Bu bölümde farklı tiplerdeki üslü ifadeli denklemlerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Aşağıda belirtilen üç değer hariç olmak üzere, bir denklemde tabanlar birbirine eşitse ya da eşitlenebiliyorsa üsler de eşittir.
\( x \notin \{ -1, 0, 1 \} \) olmak üzere,
\( x^m = x^n \Longrightarrow m = n \)
\( 3^{2m - 1} = 3^7 \Longrightarrow 2m - 1 = 7 \)
\( 4^{2a + 3} = 32^{a - 1} \)
\( 2^{2(2a + 3)} = 2^{5(a - 1)} \Longrightarrow a = 11 \)
\( 3^x = 5, \quad 9^y = 125 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + y}{x - y} \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
Bir denklemde üsler eşit ve tek sayı ise tabanlar birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların tek sayı üslerinde işlem sonucunun tabanın işareti ile aynı olmasıdır.
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x^{2n + 1} = y^{2n + 1} \Longrightarrow x = y \)
\( x^3 = 5^3 \Longrightarrow x = 5 \)
\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulalım.
Çözümü Göster
Bir denklemde üsler eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı ise tabanların mutlak değeri birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların çift sayı üslerinde taban pozitif de negatif de olsa sonucun pozitif olmasıdır.
\( n \in \mathbb{Z} - \{ 0 \} \) olmak üzere,
\( x^{2n} = y^{2n} \Longrightarrow \abs{x} = \abs{y} \)
Buna göre, \( x = y \) veya \( x = -y \)
\( x^4 = 3^4 \Longrightarrow x = \{ -3, 3 \} \)
\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulalım.
Çözümü Göster
Tabanları ve üsleri doğal sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, \( x \) ve \( y \) eşitlenebilir tabanlar değilse üsler sıfır olur. Bu şekildeki iki ifadenin tabanlarının eşitlenebilmesi için tabanların aynı sayının birer tam sayı kuvveti olması gerekir.
\( x, y, m, n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( x^m = y^n \)
\( x \) ve \( y \) eşitlenebilir tabanlar değilse,
\( m = n = 0 \Longrightarrow x^0 = y^0 = 1 \)
\( 4^m = 6^n \) ise,
4 ve 6 eşitlenebilir tabanlar olmadığı için, \( m = n = 0 \) olur.
\( 4^0 = 6^0 = 1 \)
\( x \) ve \( y \) eşitlenebilir tabanlar ise üslerin sıfır olma çözümüne ek olarak tabanlar eşitlendiğinde oluşan üsler birbirine eşit olur.
\( x^m = y^n \)
\( x \) ve \( y \) eşitlenebilir tabanlar ise,
(1) Üsler sıfırdır. \( m = n = 0 \Longrightarrow x^0 = y^0 = 1 \)
veya
(2) Tabanlar eşitlendiğinde oluşan üsler birbirine eşit olur.
\( 9^m = 27^n \) ise,
9 ve 27 eşitlenebilir tabanlardır.
\( 3^{2m} = 3^{3n} \)
Buna göre, \( m = n = 0 \) veya \( 2m = 3n \) olur.
Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
\( x^a = 1 \) ise,
Çözüm 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır. (\( x^0 = 1 \))
Çözüm 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır. (\( 1^a = 1 \))
Çözüm 3: Taban -1, üs çift sayıdır. (\( (-1)^\text{Çift} = 1 \))
\( (x + 3)^{x - 2} = 1\) ise \( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster
Üs tek sayı olduğunda denklemin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
\( n \in \mathbb{Z}, \quad a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^{2n + 1} = a \)
\( x^3 = 27 \Longrightarrow x \in \{ 3 \} \)
\( y^5 = -32 \Longrightarrow y \in \{ -2 \} \)
Üs (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olduğunda denklemin çözüm kümesi sıfır, bir ya da iki elemanlı olabilir.
\( n \in \mathbb{Z} - \{ 0 \}, \quad a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^{2n} = a \)
\( a \gt 0 \Longrightarrow \) Çözüm kümesi iki elemanlıdır.
\( a = 0 \Longrightarrow \) Çözüm sıfırdır.
\( a \lt 0 \Longrightarrow \) Çözüm kümesi boş kümedir.
\( x^4 = 81 \Longrightarrow y \in \{ -3, 3 \} \)
\( y^6 = 0 \Longrightarrow y \in \{ 0 \} \)
\( z^4 = -16 \Longrightarrow z \in \{ \} \)
Aşağıdaki gibi tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranı birbirine eşit olur.
\( x^a = y^b \) ve
\( x^m = y^n \) ise,
\( \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} \)
\( 2^a = 9^b, \quad 8^m = 3^n \) ise,
\( 2^a = 3^{2b}, \quad 2^{3m} = 3^n \)
\( \dfrac{a}{3m} = \dfrac{2b}{n} \)