Üslü İfade İşlem Kuralları
Bu bölümde üslü ifadeler arasındaki işlemlerde geçerli olan kuralları inceleyeceğiz.
Tabanları Aynı İfadelerin Çarpımı
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında üsler toplanır.
\( x^m \cdot x^n = x^{m + n} \)
\( 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5 + 4} = 2^9 \)
\( 5^9 \cdot 5^{-3} = 5^{9 + (-3)} = 5^6 \)
\( 7^2 \cdot 7^{\frac{2}{3}} = 7^{2 + \frac{2}{3}} = 7^{\frac{8}{3}} \)
İSPATI GÖSTER
\( x^m \cdot x^n = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m adet} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet} \)
\( = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m + n adet} \)
\( = x^{m + n} \)
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde birden fazla çarpana ayrılabilir.
\( x^m = x \cdot x^{m - 1} = x^2 \cdot x^{m - 2} = \ldots \)
\( 5^9 = 5^2 \cdot 5^7 = 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^4 \)
\( 7^4 = 7^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}} \)
Tabanları Aynı İfadelerin Bölümü
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^m \cdot x^{-n} = x^{m - n} \)
\( \dfrac{4^8}{4^3} = 4^{8 - 3} = 4^5 \)
\( \dfrac{6^8}{6^{-3}} = 6^{8 - (-3)} = 6^{11} \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{x^m}{x^n} = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m adet}}{\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet}} \)
Paydaki ifadeyi iki çarpana ayıralım.
\( = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m - n adet} \cdot \overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{n adet}}{\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet}} \)
Paydaki ikinci çarpan grubu ile paydayı sadeleştirelim.
\( = \overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m - n adet} \)
\( = x^{m - n} \)
Üsleri Aynı İfadelerin Çarpımı
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında, ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak tek tabanda birleştirilebilir.
\( x^m \cdot y^m = (x \cdot y)^m \)
\( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \)
\( 3^{4} \cdot (\frac{1}{2})^4 = (\frac{3}{2})^4 \)
İSPATI GÖSTER
\( x^m \cdot y^m = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m adet} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m adet} \)
\( = \underbrace{(x \cdot y) \cdot (x \cdot y) \cdots (x \cdot y)}_\text{m adet} \)
\( = (x \cdot y)^m \)
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanının çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayrılabilir.
\( x = a \cdot b \) ise,
\( x^m = (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \)
\( 14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5 \)
\( 30^8 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^8 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^8 \)
Üsleri Aynı İfadelerin Bölümü
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak tek tabanda birleştirilebilir.
\( y \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{x^m}{y^m} = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^m \)
\( \dfrac{2^3}{5^3} = {\left( \dfrac{2}{5} \right)}^3 \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{x^m}{y^m} = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m adet}}{\underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m adet}} \)
\( = \underbrace{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y} \cdots \dfrac{x}{y}}_\text{m adet} \)
\( = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^m \)
Üslü İfadenin Üssü
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \)
\( (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \)
\( (3^{-2})^4 = 3^{(-2) \cdot 4} = 3^{-8} \)
İSPATI GÖSTER
\( (x^m)^n = \underbrace{x^m \cdot x^m \cdots x^m}_\text{n adet} \)
\( = x^{\overbrace{m + m + ... + m}^\text{n adet}} \)
\( = x^{m \cdot n} \)
Üslü bir ifadenin birden fazla kez üssü alındığında aynı işlem tekrarlanabilir.
\( ((x^m)^n)^p = x^{m \cdot n \cdot p} \)
\( ((3^2)^3)^4 = 3^{2 \cdot 3 \cdot 4} = 3^{24} \)
Bu kuralın yukarıdaki çarpım kuralı ile birlikte bir uygulaması aşağıdaki gibidir.
\( (x^m \cdot y^n)^p = x^{m \cdot p} \cdot y^{n \cdot p} \)
\( (4^2 \cdot 5^3)^3 = 4^{2 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 3} = 4^6 \cdot 5^9 \)
Bir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise ve işlem önceliğini belirten bir parantez kullanılmadıysa, işlem önceliği en üstten tabana doğrudur.
\( x^{m^n} = x^{(m^n)} \)
\( 2^{3^4} = 2^{(3^4)} = 2^{81} \)
Negatif Üsler
Paydadaki bir üslü ifade paya, paydaki bir üslü ifade de paydaya, üssün işareti tersine (pozitif ise negatife, negatif ise pozitife) çevrilerek geçirilebilir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{x^m} = x^{-m} \)
\( \dfrac{1}{x^{-m}} = x^m \)
\( \dfrac{1}{4^3} = 4^{-3} \)
\( \dfrac{1}{3^{-2}} = 3^2 \)
Bu kuralın bir uygulaması olarak, tabanı kesirli olan bir üslü ifadede pay ve payda aralarında yer değiştirirse üssün işareti tersine döner.
\( {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-m} = {\left( \dfrac{y}{x} \right)}^m \)
\( {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{-2} = {\left( \dfrac{3}{2} \right)}^2 \)
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, bir ifadenin \( (-1) \). üssü alındığında pay ve payda aralarında yer değiştirir.
\( {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-1} = \dfrac{y}{x} \)
\( {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{-1} = \dfrac{3}{2} \)
\( 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)
Rasyonel Üsler
Köklü ifadeler konusunda detaylı şekilde inceleyeceğimiz üzere; üs \( \frac{1}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( n \). dereceden köküne karşılık gelir. Çift dereceli bir köklü ifadede kök içi (reel sayılarda) negatif olamayacağı için, üssün paydası çift sayı olduğunda taban negatif olamaz.
\( n \in \mathbb{Z^+}, \quad n \gt 1 \),
\( n \) tek sayı ise \( x \in \mathbb{R} \), \( n \) çift sayı ise \( x \ge 0 \) olmak üzere,
\( x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} \)
\( 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2 \)
\( (-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3 \)
Üs en sade halinde \( \frac{m}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden köküne karşılık gelir. \( \frac{m}{n} \) ifadesi en sade halinde olduğunda \( m \) ve \( n \) tam sayıları aralarında asal olur.
\( m, n \in \mathbb{Z^+} \), \( \quad m, n \) aralarında asal sayılar,
\( n \) tek sayı ise \( x \in \mathbb{R} \), \( n \) çift sayı ise \( x \ge 0 \) olmak üzere,
\( x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} \)
\( 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125} \)
Yukarıdaki tanımlar doğrultusunda aşağıdaki ifadeler özdeştir ve bir sayının \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökü, \( n \). dereceden kökünün \( m \). kuvvetine eşittir.
\( x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^{\frac{1}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m \)
\( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \)
\( \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 \)
Benzer Terimlerle Toplama/Çıkarma
Tabanı ve üssü aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
\( ax^n \pm bx^n = (a \pm b)x^n \)
\( 6 \cdot 2^{15} + 3 \cdot 2^{15} = (6 + 3)2^{15} \)
\( = 9 \cdot 2^{15} \)
\( 7^{38} + 4 \cdot 7^{36} = 7^2 \cdot 7^{36} + 4 \cdot 7^{36} \)
\( = (49 + 4)7^{36} = 53 \cdot 7^{36} \)
Sık Yapılan Hatalar
Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir.
Yanlış: \( (x + y)^2 \ne x^2 + y^2 \)
Doğru: \( (x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + 2xy + y^2 \)
Yanlış: \( (x + y)^n \ne x^n + y^n \)
Üslü ifadelerin çarpımı ve toplamı birbirine karıştırılmamalıdır.
\( \underbrace{ x^n \cdot x^n \cdot x^n \cdot \ldots \cdot x^n }_\text{m adet} = (x^{n})^m = x^{m \cdot n} \)
\( \underbrace{ x^n + x^n + x^n + \ldots + x^n }_\text{m adet} = m \cdot x^n \)
\( 4^{48} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü GösterYarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{48}}{2} = \dfrac{(2^2)^{48}}{2} = \dfrac{2^{96}}{2} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = 2^{96 - 1} = 2^{95} \) bulunur.
Aşağıdaki üslü ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( (-3)^{-2} \)
(b) \( (0,125)^{-2} \)
(c) \( (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (-3)^{-2} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \dfrac{1}{(-3)^2} \)
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( = \dfrac{1}{9} \)
(b) seçeneği:
\( (0,125)^{-2} \)
Parantez içindeki sayıyı kesirli şekilde yazalım.
\( = \left(\dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( = \left(\dfrac{8}{1} \right)^2 \)
\( = 8^2 = 64 \)
(c) seçeneği:
\( (-2^{-2})^{-1} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \left( -\dfrac{1}{2^2} \right)^{-1} \)
\( = \left( -\dfrac{1}{4} \right)^{-1} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( = (-4)^1 = -4 \)
Aşağıdaki işlemlerin sonucu kaçtır?
(a) \( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
(b) \( 5^{-1} \cdot ((-2)^3)^2 \cdot 4^{-2} \)
(c) \( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımı, tabanların çarpımının aynı üssüne eşittir.
\( = \dfrac{10^4}{(5 \cdot (-2))^3} \)
\( = \dfrac{10^4}{(-10)^3} \)
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( = \dfrac{10^4}{-10^3} \)
\( = -\dfrac{10^4}{10^3} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = -10^{4-3} = -10 \)
(b) seçeneği:
\( 5^{-1} \cdot ((-2)^3)^2 \cdot 4^{-2} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( = \dfrac{1}{5} \cdot (-8)^2 \cdot \dfrac{1}{4^2} \)
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 64 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{5} \)
(c) seçeneği:
\( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \left( \dfrac{1}{2^3} + 1 \right)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \left( \dfrac{1}{8} + 1 \right)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \left( \dfrac{9}{8} \right)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( = \left( \dfrac{8}{9} \right)^2 + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64}{81} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64 + 27}{81} = \dfrac{91}{81} \)
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \)
Paydaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \)
Paydadaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( -3 \) değil \( 3 \) tabanına uygulanır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \)
Paydadaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} = \dfrac{3^{-6}3^{-6}}{-3^{-2}(-3^6)} \)
Paydadaki iki negatif işaretinin çarpımı pozitif olur.
\( = \dfrac{3^{-6}3^{-6}}{3^{-2}3^6} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{3^{-6 + (-6)}}{3^{-2 + 6}} \)
\( = \dfrac{3^{-12}}{3^4} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = 3^{-12 - 4} = 3^{-16} \) bulunur.
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-3}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( -a \) değil \( a \) tabanına uygulanır.
\( (-a^5) = -a^5 \)
Paydaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( (-a)^4 = a^4 \)
Paydaki üçüncü çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( (-a)^{-3} = -a^{-3} \)
Paydadaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \)
Paydadaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
Paydaki iki negatif işaretinin çarpımı sonucunda ifadenin işareti pozitif olur.
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-3}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} = \dfrac{-a^5a^4(-a^{-3})}{a^2a^{-6}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{a^{5 + 4 + (-3)}}{a^{2 + (-6)}} \)
\( = \dfrac{a^6}{a^{-4}} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = a^{6 - (-4)} = a^{10} \) bulunur.
\( \dfrac{(-x^2)^5(-x^5)^2(-x^{-2})^5}{(-x^2)^4(-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydaki birinci çarpanın değerini bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
Negatif bir sayının tek sayı üssü negatiftir.
\( (-x^2)^5 = -x^{10} \)
Paydaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
Negatif bir sayının çift sayı üssü pozitiftir.
\( (-x^5)^2 = x^{10} \)
Paydaki üçüncü çarpanın değerini bulalım.
\( (-x^{-2})^5 = -x^{-10} \)
Paydadaki birinci çarpanın değerini bulalım.
\( (-x^2)^4 = x^8 \)
Paydadaki ikinci çarpanın değerini bulalım.
\( (-x^5)^{-3} = -x^{-15} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{(-x^2)^5(-x^5)^2(-x^{-2})^5}{(-x^2)^4(-x^5)^{-3}} = \dfrac{-x^{10}x^{10}(-x^{-10})}{x^8(-x^{-15})} \)
Pay ve paydadaki üç negatif işaretinin çarpımı sonucunda ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10}x^{10}x^{-10}}{x^8x^{-15}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 + (-10)}}{x^{8 + (-15)}} \)
\( = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = -x^{10 - (-7)} = -x^{17} \) bulunur.
Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
(b) \( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
(c) \( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri en büyük ortak çarpanları olan \( 2^{9995} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{2^42^{9995} + 2^12^{9995}}{2^22^{9995} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 2^{9995} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{9995}(2^4 + 2^1)}{2^{9995}(2^2 - 1)} \)
\( = \dfrac{16 + 2}{4 - 1} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \( 2^{14} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{-2^{18} - 2^12^{18} - 2^22^{18}}{2^{14} - 2^42^{14} + 2^32^{14}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{18}(-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14}(1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18}(-7)}{2^{14}(-7)} \)
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( = 2^{18 - 14} \)
\( = 2^4 = 16 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{3^33^{n - 1} + 3^23^{n - 1} - 3^13^{n - 1}}{3^13^{n - 1} - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{3^{n - 1}(3^3 + 3^2 - 3^1)}{3^{n - 1}(3^1 - 1)} \)
\( = \dfrac{27 + 9 - 3}{3 - 1} = \dfrac{33}{2} \)
\( a = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( b = 36^{0,5} \)
olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( a = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( b = (6^2)^{0,5} \)
\( = 6^{2 \cdot 0,5} \)
\( = 6^1 = 6 \)
\( ab = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.
\( 5^{a + 2} = 250 \) olduğuna göre, \( 5^{2a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a + 2} = 5^a5^2 = 25 \cdot 5^a = 250 \)
\( 5^a = \dfrac{250}{25} = 10 \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( 5^{2a - 1} = 5^{2a}5^{-1} \)
\( = \dfrac{(5^a)^2}{5} \)
\( = \dfrac{10^2}{5} = 20 \) bulunur.
\( 14^{a+1} = 2^{a-2} \) olduğuna göre, \( 7^{1-a} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( 14^a14^1 = 2^a2^{-2} \)
\( 2^a \) ifadesini eşitliğin sol, \( 14 \) ifadesini eşitliğin sağ tarafına alalım.
\( \dfrac{14^a}{2^a} = \dfrac{2^{-2}}{14} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( \left( \dfrac{14}{2} \right)^a = \dfrac{1}{4 \cdot 14} \)
\( 7^a = \dfrac{1}{56} \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( 7^{1-a} = \dfrac{7^1}{7^a} \)
\( = \dfrac{7}{\frac{1}{56}} \)
\( = 56 \cdot 7 = 392 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a^{16} = 16 \) olduğuna göre, \( a^{12} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a^{16} = 16 \)
\( (a^4)^4 = 2^4 \)
Üsleri aynı ve çift sayı olan iki ifade arasındaki eşitlikte solda parantez içindeki ifade \( 2 \) ya da \( -2 \)'ye eşit olabilir.
\( a \) bir reel sayı olduğu için \( a^4 \) negatif olamaz.
\( a^4 = 2 \)
Eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( (a^4)^3 = 2^3 \)
\( a^{12} = 8 \) bulunur.
\( 9^x \cdot 8^y = 648^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) ve \( y \) değişkenlerine bağlı ifadeleri eşitliğin farklı taraflarında toplayalım.
\( 9^x = \dfrac{648^y}{8^y} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( 9^x = \left( \dfrac{648}{8} \right)^y \)
\( 9^x = 81^y \)
Eşitliğin taraflarını 3 tabanında yazalım.
\( (3^2)^x = (3^4)^y \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Değeri istenen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
\( 3^x = 5, \quad 9^y = 125 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + y}{x - y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ikinci eşitlikte 9'un 3'ün, 125'in de 5'in bir tam sayı kuvveti olduğunu görebiliriz. \( x \) ve \( y \) arasında bir bağıntı kurabilmek için ikinci eşitliğin iki tarafındaki sayıları asal tabanlara çevirelim.
\( 9^y = 3^{2y} = 5^3 \)
Birinci eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( (3^x)^3 = 3^{3x} = 5^3 \)
Değeri \( 5^3 \) olan iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.
\( 3^{3x} = 3^{2y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 3x = 2y \)
Verilen ifadede \( 2y = 3x \) yazalım.
\( \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{2x + 2y}{2x - 2y} \)
\( = \dfrac{2x + 3x}{2x - 3x} \)
\( = \dfrac{5x}{-x} = -5 \) bulunur.
2008 yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla 2022 yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın boyunun 2008-2022 yılları arasındaki yıllık ortalama büyüme oranı kaçtır?
Çözümü Göster2008 yılı başındaki boy:
\( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \) cm
2022 yılı sonundaki boy:
\( 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \) cm
2008 yılının başından 2022 yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
Yıllık ortalama büyüme oranı \( = \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8\ (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) cm/yıl bulunur.
\( 4^p = 7 \)
\( 7^q = 13 \)
\( 13^r = 20 \)
\( 20^s = 64 \)
olduğuna göre, \( pqrs \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterÜslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı alınır.
İkinci eşitlikte 7 yerine \( 4^p \) yazalım.
\( 7^q = (4^p)^q = 4^{pq} = 13 \)
Üçüncü eşitlikte 13 yerine \( 4^{pq} \) yazalım.
\( 13^r = (4^{pq})^r = 4^{pqr} = 20 \)
Dördüncü eşitlikte 20 yerine \( 4^{pqr} \) yazalım.
\( 20^s = (4^{pqr})^s = 4^{pqrs} = 64 \)
\( 4^{pqrs} = 4^3 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
Buna göre \( pqrs = 3 \) bulunur.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
Aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanırsa \( N \) mutlaka bir tam kare sayı olur?
(a) \( a \) tek sayıdır.
(b) \( a + b \) tek sayıdır.
(c) \( b \) çift sayı, \( c \) tek sayıdır.
(d) \( a + b \) çift sayıdır.
(e) \( a - c \) çift sayıdır.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
\( = 3^a \cdot (3^3){b} \cdot (3^4){c} \)
\( = 3^a \cdot 3^{3b} \cdot 3^{4c} \)
\( = 3^{a+3b+4c} \)
Bu ifadenin tam kare olması için üssü pozitif çift sayı olmalıdır.
\( a + 3b + 4c = (a + b) + (2b + 4c) \)
\( 2b + 4c \) her zaman çift sayıdır.
Buna göre üssün mutlaka çift sayı olması için \( a + b \) çift sayı olmalıdır.
Doğru cevap (d) seçeneğidir.
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} = \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
Bu değeri bulmak için soruda verilen eşitlikte tarafların karesini alalım.
\( \left( 3a + \dfrac{1}{3a} \right) = 12^2 \) olduğuna göre,
\( (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + \left( \dfrac{1}{3a} \right)^2 = 144 \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = 142 \) bulunur.
\( 5^{2,48} = x \) olduğuna göre, \( 625^{0,24} \) sayısının \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( 5^{2 + 0,48} = x \)
\( 5^2 \cdot 5^{0,48} = x \)
\( 25 \cdot 5^{0,48} = x \)
\( 5^{0,48} = \dfrac{x}{25} \)
\( 625^{0,24} \) ifadesini düzenleyelim.
\( 625^{0,24} = (5^4)^{0,24} \)
\( = 5^{4 \cdot 0,24} \)
\( = 5^{2 \cdot 0,48} \)
\( = (5^{0,48})^2 \)
\( 5^{0,48} \) yerine bulduğumuz karşılığını yazalım.
\( = \left( \dfrac{x}{25} \right)^2 \)
\( = \dfrac{x^2}{625} \) bulunur.
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterOndalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0,0016 = \dfrac{16}{10000} \)
\( = \dfrac{1}{625} = \dfrac{1}{5^4} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} \)
\( = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \)
\( (5^{-4})^a = (5^{-1})^b \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Bu eşitliği soruda verilen birinci eşitlikle birlikte ortak çözmek için birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2(4a) = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ab = 81^{81} \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( ab = 81^{81} = (3^4)^{81} = 3^{324} \)
\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olduğu için iki sayı da \( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere \( 3^n \) formunda olmalıdır.
324 tane 3 çarpanı \( a \) ve \( b \) arasında 325 farklı şekilde paylaştırılabilir.
\( (a, b) = (3^0, 3^{324}) \)
\( (a, b) = (3^1, 3^{323}) \)
\( (a, b) = (3^2, 3^{322}) \)
\( \vdots \)
\( (a, b) = (3^{324}, 3^0) \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 325 farklı \( (a,b) \) ikilisi vardır.
\( a, b \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \) olduğuna göre,
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen birinci eşitliği düzenleyelim.
\( 3^a \cdot 3 = (2 \cdot 3)^a \)
\( 3^a \cdot 3 = 2^a \cdot 3^a \)
\( 2^a = 3 \)
Değeri istenen ifadede üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( 2^a \) yerine 3 yazalım.
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( 3^b \) yerine 4 yazalım.
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
2, 3 ve 45'in soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3 \cdot 3^{\frac{a}{b}} + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = 3 \cdot (3^a)^{\frac{1}{b}} + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = 3 \cdot (5^b)^{\frac{1}{b}} + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 3 \cdot 5^{\frac{b}{b}} + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
\( a^{x + 2} = 4^3, \quad b^{x + 3} = 2^6 \) olduğuna göre,
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{x^2 + 5x + 6} \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
Üsteki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} \)
\( = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^3)^{x + 3}}{(2^6)^{x + 2}} \)
\( = \dfrac{2^{6(x + 3)}}{2^{6(x + 2)}} \)
\( = \dfrac{2^{6x + 18}}{2^{6x + 12}} \)
\( = 2^{6x + 18 - 6x - 12} \)
\( = 2^6 = 64 \) bulunur.
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \)
Bu iki değeri verilen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \) ifadesinin sonucunun bir tam sayı olması için \( a \) ve \( b \) değer aralıkları ne olmalıdır?
Çözümü GösterVerilen ifadedeki üslü sayıları 2 ve 3'ün kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2 \cdot 3)^{a - b} \cdot (2^2 \cdot 3)^{a - b + 2}}{(2^3)^{a - 3b - 4} \cdot (3^2)^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2^{a - b} \cdot 3^{a - b}) \cdot (2^{2a - 2b + 4} \cdot 3^{a - b + 2})}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{2^{3a - 3b + 4} \cdot 3^{2a - 2b + 2}}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Paydaki üslü ifade paydaya, paydadaki üslü ifade paya üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = 2^{3a - 3b + 4 - (3a - 9b - 12)} \cdot 3^{2a - 2b + 2 - (2a + 4b - 4)} \)
\( = 2^{6b + 16} \cdot 3^{-6b + 6} \)
Bulduğumuz ifade \( a \) değişkenine bağlı değildir, dolayısıyla her \( a \) değeri için ifade tam sayı değer alabilir.
İfadenin tam sayı olabilmesi için 2 ve 3'ün üsleri ayrı ayrı doğal sayı olmalıdır.
\( 6b + 16 \ge 0 \Longrightarrow b \ge -\dfrac{8}{3} \)
\( -6b + 6 \ge 0 \Longrightarrow b \lt 1 \)
\( a \in \mathbb{Z}, \quad b \in \{-2, -1, 0\} \) bulunur.