Üslü İfade Tanımı
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpım işlemini ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına işlemin tabanı, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \)
Çarpma işlemini tekrarlı toplama olarak düşünebildiğimiz gibi üs işlemini de tekrarlı çarpma olarak düşünebiliriz.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 2^2 \): İkinin karesi (ikinci kuvveti)
\( 2^3 \): İkinin küpü (üçüncü kuvveti)
\( 2^n \): İkinin \( n \). kuvveti ya da 2 üssü \( n \)
0 ve 1'le Üslü İşlemler
Sayıların 0. Kuvveti
0 hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
\( 3^0 = 1 \)
\( (-2)^0 = 1 \)
Sayıların 1. Kuvveti
Tüm reel sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( 0^1 = 0 \)
0'ın Kuvvetleri
0 sayısının pozitif reel sayı kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 0^n = 0 \)
\( 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)
\( 0^{\pi} = 0 \)
0 sayısının negatif reel sayı kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
\( 0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} \Longrightarrow \) Tanımsız
0 sayısının 0. kuvveti için kesin kabul görmüş bir değer yoktur ve matematiğin farklı alt dallarında farklı gerekçelerle tanımsız ya da 1'e eşit olarak kabul edilir.
1'in Kuvvetleri
1'in tüm reel sayı kuvvetleri 1'dir.
\( n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 1^n = 1 \)
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1^{-\frac{2}{3}} = 1 \)
Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Pozitif/negatif tam sayıların tek/çift pozitif tam sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( (+)^\text{Çift} = (+) \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( (+)^\text{Tek} = (+) \) | \( 3^3 = 27 \) |
| \( (-)^\text{Çift} = (+) \) | \( (-3)^2 = 9 \) |
| \( (-)^\text{Tek} = (-) \) | \( (-3)^3 = -27 \) |
Bu tabloya göre, üs çift sayı ise sonuç tabanın işaretinden bağımsız her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayıların arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
| \( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre, sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
Üslü İfade Değerleri
1-9 Arası Sayıların Üsleri
1-9 arası sayıların 1000'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tam Kare Üslü İfadeler
1-30 arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Sınav performansı açısından öğrencilerin yukarıdaki iki tablodaki değerleri bilmesini ya da hızlıca hesaplayabilmesini öneririz.
Üslü İfadelerin Son Rakamı
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..0)^n = (....0) \)
\( (..1)^n = (....1) \)
\( (..5)^n = (....5) \)
\( (..6)^n = (....6) \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların 1. ve sonraki ikişerli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( (..9)^{2n + 1} = (....9) \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..2)^{4n + 1} = (....2) \)
\( (..3)^{4n + 1} = (....3) \)
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( (..8)^{4n + 1} = (....8) \)