Üslü İfadelerde Sıralama

İfadelerin tümü 2'nin kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri 2 tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.

\( a = 4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22} \)

\( b = 8^7 = (2^3)^7 = 2^{21} \)

\( c = 16^{5} = (2^4)^{5} = 2^{20} \)

Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( c \lt b \lt a \)

İfadelerin tümü 3'ün kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri 3 tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.

Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.

\( x = (9^2)^5 = ((3^2)^2)^5 = 3^{20} \)

\( y = (81^2)^3 = ((3^4)^2)^3 = 3^{24} \)

\( z = 9^{3^2} = 9^{(3^2)} = 9^9 \)

\( = (3^2)^9 = 3^{18} \)

Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( z \lt x \lt y \)

1. yöntem:

İfadelerin tümü 3'ün kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri 3 tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.

\( a = 3^{-11} \)

\( b = \left( \dfrac{1}{9} \right)^{5} = \left( \dfrac{1}{3^2} \right)^{5} = (3^{-2})^5 = 3^{-10} \)

\( c = \dfrac{1}{81^3} = \dfrac{1}{(3^4)^3} = \dfrac{1}{3^{12}} = 3^{-12} \)

Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( c \lt a \lt b \)

2. yöntem:

Alternatif olarak, verilen sayıları \( \frac{1}{3} \) tabanında aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.

\( a = 3^{-11} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{11} \)

\( b = \left( \dfrac{1}{9} \right)^5 = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{10} \)

\( c = \dfrac{1}{81^3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{12} \)

Tabanları eşit ve \( (0, 1) \) aralığında olan üslü ifadelerden üssü daha küçük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( c \lt a \lt b \)

İfadelerin tümü \( \frac{1}{2} \)'nin kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri \( \frac{1}{2} \) tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.

\( a = \dfrac{2^2}{(2^5)^2} = \dfrac{2^2}{2^{10}} \)

\( = \dfrac{1}{2^8} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^8 \)

\( b = \dfrac{1}{16^3} = \dfrac{1}{(2^4)^3} \)

\( = \dfrac{1}{2^{12}} = \left (\dfrac{1}{2} \right)^{12} \)

\( c = \dfrac{1}{2^9} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^9 \)

Tabanları eşit ve (0, 1) aralığında olan üslü ifadelerden üssü daha küçük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( b \lt c \lt a \)

İfadelerin tümünün üsleri 16'nın birer katı olduğu için üsleri 16'ya eşitleyelim.

\( a = 2^{64} = 2^{4 \cdot 16} = (2^4)^{16} = 16^{16} \)

\( b = 3^{48} = 3^{3 \cdot 16} = (3^3)^{16} = 27^{16} \)

\( c = 5^{32} = 5^{2 \cdot 16} = (5^2)^{16} = 25^{16} \)

Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( a \lt c \lt b \)

İfadelerin tümünün üsleri 111'in birer katı olduğu için üsleri 111'e eşitleyelim.

\( a = 2^{555} = 2^{5 \cdot 111} = (2^5)^{111} = 32^{111} \)

\( b = 3^{444} = 3^{4 \cdot 111} = (3^4)^{111} = 81^{111} \)

\( c = 4^{333} = 4^{3 \cdot 111} = (4^3)^{111} = 64^{111} \)

\( d = 5^{222} = 5^{2 \cdot 111} = (5^2)^{111} = 25^{111} \)

Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( d \lt a \lt c \lt b \)

Üslerin EBOB'unu bulalım.

\( EBOB(105, 60, 45, 30) = 15 \)

İfadelerin tümünün üsleri 15'in birer katı olduğu için üsleri 15'e eşitleyelim.

\( x = 2^{7 \cdot 15} = (2^7)^{15} = 128^{15} \)

\( y = 3^{4 \cdot 15} = (3^4)^{15} = 81^{15} \)

\( z = 5^{3 \cdot 15} = (5^3)^{15} = 125^{15} \)

\( t = 7^{2 \cdot 15} = (7^2)^{15} = 49^{15} \)

Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( t \lt y \lt z \lt x \)

İfadelerin tümünün üsleri 7'nin birer katı olduğu için üsleri 7'ye eşitleyelim.

\( 3^{28} \lt x^{14} \lt 6^{21} \)

\( 3^{4 \cdot 7} \lt x^{2 \cdot 7} \lt 6^{3 \cdot 7} \)

\( (3^4)^7 \lt (x^2)^{7} \lt (6^3)^7 \)

\( 81^7 \lt (x^2)^{7} \lt 216^7 \)

\( 81 \lt x^2 \lt 216 \)

Bu eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar aşağıdaki gibidir.

\( x \in \{ 10, 11, 12, 13, 14 \} \)

Bu değerlerin toplamı 60 olarak bulunur.

3, 4 ve 5 sayılarının 10000'e kadarki tam sayı üslerini bulalım.

3'ün tam sayı üsleri:

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, ...

4'ün tam sayı üsleri:

4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384...

5'in tam sayı üsleri:

5, 25, 125, 625, 3125, 15625, ...

5'in 1000-10000 aralığında bulunan tek üssü \( 5^5 = 3125 \) olduğu için \( a = 5 \) olur.

\( 3125 \lt 4^b \lt 3^c \lt 10000 \)

4'ün 3125-10000 aralığında bulunan tek üssü \( 4^6 = 4096 \) olduğu için \( b = 6 \) olur.

\( 4096 \lt 3^c \lt 10000 \)

3'ün 4096-10000 aralığında bulunan tek üssü \( 3^8 = 6561 \) olduğu için \( c = 8 \) olur.

\( a + b + c = 5 + 6 + 8 = 19 \) bulunur.

Her üslü ifadenin değerinin, o ifadenin tabanında hangi tam sayı üslerin aralığında olduğunu bulmaya çalışalım.

\( 3^a = 90 \) ifadesi için:

\( 81 \lt 90 \lt 243 \)

\( 3^4 \lt 3^a \lt 3^5 \)

\( 4 \lt a \lt 5 \)

\( 5^b = 130 \) ifadesi için:

\( 125 \lt 130 \lt 625 \)

\( 5^3 \lt 5^b \lt 5^4 \)

\( 3 \lt b \lt 4 \)

\( 7^c = 180 \) ifadesi için:

\( 49 \lt 180 \lt 343 \)

\( 7^2 \lt 7^c \lt 7^3 \)

\( 2 \lt c \lt 3 \)

Her bilinmeyen için bulduğumuz tam sayı aralıklarına göre sıralama aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt b \lt a \)

Her üslü ifadenin değerinin, o ifadenin tabanında hangi tam sayı üslerin aralığında olduğunu bulmaya çalışalım.

\( 7^a = 1,4 \) ifadesi için:

\( 1 \lt 1,4 \lt 7 \)

\( 7^0 \lt 7^a \lt 7^1 \)

\( 0 \lt a \lt 1 \)

\( 3^b = 0,05 \) ifadesi için:

\( \dfrac{1}{27} \lt 0,05 \lt \dfrac{1}{9} \)

\( 3^{-3} \lt 3^b \lt 3^{-2} \)

\( -3 \lt b \lt -2 \)

\( 5^c = 0,3 \) ifadesi için:

\( \dfrac{1}{5} \lt 0,3 \lt 1 \)

\( 5^{-1} \lt 5^c \lt 5^0 \)

\( -1 \lt c \lt 0 \)

Her bilinmeyen için bulduğumuz tam sayı aralıklarına göre sıralama aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt c \lt a \)

Tüm ifadeleri üsleri 9 olacak şekilde yazalım.

\( (2^3)^9 \lt (a^2)^9 \lt (b^3)^9 \lt (3^4)^9 \)

\( 8^9 \lt (a^2)^9 \lt (b^3)^9 \lt 81^9 \)

Buna göre \( a^2 \) ve \( b^3 \) sayıları 8 ve 81 aralığında değer alabilir.

\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği değerler:

\( a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)

\( b \)'nin bu aralıkta alabileceği değerler:

\( b \in \{3, 4\} \)

\( a = 8 \) olduğu durumda \( b \)'nin alabileceği bir değer bulunmadığı için \( a = 8 \) olamaz.

\( 8^2 \gt 4^3 \)

Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer \( 7 + 4 = 11 \) olur.

\( 7^2 \lt 4^3 \)

Verilen ifadelerin tabanlarını ya da üslerini eşitleyerek tek adımda bir karşılaştırma yapmak mümkün olmadığı için ifadeleri ikişerli olarak karşılaştıralım.

Önce \( a \) ve \( b \) sayılarını karşılaştıralım.

\( a = 2^{80} = (2^5)^{16} = 32^{16} \)

\( b = 5^{32} = (5^2)^{16} = 25^{16} \)

Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.

\( b \lt a \)

Şimdi \( a \) ve \( c \) sayılarını karşılaştıralım.

\( a = 2^{80} = (2^4)^{20} = 16^{20} \)

\( c = 17^{20} \)

\( a \lt c \)

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( b \lt a \lt c \)

İfadelerin üslerini eşitleyip tabanlarını karşılaştıralım.

Üslerin paydalarının EKOK'unu bulalım.

\( EKOK(2, 3, 6, 9, 18) = 18 \)

İfadelerin üslerini paydaları 18 olacak şekilde genişletelim.

\( 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}} = (2^{9})^\frac{1}{18} = 512^\frac{1}{18} \)

\( 3^{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6}} = (3^{6})^\frac{1}{18} = 729^\frac{1}{18} \)

\( 6^{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{3}} = (6^3)^\frac{1}{18} = 216^\frac{1}{18} \)

\( 9^{\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2}} = (9^2)^\frac{1}{18} = 81^\frac{1}{18} \)

\( 18^{\frac{1}{18}} \)

Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.

Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.

\( 18^{\frac{1}{18}} \lt 81^\frac{1}{18} \lt 216^\frac{1}{18} \lt 512^\frac{1}{18} \lt 729^\frac{1}{18} \)

\( 18^\frac{1}{18} \lt 9^\frac{1}{9} \lt 6^\frac{1}{6} \lt 2^\frac{1}{2} \lt 3^\frac{1}{3} \)