Üslü İfadeli Eşitsizlikler
Bu bölümde üslü ifade içeren eşitsizliklerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür.
\( x \gt 1 \) olmak üzere,
\( x^m \lt x^n \Longrightarrow m \lt n \)
\( 2^a \lt 2^b \Longrightarrow a \lt b \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve \( (0, 1) \) aralığındaysa ifadelerden üssü daha büyük olan daha küçüktür.
\( 0 \lt x \lt 1 \) olmak üzere,
\( x^m \lt x^n \Longrightarrow m \gt n \)
\( (\frac{1}{2})^a \lt (\frac{1}{2})^b \Longrightarrow a \gt b \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar aynı sayının birer tam sayı üssü şeklinde yazılabiliyorsa bu iki ifadenin tabanları eşitlenebilirdir.
Tabanları farklı, ancak eşitlenebilir iki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte önce tabanlar eşitlenir, daha sonra eşitsizlik yukarıda kullandığımız iki yöntemden biri ile çözülür.
\( n^{100} \lt 5^{150} \) eşitsizliğini sağlayan en büyük \( n \) pozitif tam sayısı nedir?
Çözümü GösterEşitsizliğin iki tarafının da üssü 50'nin birer katı olduğu için üsleri 50'ye eşitleyelim.
\( (n^2)^{50} \lt (5^3)^{50} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( n^2 \lt 5^3 \)
\( n^2 \lt 125 \)
Buna göre \( n \) pozitif tam sayısının alabileceği en büyük değer 11 olarak bulunur.
\( 9^{2a - 9} - 27^{4 + 3a} \lt 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterÜslü ifadeleri 3 tabanında yazalım.
\( 3^{2(2a - 9)} - 3^{3(4 + 3a)} \lt 0 \)
\( 3^{2(2a - 9)} \lt 3^{3(4 + 3a)} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 2(2a - 9) \lt 3(4 + 3a) \)
\( 4a - 18 \lt 12 + 9a \)
\( -30 \lt 5a \)
\( -6 \lt a \)
Çözüm kümesi: \( a \in (-6, \infty) \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \dfrac{4}{25} \right)^{x + 2} \) eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü GösterEşitsizliğin taraflarının tabanlarını eşitleyelim.
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \dfrac{2^2}{5^2} \right)^{x + 2} \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2} \right)^{x + 2} \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2x + 4} \)
Tabanın çarpmaya göre tersi alındığında üssün işareti tersine döner.
\( \left( \dfrac{2}{5} \right)^{3x - 2} \lt \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2x + 4} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve \( (0, 1) \) aralığındaysa üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür.
\( 3x - 2 \gt 2x + 4 \)
\( x \gt 6 \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 7'dir.
\( x^2 \lt x \) olmak üzere,
\( x^{2y + 1} - x^{y + 3} \gt 0 \) eşitsizliğini sağlayan \( y \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x^2 \lt x \) ise \( 0 \lt x \lt 1 \) olur.
\( x^{2y + 1} \gt x^{y + 3} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve \( (0, 1) \) aralığındaysa üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür.
\( 2y + 1 \lt y + 3 \)
\( y \lt 2 \) bulunur.
\( 4^{1-x} \lt 1 \lt 3^{5-x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterBirinci ve ikinci eşitsizlikleri ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( 4^{1-x} \lt 1 = 4^0 \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 1 - x \lt 0 \)
\( x \gt 1 \)
Eşitsizlik 2: \( 1 \lt 3^{5-x} \)
\( 1 = 3^0 \lt 3^{5 - x} \)
\( 0 \lt 5 - x \)
\( x \lt 5 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (1, 5) \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-\abs{a + 4}} \le \dfrac{4}{25} \) eşitsizliğini sağlamayan \( a \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-\abs{a + 4}} \le \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 \)
Eşitsizliğin taraflarının tabanlarını eşitleyelim.
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-\abs{a + 4}} \le \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-2} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( -\abs{a + 4} \le -2 \)
Bir eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir.
\( \abs{a + 4} \ge 2 \)
Bu eşitsizliği sağlamayan \( a \) değerleri bu aralığın tümleyeni olan aralıktır.
\( \abs{a + 4} \lt 2 \)
\( -2 \lt a + 4 \lt 2 \)
\( -6 \lt a \lt -2 \)
Bu aralıktaki \( a \) tam sayı değerlerinin toplamı \( (-5) + (-4) + (-3) = -12 \) olarak bulunur.