Bu bölümde üslü ifadeler içeren farklı tipteki denklemlerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Denklem çözümünde sıklıkla kullanılan bir yöntem olarak, aynı sayının tam sayı üssü olarak yazılabilen sayıların tabanları eşitlenebilir. Eşitlenebilir olmayan tabanların sadece aralarında asal sayılardan oluşmadığına dikkat edilmelidir.
\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir. Tabanları eşit olmayan iki üslü ifadenin tabanları eşitlenebiliyorsa eşitleme işlemi sonrasında bu yöntem kullanılabilir.
Üslü ifadelerin üsleri eşit ise denklem çözümü üssün tek ya da çift sayı olmasına göre iki farklı şekilde olabilir. Üsleri eşit olmayan iki ifadenin üsleri eşitlenebiliyorsa eşitleme işlemi sonrasında bu iki yöntem kullanılabilir.
Üsleri eşit ve tek sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların tek sayı üslerinde işlem sonucunun işaretinin her zaman tabanla aynı olmasıdır.
Üsleri eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanların mutlak değeri birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların çift sayı üslerinde işlem sonucunun işaretinin her zaman pozitif olmasıdır.
Üsleri tam sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.
Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Aşağıdaki gibi tabanları aynı üsleri farklı olan iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranı birbirine eşit olur.
SORU 1:
\( 3^x = 5, \quad 9^y = 125 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + y}{x - y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen iki eşitlikte 9'un 3'ün, 125'in de 5'in bir tam sayı kuvveti olduğunu görebiliriz. \( x \) ve \( y \) arasında bir bağıntı kurabilmek için ikinci eşitliğin iki tarafındaki sayıları asal tabanlara çevirelim.
\( 9^y = 3^{2y} = 5^3 \)
Birinci eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( (3^x)^3 = 3^{3x} = 5^3 \)
İki eşitlikte \( 5^3 \) değerine eşit iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.
\( 3^{3x} = 3^{2y} \)
Tabanları -1, 0 ve 1'den farklı ve eşit olan üslü ifadelerin üsleri eşittir.
\( 3x = 2y \)
Değeri sorulan oranda \( 2y = 3x \) yazalım.
\( \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{2x + 2y}{2x - 2y} \)
\( = \dfrac{2x + 3x}{2x - 3x} = \dfrac{5x}{-x} = -5 \) bulunur.
SORU 2:
\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafındaki ifadelerin üsleri eşit ve birer tek sayı olduğu için, tabanlar eşit olmak zorundadır.
\( x + 5 = 2x - 1 \)
\( x = 6 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{6\} \)
SORU 3:
\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafındaki ifadelerin üsleri eşit ve birer çift sayı olduğu için, tabanların mutlak değerleri eşit olmak zorundadır.
\( \abs{x + 1} = \abs{3x - 13} \)
Durum 1:
\( x + 1 = 3x - 13 \)
\( x = 7 \)
Durum 2:
\( x + 1 = -(3x - 13) \)
\( x = 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{3, 7\} \)
SORU 4:
\( (x - 5)^{9 - x^2} = 1 \) denklemini sağlayan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x - 5 \ne 0 \)
\( 9 - x^2 = 0 \)
\( x \in \{-3, 3\} \)
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6 \)
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.
\( x - 5 = -1 \Longrightarrow x = 4 \)
\( x = 4 \) için ifadenin üssü çift sayı olmadığı için \( x = 4 \) geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 6\} \)
Buna göre denklemi sağlayan değerler toplamı \( -3 + 3 + 6 = 6 \) olur.
SORU 5:
\( (x^2 - 4x - 22)^{x^2 - 5x - 36} = 1 \) denkleminin çözüm kümesinde kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster
Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x^2 - 5x - 36 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 9) = 0 \)
\( x = -4 \) ya da \( x = 9 \)
Bu iki değerin tabanı 0 yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( x = -4 \) için:
\( (-4)^2 - 4(-4) - 22 = 10 \)
\( x = 9 \) için:
\( 9^2 - 4(9) - 22 = 23 \)
Her iki değer için de taban 0'dan farklı olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x^2 - 4x - 22 = 1 \)
\( x^2 - 4x - 23 = 0 \)
Bu denklemin deltası pozitif olsa da tam kare bir sayı değildir, dolayısıyla denklemin tam sayı kökü yoktur.
\( \Delta = 4^2 - 4(1)(-23) = 108 \)
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.
\( x^2 - 4x - 22 = -1 \)
\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 7) = 0 \)
\( x = -3 \) ya da \( x = 7 \)
Bu iki değerin üssü çift sayı yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( x = -3 \) için:
\( (-3)^2 - 5(-3) - 36 = -12 \)
\( x = 7 \) için:
\( 7^2 - 5(7) - 36 = -22 \)
Her iki değer için de üs çift olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -3, 7, 9\} \)
Buna göre çözüm kümesinde 4 tam sayı değer vardır.
SORU 6:
\( (0,25)^{5 - x} = 8^{2x - 14} \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafını 2 tabanında yazalım.
\( (\frac{1}{4})^{5 - x} = (2^3)^{2x - 14} \)
\( (2^{-2})^{5 - x} = 2^{6x - 42} \)
\( 2^{-10 + 2x} = 2^{6x - 42} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -10 + 2x = 6x - 42 \)
\( x = 8 \) bulunur.
SORU 7:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (4x + 5y - 8)^{22} + (2x - 3y + 7)^{44} = 0 \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü Göster
Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfırdır.
\( 4x + 5y - 8 = 0 \)
\( 2x - 3y + 7 = 0 \)
İkinci denklemi -2 ile çarpalım.
\( 4x + 5y - 8 = 0 \)
\( -4x + 6y - 14 = 0 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 11y - 22 = 0 \)
\( y = 2 \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım.
\( 4x + 5(2) - 8 = 0 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
\( x + y = -\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} \) bulunur.
SORU 8:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + y^2 = 4y - 8x - 20 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( x^2 + y^2 - 4y + 8x + 20 = 0 \)
Terimleri incelediğimizde \( xy \)'li terim bulunmadığını görürüz, dolayısıyla terimler \( (x \pm y)^2 \) biçiminde paranteze alınamaz.
Buna göre terimleri \( (x \pm a)^2 \) ve \( (y \pm b)^2 \) biçiminde yazılabilecek şekilde gruplayalım.
\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 20 = 0 \)
Eksik sabit terimler için \( 20 = 16 + 4 \) şeklinde yazalım.
\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 0 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 0 \)
Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfırdır.
\( x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \)
\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)
Buna göre \( xy = -4 \cdot 2 = -8 \) bulunur.
SORU 9:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x + 2 = 0 \)
olduğuna göre, \( x^3 + y^5 \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayıralım.
\( 2y^2 = y^2 + y^2 \) şeklinde iki terime ayıralım.
\( (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
\( (x + y)^2 + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafına \( 2y \) ekleyip \( 2y \) çıkaralım ve sabit terimi \( 2 = 1 + 1 \) şeklinde yazalım.
\( (x + y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( - 2x - 2y \) ifadesini -2 parantezine alalım.
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \)
2., 3. ve 4. terimleri \( ((x + y) - 1)^2 \) şeklinde yazabiliriz.
\( (y + 1)^2 + ((x + y) - 1)^2 = 0 \)
Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfırdır.
\( y + 1 = 0 \Longrightarrow y = -1 \)
\( x + y - 1 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( x^3 + y^5 = 2^3 + (-1)^5 = 8 - 1 = 7 \) bulunur.
SORU 10:
\( \dfrac{2^{a + 1} + 2^{a + 4} - 2^{a + 3}}{3^{a + 2} + 3^{a + 3} + 3^{a + 4}} = \dfrac{5}{39} \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Paydaki terimleri \( 2^a \), paydadaki terimleri \( 3^a \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^a\ (2 + 2^4 - 2^3)}{3^a\ (3^2 + 3^3 + 3^4)} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a\ (2 + 16 - 8)}{3^a\ (9 + 27 + 81)} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a \cdot 10}{3^a \cdot 117} = \dfrac{5}{39} \)
Sadeleştirmeleri yapalım.
\( \dfrac{2^{a}}{3^{a}} = \dfrac{3}{2} \)
\( (\dfrac{2}{3})^a = (\dfrac{2}{3})^{-1} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( a = -1 \) bulunur.
SORU 11:
\( 7^x = 64, \quad 16^y = 49 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliklerdeki ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( 7^x = 64 \Longrightarrow 7^x = 2^6 \)
\( 16^y = 49 \Longrightarrow 7^2 = 2^{4y} \)
Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.
\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{4y} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4xy = 12 \)
\( xy = 3 \) bulunur.
SORU 12:
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5^{3a + 4b} \cdot 81^a = 3^{7 - 3b} \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5^{3a + 4b} \cdot 3^{4a} = 3^{7 - 3b} \)
\( 5^{3a + 4b} = \dfrac{3^{7 - 3b}}{3^{4a}} \)
\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b} \cdot 3^{-4a} \)
\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b - 4a} \)
Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.
\( 5^0 = 3^0 = 1 \)
\( 3a + 4b = 0 \)
\( 7 - 3b - 4a = 0 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( a = 4, \quad b = -3 \)
Buna göre \( ab = 4 \cdot (-3) = -12 \) bulunur.
SORU 13:
\( \dfrac{2^a}{4^{a + 2}} + 2^{2a} - \dfrac{4^{a + 2}}{16} = 128 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm üslü ifadeleri tabanları 2 olacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{2^a}{2^{2(a + 2)}} + 2^{2a} - \dfrac{2^{2(a + 2)}}{2^4} = 2^7 \)
\( 2^{a - 2(a + 2)} + 2^{2a} - 2^{2(a + 2) - 4} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} + 2^{2a} - 2^{2a} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} = 2^7 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -a - 4 = 7 \)
\( a = -11 \) bulunur.
SORU 14:
\( x^2 - y^2 = 7, \quad \dfrac{16^{x - y}}{16^{y - x}} = 256 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 16^{x - y - y + x} = 16^2 \)
\( 16^{2(x - y)} = 16^2 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2(x - y) = 2 \)
\( x - y = 1 \)
\( x^2 - y^2 = 7 \)
\( (x - y)(x + y) = 7 \)
\( 1 \cdot (x + y) = 7 \)
\( x + y = 7 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( x = 4, \quad y = 3 \)
Buna göre \( xy = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
SORU 15:
\( 25^x = 130 \cdot 5^x - 625 \) denklemini sağlayan \( x \) reel sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5^{2x} = 130 \cdot 5^x - 625 \)
\( (5^x)^2 - 130 \cdot 5^x + 625 = 0 \)
\( 5^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 130t + 625 = 0 \)
\( (t - 5)(t - 125) = 0 \)
\( t = 5 \) ya da \( t = 125 \)
\( t = 5 = 5^x \Longrightarrow x = 1 \)
\( t = 125 = 5^x \Longrightarrow x = 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 3\} \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( 1 + 3 = 4 \) olur.
SORU 16:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 64^{x - y} \cdot 125^{2x + y - 3} = 100^{18} \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü Göster
Üslü ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( (2^6)^{x - y} \cdot (5^3)^{2x + y - 3} = (2^2 \cdot 5^2)^{18} \)
\( 2^{6(x - y)} \cdot 5^{3(2x + y - 3)} = 2^{2(18)} \cdot 5^{2(18)} \)
\( 2^{6x - 6y} \cdot 5^{6x + 3y - 9} = 2^{36} \cdot 5^{36} \)
Tabanı aynı olan ifadeleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2^{6x - 6y}}{2^{36}} = \dfrac{5^{36}}{5^{6x + 3y - 9}} \)
\( 2^{6x - 6y - 36} = 5^{36 - 6x - 3y + 9} \)
Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.
\( 6x - 6y - 36 = 0 \)
\( x - y = 6 \)
\( 36 - 6x - 3y + 9 = 0 \)
\( 2x + y = 15 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( x = 7, \quad y = 1 \)
Buna göre \( x + y = 7 + 1 = 8 \) bulunur.