Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir sıralama bağıntısıdır.
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılar birer sıralama bağıntısıdır.
\( R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\} \)
\( R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), \) \( (1, 3)\} \)
Bir bağıntı hem denklik hem de sıralama bağıntısı olabilir.
SORU 1:
\( A = \{3, 4, 5\} \) kümesinde tanımlı,
\( R = \{(x, y) \mid x \ge y\} \) bağıntısının bir sıralama bağıntısı olduğunu gösterin.
Çözümü Göster
Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir sıralama bağıntısıdır.
\( R \) bağıntısının elemanlarını listeleyelim.
\( R = \{(3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 4), (5, 5)\} \)
\( (3, 3), (4, 4), (5, 5) \in R \) olduğu için bağıntının yansıma özelliği vardır.
Ters simetri özelliği için bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \in R \) için \( (b, a) \notin R \) olduğunu gösterelim.
Yansıyan elemanlar ters simetri özelliğini bozmaz.
\( (4, 3) \in R \) için \( (3, 4) \notin R \)
\( (5, 3) \in R \) için \( (3, 5) \notin R \)
\( (5, 4) \in R \) için \( (4, 5) \notin R \)
Buna göre bağıntının ters simetri özelliği vardır.
Geçişme özelliği için bağıntının elemanı olan her \( (a, b), (b, c) \in R \) için \( (a, c) \in R \) olduğunu gösterelim.
\( (5, 4), (4, 3) \in R \) için \( (5, 3) \in R \)
Buna göre bağıntının geçişme özelliği vardır.
\( R \) bağıntısı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip olduğu için bir sıralama bağıntısıdır.
SORU 2:
\( A = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \) olmak üzere,
\( R = \{(x, y) : x \mid y; x, y \in A\} \)
bağıntısının bir sıralama bağıntısı olduğunu gösterin.
Çözümü Göster
Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir sıralama bağıntısıdır.
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( x \mid x \) olduğu için (\( x \) kendisini tam böldüğü için) \( R \) yansıma özelliğine sahiptir.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( x \mid y \) ise \( y \mid x \) olup olmadığını bulmaya çalışalım.
\( m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x \mid y \) ise \( y = m \cdot x \) şeklinde bir \( m \) pozitif tam sayısı vardır.
\( y \mid x \) olduğunu varsayalım.
\( y \mid x \) ise \( x = n \cdot y \) şeklinde bir \( n \) pozitif tam sayısı vardır.
\( x = n \cdot y = n \cdot m \cdot x \)
\( m \cdot n = 1 \)
\( m = n = 1 \)
Buna göre \( x \mid y \) ise \( y \mid x \) koşulu sadece \( m = n = 1 \) olduğunda, yani \( x = y \) olduğunda sağlanır. \( x = y \) olduğu durum ters simetriye engel olmadığı için \( R \) ters simetri özelliğine sahiptir.
\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( x \mid y \) ve \( y \mid z \) iken \( x \mid z \) olup olmadığını bulmaya çalışalım.
\( m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x \mid y \) ise \( y = m \cdot x \) şeklinde bir \( m \) pozitif tam sayısı vardır.
\( y \mid z \) ise \( z = n \cdot y \) şeklinde bir \( n \) pozitif tam sayısı vardır.
\( z = n \cdot y = (n \cdot m) \cdot x \)
\( z \) ve \( x \) arasında böyle bir eşitliği yazabileceğimiz \( n \cdot m \) tam sayısı mevcut olduğu için \( x \mid z \) olur.
Dolayısıyla \( R \) geçişkenlik özelliğine sahiptir.
Buna göre \( R \) bir sıralama bağıntısıdır.