Bu bölümde bağıntılar arasında küme işlemlerini, bir bağıntının tersini ve bağıntılar arasında bileşke işlemini inceleyeceğiz.
Küme İşlemleri
Bağıntılar sıralı ikililerden oluşan kümeler oldukları için aralarında kesişim, birleşim, fark ve tümleyen gibi küme işlemleri yapılabilir.
ÖRNEK:
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \)
\( R \) ve \( S \) bağıntıları, \( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı olmak üzere,
\( R = \{(a, 1), (b, 1), (c, 2)\} \)
\( S = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2)\} \)
İki bağıntının kesişim kümesi, her iki bağıntıda da bulunan ikililerden oluşur.
\( R \cap S = \{(x, y) \mid (x, y) \in R \land (x, y) \in S\} \)
ÖRNEK:
\( R \cap S = \{(a, 1), (c, 2)\} \)
İki bağıntının birleşim kümesi, bağıntıların en az birinde bulunan ikililerden oluşur.
\( R \cup S = \{(x, y) \mid (x, y) \in R \lor (x, y) \in S\} \)
ÖRNEK:
\( R \cup S = \{(a, 1), (b, 1), (b, 2), (c, 2)\} \)
Bir bağıntının diğer bir bağıntıdan farkı, birinci kümede bulunup ikinci kümede bulunmayan ikililerden oluşur.
\( R - S = \{(x, y) \mid (x, y) \in R \land (x, y) \notin S\} \)
ÖRNEK:
\( R - S = \{(b, 1)\} \)
\( S - R = \{(b, 2)\} \)
Bir bağıntının tümleyeni, bağıntıda bulunmayıp alt kümesi olduğu kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan ikililerden oluşur.
\( R' = \{(x, y) \mid (x, y) \notin R \land (x, y) \in A \times B\} \)
ÖRNEK:
\( R' = \{(a, 2), (b, 2), (c, 1)\} \)
\( S' = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\} \)
Bir Bağıntının Tersi
Bir \( R \) bağıntısının tüm elemanlarının bileşenlerinin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilen bağıntıya \( R \) bağıntısının tersi denir ve \( R^{-1} \) şeklinde gösterilir.
\( R \) bağıntısı \( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı ve \( A \times B \) kartezyen çarpımının bir alt kümesi iken tersi olan \( R^{-1} \) bağıntısı \( B \) kümesinden \( A \) kümesine tanımlıdır ve \( B \times A \) kartezyen çarpımının bir alt kümesidir.
Bağıntı ve tersi
Ters Bağıntı İşlem Kuralları
Bir \( (a, b) \) ikilisi \( R \) bağıntısının elemanı ise \( (b, a) \) ikilisi \( R^{-1} \) bağıntısının elemanıdır.
\( (a, b) \in R \Leftrightarrow (b, a) \in R^{-1} \)
Bir bağıntının ve tersinin eleman sayıları aynıdır.
Bir bağıntının tersinin tersi bağıntının kendisine eşittir.
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı \( R \) ve \( S \) bağıntıları arasında geçerli olan diğer bazı işlem kuralları aşağıdaki gibidir.
\( R \subseteq S \) ise \( R^{-1} \subseteq S^{-1} \)
\( (A \times B)^{-1} = B \times A \)
Bağıntıların Bileşkesi
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine bir \( R \) bağıntısı, \( B \) kümesinden \( C \) kümesine bir \( S \) bağıntısı tanımlayalım.
\( S \circ R \) bileşke bağıntısı \( R \) bağıntısının her elemanının birinci bileşenini, elemanın \( R \) bağıntısına göre görüntüsünün \( S \) bağıntısına göre görüntüsü ile eşler.
İki bağıntının bileşkesi
\( S \circ R = \{(x, z) \in A \times C \mid \exists y \in B, (x, y) \in R \land (y, z) \in S\} \)
ÖRNEK:
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2, 3\} \)
\( C = \{x, y, z\} \)
\( R = \{(a, 1), (a, 2), (b, 3)\} \)
\( S = \{(1, x), (1, z), (2, y), (3, x)\} \)
\( S \circ R = \{(a, x), (a, y), (a, z), (b, x)\} \)
Bileşke İşlem Kuralları
İki bağıntının bileşkesinin tersi, bağıntıların terslerinin ters sırada bileşkesine eşittir.
