Üslü İfade Tanımı
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpımını ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına işlemin tabanı, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \)
Çarpma işleminin tekrarlı toplama işlemi olmasına benzer şekilde, üs işlemi de tekrarlı çarpma işlemi olarak düşünülebilir.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 5^2 \): 5'in karesi, 5'in 2. kuvveti ya da 5 üssü 2
\( 5^3 \): 5'in küpü, 5'in 3. kuvveti ya da 5 üssü 3
\( 5^n \): 5'in \( n \). kuvveti ya da 5 üssü \( n \)
Üs işleminin önceliği diğer işlemlerden ve negatif işaretinden yüksektir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanır.
\( -2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4 \)
Negatif bir sayının üssünü almak için, üs işlemi negatif işareti parantezin içinde kalacak şekilde tüm paranteze uygulanmalıdır.
\( (-2)^2 = +4 \)
\( -2^4 + (-5^2) - 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
İşlemlerin doğru sırasını göstermek için ilgili yerlere parantez koyalım.
\( -(2^4) + (-(5^2)) - (3^2) \)
\( = -16 + (-25) - 9 \)
\( = -16 - 25 - 9 \)
\( = -50 \) bulunur.
0 ve 1'le Üslü İşlemler
Sayıların 0. Kuvveti
0 hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
\( 3^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (\frac{2}{3})^0 = 1 \)
\( \pi^0 = 1 \)
\( 1 = \dfrac{x^n}{x^n} = x^n \cdot x^{-n} = x^{n - n} = x^0 \)
Sayıların 1. Kuvveti
Tüm reel sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \)
\( 0^1 = 0 \)
\( \pi^1 = \pi \)
0'ın Kuvvetleri
0 sayısının pozitif reel sayı kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 0^n = 0 \)
\( 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)
\( 0^{\frac{3}{4}} = 0 \)
\( 0^{\pi} = 0 \)
0 sayısının negatif reel sayı kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
\( 0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} \Longrightarrow \) Tanımsız
0 sayısının 0. kuvveti için kesin kabul görmüş bir değer yoktur ve matematiğin farklı dallarında farklı sebeplerle tanımsız ya da 1 olarak kabul edilir.
1'in Kuvvetleri
1'in tüm reel sayı kuvvetleri 1'dir.
\( n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 1^n = 1 \)
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1^{-5} = 1 \)
\( 1^{\frac{2}{3}} = 1 \)
\( 1^{\pi} = 1 \)
Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Pozitif/negatif sayıların pozitif tek/çift sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( (+)^\text{Çift} = (+) \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( (+)^\text{Tek} = (+) \) | \( 3^3 = 27 \) |
| \( (-)^\text{Çift} = (+) \) | \( (-3)^2 = 9 \) |
| \( (-)^\text{Tek} = (-) \) | \( (-3)^3 = -27 \) |
Bu tabloya göre; üs çift sayı ise sonucun işareti her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayılar arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
| \( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \) işleminin sonucu kaçtır?
Yukarıda paylaştığımız kuralları verilen ifadedeki terimlere uygulayalım.
\( 0^3 = 0 \)
\( 4^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (-1)^4 = 1 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \)
\( = 0 - 1 + 1 - 1 + (-2) = -3 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^b = 256 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Verilen eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( 2^8 = 256 \Longrightarrow a = 2 \)
\( 4^4 = 256 \Longrightarrow a = 4 \)
\( 16^2 = 256 \Longrightarrow a = 16 \)
\( 256^1 = 256 \Longrightarrow a = 256 \)
Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 2 + 4 + 16 + 256 = 278 \) olur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^b = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
\( a \)'nın pozitif olduğu durumda eşitliği sağlayan 4 \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( 2^6 = 64 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 8^2 = 64 \)
\( 64^1 = 64 \)
Bu çözümlerden \( b \)'nin çift sayı olduğu durumlarda \( a \)'nın negatif değerleri de eşitliği sağlar.
\( (-2)^6 = 64 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Buna göre eşitliği sağlayan 6 \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a^b)^c = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır?
Önce \( c = 1 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^6)^1 = 64 \)
\( (4^3)^1 = 64 \)
\( (8^2)^1 = 64 \)
\( (64^1)^1 = 64 \)
\( c = 2 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^3)^2 = 64 \)
\( (8^1)^2 = 64 \)
\( c = 3 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^2)^3 = 64 \)
\( (4^1)^3 = 64 \)
\( c = 6 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^1)^6 = 64 \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 9 \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır.
Üslü İfade Değerleri
1-9 Arası Sayıların Üsleri
1-9 arası sayıların 1000'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu değerlerin ezbere bilinmesi ya da hızlıca hesaplanabilmesi sınavlarda kolaylık sağlayacaktır.
Tam Kare Üslü İfadeler
1-30 arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Üslü İfadelerin Son Rakamı
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..0)^n = (....0) \)
\( (..1)^n = (....1) \)
\( (..5)^n = (....5) \)
\( (..6)^n = (....6) \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların 1. ve sonraki ikişerli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( (..9)^{2n + 1} = (....9) \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..2)^{4n + 1} = (....2) \)
\( (..3)^{4n + 1} = (....3) \)
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( (..8)^{4n + 1} = (....8) \)
\( 31^{13} = a, \quad 24^{14} = b, \quad 37^{19} = c \)
sayılarının son basamaklarındaki rakamların çarpımı kaçtır?
Son basamağı 1 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamağı 1 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..1)^n = (....1) \)
\( 31^{13} = (....1) \)
Buna göre \( a \) sayısının son basamağındaki rakam 1 olur.
Son basamağı 4 olan sayıların pozitif çift sayı kuvvetlerinin son basamağı 6, pozitif tek sayı kuvvetlerinin son basamağı 4 olur.
\( (..4)^{2n} = (....6) \)
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( 24^{14} = (....6) \)
Buna göre \( b \) sayısının son basamağındaki rakam 6 olur.
Son basamağı 7 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamağı 7 olur.
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( 37^1 = 37^{17} = (....7) \)
\( 37^{18} = (....9) \)
\( 37^{19} = (....3) \)
Buna göre \( c \) sayısının son basamağındaki rakam 3 olur.
Sayıların son basamaklardaki rakamların çarpımı \( 1 \cdot 6 \cdot 3 = 18 \) olur.
\( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam nedir?
3'ün birkaç tam sayı üssünü bulalım.
\( 3^1 = 3 \)
\( 3^2 = 9 \)
\( 3^3 = 27 \)
\( 3^4 = 81 \)
\( 3^5 = 243 \)
\( 3^6 = 729 \)
\( 3^7 = 2187 \)
3'ün kuvvetlerinin birler basamağındaki rakamların \( 3, 9, 7, 1 \) şeklinde periyodik şekilde ilerlediğini görüyoruz.
Bu örüntü 4 sayıda bir başa döndüğünden 135. kuvvetin hangi rakama karşılık geldiğini bulmak için 135'in 4'e bölümünden kalanı bulalım.
\( 135 = 4 \cdot 33 + 3 \)
Buna göre \( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam \( 3^3 \) sayısının birler basamağındaki rakamla aynıdır.
Bu durumda \( 3^{135} \)'in birler basamağındaki sayı 7'dir.
\( 260 \) ile \( 260^2 \) arasında kaç tane tam kare sayı vardır?
\( 260 \) sayısının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu deneme yanılma yoluyla bulalım.
\( 16^2 = 256 \)
\( 17^2 = 289 \)
\( 16^2 \lt 260 \lt 17^2 \)
Buna göre \( 260 \)'tan büyük ilk tam kare sayı \( 17^2 \) olur.
Buna göre \( 260 \) ile \( 260^2 \) arasındaki tam kare sayılar aşağıdaki gibi olur.
\( 17^2, 18^2, 19^2 \ldots, 258^2, 259^2 \)
İki sayı arasında \( 259 - 17 + 1 = 243 \) tane tam kare sayı vardır.