10'un Kuvvetleri İle Gösterim

(a) seçeneği:

\( \dfrac{2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4}{5^{-5}} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{6 \cdot 2^4}{5^{-5}} \)

\( = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2^4}{5^{-5}} \)

\( = 3 \cdot 2^5 \cdot 5^5 \)

2 ve 5 tabanındaki ifadeleri 10 tabanında birleştirelim.

\( = 3 \cdot (2 \cdot 5)^5 \)

\( = 3 \cdot 10^5 \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{256 \cdot 25^3}{800} \)

Tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

\( = \dfrac{2^8 \cdot (5^2)^3}{2^5 \cdot 5^2} \)

\( = \dfrac{2^8 \cdot 5^6}{2^5 \cdot 5^2} \)

\( = 2^{8 - 5} \cdot 5^{6 - 2} \)

\( = 2^3 \cdot 5^4 \)

2 ve 5 tabanındaki ifadeleri 10 tabanında birleştirelim.

\( = 5 \cdot (2 \cdot 5)^3 \)

\( = 5 \cdot 10^3 \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{500 \cdot 4^{33}}{8^{21}} \)

Tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

\( = \dfrac{2^2 \cdot 5^3 \cdot (2^2)^{33}}{(2^3)^{21}} \)

\( = \dfrac{2^2 \cdot 5^3 \cdot 2^{66}}{2^{63}} \)

\( = 5^3 \cdot 2^{66 + 2 - 63} \)

\( = 5^3 \cdot 2^5 \)

\( = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \)

2 ve 5 tabanındaki ifadeleri 10 tabanında birleştirelim.

\( = 4 \cdot (5 \cdot 2)^3 \)

\( = 4 \cdot 10^3 \)

Verilen sayıyı 10'un kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( 5^{-4} = \dfrac{1}{5^4} \)

\( = \dfrac{1}{625} \)

\( = 0,0016 \)

\( = 16 \cdot 10^{-4} \)

Öncülleri \( 16 \cdot 10^n \) formunda yazalım.

I. Öncül:

\( 1,6 \cdot 10^{-3} \)

Katsayı 16 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( 16 \cdot 10^{-4} \)

I. öncül verilen sayıya eşittir.

II. Öncül:

\( 160000 \cdot 10^{-9} \)

Katsayı 16 olana kadar sayıyı 10'un artan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( = 16000 \cdot 10^{-8} \)

\( = 1600 \cdot 10^{-7} \)

\( = 160 \cdot 10^{-6} \)

\( = 16 \cdot 10^{-5} \ne 16 \cdot 10^{-4} \)

II. öncül verilen sayıya eşit değildir.

III. Öncül:

\( 0,0016 = 0,0016 \cdot 10^0 \)

Katsayı 16 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( = 0,016 \cdot 10^{-1} \)

\( = 0,16 \cdot 10^{-2} \)

\( = 1,6 \cdot 10^{-3} \)

\( = 16 \cdot 10^{-4} \)

III. öncül verilen sayıya eşittir.

Buna göre I. ve III. öncüller verilen sayıya eşittir.

I. Öncül:

\( 2345000000 = 2345 \cdot 10^6 \)

Katsayı 2,345 olana kadar sayıyı 10'un artan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( = 234,5 \cdot 10^7 \)

\( = 23,45 \cdot 10^8 \)

\( = 2,345 \cdot 10^9 \)

I. öncül doğrudur.

II. Öncül:

Katsayı 6,91 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( 691 \cdot 10^{-8} = 69,1 \cdot 10^{-7} \)

\( = 6,91 \cdot 10^{-6} \ne 6,91 \cdot 10^{-10} \)

II. öncül yanlıştır.

III. Öncül:

Katsayı 2,9 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( 0,0029 \cdot 10^{-1} = 0,029 \cdot 10^{-2} \)

\( = 0,29 \cdot 10^{-3} \)

\( = 2,9 \cdot 10^{-4} \)

III. öncül doğrudur.

IV. Öncül:

Katsayı 2536000 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( 25,36 \cdot 10^{-10} = 253,6 \cdot 10^{-11} \)

\( = 2536 \cdot 10^{-12} \)

\( = 25360 \cdot 10^{-13} \)

\( = 253600 \cdot 10^{-14} \)

\( = 2536000 \cdot 10^{-15} \)

IV. öncül doğrudur.

Buna göre I., II. ve IV. öncüller doğrudur.

Tüm sayılarda 10'un kuvvetini \( 10^8 \) yapalım.

I. Öncül:

\( 1,0047 \cdot 10^{10} = 10,047 \cdot 10^9 \)

\( = 100,47 \cdot 10^8 \)

II. Öncül:

\( 81840 \cdot 10^5 = 8184 \cdot 10^6 \)

\( = 818,4 \cdot 10^7 \)

\( = 81,84 \cdot 10^8 \)

III. Öncül:

\( 0,12 \cdot 10^{11} = 1,2 \cdot 10^{10} \)

\( = 12 \cdot 10^9 \)

\( = 120 \cdot 10^8 \)

10'un kuvvetleri aynı olan bu sayılar içinde katsayısı büyük olan sayı daha büyüktür.

\( 81,84 \cdot 10^8 \lt 100,47 \cdot 10^8 \lt 120 \cdot 10^8 \)

\( II \lt I \lt III \)

\( 3,6 \cdot 10^3 \) saniyenin \( \frac{1}{4} \)'ünü bulalım.

\( 3,6 \cdot 10^3 \cdot \dfrac{1}{4} \)

\( = 36 \cdot 10^2 \cdot \dfrac{1}{4} \)

\( = 9 \cdot 10^2 \) saniye

Videonun tüm süresinden izlenen kısmı çıkarak kalan süreyi bulalım.

\( 3,6 \cdot 10^3 - 9 \cdot 10^2 \)

\( = 36 \cdot 10^2 - 9 \cdot 10^2 \)

\( = (36 - 9) \cdot 10^2 \)

\( = 27 \cdot 10^2 \) saniye

Videonun saniye cinsinden kalan süresini dakikaya çevirelim.

\( \dfrac{27 \cdot 10^2}{60} = \dfrac{27 \cdot 10}{6} \)

\( = 45 \) dakika bulunur.

1 ton = 1000 kg

Bir dekarlık alanda bir yılda kullanılan gübre miktarını bulalım.

\( 0,18 \cdot 10^3 \cdot 4 \)

\( = \dfrac{18}{100} \cdot 10^3 \cdot 4 \)

\( = 18 \cdot 10 \cdot 4 \)

\( = 720 \) kg

23500 dekar tarlada bir yılda kullanılan toplam gübre miktarını bulalım.

\( 720 \cdot 23500 = 72 \cdot 235 \cdot 10^3 \)

\( = 16920 \cdot 10^3 \) kg

Bulduğumuz değeri ton cinsinden yazalım.

\( \dfrac{16920 \cdot 10^3}{1000} = 16920 \) ton bulunur.

Verilen sayıyı 10'un kuvveti şeklinde yazalım.

\( 20^{1944} = (2 \cdot 10)^{1944} = 2^{1944} \cdot 10^{1944} \)

\( 10^{1944} \) sayısının ilk basamağı hariç tüm basamakları 0 olduğu için başka bir sayı ile çarpıldığında sayının sonuna üssü kadar 0 eklenir.

Bu nedenle \( 2^{1944} \) ve \( 20^{1944} \) sayıları en sondaki 0 basamakları hariç aynıdır.

2'nin tam sayı üslerinin son basamakları her 4 sayıda bir kendini tekrar eder.

\( 2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8, \quad 2^4 = 16 \)

\( 2^5 = 32, \quad 2^6 = 64, \quad 2^7 = 128, \quad 2^8 = 256 \)

1944 sayısı 4'ün tam katı olduğu için \( 2^{1944} \) sayısı 6 ile biter.

\( 2^{1944} = (\ldots 6) \)

Buna göre \( 20^{1944} \) sayısının sağdan sıfır olmayan ilk basamağı 6 olur.

\( 10 \)'un farklı kuvvetleri için sonucu bulalım.

\( 10^2 - 99 = 100 - 99 = 1 \)

\( 10^3 - 99 = 1000 - 99 = 901 \)

\( 10^4 - 99 = 10000 - 99 = 9901 \)

\( 10^5 - 99 = 100000 - 99 = 99901 \)

Buna göre, sonucun son iki basamağı her zaman "01" olur ve sayının başında 10'un kuvvetinin iki eksiği kadar 9 bulunur.

\( 10^{55} - 99 = \underbrace{999\ldots9}_\text{53 adet}01 \)

Sonucun rakamlarının toplamını bulalım.

\( 53 \cdot 9 + 1 = 478 \) bulunur.