Ek: Üslü İfadelerin Son Rakamı
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..0)^n = (....0) \)
\( (..1)^n = (....1) \)
\( (..5)^n = (....5) \)
\( (..6)^n = (....6) \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların ikiye bölündüğünde 1 kalanını veren pozitif tam sayı kuvvetlerinin (1, 3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( (..9)^{2n + 1} = (....9) \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların dörde bölündüğünde 1 kalanını veren pozitif tam sayı kuvvetlerinin (1, 5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (..2)^{4n + 1} = (....2) \)
\( (..3)^{4n + 1} = (....3) \)
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( (..8)^{4n + 1} = (....8) \)
\( a = 31^{13}, \quad b = 24^{14}, \quad c = 35^{19} \)
sayılarının birler basamaklarındaki rakamların çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBirler basamağı 1 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 1 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..1)^n = (....1) \)
\( 31^{13} = (....1) \)
Birler basamağı 4 olan sayıların pozitif çift sayı kuvvetlerinin birler basamağı 6, pozitif tek sayı kuvvetlerinin birler basamağı 4 olur.
\( (..4)^{2n} = (....6) \)
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( 24^{14} = (....6) \)
Birler basamağı 5 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 5 olur.
\( (..5)^n = (....5) \)
\( 35^{19} = (....5) \)
Sayıların birler basamaklardaki rakamların çarpımı \( 1 \cdot 6 \cdot 5 = 30 \) olur.
\( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam nedir?
Çözümü Göster3 sayısının birkaç tam sayı üssünü bulalım.
\( 3^1 = 3 \)
\( 3^2 = 9 \)
\( 3^3 = 27 \)
\( 3^4 = 81 \)
\( 3^5 = 243 \)
\( 3^6 = 729 \)
\( 3^7 = 2187 \)
3'ün kuvvetlerinin birler basamağındaki rakamların \( 3, 9, 7, 1 \) şeklinde periyodik şekilde ilerlediğini görüyoruz.
Bu örüntü 4 sayıda bir başa döndüğünden 135. kuvvetin hangi rakama karşılık geldiğini bulmak için 135'in 4'e bölümünden kalanı bulalım.
\( 135 = 4 \cdot 33 + 3 \)
Buna göre \( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam \( 3^3 \) sayısının birler basamağındaki rakamla aynıdır.
Bu durumda \( 3^{135} \)'in birler basamağındaki sayı 7'dir.