Üslü İfade İşlem Kuralları
Bu bölümde üslü ifadeler arasındaki işlemlerde geçerli olan işlem kurallarını inceleyeceğiz.
Benzer Terimlerle Toplama/Çıkarma
Tabanı ve üssü aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
\( a \cdot x^n \pm b \cdot x^n = (a \pm b) \cdot x^n \)
\( 6 \cdot 2^{15} + 3 \cdot 2^{15} = (6 + 3) \cdot 2^{15} \)
\( = 9 \cdot 2^{15} \)
\( 7^{38} + 4 \cdot 7^{36} = 7^2 \cdot 7^{36} + 4 \cdot 7^{36} \)
\( = (49 + 4) \cdot 7^{36} = 53 \cdot 7^{36} \)
Tabanları Aynı İfadelerin Çarpımı
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında üsler toplanır.
\( x^m \cdot x^n = x^{m + n} \)
\( 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5 + 4} = 2^9 \)
\( 5^9 \cdot 5^{-3} = 5^{9 + (-3)} = 5^6 \)
\( 7^2 \cdot 7^{\frac{2}{3}} = 7^{2 + \frac{2}{3}} = 7^{\frac{8}{3}} \)
İSPATI GÖSTER
\( x^m \cdot x^n = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m adet} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet} \)
\( = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m + n adet} \)
\( = x^{m + n} \)
Yukarıdaki ispatta üslerin doğal sayı olduğu varsayılmış olsa da, bu kural üslerin reel sayı olduğu durumda da geçerlidir.
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde birden fazla çarpana ayrılabilir.
\( x^m = x \cdot x^{m - 1} = x^2 \cdot x^{m - 2} = \ldots \)
\( 5^9 = 5^2 \cdot 5^7 = 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^4 \)
\( 7^4 = 7^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}} \)
Tabanları Aynı İfadelerin Bölümü
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^m \cdot x^{-n} = x^{m - n} \)
\( \dfrac{4^8}{4^3} = 4^{8 - 3} = 4^5 \)
\( \dfrac{6^8}{6^{-3}} = 6^{8 - (-3)} = 6^{11} \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{x^m}{x^n} = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m adet}}{\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet}} \)
Paydaki ifadeyi iki çarpana ayıralım.
\( = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m - n adet} \cdot \overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{n adet}}{\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet}} \)
Paydaki ikinci çarpan grubu ile paydayı sadeleştirelim.
\( = \overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m - n adet} \)
\( = x^{m - n} \)
Yukarıdaki ispatta üslerin doğal sayı olduğu varsayılmış olsa da, bu kural üslerin reel sayı olduğu durumda da geçerlidir.
Üsleri Aynı İfadelerin Çarpımı
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında, ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( x^m \cdot y^m = (x \cdot y)^m \)
\( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \)
\( 3^{4} \cdot (\frac{1}{2})^4 = (\frac{3}{2})^4 \)
İSPATI GÖSTER
\( x^m \cdot y^m = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m adet} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m adet} \)
\( = \underbrace{(x \cdot y) \cdot (x \cdot y) \cdots (x \cdot y)}_\text{m adet} \)
\( = (x \cdot y)^m \)
Yukarıdaki ispatta üslerin doğal sayı olduğu varsayılmış olsa da, bu kural üslerin reel sayı olduğu durumda da geçerlidir.
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanının çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayrılabilir.
\( x = a \cdot b \) ise,
\( x^m = (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \)
\( 14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5 \)
\( 30^8 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^8 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^8 \)
Üsleri Aynı İfadelerin Bölümü
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( \dfrac{x^m}{y^m} = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^m \)
\( \dfrac{2^3}{5^3} = {\left( \dfrac{2}{5} \right)}^3 \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{x^m}{y^m} = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m adet}}{\underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m adet}} \)
\( = \underbrace{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y} \cdots \dfrac{x}{y}}_\text{m adet} \)
\( = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^m \)
Yukarıdaki ispatta üslerin doğal sayı olduğu varsayılmış olsa da, bu kural üslerin reel sayı olduğu durumda da geçerlidir.
Üslü İfadenin Üssü
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \)
\( (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \)
\( (3^{-2})^4 = 3^{(-2) \cdot 4} = 3^{-8} \)
İSPATI GÖSTER
\( (x^m)^n = \underbrace{x^m \cdot x^m \cdots x^m}_\text{n adet} \)
\( = x^{\overbrace{m + m + ... + m}^\text{n adet}} \)
\( = x^{m \cdot n} \)
Yukarıdaki ispatta üslerin doğal sayı olduğu varsayılmış olsa da, bu kural üslerin reel sayı olduğu durumda da geçerlidir.
Üslü bir ifadenin birden fazla kez üssü alındığında aynı işlem tekrarlanabilir.
\( ((x^m)^n)^p = x^{m \cdot n \cdot p} \)
\( ((3^2)^3)^4 = 3^{2 \cdot 3 \cdot 4} = 3^{24} \)
Bu kuralın yukarıdaki çarpım kuralı ile birlikte bir uygulaması aşağıdaki gibidir.
\( (x^m \cdot y^n)^p = x^{m \cdot p} \cdot y^{n \cdot p} \)
\( (4^2 \cdot 5^3)^3 = 4^{2 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 3} = 4^6 \cdot 5^9 \)
Bir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise ve işlem önceliğini belirten bir parantez kullanılmadıysa, işlem önceliği en üstten tabana doğrudur.
\( x^{m^n} = x^{(m^n)} \)
\( 2^{3^4} = 2^{(3^4)} = 2^{81} \)
Negatif Üsler
Paydadaki bir üslü ifade paya, paydaki bir üslü ifade de paydaya, ifadenin üssünün işareti tersine (pozitif ise negatife, negatif ise pozitife) çevrilerek geçirilebilir.
\( \dfrac{1}{x^m} = x^{-m} \)
\( \dfrac{1}{x^{-m}} = x^m \)
\( \dfrac{1}{4^3} = 4^{-3} \)
\( \dfrac{1}{3^{-2}} = 3^2 \)
Bu kuralın bir uygulaması olarak, kesirli ifadelerde pay ve payda aralarında yer değiştirirse ifadenin üssünün işareti tersine döner.
\( {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-m} = {\left( \dfrac{y}{x} \right)}^m \)
\( {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{-2} = {\left( \dfrac{3}{2} \right)}^2 \)
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, bir ifadenin \( (-1) \). üssü alındığında pay ve payda aralarında yer değiştirir.
\( {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-1} = \dfrac{y}{x} \)
\( {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{-1} = \dfrac{3}{2} \)
\( 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)
Rasyonel Üsler
Köklü ifadeler konusunda detaylı şekilde inceleyeceğimiz üzere; üs \( \frac{1}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( n \). dereceden köküne karşılık gelir.
\( n \in \mathbb{Z^+}, \quad n \gt 1 \),
\( n \) çift sayı ise \( x \ge 0 \) olmak üzere,
\( x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} \)
\( x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \)
Üs \( \frac{m}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden köküne karşılık gelir.
\( m, n \in \mathbb{Z^+} \), \( \quad m, n \) aralarında asal sayılar,
\( n \) çift sayı ise \( x \ge 0 \) olmak üzere,
\( x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} \)
\( x^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{x^2} \)
Yukarıdaki tanımlar doğrultusunda aşağıdaki ifadeler özdeştir ve bir sayının \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökü, \( n \). dereceden kökünün \( m \). kuvvetine eşittir.
\( x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^{\frac{1}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m \)
\( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \)
\( \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 \)
Sık Yapılan Hatalar
Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir.
Yanlış: \( (x + y)^2 \ne x^2 + y^2 \)
Doğru: \( (x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + 2xy + y^2 \)
Yanlış: \( (x + y)^n \ne x^n + y^n \)
Üslü ifadelerin çarpımı ve toplamı birbirine karıştırılmamalıdır.
\( \underbrace{ x^n \cdot x^n \cdot x^n \cdot \ldots \cdot x^n }_\text{m adet} = (x^{n})^m = x^{m \cdot n} \)
\( \underbrace{ x^n + x^n + x^n + \ldots + x^n }_\text{m adet} = m \cdot x^n \)
\( 4^{48} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü GösterYarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{48}}{2} = \dfrac{(2^2)^{48}}{2} = \dfrac{2^{96}}{2} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = 2^{96 - 1} = 2^{95} \) bulunur.
Aşağıdaki üslü ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( (-3)^{-2} \)
(b) \( (0,125)^{-2} \)
(c) \( (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (-3)^{-2} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \dfrac{1}{(-3)^2} \)
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( = \dfrac{1}{9} \)
(b) seçeneği:
\( (0,125)^{-2} \)
Parantez içindeki sayıyı kesirli şekilde yazalım.
\( = \left(\dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( = \left(\dfrac{8}{1} \right)^2 \)
\( = 8^2 = 64 \)
(c) seçeneği:
\( (-2^{-2})^{-1} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \left( -\dfrac{1}{2^2} \right)^{-1} \)
\( = \left( -\dfrac{1}{4} \right)^{-1} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( = (-4)^1 = -4 \)
Aşağıdaki işlemlerin sonucu kaçtır?
(a) \( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
(b) \( 5^{-1} \cdot ((-2)^3)^2 \cdot 4^{-2} \)
(c) \( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımı, tabanların çarpımının aynı üssüne eşittir.
\( = \dfrac{10^4}{(5 \cdot (-2))^3} \)
\( = \dfrac{10^4}{(-10)^3} \)
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( = \dfrac{10^4}{-10^3} \)
\( = -\dfrac{10^4}{10^3} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = -10^{4-3} = -10 \)
(b) seçeneği:
\( 5^{-1} \cdot ((-2)^3)^2 \cdot 4^{-2} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( = \dfrac{1}{5} \cdot (-8)^2 \cdot \dfrac{1}{4^2} \)
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 64 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{5} \)
(c) seçeneği:
\( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \left( \dfrac{1}{2^3} + 1 \right)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \left( \dfrac{1}{8} + 1 \right)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \left( \dfrac{9}{8} \right)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( = \left( \dfrac{8}{9} \right)^2 + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64}{81} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64 + 27}{81} = \dfrac{91}{81} \)
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \)
Paydaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \)
Paydadaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( -3 \) değil \( 3 \) tabanına uygulanır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \)
Paydadaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} = \dfrac{3^{-6}3^{-6}}{-3^{-2}(-3^6)} \)
Paydadaki iki negatif işaretinin çarpımı pozitif olur.
\( = \dfrac{3^{-6}3^{-6}}{3^{-2}3^6} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{3^{-6 + (-6)}}{3^{-2 + 6}} \)
\( = \dfrac{3^{-12}}{3^4} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = 3^{-12 - 4} = 3^{-16} \) bulunur.
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-3}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( -a \) değil \( a \) tabanına uygulanır.
\( (-a^5) = -a^5 \)
Paydaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( (-a)^4 = a^4 \)
Paydaki üçüncü çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( (-a)^{-3} = -a^{-3} \)
Paydadaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \)
Paydadaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
Paydaki iki negatif işaretinin çarpımı sonucunda ifadenin işareti pozitif olur.
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-3}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} = \dfrac{-a^5a^4(-a^{-3})}{a^2a^{-6}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{a^{5 + 4 + (-3)}}{a^{2 + (-6)}} \)
\( = \dfrac{a^6}{a^{-4}} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = a^{6 - (-4)} = a^{10} \) bulunur.
\( \dfrac{(-x^2)^5(-x^5)^2(-x^{-2})^5}{(-x^2)^4(-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( (-x^2)^5 = -x^{10} \)
Paydaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( (-x^5)^2 = x^{10} \)
Paydaki üçüncü çarpanın değerini bulalım.
\( (-x^{-2})^5 = -x^{-10} \)
Paydadaki birinci çarpanın değerini bulalım.
\( (-x^2)^4 = x^8 \)
Paydadaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
\( (-x^5)^{-3} = -x^{-15} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{(-x^2)^5(-x^5)^2(-x^{-2})^5}{(-x^2)^4(-x^5)^{-3}} = \dfrac{-x^{10}x^{10}(-x^{-10})}{x^8(-x^{-15})} \)
Pay ve paydadaki üç negatif işaretinin çarpımı sonucunda ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10}x^{10}x^{-10}}{x^8x^{-15}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 + (-10)}}{x^{8 + (-15)}} \)
\( = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = -x^{10 - (-7)} = -x^{17} \) bulunur.
Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
(b) \( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
(c) \( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri en büyük ortak çarpanları olan \( 2^{9995} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{2^42^{9995} + 2^12^{9995}}{2^22^{9995} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 2^{9995} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{9995}(2^4 + 2^1)}{2^{9995}(2^2 - 1)} \)
\( = \dfrac{16 + 2}{4 - 1} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \( 2^{14} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{-2^{18} - 2^12^{18} - 2^22^{18}}{2^{14} - 2^42^{14} + 2^32^{14}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{18}(-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14}(1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18}(-7)}{2^{14}(-7)} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = 2^{18 - 14} \)
\( = 2^4 = 16 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{3^33^{n - 1} + 3^23^{n - 1} - 3^13^{n - 1}}{3^13^{n - 1} - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{3^{n - 1}(3^3 + 3^2 - 3^1)}{3^{n - 1}(3^1 - 1)} \)
\( = \dfrac{27 + 9 - 3}{3 - 1} = \dfrac{33}{2} \)
\( a = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( b = 36^{0,5} \)
olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( a = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( b = (6^2)^{0,5} \)
\( = 6^{2 \cdot 0,5} \)
\( = 6^1 = 6 \)
\( ab = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.
\( 5^{a + 2} = 250 \) olduğuna göre, \( 5^{2a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a + 2} = 5^a5^2 = 25 \cdot 5^a = 250 \)
\( 5^a = \dfrac{250}{25} = 10 \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( 5^{2a - 1} = 5^{2a}5^{-1} \)
\( = \dfrac{(5^a)^2}{5} \)
\( = \dfrac{10^2}{5} = 20 \) bulunur.
\( 14^{a+1} = 2^{a-2} \) olduğuna göre, \( 7^{1-a} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( 14^a14^1 = 2^a2^{-2} \)
\( 2^a \) ifadesini eşitliğin sol, \( 14 \) ifadesini eşitliğin sağ tarafına alalım.
\( \dfrac{14^a}{2^a} = \dfrac{2^{-2}}{14} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( \left( \dfrac{14}{2} \right)^a = \dfrac{1}{4 \cdot 14} \)
\( 7^a = \dfrac{1}{56} \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( 7^{1-a} = \dfrac{7^1}{7^a} \)
\( = \dfrac{7}{\frac{1}{56}} \)
\( = 56 \cdot 7 = 392 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a^{16} = 16 \) olduğuna göre, \( a^{12} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a^{16} = 16 \)
\( (a^4)^4 = 2^4 \)
Üsleri aynı ve çift sayı olan iki ifade arasındaki eşitlikte solda parantez içindeki ifade \( 2 \) ya da \( -2 \)'ye eşit olabilir.
\( a \) bir reel sayı olduğu için \( a^4 \) negatif olamaz.
\( a^4 = 2 \)
Eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( (a^4)^3 = 2^3 \)
\( a^{12} = 8 \) bulunur.
\( 9^x \cdot 8^y = 648^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) ve \( y \) değişkenlerine bağlı ifadeleri eşitliğin farklı taraflarında toplayalım.
\( 9^x = \dfrac{648^y}{8^y} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( 9^x = \left( \dfrac{648}{8} \right)^y \)
\( 9^x = 81^y \)
Eşitliğin taraflarını 3 tabanında yazalım.
\( (3^2)^x = (3^4)^y \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Değeri istenen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
\( 3^x = 5, \quad 9^y = 125 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + y}{x - y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ikinci eşitlikte 9'un 3'ün, 125'in de 5'in bir tam sayı kuvveti olduğunu görebiliriz. \( x \) ve \( y \) arasında bir bağıntı kurabilmek için ikinci eşitliğin iki tarafındaki sayıları asal tabanlara çevirelim.
\( 9^y = 3^{2y} = 5^3 \)
Birinci eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( (3^x)^3 = 3^{3x} = 5^3 \)
Değeri \( 5^3 \) olan iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.
\( 3^{3x} = 3^{2y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 3x = 2y \)
Verilen ifadede \( 2y = 3x \) yazalım.
\( \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{2x + 2y}{2x - 2y} \)
\( = \dfrac{2x + 3x}{2x - 3x} \)
\( = \dfrac{5x}{-x} = -5 \) bulunur.
2008 yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla 2022 yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın boyunun 2008-2022 yılları arasındaki yıllık ortalama büyüme oranı kaçtır?
Çözümü Göster2008 yılı başındaki boy:
\( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \) cm
2022 yılı sonundaki boy:
\( 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \) cm
2008 yılının başından 2022 yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
Yıllık ortalama büyüme oranı \( = \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8\ (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) cm/yıl bulunur.
\( 4^p = 7 \)
\( 7^q = 13 \)
\( 13^r = 20 \)
\( 20^s = 64 \)
olduğuna göre, \( pqrs \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterÜslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
İkinci eşitlikte 7 yerine \( 4^p \) yazalım.
\( 7^q = (4^p)^q = 4^{pq} = 13 \)
Üçüncü eşitlikte 13 yerine \( 4^{pq} \) yazalım.
\( 13^r = (4^{pq})^r = 4^{pqr} = 20 \)
Dördüncü eşitlikte 20 yerine \( 4^{pqr} \) yazalım.
\( 20^s = (4^{pqr})^s = 4^{pqrs} = 64 \)
\( 4^{pqrs} = 4^3 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
Buna göre \( pqrs = 3 \) bulunur.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
Aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanırsa \( N \) mutlaka bir tam kare sayı olur?
(a) \( a \) tek sayıdır.
(b) \( a + b \) tek sayıdır.
(c) \( b \) çift sayı, \( c \) tek sayıdır.
(d) \( a + b \) çift sayıdır.
(e) \( a - c \) çift sayıdır.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
\( = 3^a \cdot (3^3){b} \cdot (3^4){c} \)
\( = 3^a \cdot 3^{3b} \cdot 3^{4c} \)
\( = 3^{a+3b+4c} \)
Bu ifadenin tam kare olması için üssü pozitif çift sayı olmalıdır.
\( a + 3b + 4c = (a + b) + (2b + 4c) \)
\( 2b + 4c \) her zaman çift sayıdır.
Buna göre üssün mutlaka çift sayı olması için \( a + b \) çift sayı olmalıdır.
Doğru cevap (d) seçeneğidir.
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} = \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
Bu değeri bulmak için soruda verilen eşitlikte tarafların karesini alalım.
\( \left( 3a + \dfrac{1}{3a} \right) = 12^2 \) olduğuna göre,
\( (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + \left( \dfrac{1}{3a} \right)^2 = 144 \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = 142 \) bulunur.
\( 5^{2,48} = x \) olduğuna göre, \( 625^{0,24} \) sayısının \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( 5^{2 + 0,48} = x \)
\( 5^2 \cdot 5^{0,48} = x \)
\( 25 \cdot 5^{0,48} = x \)
\( 5^{0,48} = \dfrac{x}{25} \)
\( 625^{0,24} \) ifadesini düzenleyelim.
\( 625^{0,24} = (5^4)^{0,24} \)
\( = 5^{4 \cdot 0,24} \)
\( = 5^{2 \cdot 0,48} \)
\( = (5^{0,48})^2 \)
\( 5^{0,48} \) yerine bulduğumuz karşılığını yazalım.
\( = \left( \dfrac{x}{25} \right)^2 \)
\( = \dfrac{x^2}{625} \) bulunur.
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterOndalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0,0016 = \dfrac{16}{10000} \)
\( = \dfrac{1}{625} = \dfrac{1}{5^4} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} \)
\( = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \)
\( (5^{-4})^a = (5^{-1})^b \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Bu eşitliği soruda verilen birinci eşitlikle birlikte ortak çözmek için birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2(4a) = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ab = 81^{81} \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( ab = 81^{81} = (3^4)^{81} = 3^{324} \)
\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olduğu için iki sayı da \( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere \( 3^n \) formunda olmalıdır.
324 tane 3 çarpanı \( a \) ve \( b \) arasında 325 farklı şekilde paylaştırılabilir.
\( (a, b) = (3^0, 3^{324}) \)
\( (a, b) = (3^1, 3^{323}) \)
\( (a, b) = (3^2, 3^{322}) \)
\( \vdots \)
\( (a, b) = (3^{324}, 3^0) \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 325 farklı \( (a,b) \) ikilisi vardır.
\( a, b \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \) olduğuna göre,
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen birinci eşitliği düzenleyelim.
\( 3^a \cdot 3 = (2 \cdot 3)^a \)
\( 3^a \cdot 3 = 2^a \cdot 3^a \)
\( 2^a = 3 \)
Değeri istenen ifadede üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( 2^a \) yerine 3 yazalım.
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( 3^b \) yerine 4 yazalım.
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
2, 3 ve 45'in soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3 \cdot 3^{\frac{a}{b}} + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = 3 \cdot (3^a)^{\frac{1}{b}} + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = 3 \cdot (5^b)^{\frac{1}{b}} + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 3 \cdot 5^{\frac{b}{b}} + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
\( a^{x + 2} = 4^3, \quad b^{x + 3} = 2^6 \) olduğuna göre,
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{x^2 + 5x + 6} \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
Üsteki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} \)
\( = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^3)^{x + 3}}{(2^6)^{x + 2}} \)
\( = \dfrac{2^{6(x + 3)}}{2^{6(x + 2)}} \)
\( = \dfrac{2^{6x + 18}}{2^{6x + 12}} \)
\( = 2^{6x + 18 - 6x - 12} \)
\( = 2^6 = 64 \) bulunur.
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \)
Bu iki değeri verilen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \) ifadesinin sonucunun bir tam sayı olması için \( a \) ve \( b \) değer aralıkları ne olmalıdır?
Çözümü GösterVerilen ifadedeki üslü sayıları 2 ve 3'ün kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2 \cdot 3)^{a - b} \cdot (2^2 \cdot 3)^{a - b + 2}}{(2^3)^{a - 3b - 4} \cdot (3^2)^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2^{a - b} \cdot 3^{a - b}) \cdot (2^{2a - 2b + 4} \cdot 3^{a - b + 2})}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{2^{3a - 3b + 4} \cdot 3^{2a - 2b + 2}}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = 2^{3a - 3b + 4 - (3a - 9b - 12)} \cdot 3^{2a - 2b + 2 - (2a + 4b - 4)} \)
\( = 2^{6b + 16} \cdot 3^{-6b + 6} \)
Bulduğumuz ifade \( a \) değişkenine bağlı değildir, dolayısıyla her \( a \) değeri için ifade tam sayı değer alabilir.
İfadenin tam sayı olabilmesi için 2 ve 3'ün üsleri ayrı ayrı doğal sayı olmalıdır.
\( 6b + 16 \ge 0 \Longrightarrow b \ge -\dfrac{8}{3} \)
\( -6b + 6 \ge 0 \Longrightarrow b \lt 1 \)
\( a \in \mathbb{Z}, \quad b \in \{-2, -1, 0\} \) bulunur.