = 0 \)

\( y = -6 \)

\( y = 0 \) için denklemi çözelim.

\( 3x + 0 + 6 = 0 \)

\( x = -2 \)

\( d_1 \) doğrusu eksenleri \( (0, -6) \) ve \( (-2, 0) \) noktalarında keser.

\( d_2 \) doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

\( x = 0 \) için denklemi çözelim.

\( 3y - 0 - 12 = 0 \)

\( y = 4 \)

\( y = 0 \) için denklemi çözelim.

\( 3(0) - x - 12 = 0 \)

\( x = -12 \)

\( d_2 \) doğrusu eksenleri \( (0, 4) \) ve \( (-12, 0) \) noktalarında keser.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları ile \( x \) ekseninin oluşturduğu bölge bir üçgendir.

Taralı \( ABC \) üçgeninin alanını, \( [BC] \) doğru parçasını taban ve \( [AD] \) doğru parçasını yükseklik olarak kabul ederek hesaplayalım.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC}\abs{AD}}{2} \)

\( = \dfrac{10 \cdot 3}{2} = 15 \) bulunur.

\( d_1 \) doğrusunun eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.

\( x = 0 \) için denklemi çözelim.

\( y = 3(0) + 9 \)

\( y = 9 \)

\( A(0, 9) \)

\( y = 0 \) için denklemi çözelim.

\( 0 = 3x + 9 \)

\( x = -3 \)

\( C(-3, 0) \)

\( \abs{OC} = 3 \)

\( \abs{OA} = 9 \)

\( OAB \) üçgeninde \( [AC] \) doğru parçası \( A \) köşesine ait iç açıortay olup aşağıdaki oran sağlanır.

\( \dfrac{\abs{OA}}{\abs{OC}} = \dfrac{\abs{AB}}{\abs{BC}} = \dfrac{9}{3} = 3 \)

\( \abs{BC} = a \) diyelim.

\( \abs{AB} = 3a \) olur.

\( OAB \) dik üçgende Pisagor teoremini uygulayalım.

\( \abs{OA}^2 + \abs{OB}^2 = \abs{AB}^2 \)

\( 9^2 + (a + 3)^2 = (3a)^2 \)

\( 81 + a^2 + 6a + 9 = 9a^2 \)

\( 8a^2 - 6a - 90 = 0 \)

\( 4a^2 - 3a - 45 = 0 \)

\( (4a - 15)(a + 3) \)

\( a \) değeri \( \abs{BC} \) uzunluğuna karşılık geldiğinden dolayı negatif olamaz.

\( a = \dfrac{15}{4} \)

\( d_2 \) doğrusu \( x \) eksenini \( B \) noktasında keser.

\( \abs{OB} = a + 3 = \dfrac{15}{4} + 3 = \dfrac{27}{4} \)

\( B(-\frac{27}{4}, 0) \)

\( d_2 \) doğrusunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamını bulalım.

\( -\dfrac{27}{4} + 9 = \dfrac{9}{4} \) bulunur.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.

\( ax + by + c = 0 \) şeklinde kapalı denklemi verilen bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{a}{b} \) olur.

\( m_1 = \dfrac{4}{5} \)

\( m_2 = -\dfrac{5}{b} \)

Doğrular dik kesiştiğine göre eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

\( m_1 \cdot m_2 = \dfrac{4}{5} \cdot \left( -\dfrac{5}{b} \right) = -1 \)

\( b = 4 \)

Doğrular \( x \) ekseni üzerinde kesiştiği için \( y \) koordinatı 0'dır.

Doğruların kesiştiği noktaya \( C(x_0, 0) \) diyelim.

\( d_2: 4y = -5x + 20 \) doğrusu \( C(x_0, 0) \) noktasından geçtiğine göre noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 4(0) = -5x_0 + 20 \)

\( x_0 = 4 \)

\( C(4, 0) \)

\( C(4, 0) \) noktasının koordinatları \( d_1 \) doğru denklemini de sağlar.

\( 5(0) = 4(4) + a \)

\( a = -16 \)

\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{-16}{4} = -4 \) bulunur.

Paralelkenarda köşegenlerin kesişim noktası her iki köşegenin de orta noktasıdır.

Buna göre \( [AC] \) köşegeninin orta noktası ile \( [BD] \) köşegeninin orta noktası aynıdır.

İlk olarak \( [AC] \) köşegeninin orta noktasını bulalım.

\( [AC] \) köşegeninin orta noktasına \( K \) diyelim.

\( K\left( \dfrac{4 + (-2)}{2}, \dfrac{6 + 4}{2} \right) = K(1, 5) \)

\( K(1, 5) \) noktası \( [BD] \) köşegeninin de orta noktası olduğu için \( d \) doğrusunun üzerindedir, dolayısıyla koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 2(1) + k(5) + 3 = 0 \)

\( k = -1 \) bulunur.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının kesişimi olan \( A \) noktasının koordinatlarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( d_1 \) doğrusunun denkleminde \( y = 3x \) yazalım.

\( x - 2(3x) + 5 = 0 \)

\( x = 1 \)

\( A \) noktasının ordinatını bulmak için \( d_2 \) doğrusunun denklemini kullanalım.

\( y = 3(1) = 3 \)

\( A(1, 3) \)

\( d_1 \) ve \( d_3 \) doğrularının kesişimi olan \( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( d_1 \) doğrusunun denkleminde \( y = -2x \) yazalım.

\( x - 2(-2x) + 5 = 0 \)

\( x = -1 \)

\( B \) noktasının ordinatını bulmak için \( d_3 \) doğrusunun denklemini kullanalım.

\( y = -2(-1) = 2 \)

\( B(-1, 2) \)

\( \abs{AB} \) uzunluğunu bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 3)^2} \)

\( = \sqrt{5} \)

\( A \) noktasının orjine olan uzaklığını bulalım.

\( \abs{AO} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \)

\( B \) noktasının orjine olan uzaklığını bulalım.

\( \abs{BO} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)

\( ABO \) üçgeninin çevresini bulalım.

\( \text{Ç}(ABO) = \abs{AB} + \abs{AO} + \abs{BO} \)

\( = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \)

\( = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \) bulunur.

\( (0, 10) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( A \) aracının hız denklemini bulalım.

\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 10}{5 - 0} = 4 \)

\( y - 30 = 4(x - 5) \)

\( y = 4x + 10 \)

\( (0, 20) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( B \) aracının hız denklemini bulalım.

\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 20}{5 - 0} = 2 \)

\( y - 30 = 2(x - 5) \)

\( y = 2x + 20 \)

İki aracın hızları farkının 40 km/sa olduğu ana \( t \) dersek araçların \( t \) anındaki hızları aşağıdaki gibi olur.

\( y_A = 4t + 10 \)

\( y_B = 2t + 20 \)

Bu \( t \) anındaki hız farkını 40'a eşitleyelim.

\( y_A - y_B = (4t + 10) - (2t + 20) = 40 \)

\( 2t - 10 = 40 \)

\( t = 25 \) dakika bulunur.

İstenen doğruların \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisine \( a \), \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatına \( b \) diyelim.

Eksenleri \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)

Doğruların eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı 16 olarak veriliyor.

\( a + b = 16 \)

\( (5, 3) \) noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( \dfrac{5}{a} + \dfrac{3}{b} = 1 \)

Bulduğumuz iki denklemi ortak çözelim.

\( b \) değerini birinci denklemde yalnız bırakarak ikinci denklemde yerine koyalım.

\( b = 16 - a \)

\( \dfrac{5}{a} + \dfrac{3}{16 - a} = 1 \)

\( \dfrac{5(16 - a) + 3a}{a(16 - a)} = 1 \)

\( \dfrac{80 - 5a + 3a}{16a - a^2} = 1 \)

\( 80 - 2a = 16a - a^2 \)

\( a^2 - 18a + 80 = 0 \)

\( (a - 8)(a - 10) = 0 \)

\( a = 8 \) ya da \( a = 10 \)

\( a = 8 \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.

\( 8 + b = 16 \)

\( b = 8 \)

\( a = 10 \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.

\( 10 + b = 16 \)

\( b = 6 \)

\( (a, b) = (8, 8) \) için doğru denklemini bulalım.

\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{8} = 1 \)

\( x + y - 8 = 0 \)

\( (a, b) = (10, 6) \) için doğru denklemini bulalım.

\( \dfrac{x}{10} + \dfrac{y}{6} = 1 \)

\( 3x + 5y - 30 = 0 \)

Buna göre verilen koşulları sağlayan iki doğru vardır ve denklemleri aşağıdaki gibidir.

\( d_1: x + y - 8 = 0 \)

\( d_2: 3x + 5y - 30 = 0 \)

Verilen doğruları analitik düzlemde çizelim.

Her ne kadar \( x = -\frac{3k}{2} \) doğrusunun denklemi doğrunun \( y \) ekseninin solunda kaldığını düşündürtse de, verilen doğruların bir yamuk oluşturması için doğru \( y \) ekseninin sağında yer almalı, dolayısıyla \( k \) negatif olmalıdır.

Ayrıca yamuğun alanının 24 birimkare olabilmesi için bu doğru \( x = 3 \) doğrusunun da sağında yer almalıdır.

Oluşan yamuğun köşe noktalarına \( A, B, C, D \) diyelim.

\( A(3, 0) \)

\( B(-\frac{3k}{2}, 0) \)

\( D \) noktasının ordinatını bulmak için \( 2x + 3y = 0 \) doğru denkleminde \( x = 3 \) yazalım.

\( 2(3) + 3y = 0 \)

\( y = -2 \)

\( D(3, -2) \)

\( C \) noktasının ordinatını bulmak için \( 2x + 3y = 0 \) doğru denkleminde \( x = -\frac{3k}{2} \) yazalım.

\( 2(-\dfrac{3k}{2}) + 3y = 0 \)

\( y = k \)

\( C(-\frac{3k}{2}, k) \)

\( ABCD \) yamuğunun alanını hesaplamak için taban uzunluklarını ve yüksekliğini bulalım.

\( \abs{AD} = 2 \)

\( x = -\frac{3k}{2} \) doğrusunun apsis değerinden \( k \)'nın negatif olduğunu biliyoruz.

\( \abs{BC} = \abs{k} = -k \)

Yamuğun yüksekliği olan \( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.

Ordinatı sıfır olan iki nokta arası uzaklık, apsislerinin farkına eşittir.

\( \abs{AB} = -\dfrac{3k}{2} - 3 \)

\( ABCD \) yamuğunun alanını bulalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{(\abs{AD} + \abs{BC}) \cdot \abs{AB}}{2} \)

\( 24 = \dfrac{(2 - k)(-\frac{3k}{2} - 3)}{2} \)

\( 48 = -3k - 6 + \dfrac{3k^2}{2} + 3k \)

\( \dfrac{3k^2}{2} = 54 \)

\( k^2 = 36 \)

\( k \) negatif bir büyüklüktür.

\( k = -6 \) bulunur.

İki doğru denklemini ortak çözerek kesişim noktalarını bulalım.

\( y \) değişkeninden kurtulmak için denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( x + cx = 3 + 2 \)

\( x = \dfrac{5}{c + 1} \)

Bu değeri birinci denklemde yerine koyalım.

\( x - y = 3 \)

\( \dfrac{5}{c + 1} - y = 3 \)

\( 5 - y(c + 1) = 3(c + 1) \)

\( y = \dfrac{2 - 3c}{c + 1} \)

Kesişim noktası III. bölgede ise noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (-, -) \) olur.

\( x = \dfrac{5}{c + 1} \lt 0 \)

Pay pozitif olduğu için bu eşitsizlik payda negatif olduğunda sağlanır.

\( c + 1 \lt 0 \)

\( c \lt -1 \)

\( y = \dfrac{2 - 3c}{c + 1} \lt 0 \)

Eşitsizliğin kritik noktaları payı ve paydayı sıfır yapan \( c \in \{ -1, \frac{2}{3} \} \) değerleridir.

Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -1) \), \( (-1, \frac{2}{3}) \) ve \( (\frac{2}{3}, \infty) \) aralıklarını oluşturur.

Bir işaret tablosu hazırlayalım.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

\( c \in (-\infty, -1) \cup (\frac{2}{3}, \infty) \)

Hem apsisi hem de ordinatı negatif yapan \( c \) aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.

Çözüm kümesi: \( c \in (-\infty, -1) \)