Toplama Yoluyla Sayma
Toplama yoluyla saymaya göre, \( A \) ve \( B \) olayları sırasıyla \( m \) ve \( n \) farklı şekilde sonuçlanabiliyorsa ve bu iki olay ortak bir sonuç içermiyorsa bu olaylardan sadece biri \( m + n \) farklı şekilde sonuçlanabilir.
Toplama yoluyla saymayı kümeler üzerinden tanımlarsak, birbirinden ayrık \( A \) ve \( B \) kümeleri sırasıyla \( m \) ve \( n \) elemanlı ise birleşim kümelerinin eleman sayısı \( m + n \) olur.
\( A \) ve \( B \) sonlu ve ayrık iki küme olmak üzere,
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) \)
\( A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \} \)
\( B = \{ b_1, b_2, b_3 \} \)
\( A \cup B = \{ a_1, a_2, a_3, a_4, b_1, b_2, b_3 \} \)
\( s(A \cap B) = \emptyset \) olduğu için,
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) = 7 \)
Benzer şekilde, sonlu \( n \) tane küme ikişerli ayrık ise birleşim kümelerinin eleman sayısı bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşit olur.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) sonlu ve ikişerli ayrık kümeler olmak üzere,
\( s(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) = s(A_1) + s(A_2) + \ldots + s(A_n) \)
Toplama yoluyla saymaya kısaca toplama kuralı da denir.
Kümeler konusunda yaptığımız tanıma göre; iki kümenin ayrık olması kesişim kümelerinin boş küme olması, \( n \) tane kümenin ikişerli ayrık olması kümelerin tüm ikişerli kesişim kümelerinin boş küme olması anlamına gelir.
Toplama yoluyla saymanın uygulamalarında bu kümelerin elemanları olayların farklı sonuçlarına, tamamlanması gereken işlere ya da arasından seçim yapılacak farklı seçeneklere karşılık gelebilir.
Bu yöntem ile tek adımda hesaplaması daha zor olan sayma problemleri daha küçük alt problemlere bölünerek birkaç adımda çözülebilir. Örneğin bir kasadaki paralar tek seferde sayılmak yerine farklı tipteki banknotlar (200 TL, 100 TL vb.) ya da desteler ayrı ayrı sayılarak sonuçlar toplanabilir.
Bir problemin çözümünde toplama kuralının kullanılabileceğine işaret eden bir ipucu, problem tanımındaki kümelerin birleşiminden sadece bir eleman seçilmesi gerektiğini belirten "YA DA" ya da "VEYA" bağlaçları olmaktadır.
Sena akşam TV'de film ya da dizi izlemek istemektedir. TV programına göre akşam 9 farklı film ve 7 farklı dizi seçeneği olduğuna göre, sadece bir program izleyecek olan Sena'nın kaç farklı seçeneği vardır?
Çözümü GösterFilm ve dizi seçenekleri ayrık kümelerdir. Ayrıca Sena verilen program seçeneklerinden sadece birini izleyecektir.
Buna göre, Sena'nın arasından seçim yapacağı birleşim kümesinde toplam \( 9 + 7 = 16 \) farklı program seçeneği vardır. Sena bu programlardan sadece birini 16 farklı şekilde seçebilir.
\( F \) ve \( D \) sırasıyla film ve dizi seçenek kümeleri olmak üzere,
\( F = \{ f_1, f_2, \cdots, f_9 \} \)
\( D = \{ d_1, d_2, \cdots, d_7 \} \)
\( F \) ve \( D \) ayrık kümeler oldukları için,
\( s(F \cup D) = s(F) + s(D) = 16 \)
Ozan üniversitede tıp, dişçilik ya da eczacılık okumak istemektedir. Okumak istediği şehir ve üniversitelerde tıp için 17, dişçilik için 14, eczacılık için 16 farklı tercih seçeneği bulunmaktadır.
Mutlaka bir programa yerleşeceğini düşünen Ozan'ın yerleşebileceği kaç farklı program vardır?
Çözümü GösterTıp, dişçilik ve eczacılık tercih seçenekleri ikişerli ayrık kümelerdir. Ayrıca Ozan verilen tercih seçeneklerinden sadece birine yerleşecektir.
Buna göre, Ozan'ın arasından seçim yapacağı birleşim kümesinde toplam \( 17 + 14 + 16 = 47 \) farklı program vardır. Ozan bu programlardan sadece birine 47 farklı şekilde yerleşebilir.
\( T \), \( D \) ve \( E \) sırasıyla tıp, dişçilik ve eczacılık seçenek kümeleri olmak üzere,
\( T = \{ t_1, t_2, \cdots, t_{17} \} \)
\( D = \{ d_1, d_2, \cdots, d_{14} \} \)
\( E = \{ e_1, e_2, \cdots, e_{16} \} \)
\( T \), \( D \) ve \( E \) ikişerli ayrık kümeler oldukları için,
\( s(T \cup D \cup E) = s(T) + s(D) + s(E) = 47 \)
Bir okulda 10. sınıflardaki A, B ve C şubelerinde sırasıyla 32, 29 ve 30 öğrenci bulunmaktadır. Tüm 10. sınıflar adına bir etkinliğe katılacak bir temsilci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü GösterHer şubedeki öğrenciler ikişerli ayrık kümelerdir. Ayrıca tüm şubelerdeki öğrencilerden sadece biri seçilecektir.
Buna göre, tüm şubelerin birleşim kümesinde toplam \( 32 + 29 + 30 = 91 \) öğrenci vardır. Bu öğrencilerden sadece biri 91 farklı şekilde seçilebilir.
\( A \), \( B \) ve \( C \) sırasıyla her şubedeki öğrencilerin kümesi olmak üzere,
\( A = \{ a_1, a_2, \cdots, a_{32} \} \)
\( B = \{ b_1, b_2, \cdots, b_{29} \} \)
\( C = \{ c_1, c_2, \cdots, c_{30} \} \)
\( A \), \( B \) ve \( C \) ikişerli ayrık kümeler oldukları için,
\( s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) = 91 \)
Umut kardeşine burger, pizza ya da pide ısmarlamak istemektedir. Gidecekleri AVM'de 5 burgerci, 2 pizzacı ve 4 pideci olduğuna göre, Umut bir restoranı kaç farklı şekilde seçebilir?
Çözümü GösterBurgerci, pizzacı ve pideci seçenekleri ikişerli ayrık kümelerdir. Ayrıca Umut ve kardeşi verilen restoran seçeneklerinden sadece birine gidecektir.
Buna göre, Umut'un içinden seçim yapacağı birleşim kümesinde toplam \( 5 + 2 + 4 = 11 \) farklı restoran seçeneği vardır. Umut bu restoranlardan sadece birini 11 farklı şekilde seçebilir.
Bir dijital saatte 00:00 ile 23:59 saatleri arasında soldan ve sağdan okuduğunda aynı saati gösteren kaç farklı zaman vardır?
Çözümü Gösterab:ba şeklinde kaç farklı zaman olduğunu bulalım.
\( a \in \{0, 1, 2\} \) olabilir.
\( a \)'nın alabileceği her değer için \( b \)'nin alabileceği değerleri bulalım ve oluşan farklı durumların toplamını alalım.
Durum 1: \( a = 0 \)
\( b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
Durum 2: \( a = 1 \)
\( b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
Durum 3: \( a = 2 \)
\( b \in \{0, 1, 2, 3 \} \)
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 6 + 6 + 4 = 16 \) farklı \( (a, b) \) ikilisi, dolayısıyla ab:ba şeklinde zaman vardır.
Bir kavanozdaki mavi ve kırmızı bilyeler, 1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 fincana her fincanda bir bilye olacak şekilde yerleştirilecektir.
İçerisinde kırmızı bilye olan en az 2 fincan olması ve kırmızı bilye içeren fincanların ardışık numaralı fincanlarda olması istendiğine göre, bilyeler fincanlara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
Çözümü GösterKırmızı bilye içeren toplam fincan sayısı 2, 3, 4, 5, 6, 7 ya da 8 olabilir.
Bu durumları teker teker inceleyelim ve her durumda oluşan farklı yerleşimlerin toplamını alalım.
Durum 1: Kırmızı bilye içeren 2 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 7 şekilde olabilir.
1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8
Durum 2: Kırmızı bilye içeren 3 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 6 şekilde olabilir.
1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6, 5-6-7, 6-7-8
Durum 3: Kırmızı bilye içeren 4 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 5 şekilde olabilir.
1-2-3-4, 2-3-4-5, 3-4-5-6, 4-5-6-7, 5-6-7-8
Durum 4: Kırmızı bilye içeren 5 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 4 şekilde olabilir.
1-2-3-4-5, 2-3-4-5-6, 3-4-5-6-7, 4-5-6-7-8
Durum 5: Kırmızı bilye içeren 6 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 3 şekilde olabilir.
1-2-3-4-5-6, 2-3-4-5-6-7, 3-4-5-6-7-8
Durum 6: Kırmızı bilye içeren 7 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 2 şekilde olabilir.
1-2-3-4-5-6-7, 2-3-4-5-6-7-8
Durum 7: Kırmızı bilye içeren 8 fincan
Kırmızı bilye içeren fincanlar 1 şekilde olabilir.
1-2-3-4-5-6-7-8
Buna göre bilyeler fincanlara istenen koşulda \( 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \) farklı şekilde yerleştirilebilir.
1'den 1000'e kadar olan pozitif tam sayılar artan sırada ve aralarında boşluk olmadan yan yana yazılıyor.
\( 12345 \ldots 9989991000 \)
Buna göre, oluşan bu satırda 42 sayısı kaç kere geçer?
Çözümü GösterProblemi alt durumlara bölerek her durumu ayrı ayrı inceleyelim ve oluşan farklı durumların toplam sayısını bulalım.
Durum 1: 1-99 arası sayılar
1'den 99'a kadar olan sayılar içinde 42 sayısı, birincisi 42 sayısı yazıldığında, ikincisi 24-25 sayıları yazıldığında olmak üzere iki kez geçer.
Durum 2: 100-999 arası sayılar
Üç basamaklı sayılar içinde; 4 rakamının yüzler, onlar ve birler basamağında olduğu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 2.1:
Yüzler basamağında 4, onlar basamağında 2 rakamı olan 10 tane sayı vardır.
420, 421, 422, ..., 492
Durum 2.2:
Onlar basamağında 4, birler basamağında 2 rakamı olan 9 tane sayı vardır.
142, 242, 342, ..., 942
Durum 2.3:
Birler basamağında 4, bir sonraki sayının yüzler basamağında 2 rakamı olan 10 tane sayı vardır.
204-205, 214-215, 224-225, ..., 294-295
Buna göre, oluşan satırda 42 sayısı toplam \( 2 + 10 + 9 + 10 = 31 \) kere geçer.
Basamak sayısı birler basamağındaki rakamla aynı olan kaç tane pozitif tam sayı vardır?
Çözümü GösterHer basamak sayısı için farklı durumları ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan farklı sayıların toplam sayısını bulalım.
Durum 1: 1 basamaklı sayılar
Bir basamaklı ve birler basamağı 1 olan 1 tane sayı vardır.
\( 1 \)
Durum 2: 2 basamaklı sayılar
İki basamaklı ve birler basamağı 2 olan 9 tane sayı vardır.
\( 12, 22, 32, \ldots, 92 \)
Durum 3: 3 basamaklı sayılar
Üç basamaklı ve birler basamağı 3 olan 90 tane sayı vardır.
\( 103, 113, 123, \ldots, 993 \)
Durum 4: 4 basamaklı sayılar
Dört basamaklı ve birler basamağı 4 olan 900 tane sayı vardır.
\( 1004, 1014, 1024, \ldots, 9994 \)
Görülebileceği üzere, \( n \) basamak sayısı olmak üzere, basamak sayısı birler basamağındaki rakamla aynı olan \( 9 \cdot 10^{n - 2} \) sayı vardır.
\( n \)'ye 1'den 9'a kadar değer verelim ve sayıların toplam sayısını bulalım.
\( 1 + 9 + 90 + 900 + \ldots + 90.000.000 = 100.000.000 \)
Buna göre 100.000.000 tane pozitif tam sayının basamak sayısı birler basamağındaki rakamla aynıdır.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
1'den 30'a kadar (1 ve 30 dahil) sayılar içinde, \( a + b + ab \) şeklinde yazılabilen kaç tam sayı vardır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( a + b + ab = a + 1 + ab + b - 1 \)
İlk dört terimi çarpanlarına ayıralım.
\( = a + 1 + b(a + 1) - 1 \)
\( = (a + 1)(b + 1) - 1 \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının farklı değerleri için bu ifadenin farklı değerlerini bulalım.
Durum 1: \( a = 1 \)
\( (1 + 1)(b + 1) - 1 \le 30 \)
\( 1 \le b \le 14 \)
Bu durumda \( (a + 1)(b + 1) - 1 \) ifadesi aşağıdaki değerleri alır.
\( \{ 3, 5, 7, \ldots, 29 \} \)
Durum 2: \( a = 2 \)
\( (2 + 1)(b + 1) - 1 \le 30 \)
\( 1 \le b \le 9 \)
Bu durumda \( (a + 1)(b + 1) - 1 \) ifadesi aşağıdaki değerleri alır.
\( \{ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 \} \)
Durum 3: \( a = 3 \)
\( (3 + 1)(b + 1) - 1 \le 30 \)
\( 1 \le b \le 6 \)
Bu durumda \( (a + 1)(b + 1) - 1 \) ifadesi aşağıdaki değerleri alır.
\( \{ 7, 11, 15, 19, 23, 27 \} \)
Durum 4: \( a = 4 \)
\( (4 + 1)(b + 1) - 1 \le 30 \)
\( 1 \le b \le 5 \)
Bu durumda \( (a + 1)(b + 1) - 1 \) ifadesi aşağıdaki değerleri alır.
\( \{ 9, 14, 19, 24, 29 \} \)
Durum 5: \( a = 5 \)
\( (5 + 1)(b + 1) - 1 \le 30 \)
\( 1 \le b \le 4 \)
Bu durumda \( (a + 1)(b + 1) - 1 \) ifadesi aşağıdaki değerleri alır.
\( \{ 11, 17, 23, 29 \} \)
\( a \gt 5 \) için bulunacak \( b \) değerleri için \( a \lt b \) olacağı için, bu ikililer için oluşacak değerler \( a \) ve \( b \) aralarında yer değiştirilerek yukarıda durumlarda elde edilebilir.
Yukarıda bulduğumuz tüm farklı \( (a + 1)(b + 1) - 1 \) değerlerini sayma kolaylığı açısından tek ve çift sayılar ayrı ayrı listeleyelim.
\( \{ 8, 14, 20, 24, 26 \} \cup \{ 3, 5, 7, \ldots, 29 \} \)
İstenen koşulu sağlayan \( 5 + 14 = 19 \) sayı bulunur.
Tanımda belirttiğimiz üzere, toplama yoluyla sayma yönteminin kullanılabilmesi için kümeler ayrık olmalı, yani kümelerin ortak elemanı bulunmamalıdır. Söz konusu kümelerin ayrık olmadığı durumlarda, birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz dahil etme - hariç tutma prensibi kullanılır.
Kümelerin ayrık olmamasından ötürü toplama kuralını kullanamayacağımız durumlara aşağıdaki gibi bir örnek verilebilir.
Mısra bir kafede kaç farklı kahveli içecek seçeneği olduğunu sorduğunda 12, kaç farklı soğuk içecek seçeneği olduğunu sorduğunda 8, kaç farklı soğuk ve kahveli içecek seçeneği olduğunu sorduğunda ise 2 cevabını almıştır.
Buna göre, tek bir içecek siparişi verecek olan Mısra'nın toplam kaç farklı içecek seçeneği vardır?
Çözümü GösterKahveli ve soğuk içecekler arasında ortak seçenekler olduğu için, Mısra'nın arasından sipariş verebileceği seçenek sayısı iki kümenin eleman sayılarının toplamından daha az olur.
Bu iki küme ayrık kümeler olmadığı için toplam seçenek sayısını bulmak için toplama kuralı kullanılamaz.
\( K \) ve \( S \) sırasıyla kahveli ve soğuk içecek kümeleri olmak üzere,
K = {Latte, Buzlu Kahve, Frappe, ..., Espresso}
S = {Limonata, Buzlu Kahve, Frappe, ..., Soda}
\( K \cap S \) = {Buzlu Kahve, Frappe}
\( s(K \cap S) = 2 \)
\( s(K \cup S) = s(K) + s(S) - s(K \cap S) \)
\( = 12 + 8 - 2 = 18 \)
Buna göre, Mısra'nın toplam 18 farklı içecek seçeneği vardır.