Üslü İfadeli Denklemler
Bu bölümde üslü ifadeler içeren farklı tipteki denklemlerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Denklem çözümünde sıklıkla kullanılan bir yöntem olarak, aynı sayının tam sayı üssü olarak yazılabilen sayıların tabanları eşitlenebilir. Eşitlenebilir olmayan tabanların sadece aralarında asal sayılardan oluşmadığına dikkat edilmelidir.
Eşitlenebilir tabanlar:
\( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \)
\( (\frac{1}{27}) = 3^{-3} \) ve \( 81 = 3^4 \)
Eşitlenebilir olmayan tabanlar:
\( 3 \) ve \( 5 \)
\( 4 = 2^2 \) ve \( 6 = 2 \cdot 3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \) ve \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
Tabanları Eşit İfadeler
\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir. Tabanları eşit olmayan iki üslü ifadenin tabanları eşitlenebiliyorsa eşitleme işlemi sonrasında bu yöntem kullanılabilir.
\( x \in \mathbb{R} - \{ -1, 0, 1 \} \) ve \( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^m = x^n \Longrightarrow m = n \)
\( 3^{2m - 1} = 3^7 \)
\( 2m - 1 = 7 \)
\( m = 4 \)
\( 4^{2a + 3} = 32^{a - 1} \)
\( 2^{2(2a + 3)} = 2^{5(a - 1)} \)
\( 2(2a + 3) = 5(a - 1) \)
\( a = 11 \)
Üsleri Eşit İfadeler
Üslü ifadelerin üsleri eşit ise denklem çözümü üssün tek ya da çift sayı olmasına göre iki farklı şekilde olabilir. Üsleri eşit olmayan iki ifadenin üsleri eşitlenebiliyorsa eşitleme işlemi sonrasında bu iki yöntem kullanılabilir.
Üsler Tek Sayı
Üsleri eşit ve tek sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların tek sayı üslerinde işlem sonucunun işaretinin her zaman tabanla aynı olmasıdır.
\( x, y \in \mathbb{R} \),
\( n \in \mathbb{Z} \) ve tek sayı olmak üzere,
\( x^n = y^n \Longrightarrow x = y \)
\( x^3 = 5^3 \)
\( x = 5 \)
\( (a - 1)^7 = (2a + 3)^7 \)
\( a - 1 = 2a + 3 \)
\( a = -4 \)
Üsler Çift Sayı
Üsleri eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanların mutlak değeri birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların çift sayı üslerinde işlem sonucunun işaretinin her zaman pozitif olmasıdır.
\( x, y \in \mathbb{R} \),
\( n \in \mathbb{Z} - \{0\} \) ve çift sayı olmak üzere,
\( x^n = y^n \Longrightarrow \abs{x} = \abs{y} \)
\( x^4 = 3^4 \)
\( \abs{x} = \abs{3} = 3 \)
\( x \in \{-3, 3\} \)
\( (2a + 1)^4 = (a - 7) ^4 \)
\( \abs{2a + 1} = \abs{a - 7} \)
Çözüm 1: \( 2a + 1 = a - 7 \)
\( a = -8 \)
Çözüm 2: \( 2a + 1 = -(a - 7) \)
\( a = 2 \)
\( a \in \{-8, 2\} \)
Üssü Tam Sayı Olan İfadeler
Üsleri tam sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.
\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x \) ve \( y \) eşitlenebilir tabanlar değilse,
\( x^m = y^n \)
\( m = n = 0 \Longrightarrow x^0 = y^0 = 1 \)
\( 4^m = 6^n \) ise,
4 ve 6 eşitlenebilir tabanlar olmadığı için, \( m = n = 0 \) olur.
\( 4^0 = 6^0 = 1 \)
Sonucu Bir Olan İfadeler
Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
\( x^a = 1 \) ise,
Çözüm 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x^0 = 1 \)
Çözüm 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( 1^a = 1 \)
Çözüm 3: Taban -1, üs çift sayıdır.
\( (-1)^\text{Çift} = 1 \)
\( (x + 3)^{x - 2} = 1\) denkleminin çözüm kümesi:
Çözüm 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x + 3 \ne 0 \Longrightarrow x \ne -3 \)
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
\( 2 \ne -3 \) olduğu için \( x = 2 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x + 3 = 1 \Longrightarrow x = -2 \)
Çözüm 3: Taban -1, üs çift sayıdır.
\( x + 3 = -1 \Longrightarrow x = -4 \)
\( x = -4 \) için ifadenin üssü çift sayı olduğu için \( x = -4 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -2, 2\} \)
Tabanları Aynı İki Eşitlik
Aşağıdaki gibi tabanları aynı üsleri farklı olan iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranı birbirine eşit olur.
\( x^a = y^b \) ve
\( x^m = y^n \) ise,
\( \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} \)
\( 2^a = 3^{2b} \)
\( 2^{3m} = 3^n \)
\( \dfrac{a}{3m} = \dfrac{2b}{n} \)
\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterÜsleri eşit ve tek sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşittir.
\( x + 5 = 2x - 1 \)
\( x = 6 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{6\} \)
\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterÜsleri eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanların mutlak değerleri birbirine eşittir.
\( \abs{x + 1} = \abs{3x - 13} \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( x + 1 = 3x - 13 \)
\( x = 7 \)
Durum 2:
\( x + 1 = -(3x - 13) \)
\( x = 3 \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{3, 7\} \)
\( (x - 5)^{9 - x^2} = 1 \) denklemini sağlayan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x - 5 \ne 0 \Longrightarrow x \ne 5 \)
\( 9 - x^2 = 0 \)
\( x \in \{-3, 3\} \)
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6 \)
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.
\( x - 5 = -1 \Longrightarrow x = 4 \)
\( x = 4 \) için ifadenin üssü çift sayı olmadığı için \( x = 4 \) geçerli bir çözüm değildir.
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -3, 3, 6 \} \)
Buna göre denklemi sağlayan değerlerin toplamı \( -3 + 3 + 6 = 6 \) olur.
\( (0,25)^{5 - x} = 8^{2x - 14} \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin taraflarını 2 tabanında yazalım.
\( \left( \dfrac{1}{4} \right)^{5 - x} = (2^3)^{2x - 14} \)
\( (2^{-2})^{5 - x} = 2^{6x - 42} \)
\( 2^{-10 + 2x} = 2^{6x - 42} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -10 + 2x = 6x - 42 \)
\( x = 8 \) bulunur.
\( 7^x = 64, \quad 16^y = 49 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliklerdeki ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( 7^x = 64 \Longrightarrow 7^x = 2^6 \)
\( 16^y = 49 \Longrightarrow 7^2 = 2^{4y} \)
Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.
\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{4y} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4xy = 12 \)
\( xy = 3 \) bulunur.
\( \dfrac{2^a}{4^{a + 2}} + 2^{2a} - \dfrac{4^{a + 2}}{16} = 128 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterTüm üslü ifadeleri tabanları 2 olacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{2^a}{2^{2(a + 2)}} + 2^{2a} - \dfrac{2^{2(a + 2)}}{2^4} = 2^7 \)
\( 2^{a - 2(a + 2)} + 2^{2a} - 2^{2(a + 2) - 4} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} + 2^{2a} - 2^{2a} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} = 2^7 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -a - 4 = 7 \)
\( a = -11 \) bulunur.
Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
(a) \( 16^x = 64 \)
(b) \( 6 \cdot 27^{2x} = 2 \cdot 243^{\frac{2x}{5}} \)
(c) \( \left( \dfrac{6}{49} \right)^3 = \dfrac{x + 2}{343} \)
Çözümü Göster\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir.
(a) seçeneği:
\( 16^x = 64 \)
\( (2^4)^x = 2^6 \)
\( 2^{4x} = 2^6 \)
\( 4x = 6 \)
\( x = \dfrac{3}{2} \)
(b) seçeneği:
\( 6 \cdot 27^{2x} = 2 \cdot 243^{\frac{2x}{5}} \)
\( 2 \cdot 3 \cdot (3^3)^{2x} = 2 \cdot (3^5)^{\frac{2x}{5}} \)
\( 3 \cdot (3^3)^{2x} = (3^5)^{\frac{2x}{5}} \)
\( 3 \cdot 3^{6x} = 3^{5 \cdot \frac{2x}{5}} \)
\( 3^{6x + 1} = 3^{2x} \)
\( 6x + 1 = 2x \)
\( 4x = -1 \)
\( x = -\dfrac{1}{4} \)
(c) seçeneği:
\( \left( \dfrac{6}{49} \right)^3 = \dfrac{x + 2}{343} \)
\( \dfrac{6^3}{49^3} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)
\( \dfrac{6^3}{(7^2)^3} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)
\( \dfrac{6^3}{7^6} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 6^37^3 = 7^6(x + 2) \)
\( 6^3 = 7^3(x + 2) \)
\( 216 = 343(x + 2) \)
\( \dfrac{216}{343} = x + 2 \)
\( x = -\dfrac{470}{343} \)
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (4x + 5y - 8)^{22} + (2x - 3y + 7)^{44} = 0 \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü GösterÜssü çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Üsleri çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamları sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
\( 4x + 5y - 8 = 0 \)
\( 2x - 3y + 7 = 0 \)
İkinci denklemi -2 ile çarpalım.
\( 4x + 5y - 8 = 0 \)
\( -4x + 6y - 14 = 0 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 11y - 22 = 0 \)
\( y = 2 \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım.
\( 4x + 5(2) - 8 = 0 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
\( x + y = -\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} \) bulunur.
\( \dfrac{2^{a + 1} + 2^{a + 4} - 2^{a + 3}}{3^{a + 2} + 3^{a + 3} + 3^{a + 4}} = \dfrac{5}{39} \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterPaydaki terimleri \( 2^a \), paydadaki terimleri \( 3^a \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^a(2 + 2^4 - 2^3)}{3^a(3^2 + 3^3 + 3^4)} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a(2 + 16 - 8)}{3^a(9 + 27 + 81)} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a \cdot 10}{3^a \cdot 117} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a}{3^a} = \dfrac{5 \cdot 117}{39 \cdot 10} \)
\( \dfrac{2^a}{3^a} = \dfrac{3}{2} \)
\( \left( \dfrac{2}{3} \right)^a = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( a = -1 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5^{3a + 4b} \cdot 81^a = 3^{7 - 3b} \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 5^{3a + 4b} \cdot 3^{4a} = 3^{7 - 3b} \)
\( 5^{3a + 4b} = \dfrac{3^{7 - 3b}}{3^{4a}} \)
\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b - 4a} \)
Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.
\( 5^0 = 3^0 = 1 \)
\( 3a + 4b = 0 \)
\( 7 - 3b - 4a = 0 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( a = 4, \quad b = -3 \)
\( ab = 4 \cdot (-3) = -12 \) bulunur.
\( x^2 - y^2 = 7 \)
\( \dfrac{16^{x - y}}{16^{y - x}} = 256 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 16^{x - y - y + x} = 16^2 \)
\( 16^{2(x - y)} = 16^2 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2(x - y) = 2 \)
\( x - y = 1 \)
Verilen birinci eşitliği çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - y^2 = 7 \)
\( (x - y)(x + y) = 7 \)
\( 1 \cdot (x + y) = 7 \)
\( x + y = 7 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( x = 4, \quad y = 3 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( xy = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
\( (x^2 - 4x - 22)^{x^2 - 5x - 36} = 1 \) denkleminin çözüm kümesinde kaç tam sayı değer vardır?
Çözümü GösterSonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x^2 - 5x - 36 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 9) = 0 \)
\( x = -4 \) ya da \( x = 9 \)
Bu iki değerin tabanı 0 yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( x = -4 \) için:
\( (-4)^2 - 4(-4) - 22 = 10 \)
\( x = 9 \) için:
\( 9^2 - 4(9) - 22 = 23 \)
Her iki değer için de taban 0'dan farklı olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x^2 - 4x - 22 = 1 \)
\( x^2 - 4x - 23 = 0 \)
İkinci dereceden denklemin deltasını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = -23 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 4^2 - 4(1)(-23) = 108 = 6\sqrt{3} \)
Denklemin deltası pozitif olsa da bir tam kare sayı değildir, dolayısıyla denklemin tam sayı kökü yoktur.
Buna göre tabanı 1 yapan bir \( x \) değeri yoktur.
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.
\( x^2 - 4x - 22 = -1 \)
\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 7) = 0 \)
\( x = -3 \) ya da \( x = 7 \)
Bu iki değerin üssü çift sayı yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( x = -3 \) için:
\( (-3)^2 - 5(-3) - 36 = -12 \)
\( x = 7 \) için:
\( 7^2 - 5(7) - 36 = -22 \)
Her iki değer için de üs çift olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -4, -3, 7, 9 \} \)
Buna göre çözüm kümesinde 4 tam sayı değer vardır.
\( x, y, z \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (x^2 - 16)^6 + (y^3 - 8)^4 + (z^4 - 1)^2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterÜssü çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Üsleri çift sayı olan üç reel sayı ifadenin toplamları sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
\( x^2 - 16 = 0 \)
\( x^2 = 16 \)
\( x = \pm 4 \)
\( y^3 - 8 = 0 \)
\( y^3 = 8 \)
\( y = 2 \)
\( z^4 - 1 = 0 \)
\( z^4 = 1 \)
\( z = \pm 1 \)
\( y \) tek bir değer, \( x \) ve \( z \) ikişer değer alabildiği için, sıralı üçlülerden oluşan çözüm kümesi \( 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \) elemanlı olur.
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = \{ (4, 2, 1), (4, 2, -1), (-4, 2, 1), (-4, 2, -1) \} \)
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + y^2 = 4y - 8x - 20 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterTüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( x^2 + y^2 - 4y + 8x + 20 = 0 \)
Terimleri incelediğimizde \( xy \)'li terim bulunmadığını görürüz, dolayısıyla terimler \( (x \pm y)^2 \) biçiminde paranteze alınamaz.
Buna göre terimleri \( (x \pm a)^2 \) ve \( (y \pm b)^2 \) formunda yazabilecek şekilde gruplayalım.
\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 20 = 0 \)
Her parantezi tam kareye tamamlamak için ihtiyaç duyulan terimler sırasıyla 16 ve 4'tür.
\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 0 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 0 \)
Üssü çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Üsleri çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamları sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
\( x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \)
\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( xy = -4 \cdot 2 = -8 \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 64^{x - y} \cdot 125^{2x + y - 3} = 100^{18} \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü GösterÜslü ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( (2^6)^{x - y} \cdot (5^3)^{2x + y - 3} = (2^2 \cdot 5^2)^{18} \)
\( 2^{6(x - y)} \cdot 5^{3(2x + y - 3)} = 2^{2(18)} \cdot 5^{2(18)} \)
\( 2^{6x - 6y} \cdot 5^{6x + 3y - 9} = 2^{36} \cdot 5^{36} \)
Tabanı aynı olan ifadeleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2^{6x - 6y}}{2^{36}} = \dfrac{5^{36}}{5^{6x + 3y - 9}} \)
\( 2^{6x - 6y - 36} = 5^{36 - 6x - 3y + 9} \)
Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.
\( 6x - 6y - 36 = 0 \)
\( x - y = 6 \)
\( 36 - 6x - 3y + 9 = 0 \)
\( 2x + y = 15 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( x = 7, \quad y = 1 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( x + y = 7 + 1 = 8 \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x + 2 = 0 \)
olduğuna göre, \( x^3 + y^5 \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayıralım.
\( 2y^2 = y^2 + y^2 \) şeklinde iki terime ayıralım.
\( (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
\( (x + y)^2 + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafına \( 2y \) ekleyip \( 2y \) çıkaralım ve sabit terimi \( 2 = 1 + 1 \) şeklinde yazalım.
\( (x + y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( - 2x - 2y \) ifadesini -2 parantezine alalım.
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \)
2., 3. ve 4. terimleri \( ((x + y) - 1)^2 \) şeklinde yazabiliriz.
\( (y + 1)^2 + ((x + y) - 1)^2 = 0 \)
\( (y + 1)^2 + (x + y - 1)^2 = 0 \)
Üssü çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Üsleri çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamları sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
\( y + 1 = 0 \Longrightarrow y = -1 \)
\( x + y - 1 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( x^3 + y^5 = 2^3 + (-1)^5 \)
\( = 8 - 1 = 7 \) bulunur.