Bağıntı Özellikleri

Bağıntıların özelliklerini üzerinde incelemek için aşağıdaki gibi bir \( A \) kümesi tanımlayalım.

\( A \) kümesinin kendisiyle kartezyen çarpımı aşağıdaki gibi olacaktır.

Bağıntıların Özellikleri

Yansıma Özelliği

Her \( a \in A \) elemanı için \( (a, a) \) sıralı ikilisi bir bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının yansıma özeliği vardır, ya da bir diğer deyişle bağıntı yansıyan bir bağıntıdır.

Buna göre, \( A \)'nın her elemanı için \( (a, a) \) sıralı ikilisini içerdikleri için \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların yansıma özelliği vardır.

\( (4, 4) \) elemanını içermediği için \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntının yansıma özelliği yoktur.

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

Simetri Özelliği

Bir bağıntıdaki her \( (a, b) \) sıralı ikilisi için \( (b, a) \) sıralı ikilisi de bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının simetri özelliği vardır, ya da bir diğer deyişle bağıntı simetrik bir bağıntıdır.

Bir bağıntıda \( (a, a) \) cinsinden sıralı ikililerin bulunması simetri özelliğinin bulunmasını ya da bulunmamasını etkilemez.

Buna göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların simetri özelliği vardır.

\( (2, 1) \) elemanını içermediği için \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntının simetri özelliği yoktur.

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek simetri özelliğine sahip bağıntı sayısını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

Ters Simetri Özelliği

Bir bağıntıdaki her \( (a, b) \) sıralı ikilisi için \( (b, a) \) sıralı ikilisi bağıntıda tanımlı değilse, bu bağıntının ters simetri özelliği vardır, ya da bir diğer deyişle bağıntı ters simetriktir.

Bir bağıntıda \( (a, a) \) cinsinden sıralı ikililerin bulunması ters simetri özelliğinin bulunmasını ya da bulunmamasını etkilemez.

Buna göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ters simetri özelliği vardır.

\( (1, 2) \) ve \( (2, 1) \) elemanlarını içerdiği için \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntının ters simetri özelliği yoktur.

Bir bağıntının hem simetri ve hem de ters simetri özellikleri olabilir.

Bir bağıntıda simetri ve ters simetri özelliklerinin ikisi de olmayabilir.

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

Geçişme Özelliği

Bir bağıntıdaki her \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) sıralı ikilileri için, \( (a, c) \) sıralı ikilisi de bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının geçişme özelliği vardır, ya da bir diğer deyişle bağıntı geçişken bir bağıntıdır.

Bir bağıntıda \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) elemanları bulunmadan \( (a, c) \) elemanının bulunması bağıntının geçişken olmasına engel olmaz.

Buna göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların geçişme özelliği vardır.

\( (1, 4) \) elemanını içermediği için \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntının geçişme özelliği yoktur.

Bağıntı Tipleri

Denklik Bağıntısı

Bir bağıntı yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır.

\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılar birer denklik bağıntısıdır.

Bir küme üzerinde tanımlı denklik bağıntıları içinde eleman sayısı en az olan bağıntı, sadece \( (a, a) \) elemanlarından oluşan bağıntıdır.

Birer denklik bağıntısı olan iki bağıntının kesişim kümesi de bir denklik bağıntısıdır.

Birer denklik bağıntısı olan iki bağıntının birleşim kümesi bir denklik bağıntısı olabilir ya da olmayabilir. Aşağıda birleşim kümesi bir denklik bağıntısı olmayan iki denklik bağıntısı örnek olarak verilmiştir. Bu örnekte birleşim kümesinde \( (1, 4) \) ve \( (4, 1) \) elemanları bulunmadığı için birleşim kümesi geçişme özelliğine sahip değildir.

Sıralama Bağıntısı

Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir sıralama bağıntısıdır.

\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılar birer sıralama bağıntısıdır.


« Önceki
Bir Örnekle Bağıntı
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır