Üslü İfadelerde Sıralama

Üslü ifadelerin sıralamasında farklı yöntemler kullanabiliriz.

Tabanları Eşitleyerek Sıralama

Sıralamak istediğimiz ifadeleri ortak bir tabanda buluşturabiliyorsak, tabanları eşitleyip üsleri karşılaştırabiliriz.

Taban Birden Büyük İse

Tabanları eşit ve 1'den büyük olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür. Bunun sebebi, üs değeri arttıkça birden büyük bir sayıyı kendisiyle daha çok kez çarpıyor olmamızdır.

1'den büyük tabanlarda sıralama
1'den büyük tabanlarda sıralama

Bu şekildeki ifadeleri \( a \gt 1 \) için \( f(x) = a^x \) üstel fonksiyonunun grafiği üzerindeki farklı noktalar olarak da düşünebiliriz. Tabanı birden büyük olan bir üstel fonksiyonun grafiği tüm tanım aralığında artandır, dolayısıyla üs değeri arttıkça fonksiyonun değeri de artmaktadır.Üstel Fonksiyon Grafikleri sayfasında bu konuda daha detaylı bilgi bulabilirsiniz.

SORU:

Aşağıda verilen ifadeleri küçükten büyüğe sıralayalım.

\( x = (2^3)^4 \)

\( y = (8^2)^3 \)

\( z = 4^{3^2} \)

Çözümü Göster


SORU:

Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe sıralayalım.

\( a = 4^{12} \)

\( b = 2^{20} \)

\( c = 16^4 \)

Çözümü Göster

Taban (0, 1) Aralığında İse

Tabanları eşit ve \( (0, 1) \) açık aralığında olan üslü ifadelerden üssü daha büyük olan daha küçüktür. Bunun sebebi, üs değeri arttıkça birden küçük bir sayıyı kendisiyle daha çok kez çarpıyor olmamızdır.

(0, 1) arası tabanlarda sıralama
(0, 1) arası tabanlarda sıralama

Bu şekildeki ifadeleri \( 0 \lt a \lt 1 \) için bir \( f(x) = a^x \) üstel fonksiyonunun grafiği üzerindeki farklı noktalar olarak da düşünebiliriz. Tabanı \( (0, 1) \) açık aralığında olan bir üstel fonksiyonun grafiği tüm tanım aralığında azalandır, dolayısıyla üs değeri arttıkça ifadenin değeri azalmaktadır.

SORU:

Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe sıralayalım.

\( a = 3^{-11} \)

\( b = {\left( \dfrac{1}{9} \right)}^5 \)

\( c = \dfrac{1}{81^3} \)

Çözümü Göster

Taban Negatif Birden Küçük İse

Tabanları eşit ve -1'den küçük olan üslü ifadelerde sıralama üssün tek ya da çift sayı olmasına göre değişir. Tek sayı üslerde ifadenin sonucu negatiftir ve üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür (mutlak değerce daha büyüktür). Çift sayı üslerde ifadenin sonucu pozitiftir ve üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.

-1'den küçük tabanlarda sıralama
-1'den küçük tabanlarda sıralama

Rasyonel üslü ifadeler köklü ifadelere karşılık gelebildiği ve negatif sayıların çift dereceli kökleri reel sonuç vermediği için, negatif tabanlı ifadelerde genel kural açısından üslerin birer tam sayı olduğunu varsaymak durumundayız.

Taban (-1, 0) Aralığında İse

Tabanları eşit ve \( (-1, 0) \) açık aralığında olan üslü ifadelerde sıralama üssün tek ya da çift sayı olmasına göre değişir. Tek sayı üslerde ifadenin sonucu negatiftir ve üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür (mutlak değerce daha küçüktür). Çift sayı üslerde ifadenin sonucu pozitiftir ve üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür.

(-1, 0) arası tabanlarda sıralama
(-1, 0) arası tabanlarda sıralama

Rasyonel üslü ifadeler köklü ifadelere karşılık gelebildiği ve negatif sayıların çift dereceli kökleri reel sonuç vermediği için, negatif tabanlı ifadelerde genel kural açısından üslerin birer tam sayı olduğunu varsaymak durumundayız.

Üsleri Eşitleyerek Sıralama

Sıralamak istediğimiz ifadeleri ortak bir tabanda buluşturamıyorsak, üsleri eşitleyerek tabanları karşılaştırmayı deneyebiliriz.

Üs Bir Pozitif Tek Sayı İse

Üsleri pozitif tek sayı olan ifadelerden tabanı daha büyük olan daha büyüktür.

Bu tip ifadelerin farklı tabanlardaki değerlerinden oluşan grafik aşağıdaki \( f(x) = x^3 \) grafiğine benzer olacaktır. Bu grafikten çıkarabileceğimiz sonuç, grafiğin farklı taban değerleri için artan bir grafik olduğudur. Buna göre, tabanı daha büyük olan ifadelerin sonucu da daha büyüktür.

Tek sayı kuvveti olan üslü ifadeler
Tek sayı kuvveti olan üslü ifadeler

Üs Bir Pozitif Çift Sayı İse

Üsleri pozitif çift sayı olan ifadelerde sıralama tabanın pozitif ya da negatif olmasına göre değişir.

Bu tip ifadelerin farklı tabanlardaki değerlerinden oluşan grafik aşağıdaki \( f(x) = x^2 \) grafiğine benzer olacaktır. Bu grafikten çıkarabileceğimiz sonuç, grafiğin negatif taban değerleri için pozitif ve azalan, pozitif taban değerleri için de pozitif ve artan olduğudur. Buna göre, tabanı negatif olan ifadelerde tabanı daha büyük olan ifadelerin sonucu daha küçüktür. Tabanı pozitif olan ifadelerde tabanı daha büyük olan ifadelerin sonucu daha büyüktür.

Çift sayı kuvveti olan üslü ifadeler
Çift sayı kuvveti olan üslü ifadeler
SORU:

Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe sıralayalım.

\( a = 2^{64} \)

\( b = 3^{48} \)

\( c = 5^{32} \)

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) bir tam sayı olmak üzere,

\( 2^{21} \lt x^7 \lt 5^{14} \) olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değer aralığını bulalım.

Çözümü Göster

Üs Bir Negatif Tek Sayı İse

Belirli bir tabanın negatif sayı üssü aynı tabanın çarpmaya göre tersinin pozitif sayı üssüne eşit olduğu için, üssün negatif tek sayı olması durumunda yukarıdaki "Üs Bir Pozitif Tek Sayı İse" başlığı altında verilen sıralamanın tersi sıralama geçerli olur.

Üs Bir Negatif Çift Sayı İse

Belirli bir tabanın negatif sayı üssü aynı tabanın çarpmaya göre tersinin pozitif sayı üssüne eşit olduğu için, üssün negatif çift sayı olması durumunda yukarıdaki "Üs Bir Pozitif Çift Sayı İse" başlığı altında verilen sıralamanın tersi sıralama geçerli olur.

Üs Değerine Göre Sıralama

Bazı durumlarda üslü ifadelerin tabanları ve sonuçları verilip, üs değerlerini sıralamamız istenebilir. Bu tip sorularda her üs değerinin bulunduğu tam sayı aralıklarını bularak sayıları bu aralıklara göre sıralayabiliriz.

SORU:

Aşağıda verilen ifadelere göre \( a \), \( b \) ve \( c \)'yi küçükten büyüğe sıralayalım.

\( 3^a = 90 \)

\( 5^b = 130 \)

\( 7^c = 180 \)

Çözümü Göster


SORU:

Aşağıda verilen ifadelere göre \( a \), \( b \) ve \( c \)'yi küçükten büyüğe sıralayalım.

\( 7^a = 1,4 \)

\( 3^b = 0,05 \)

\( 5^c = 0,3 \)

Çözümü Göster


« Önceki
Üslü İfade İşlem Kuralları
Sonraki »
Üslü İfadeli Denklemler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır