Bir Örnekle Bağıntı
Bağıntı kavramını bir örnekle pekiştirmeye çalışalım.
Bir okulun mezuniyet balosuna katılan 3'ü erkek 2'si kız 5 arkadaşı erkekler ve kızlar olmak üzere iki küme olarak tanımlayalım.
\( E = \{ \text{Ali}, \text{Can}, \text{Cem} \} \)
\( K = \{ \text{Ada}, \text{Ece} \} \)
Baloda erkeklerle kızların kaç farklı şekilde dans edebileceğini bulmak için bu iki kümenin kartezyen çarpımını almamız gerekir. Buna göre, erkek ve kız arkadaşlar aralarında 6 farklı şekilde dans edebilirler.
\( s(E) = 3, \quad s(K) = 2 \)
\( s(E \times K) = s(E) \cdot s(K) = 6 \)
\( E \times K = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
Tüm balo boyunca erkek ve kız arkadaşların aralarında kaç farklı şekilde dans edebileceğini bulmak için ise \( E \) ve \( K \) kümeleri arasında tanımlanabilecek bağıntı sayısını bulmamız gerekir.
Örneğin, aşağıdaki bağıntıların her biri balo boyunca farklı bir dans durumunu temsil etmektedir.
Tek bir dans olur.
\( R_1 = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}) \} \)
Toplam üç dans olur.
\( R_2 = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
Kimse dans etmez.
\( R_3 = \emptyset \)
Herkes birbiriyle dans eder.
\( R_4 = E \times K \)
\( E \) ve \( K \) kümeleri arasında tanımlanabilecek farklı bağıntı sayısını bulalım.
\( E \to K \) bağıntı sayısı \( = E \times K \) alt küme sayısı
\( = 2^{s(E \times K)} = 2^6 = 64 \)
Şimdi bu 64 bağıntıyı listeleyelim.
Kimse Dans Etmez
6 elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 0) = \dfrac{6!}{0!(6 - 0)!} = 1 \) bağıntı
\( R_1 = \emptyset \)
Tek Bir Dans
6 elemanlı bir kümenin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 1) = \dfrac{6!}{1!(6 - 1)!} = 6 \) bağıntı
\( R_2 = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}) \} \)
\( R_3 = \{ (\text{Ali}, \text{Ece}) \} \)
\( R_4 = \{ (\text{Can}, \text{Ada}) \} \)
\( R_5 = \{ (\text{Can}, \text{Ece}) \} \)
\( R_6 = \{ (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_7 = \{ (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
Toplamda İki Dans
6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 2) = \dfrac{6!}{2!(6 - 2)!} = 15 \) bağıntı
\( R_8 = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}) \} \)
\( R_9 = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{10} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}) \} \)
...
\( R_{22} = \{ (\text{Cem}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
Toplamda Üç Dans
6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 3) = \dfrac{6!}{3!(6 - 3)!} = 20 \) bağıntı
\( R_{23} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}) \} \)
...
\( R_{29} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ada}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{30} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ada}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
\( R_{31} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{32} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
\( R_{33} = \{ (\text{Ali}, \text{Ece}), (\text{Can}, \text{Ada}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{34} = \{ (\text{Ali}, \text{Ece}), (\text{Can}, \text{Ada}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
\( R_{35} = \{ (\text{Ali}, \text{Ece}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{36} = \{ (\text{Ali}, \text{Ece}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
...
\( R_{42} = \{ (\text{Can}, \text{Ece}), (\text{Cem}, \text{Ada}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
Fonksiyonlar bölümünde inceleyeceğimiz üzere; bu örnekte tanımladığımız 64 bağıntı içinde aynı zamanda birer fonksiyon olanlar, yukarıdaki tablodaki \( R_{29} - R_{36} \) arasındaki 8 bağıntıdır.
Toplamda Dört Dans
6 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 4) = \dfrac{6!}{4!(6 - 4)!} = 15 \) bağıntı
\( R_{43} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}) \} \)
\( R_{44} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{45} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
...
\( R_{57} = \{ (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
Toplamda Beş Dans
6 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 5) = \dfrac{6!}{5!(6 - 5)!} = 6 \) bağıntı
\( R_{58} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), (\text{Cem}, \text{Ada}) \} \)
\( R_{58} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
\( R_{58} = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
...
\( R_{63} = \{ (\text{Ali}, \text{Ece}), (\text{Can}, \text{Ada}), \) \( (\text{Can}, \text{Ece}), (\text{Cem}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
Toplamda Altı Dans
6 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.
\( C(6, 6) = \dfrac{6!}{6!(6 - 6)!} = 1 \) bağıntı
\( R_{64} = E \times K = \{ (\text{Ali}, \text{Ada}), (\text{Ali}, \text{Ece}), \) \( (\text{Can}, \text{Ada}), (\text{Can}, \text{Ece}), \) \( (\text{Cem}, \text{Ada}), (\text{Cem}, \text{Ece}) \} \)
3 elemanlı \( E \) kümesi ile 2 elemanlı \( K \) kümeleri arasında tanımlanabilecek \( 2^6 = 64 \) bağıntıyı bu şekilde listelemiş olduk.
Olmasını bekleyeceğimiz gibi, toplam bağıntı sayısının kartezyen çarpım kümesinin alt küme sayısına eşit olduğunu aşağıdaki şekilde kontrol edebiliriz.
\( C(6, 0) + C(6, 1) + C(6, 2) \) \( + C(6, 3) + C(6, 4) \) \( + C(6, 5) + C(6, 6) = 2^6 \)
\( 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 \)