Aşağıdaki gibi bir \( A \) kümesi tanımlayalım.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( s(A) = 4 \)
\( A \) kümesinin kendisiyle kartezyen çarpımı aşağıdaki gibi olur.
\( A \times A = \{ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), \) \( (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), \) \( (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), \) \( (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) \} \)
\( s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 16 \)
Önceki bölümde bahsettiğimiz üzere, \( A \times A \) kartezyen çarpım kümesinin \( 2^{16} = 65.536 \) alt kümesinin her biri bir bağıntıdır.
Bu bölümde bu bağıntıların her birinin sahip olduğu ya da olmadığı 4 özellikten bahsedeceğiz.
Her \( a \in A \) elemanı için \( (a, a) \) ikilisi bir bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının yansıma özeliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı yansıyan bir bağıntıdır.
Her \( a \in A \) için \( (a, a) \in R \) ise,
\( R \) bağıntısı yansıyandır.
Bir diğer tanıma göre, birim bağıntı bir bağıntının alt kümesi ise o bağıntı yansıyandır.
\( I_A \subseteq R \) ise,
\( R \) bağıntısı yansıyandır.
Bu tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların yansıma özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \} \)
\( R_2 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2) \} \)
\( R_3 = A \times A \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle yansıma özelliği yoktur.
\( R_4 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 4) \} \)
\( (4, 4) \) elemanını içermez.
\( R_5 = \emptyset \)
Hiçbir \( (a, a) \) elemanını içermez.
Aşağıdaki bağıntıların yansıma özelliği vardır.
| Bağıntı | Örnek | Açıklama |
|---|---|---|
| Eşittir | \( a = a \) | Bir sayı kendisine eşittir. |
| Küçük eşittir | \( a \le a \) | Bir sayı kendisinden küçük ya da kendisine eşittir. |
| Büyük eşittir | \( a \ge a \) | Bir sayı kendisinden büyük ya da kendisine eşittir. |
| Alt küme | \( A \subseteq A \) | Bir küme kendisinin bir alt kümesidir. |
| Böler | \( a \mid a\ (a \ne 0) \) | Sıfır hariç bir sayı kendisini tam böler. |
| Paralel | \( d \parallel d \) | Bir doğru kendisine paraleldir. |
| Benzer | \( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{ABC} \) | Bir üçgen kendisi ile benzerdir. |
| Eş | \( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{ABC} \) | Bir üçgen kendisi ile eştir. |
Yansıyan iki bağıntının kesişimi olan bağıntı da yansıyandır.
Yansıyan iki bağıntının birleşimi olan bağıntı da yansıyandır.
Yansıyan bir bağıntının tersi de yansıyandır.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 2^{n^2 - n} \)
5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı:
\( = 2^{5^2 - 5} = 2^{20} \)
Bir bağıntıda tanımlı her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının simetri özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı simetrik bir bağıntıdır.
Her \( a, b \in A \) için \( (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R \) ise,
\( R \) bağıntısı simetriktir.
\( (a, a) \) şeklindeki ikililer yukarıdaki simetri tanımını sağlarlar.
Bu tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların simetri özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 1) \} \)
\( R_2 = \{ (2, 2), (3, 4), (4, 3) \} \)
\( R_3 = \{ (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2) \} \)
\( R_4 = \{ (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4) \} \)
\( R_5 = A \times A \)
\( R_6 = \emptyset \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle simetri özelliği yoktur.
\( R_7 = \{ (1, 2), (2, 2) \} \)
\( (2, 1) \) elemanını içermez.
\( R_8 = \{ (2, 2), (2, 3), (2, 4), (4, 4) \} \)
\( (3, 2) \) ve \( (4, 2) \) elemanlarını içermez.
Aşağıdaki bağıntıların simetri özelliği vardır.
| Bağıntı | Örnek | Açıklama |
|---|---|---|
| Eşittir | \( a = b \) ise \( b = a \) | \( a \) sayısı \( b \) sayısına eşitse \( b \) sayısı \( a \) sayısına eşittir. |
| Paralel | \( d_1 \parallel d_2 \) ise \( d_2 \parallel d_1 \) | \( d_1 \) doğrusu \( d_2 \) doğrusuna paralel ise \( d_2 \) doğrusu \( d_1 \) doğrusuna paraleldir. |
| Benzer | \( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{KLM} \) ise \( \overset{\triangle}{KLM} \sim \overset{\triangle}{ABC} \) | \( ABC \) üçgeni \( KLM \) üçgeni ile benzer ise \( KLM \) üçgeni \( ABC \) üçgeni ile benzerdir. |
| Eş | \( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{KLM} \) ise \( \overset{\triangle}{KLM} \cong \overset{\triangle}{ABC} \) | \( ABC \) üçgeni \( KLM \) üçgeni ile eş ise \( KLM \) üçgeni \( ABC \) üçgeni ile eştir. |
Simetrik bir bağıntı tersine eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani tersine eşit olan bir bağıntı simetriktir.
Simetrik iki bağıntının kesişimi olan bağıntı da simetriktir.
Simetrik iki bağıntının birleşimi olan bağıntı da simetriktir.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 2^{\frac{n(n + 1)}{2}} \)
5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı:
\( = 2^{\frac{5(5 + 1)}{2}} = 2^{15} \)
Bir bağıntıda \( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikililerinin tanımlı olması \( a = b \) olmasını gerektiriyorsa bu bağıntının ters simetri özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı ters simetrik bir bağıntıdır.
Her \( a, b \in A \) için \( (a, b) \in R \land (b, a) \in R \Rightarrow a = b \) ise,
\( R \) bağıntısı ters simetriktir.
Yukarıdaki tanıma göre, bir bağıntıda \( (a, a) \) şeklinde ikililerin bulunması ters simetri özelliğinin bulunmasını ya da bulunmamasını etkilemez.
Bu tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ters simetri özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 2), (2, 4) \} \)
\( R_2 = \{ (1, 2), (2, 4), (3, 3) \} \)
\( R_3 = \emptyset \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle ters simetri özelliği yoktur.
\( R_4 = \{ (1, 2), (2, 1), (1, 3) \} \)
\( (1, 2) \) ve \( (2, 1) \) elemanlarını birlikte içerir.
\( R_5 = A \times A \)
\( a \ne b \) olmak üzere, \( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikililerini birlikte içerir.
Simetri ve ters simetri özellikleri birbirinin tersi değildir. Buna göre, aşağıdaki iki örnekte görülebileceği gibi bir bağıntı hem simetri ve hem de ters simetri özelliklerine sahip olabilir.
\( R_1 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3) \} \)
\( R_2 = \emptyset \)
Benzer şekilde, aşağıdaki iki örnekte görülebileceği gibi bir bağıntı simetri ve ters simetri özelliklerinin ikisine de sahip olmayabilir.
\( R_1 = \{ (1, 2), (2, 3), (3, 2) \} \)
\( (2, 1) \) elemanını içermediği için simetrik değil, \( (2, 3) \) ve \( (3, 2) \) elemanlarını içerdiği için ters simetrik değil.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 3^{\frac{n(n - 1)}{2}} \cdot 2^n \)
5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı:
\( = 3^{\frac{5(5 - 1)}{2}} \cdot 2^5 = 3^{10} \cdot 2^5 \)
Bir bağıntının birlikte elemanı olan her \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) ikilileri için, \( (a, c) \) ikilisi de bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının geçişme özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı geçişken bir bağıntıdır.
Her \( a, b \in A \) için \( (a, b) \in R \land (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R \) ise,
\( R \) bağıntısı geçişkendir.
Bir bağıntıda \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) elemanları birlikte bulunmadan \( (a, b) \) elemanının tek başına bulunması bağıntının geçişken olmasına engel değildir.
Bir bağıntıda \( (a, b) \) ve \( (b, b) \) elemanları ya da \( (a, a) \) ve \( (a, b) \) elemanları birlikte bulunuyorsa bu elemanlar için geçişkenlik koşulu sağlanır.
Buna tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların geçişme özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 2), (2, 4), (1, 4) \} \)
\( R_2 = \{ (1, 2), (2, 2) \} \)
\( R_3 = \{ (2, 2), (2, 3), (3, 3) \} \)
\( R_4 = \{ (1, 2), (2, 4), (1, 4) \} \)
\( R_5 = A \times A \)
\( R_6 = \emptyset \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle geçişme özelliği yoktur.
\( R_7 = \{ (1, 2), (2, 4), (4, 4) \} \)
\( (1, 4) \) elemanını içermez.
Geçişken iki bağıntının kesişimi olan bağıntı da geçişkendir.
\( R \) ve \( S \) bağıntıları geçişken ise,
\( R \cap S \) bağıntısı da geçişkendir.
Geçişken iki bağıntının birleşimi olan bağıntı geçişken olabilir ya da olmayabilir.
Yukarıda bahsettiğimiz 4 özelliği karşılaştırdığımızda; yansıma özelliğinin diğer 3 özellikten bir farkı, özelliğin üzerinde tanımlı olduğu kümenin her elemanı için sağlanması gerekliliğidir, dolayısıyla diğer üç özellik boş bağıntıda da sağlanırken yansıma özelliğine sahip olan bir bağıntının eleman sayısı en az bu kümenin eleman sayısı kadar olmalıdır. Diğer üç özellik koşullu önerme şeklinde tanımlı olduğu için bağıntının elemanı olan ikililer için sağlanması yeterlidir.
\( A = \{a, b, c\} \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılar veriliyor.
\( R_1 = \{(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)\} \)
\( R_2 = \{(a, a), (a, b), (b, b), (b, c)\} \)
Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangileri doğrudur?
I. \( R_1 \) ve \( R_2 \) yansıyandır.
II. \( R_2 \) ters simetriktir.
III. \( R_1 \) geçişkendir.
Çözümü Göster\( A = \{a, b, c, d\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), \) \( (b, b), (b, c), \) \( (b, d), (c, c), \) \( (c, d), (d, d)\} \)
bağıntısının yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangilerine sahip olduğunu inceleyin.
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(x, y) : 2 \mid (x - y)\} \)
bağıntısının yansıma özelliği olup olmadığını inceleyin.
Çözümü Göster\( R = \{(a, b) : \abs{a} = \abs{b}; a, b \in \mathbb{R}\} \)
bağıntısının yansıma özelliği olup olmadığını inceleyin.
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) üzerinde tanımlı 6 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyandır?
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(a, b) \mid a + b = 6; a, b \in A \} \)
bağıntısının simetri özelliği olup olmadığını inceleyin.
Çözümü Göster\( A = \{a, b, c\} \) üzerinde tanımlı bağıntılardan kaçının simetri özelliği yoktur?
Çözümü GösterReel sayılarda tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangilerinin simetri özelliği vardır?
\( R_1 = \{(a, b) \mid 7a + 7b = 98\} \)
\( R_2 = \{(a, b) \mid 3a - 4b = 12\} \)
\( R_3 = \{(a, b) \mid a^2 + b^2 = 121\} \)
\( R_4 = \{(a, b) \mid \abs{a} + \abs{b} = 13\} \)
Çözümü Göster\( A = \{2, 4, 6, 8\} \) kümesinde tanımlanabilecek bağıntılardan kaç tanesi hem yansıyan hem de simetriktir?
Çözümü Göster\( R = \{(x, y) \mid y = 3mx - 6\} \) reel sayılarda tanımlı bir bağıntıdır.
\( R \) bağıntısının simetrik olabilmesi için \( m \) kaç olmalıdır?
Çözümü Göster\( A = \{a, b, c\} \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri ters simetriktir?
\( R_1 = \{(a, b), (b, c), (c, a)\} \)
\( R_2 = \{(a, c), (a, b), (c, c), (b, a)\} \)
\( R_3 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (b, c)\} \)
Çözümü Göster\( R = \{(x, y) \mid 2x + 3y = 5\} \) reel sayılarda tanımlı bir bağıntıdır.
\( R \) bağıntısının ters simetrik olup olmadığını inceleyin.
Çözümü Göster\( A = \{a, b, c, d\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(a, a), (a, c), (c, b)\} \) bağıntısına hangi eleman eklenirse bağıntı geçişken olur?
Çözümü Göster