Üslü İfadelerde Sıralama
Üslü ifadeleri büyüklüklerine göre sıralarken öncelikle ifadelerin tabanlarının ya da üslerinin eşit olup olmadığına, değilse eşitlenebilir olup olmadığına bakılır.
Aynı sayının tam sayı üssü olarak yazılabilen sayıların tabanları eşitlenebilir. Eşitlenebilir olmayan tabanların sadece aralarında asal sayılardan oluşmadığına dikkat edilmelidir.
Eşitlenebilir tabanlar:
\( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \)
\( (\frac{1}{27}) = 3^{-3} \) ve \( 81 = 3^4 \)
Eşitlenebilir olmayan tabanlar:
\( 3 \) ve \( 5 \)
\( 4 = 2^2 \) ve \( 6 = 2 \cdot 3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \) ve \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
Tabanları Eşit İfadeler
Üslü ifadelerin tabanları eşit ise ya da eşitlenebiliyorsa sıralama tabanın 1'den büyük ya da \( (0, 1) \) aralığında olmasına göre iki farklı şekilde olabilir.
Taban 1'den Büyük
Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerde üssü daha büyük olan daha büyüktür.
\( 0 \lt 2^{-2} \lt 2^{-1} \lt 2^0 \lt \) \( 2^1 \lt \) \( 2^2 \lt 2^3 \)
Taban (0, 1) Aralığında
Tabanları eşit ve \( (0, 1) \) aralığında olan üslü ifadelerde üssü daha küçük olan daha büyüktür.
\( 0 \lt (\frac{1}{2})^2 \lt (\frac{1}{2})^1 \lt (\frac{1}{2})^0 \lt \) \( (\frac{1}{2})^{-1} \lt \) \( (\frac{1}{2})^{-2} \)
Üsleri Eşit İfadeler
Üslü ifadelerin üsleri eşit ise ya da eşitlenebiliyorsa tabanı daha büyük olan daha büyüktür.
\( 0 \lt (\frac{1}{3})^2 \lt (\frac{1}{2})^2 \lt 1^2 \lt 2^2 \lt 3^2 \)
Yukarıdaki durumlara ek olarak, üslü ifadeler tam değerlerine göre değil, bulundukları değer aralıklarına göre de sıralanabilir.
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( a = 4^{11} \)
\( b = 8^7 \)
\( c = 16^4 \)
İfadelerin tümü 2'nin kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri 2 tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.
\( a = 4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22} \)
\( b = 8^7 = (2^3)^7 = 2^{21} \)
\( c = 16^{5} = (2^4)^{5} = 2^{20} \)
Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( c \lt b \lt a \)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( x = (9^2)^5 \)
\( y = (81^2)^3 \)
\( z = 9^{3^2} \)
İfadelerin tümü 3'ün kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri 3 tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.
\( x = (9^2)^5 = ((3^2)^2)^5 = 3^{20} \)
\( y = (81^2)^3 = ((3^4)^2)^3 = 3^{24} \)
\( z = 9^{3^2} = 9^{(3^2)} = 9^9 \)
\( = (3^2)^9 = 3^{18} \)
Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( z \lt x \lt y \)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( a = 3^{-11} \)
\( b = (\frac{1}{9})^5 \)
\( c = \frac{1}{81^3} \)
İfadelerin tümü 3'ün kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri 3 tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.
\( a = 3^{-11} \)
\( b = (\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3^2})^{5} = (3^{-2})^5 = 3^{-10} \)
\( c = \frac{1}{81^3} = \frac{1}{(3^4)^3} = \frac{1}{3^{12}} = 3^{-12} \)
Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( c \lt a \lt b \)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( a = 2^{64} \)
\( b = 3^{48} \)
\( c = 5^{32} \)
İfadelerin tümünün üsleri 16'nın birer katı olduğu için üsleri 16'ya eşitleyelim.
\( a = 2^{64} = 2^{4 \cdot 16} = (2^4)^{16} = 16^{16} \)
\( b = 3^{48} = 3^{3 \cdot 16} = (3^3)^{16} = 27^{16} \)
\( c = 5^{32} = 5^{2 \cdot 16} = (5^2)^{16} = 25^{16} \)
Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( a \lt c \lt b \)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( a = 2^{555} \)
\( b = 3^{444} \)
\( c = 4^{333} \)
\( d = 5^{222} \)
İfadelerin tümünün üsleri 111'in birer katı olduğu için üsleri 111'e eşitleyelim.
\( a = 2^{555} = 2^{5 \cdot 111} = (2^5)^{111} = 32^{111} \)
\( b = 3^{444} = 3^{4 \cdot 111} = (3^4)^{111} = 81^{111} \)
\( c = 4^{333} = 4^{3 \cdot 111} = (4^3)^{111} = 64^{111} \)
\( d = 5^{222} = 5^{2 \cdot 111} = (5^2)^{111} = 25^{111} \)
Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( d \lt a \lt c \lt b \)
Aşağıda verilen ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( a = \dfrac{4}{(32)^2} \)
\( b = \dfrac{1}{16^3} \)
\( c = 2^{-9} \)
İfadelerin tümü \( \frac{1}{2} \)'nin kuvveti şeklinde yazılabileceği için ifadeleri \( \frac{1}{2} \) tabanına çevirerek üsleri karşılaştıralım.
\( a = \dfrac{2^2}{(2^5)^2} = \dfrac{2^2}{2^{10}} \)
\( = \dfrac{1}{2^8} = (\dfrac{1}{2})^8 \)
\( b = \dfrac{1}{16^3} = \dfrac{1}{(2^4)^3} \)
\( = \dfrac{1}{2^{12}} = (\dfrac{1}{2})^{12} \)
\( c = \dfrac{1}{2^9} = (\dfrac{1}{2})^9 \)
Tabanları eşit ve (0, 1) aralığında olan üslü ifadelerden üssü daha küçük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( b \lt c \lt a \)
\( x \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 3^{28} \lt x^{14} \lt 5^{21} \) olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
İfadelerin tümünün üsleri 7'nin birer katı olduğu için üsleri 7'ye eşitleyelim.
\( 3^{28} \lt x^{14} \lt 5^{21} \)
\( 3^{4 \cdot 7} \lt x^{2 \cdot 7} \lt 5^{3 \cdot 7} \)
\( (3^4)^7 \lt (x^2)^{7} \lt (5^3)^7 \)
\( 81^7 \lt (x^2)^{7} \lt 125^7 \)
\( 81 \lt x^2 \lt 125 \)
Bu eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı \( x \) değerleri 10 ve 11'dir.
Bu değerlerin toplamı \( 10 + 11 = 21 \) olur.
Aşağıda verilen ifadelere göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( 3^a = 90 \)
\( 5^b = 130 \)
\( 7^c = 180 \)
Her ifadedeki bilinmeyenin değerinin hangi tam sayı aralığında olduğunu bulmaya çalışalım.
\( 3^a = 90 \) ifadesi için:
\( 81 \lt 90 \lt 243 \)
\( 3^4 \lt 3^a \lt 3^5 \)
\( 4 \lt a \lt 5 \)
\( 5^b = 130 \) ifadesi için:
\( 125 \lt 130 \lt 625 \)
\( 5^3 \lt 5^b \lt 5^4 \)
\( 3 \lt b \lt 4 \)
\( 7^c = 180 \) ifadesi için:
\( 49 \lt 180 \lt 343 \)
\( 7^2 \lt 7^c \lt 7^3 \)
\( 2 \lt c \lt 3 \)
Her bilinmeyen için bulduğumuz tam sayı aralıklarına göre sıralama aşağıdaki gibi olur.
\( c \lt b \lt a \)
Aşağıda verilen ifadelere göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( 7^a = 1,4 \)
\( 3^b = 0,05 \)
\( 5^c = 0,3 \)
Her ifadedeki bilinmeyenin değerinin hangi tam sayı aralığında olduğunu bulmaya çalışalım.
\( 7^a = 1,4 \) ifadesi için:
\( 1 \lt 1,4 \lt 7 \)
\( 7^0 \lt 7^a \lt 7^1 \)
\( 0 \lt a \lt 1 \)
\( 3^b = 0,05 \) ifadesi için:
\( \dfrac{1}{27} \lt 0,05 \lt \dfrac{1}{9} \)
\( 3^{-3} \lt 3^b \lt 3^{-2} \)
\( -3 \lt b \lt -2 \)
\( 5^c = 0,3 \) ifadesi için:
\( \dfrac{1}{5} \lt 0,3 \lt 1 \)
\( 5^{-1} \lt 5^c \lt 5^0 \)
\( -1 \lt c \lt 0 \)
Her bilinmeyen için bulduğumuz tam sayı aralıklarına göre sıralama aşağıdaki gibi olur.
\( b \lt c \lt a \)
Aşağıda verilen ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( x = 2^{105} \)
\( y = 3^{60} \)
\( z = 5^{45} \)
\( t = 7^{30} \)
Üslerin EBOB'unu bulalım.
\( EBOB(105, 60, 45, 30) = 15 \)
İfadelerin tümünün üsleri 15'in birer katı olduğu için üsleri 15'e eşitleyelim.
\( x = 2^{7 \cdot 15} = (2^7)^{15} = 128^{15} \)
\( y = 3^{4 \cdot 15} = (3^4)^{15} = 81^{15} \)
\( z = 5^{3 \cdot 15} = (5^3)^{15} = 125^{15} \)
\( t = 7^{2 \cdot 15} = (7^2)^{15} = 49^{15} \)
Pozitif tabanlı ve üslü ifadelerin üsleri eşit ise sıralamada tabanı daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( t \lt y \lt z \lt x \)
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 1000 \lt 5^a \lt 4^b \lt 3^c \lt 10000 \)
olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
3, 4 ve 5 sayılarının 10000'e kadarki tam sayı üslerini bulalım.
3'ün tam sayı üsleri:
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, ...
4'ün tam sayı üsleri:
4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384...
5'in tam sayı üsleri:
5, 25, 125, 625, 3125, 15625, ...
5'in 1000-10000 aralığında bulunan tek üssü \( 5^5 = 3125 \) olduğu için \( a = 5 \) olur.
\( 3125 \lt 4^b \lt 3^c \lt 10000 \)
4'ün 3125-10000 aralığında bulunan tek üssü \( 4^6 = 4096 \) olduğu için \( b = 6 \) olur.
\( 4096 \lt 3^c \lt 10000 \)
3'ün 4096-10000 aralığında bulunan tek üssü \( 3^8 = 6561 \) olduğu için \( c = 8 \) olur.
\( a + b + c = 5 + 6 + 8 = 19 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 2^{27} \lt a^{18} \lt b^{27} \lt 3^{36} \) eşitsizliği veriliyor.
Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Tüm ifadeleri üsleri 9 olacak şekilde yazalım.
\( (2^3)^9 \lt (a^2)^9 \lt (b^3)^9 \lt (3^4)^9 \)
\( 8^9 \lt (a^2)^9 \lt (b^3)^9 \lt 81^9 \)
Buna göre \( a^2 \) ve \( b^3 \) sayıları 8 ve 81 aralığında değer alabilir.
\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği değerler:
\( a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
\( b \)'nin bu aralıkta alabileceği değerler:
\( b \in \{3, 4\} \)
\( a = 8 \) olduğu durumda \( b \)'nin alabileceği bir değer bulunmadığı için \( a = 8 \) olamaz.
Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer \( 7 + 4 = 11 \) olur.
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( a = 2^{80} \)
\( b = 5^{32} \)
\( c = 17^{20} \)
Verilen ifadelerin tabanlarını ya da üslerini eşitleyerek tek adımda bir karşılaştırma yapmak mümkün olmadığı için ifadeleri ikişerli olarak karşılaştıralım.
Önce \( a \) ve \( b \) sayılarını karşılaştıralım.
\( a = 2^{80} = (2^5)^{16} = 32^{16} \)
\( b = 5^{32} = (5^2)^{16} = 25^{16} \)
Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama \( b \lt a \) şeklinde olur.
Şimdi \( a \) ve \( c \) sayılarını karşılaştıralım.
\( a = 2^{80} = (2^4)^{20} = 16^{20} \)
\( c = 17^{20} \)
Sıralama \( a \lt c \) şeklinde olur.
Buna göre üç sayı arasındaki sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( b \lt a \lt c \)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
\( 2^\frac{1}{2}, 3^\frac{1}{3}, 6^\frac{1}{6}, 9^\frac{1}{9}, 18^\frac{1}{18} \)
İfadelerin üslerini eşitleyip tabanlarını karşılaştıralım.
Üslerin paydalarının EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(2, 3, 6, 9, 18) = 18 \)
İfadelerin üslerini \( \frac{1}{18} \)'e eşitleyelim.
\( 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}} = (2^{9})^\frac{1}{18} = 512^\frac{1}{18} \)
\( 3^{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6}} = (3^{6})^\frac{1}{18} = 729^\frac{1}{18} \)
\( 6^{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{3}} = (6^3)^\frac{1}{18} = 216^\frac{1}{18} \)
\( 9^{\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2}} = (9^2)^\frac{1}{18} = 81^\frac{1}{18} \)
\( 18^{\frac{1}{18}} \)
Üsleri eşit üslü ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\( 18^{\frac{1}{18}} \lt 81^\frac{1}{18} \lt 216^\frac{1}{18} \lt 512^\frac{1}{18} \lt 729^\frac{1}{18} \)
\( 18^\frac{1}{18} \lt 9^\frac{1}{9} \lt 6^\frac{1}{6} \lt 2^\frac{1}{2} \lt 3^\frac{1}{3} \)