Üslü İfade Tanımı
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpımını ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına işlemin tabanı, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \)
Çarpma işleminin tekrarlı toplama işlemi olmasına benzer şekilde, üs işlemi de tekrarlı çarpma işlemi olarak düşünülebilir.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 5^2 \): 5'in karesi, 5'in 2. kuvveti ya da 5 üssü 2
\( 5^3 \): 5'in küpü, 5'in 3. kuvveti ya da 5 üssü 3
\( 5^n \): 5'in \( n \). kuvveti ya da 5 üssü \( n \)
Üs işleminin önceliği diğer işlemlerden ve negatif işaretinden yüksektir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanır.
\( -2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4 \)
Negatif bir sayının üssünü almak için, üs işlemi negatif işareti parantezin içinde kalacak şekilde tüm paranteze uygulanmalıdır.
\( (-2)^2 = +4 \)
Aşağıdaki işlemlerin sonucu kaçtır?
(a) \( 4^3 + 3^4 - 5^3 \)
(b) \( -2^4 + (-5^2) - 3^3 \)
(c) \( (-3)^4 - (-7)^2 + (-2)^5 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 4^3 + 3^4 - 5^3 \)
Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)
\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = 64 + 81 - 125 = 20 \)
(b) seçeneği:
\( -2^4 + (-5^2) - 3^3 \)
Her bir üs işleminin tabanını vurgulamak için parantez kullanalım.
\( = -(2^4) + (-(5^2)) - (3^3) \)
Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
\( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = -16 + (-25) - 27 = -68 \)
(c) seçeneği:
\( (-3)^4 - (-7)^2 + (-2)^5 \)
Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( (-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81 \)
\( (-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49 \)
\( (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = 81 - 49 + (-32) = 0 \)
0 ve 1'le Üslü İşlemler
Sayıların 0. Kuvveti
0 hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
\( 3^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (\frac{2}{3})^0 = 1 \)
\( \pi^0 = 1 \)
İSPATI GÖSTER
\( 1 = \dfrac{x^n}{x^n} = x^n \cdot x^{-n} = x^{n - n} = x^0 \)
Sayıların 1. Kuvveti
Tüm reel sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \)
\( 0^1 = 0 \)
\( \pi^1 = \pi \)
0'ın Kuvvetleri
0 sayısının pozitif reel sayı kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 0^n = 0 \)
\( 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)
\( 0^{\frac{3}{4}} = 0 \)
\( 0^{\pi} = 0 \)
0 sayısının negatif reel sayı kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
\( 0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} \Longrightarrow \) Tanımsız
0 sayısının 0. kuvveti için kesin kabul görmüş bir değer yoktur ve matematiğin farklı dallarında farklı sebeplerle tanımsız ya da 1 olarak kabul edilir.
1'in Kuvvetleri
1'in tüm reel sayı kuvvetleri 1'dir.
\( n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 1^n = 1 \)
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1^{-5} = 1 \)
\( 1^{\frac{2}{3}} = 1 \)
\( 1^{\pi} = 1 \)
Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Pozitif/negatif sayıların pozitif tek/çift sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( (+)^\text{Çift} = (+) \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( (+)^\text{Tek} = (+) \) | \( 3^3 = 27 \) |
| \( (-)^\text{Çift} = (+) \) | \( (-3)^2 = 9 \) |
| \( (-)^\text{Tek} = (-) \) | \( (-3)^3 = -27 \) |
Bu tabloya göre; üs çift sayı ise sonucun işareti her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayılar arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
| \( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterHer bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( 0^3 = 0 \)
\( 4^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (-1)^4 = 1 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \)
\( = 0 - 1 + 1 - 1 + (-2) = -3 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^b = 256 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( 2^8 = 256 \Longrightarrow a = 2 \)
\( 4^4 = 256 \Longrightarrow a = 4 \)
\( 16^2 = 256 \Longrightarrow a = 16 \)
\( 256^1 = 256 \Longrightarrow a = 256 \)
Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 2 + 4 + 16 + 256 = 278 \) olur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^b = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( a \)'nın pozitif olduğu durumda eşitliği sağlayan dört \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( 2^6 = 64 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 8^2 = 64 \)
\( 64^1 = 64 \)
Bu çözümlerden \( b \)'nin çift sayı olduğu durumlarda \( a \)'nın negatif değerleri de eşitliği sağlar.
\( (-2)^6 = 64 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Buna göre eşitliği sağlayan altı \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a^b)^c = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır?
Çözümü Göster\( c \)'nin alabileceği dört farklı değer için oluşan durumları ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( c = 1 \)
\( 64 = 64^1 = (a^b)^1 \)
\( a^b = 64 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^6)^1 = 64 \)
\( (4^3)^1 = 64 \)
\( (8^2)^1 = 64 \)
\( (64^1)^1 = 64 \)
Durum 2: \( c = 2 \)
\( 64 = 8^2 = (a^b)^2 \)
\( a^b = 8 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^3)^2 = 64 \)
\( (8^1)^2 = 64 \)
Durum 3: \( c = 3 \)
\( 64 = 4^3 = (a^b)^3 \)
\( a^b = 4 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^2)^3 = 64 \)
\( (4^1)^3 = 64 \)
Durum 4: \( c = 6 \)
\( 64 = 2^6 = (a^b)^6 \)
\( a^b = 2 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^1)^6 = 64 \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan dokuz \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır.
Üslü İfade Değerleri
1-9 Arası Sayıların Üsleri
1-9 arası sayıların 1000'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu değerlerin ezbere bilinmesi ya da hızlıca hesaplanabilmesi sınavlarda kolaylık sağlayacaktır.
Tam Kare Üslü İfadeler
1-30 arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Üslü İfadelerin Son Rakamı
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..0)^n = (....0) \)
\( (..1)^n = (....1) \)
\( (..5)^n = (....5) \)
\( (..6)^n = (....6) \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların 1. ve sonraki ikişerli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( (..9)^{2n + 1} = (....9) \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..2)^{4n + 1} = (....2) \)
\( (..3)^{4n + 1} = (....3) \)
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( (..8)^{4n + 1} = (....8) \)
\( a = 31^{13}, \quad b = 24^{14}, \quad c = 35^{19} \)
sayılarının birler basamaklarındaki rakamların çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBirler basamağı 1 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 1 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..1)^n = (....1) \)
\( 31^{13} = (....1) \)
Birler basamağı 4 olan sayıların pozitif çift sayı kuvvetlerinin birler basamağı 6, pozitif tek sayı kuvvetlerinin birler basamağı 4 olur.
\( (..4)^{2n} = (....6) \)
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( 24^{14} = (....6) \)
Birler basamağı 5 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 5 olur.
\( (..5)^n = (....5) \)
\( 35^{19} = (....5) \)
Sayıların birler basamaklardaki rakamların çarpımı \( 1 \cdot 6 \cdot 5 = 30 \) olur.
\( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam nedir?
Çözümü Göster3 sayısının birkaç tam sayı üssünü bulalım.
\( 3^1 = 3 \)
\( 3^2 = 9 \)
\( 3^3 = 27 \)
\( 3^4 = 81 \)
\( 3^5 = 243 \)
\( 3^6 = 729 \)
\( 3^7 = 2187 \)
3'ün kuvvetlerinin birler basamağındaki rakamların \( 3, 9, 7, 1 \) şeklinde periyodik şekilde ilerlediğini görüyoruz.
Bu örüntü 4 sayıda bir başa döndüğünden 135. kuvvetin hangi rakama karşılık geldiğini bulmak için 135'in 4'e bölümünden kalanı bulalım.
\( 135 = 4 \cdot 33 + 3 \)
Buna göre \( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam \( 3^3 \) sayısının birler basamağındaki rakamla aynıdır.
Bu durumda \( 3^{135} \)'in birler basamağındaki sayı 7'dir.
\( A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3 \) eşitliğindeki üslü ifadelerin tabanı 1'er artırılırsa \( A \) değeri kaç artar?
Çözümü GösterEşitlikteki üslü ifadelerin tabanını 1'er artıralım.
\( (1 + 1)^3 + (2 + 1)^3 + (3 + 1)^3 + \ldots + (10 + 1)^3 \)
\( = 2^3 + 3^3 + 4^3 + \ldots + 11^3 \)
Bulduğumuz ifadeden \( A \) sayısını çıkardığımızda \( A \) değerinin kaç arttığını buluruz.
\( (2^3 + 3^3 + \ldots + 11^3) - (1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3) \)
İki terim dışında tüm terimler birbirini götürür.
\( = 11^3 - 1^3 \)
\( = 1331 - 1 = 1330 \) bulunur.
Aşağıdaki sayılardan hangisi bir tam kare sayıdır?
(a) \( 2! \cdot 25! \)
(b) \( 16! \cdot 17! \)
(c) \( 16! \cdot 25! \)
(d) \( 35! \cdot 36! \)
(e) \( 25! \cdot 75! \)
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışındaki tüm kuvvetler çift sayı olmalıdır.
(a) seçeneği:
\( 2! \cdot 25! \)
Örneğin 23 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için sayı tam kare değildir.
(b) seçeneği:
\( 16! \cdot 17! \)
17 sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için sayı tam kare değildir.
\( 16! \cdot 17! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \)
\( = (16!)^2 \cdot 17 \)
(c) seçeneği:
\( 16! \cdot 25! \)
Örneğin 17 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için sayı tam kare değildir.
\( 16! \cdot 25! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \cdot \ldots \cdot 25 \)
(d) seçeneği:
\( 35! \cdot 36! \)
Yukarıda verdiğimiz tanıma uygun şekilde yazılabildiği için sayı tam karedir.
\( 35! \cdot 36! = 35! \cdot 35! \cdot 36 \)
\( = (35!)^2 \cdot 6^2 \)
(e) seçeneği:
\( 25! \cdot 75! \)
Örneğin 73 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.
\( 25! \cdot 75! \)
\( a \) bir tam kare ve \( b \) bir tam küp sayı olduğuna göre, \( ab \) çarpımı için hangisi her zaman doğrudur?
(a) Hem tam kare hem de tam küptür.
(b) Ne tam kare ne de tam küptür.
(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir.
(d) Tam karedir, ama tam küp değildir.
(e) Tam karedir, tam küp olabilir ya da olmayabilir.
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı, bir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
Durum 1:
\( a = 4, \quad b = 8 \)
\( ab = 32 \)
Bu örnekte \( ab \) ne tam karedir ne de tam küptür.
Durum 2:
\( a = 4, \quad b = 64 \)
\( ab = 256 = 16^2 \)
Bu örnekte \( ab \) tam karedir, ama tam küp değildir.
Durum 3:
\( a = 64, \quad b = 8 \)
\( ab = 512 = 8^3 \)
Bu örnekte \( ab \) tam kare değildir, ama tam küptür.
Durum 4:
\( a = 64, \quad b = 64 \)
\( ab = 4096 = 64^2 = 16^3 \)
Bu örnekte \( ab \) hem tam karedir hem de tam küptür.
Buna göre doğru seçenek "(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir." olur.
\( 260 \) ile \( 260^2 \) arasında kaç tane tam kare sayı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
Önce verilen aralıktaki en küçük tam kare sayıyı bulalım.
260 sayısının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu bulalım.
\( 16^2 = 256 \)
\( 17^2 = 289 \)
\( 16^2 \lt 260 \lt 17^2 \)
Verilen aralıktaki en küçük tam kare sayı \( 17^2 \) olur.
Buna göre soruda istenen, (bu iki sayı dahil olmak üzere) \( 17^2 \) ile \( 259^2 \) arasındaki tam kare sayılardır.
Bu sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 17^2, 18^2, 19^2 \ldots, 258^2, 259^2 \)
İki sayı arasında \( 259 - 17 + 1 = 243 \) tane tam kare sayı vardır.
\( m \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 = m^2 \) diyelim.
\( 63 = m^2 - n^2 \)
\( 63 = (m - n)(m + n) \)
63'ün pozitif bölenleri \( = \{ 1, 3, 7, 9, 21, 63 \} \)
Buna göre istenen durum üç şekilde oluşur.
Durum 1:
\( 63 = 1 \cdot 63 \)
\( m - n = 1 \)
\( m + n = 63 \)
Buradan \( m = 32 \) ve \( n = 31 \) bulunur.
Durum 2:
\( 63 = 3 \cdot 21 \)
\( m - n = 3 \)
\( m + n = 21 \)
Buradan \( m = 12 \) ve \( n = 9 \) bulunur.
Durum 3:
\( 63 = 7 \cdot 9 \)
\( m - n = 7 \)
\( m + n = 9 \)
Buradan \( m = 8 \) ve \( n = 1 \) bulunur.
Verilen ifadeyi tam sayı yapan \( n \) değerlerinin toplamı \( 31 + 9 + 1 = 41 \) olarak bulunur.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 2^{2^x} \) sekiz basamaklı bir tam sayı olduğuna göre, \( x \) hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
Çözümü GösterFarklı \( x \) değerleri için ifadenin değerini hesaplayalım.
\( 2^{2^1} = 2^2 = 4 \)
\( 2^{2^2} = 2^4 = 16 \)
\( 2^{2^3} = 2^8 = 256 \)
\( 2^{2^4} = 2^{16} = 65536 \)
\( 2^{2^5} = 2^{32} = 65536^2 \)
\( 10000^2 = 10^8 \) sayısı 9 basamaklı olduğu için \( 65536^2 \) sayısının en az 9 basamaklı olduğunu söyleyebiliriz.
Buna göre \( x \) aşağıdaki iki tam sayı arasında olmalıdır.
\( 4 \lt x \lt 5 \)
\( 3^5 - 3 \) ile \( 3^{15} - 3 \) arasında kaç tane tam küp sayı (bir tam sayının küpü olan sayı) vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
Önce verilen aralıktaki en küçük tam küp sayıyı bulalım.
\( 3^5 - 3 = 243 - 3 = 240 \) sayısına en yakın tam küp \( 6^3 = 216 \)'dır.
\( 216 \lt 240 \) olduğundan verilen aralıktaki en küçük tam küp sayı \( 7^3 = 343 \) olur.
Şimdi verilen aralıktaki en büyük tam küp sayıyı bulalım.
\( 3^{15} - 3 = (3^5)^3 - 3 = 243^3 - 3 \)
\( 3^{15} - 3 \lt 3^{15} \) olduğundan verilen aralıktaki en büyük tam küp sayı \( 242^3 \) olur.
Buna göre soruda istenen, (bu iki sayı dahil olmak üzere) \( 7^3 \) ile \( 242^3 \) arasındaki tam küp sayılardır.
Bu sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 7^3, 8^3, 9^3 \ldots, 241^3, 242^3 \)
İki sayı arasında \( 242 - 7 + 1 = 236 \) tane tam küp sayı vardır.
\( 1 \le n \le 200 \) olmak üzere,
\( n^n \) ifadesini tam kare yapan kaç tane \( n \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
\( n^n \) ifadesi iki durumda tam kare olur.
Durum 1:
\( n \) çift ise \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
Örnek: \( 10^{10} = 10^{2 \cdot 5} = (10^5)^2 \)
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 2k \)
\( n^n = n^{2k} = (n^k)^2 \)
\( 2^2, 4^4, 6^6, 8^8, \ldots, 200^{200} \)
1-200 aralığında 100 tane çift sayı \( n \) değeri vardır.
Durum 2:
\( n \) tek ve bir tam kare sayı ise \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
Bu koşulu sağlayan 7 tane tek sayı \( n \) değeri vardır.
\( 1^1 = (1^2)^1, 9^9 = (3^2)^9, 25^{25} = (5^2)^{25} \)
\( 49^{49} = (7^2)^{49}, 81^{81} = (9^2)^{81}, \)
\( 121^{121} = (11^2)^{121}, 169^{169} = (13^2)^{169} \)
Buna göre \( n^n \) ifadesini tam kare yapan \( 100 + 7 = 107 \) tane \( n \) tam sayısı vardır.
\( 1 \le n \le 300 \) olmak üzere,
\( n^n \) ifadesini tam küp yapan kaç tane \( n \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
\( n^n \) ifadesi iki durumda tam küp olur.
Durum 1:
\( n \) sayısı 3'ün tam sayı katı ise \( n^n \) ifadesi tam küp olur.
Örnek: \( 12^{12} = 12^{3 \cdot 4} = (12^4)^3 \)
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 3k \)
\( n^n = n^{3k} = (n^k)^3 \)
\( 3^3, 6^6, 9^9, 12^{12}, \ldots, 300^{300} \)
1-300 aralığında 100 tane 3'ün tam sayı katı \( n \) değeri vardır.
Durum 2:
Ek olarak \( n \) sayısının kendisi bir tam küp sayı olduğunda \( n^n \) ifadesi tam küp olur.
Bu koşulu sağlayan 5 tane tam küp \( n \) değeri vardır.
\( 1^1 = (1^3)^1, 8^8 = (2^3)^8 \)
\( 64^{64} = (4^3)^{64}, 125^{125} = (5^3)^{125} \)
\( 216^{216} = (6^3)^{216} \)
Buna göre \( n^n \) ifadesini tam küp yapan \( 100 + 5 = 105 \) tane \( n \) tam sayısı vardır.