Toplama Yoluyla Sayma
Toplama yoluyla saymaya göre, sonlu ve ayrık (kesişim kümeleri boş küme olan) \( A \) ve \( B \) kümelerinin eleman sayıları sırasıyla \( m \) ve \( n \) ise bu iki kümenin tüm elemanlarını içeren birleşim kümesinin eleman sayısı \( m + n \) olur. Toplama yoluyla sayma için kısaca toplama kuralı terimini de kullanıyor olacağız.
Benzer şekilde, sonlu ve ikişerli ayrık \( n \) tane kümenin tüm elemanlarını içeren birleşim kümesinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşit olur.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) sonlu ve ikişerli ayrık kümeler olmak üzere,
\( s(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) \) \( = s(A_1) + s(A_2) + \ldots + s(A_n) \)
\( A \) ve \( B \) ayrık iki küme olmak üzere,
\( A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \} \)
\( s(A) = 4 \)
\( B = \{ b_1, b_2, b_3 \} \)
\( s(B) = 3 \)
\( A \cup B = \{ a_1, a_2, a_3, \) \( a_4, b_1, \) \( b_2, b_3 \} \)
\( A \cap B = \emptyset \) olduğu için,
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) = 7 \)
Toplama yoluyla saymanın uygulamalarında bu kümelerin elemanları gerçekleşecek farklı olaylara, tamamlanması gereken işlere ya da arasından seçim yapılacak farklı seçeneklere karşılık gelebilir.
Bu yöntemi kullanarak tek adımda hesaplaması daha zor olan sayma problemlerini birden fazla ayrık kümeye bölerek birkaç adımda hesaplayabiliriz. Örneğin bir kasadaki paraları tek seferde saymak yerine farklı tipteki banknotları (200 TL, 100 TL vb.) ya da desteleri ayrı ayrı sayarak sonuçları toplayabiliriz.
Bir problemin çözümünde toplama kuralını kullanabileceğimize işaret eden bir ipucu problem tanımındaki "YA DA" ya da "VEYA" bağlaçları olmaktadır. Bu açıdan baktığımızda bu tip problemlerde farklı kümelerin elemanları arasından sadece bir eleman seçmemiz istenir.
Sena akşam TV'de film ya da dizi izlemek istemektedir. TV programına göre akşam 9 farklı film ve 7 farklı dizi seçeneği olduğuna göre, sadece bir program izleyecek olan Sena'nın kaç farklı seçeneği vardır?
Çözümü GösterOzan üniversitede tıp, dişçilik ya da eczacılık okumak istemektedir. Okumak istediği şehir ve üniversitelerde tıp için 17, dişçilik için 14 ve eczacılık için 16 farklı tercih seçeneği bulunmaktadır. Mutlaka bir programa yerleşeceğini düşünen Ozan'ın yerleşebileceği kaç farklı program vardır?
Çözümü GösterBir okulda 10. sınıflardaki A, B ve C şubelerinde sırasıyla 32, 29 ve 30 öğrenci bulunmaktadır. Tüm 10. sınıflar adına bir etkinliğe katılacak bir temsilci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü GösterUmut kardeşine burger, pizza ya da pide yedirmek istemektedir. Gidecekleri AVM'de 5 burgerci, 2 pizzacı ve 4 pideci olduğuna göre, Umut bir restoranı kaç farklı şekilde seçebilir?
Çözümü Göster1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 torbaya, her torbada bir bilye olacak şekilde mavi ve kırmızı bilyeler yerleştirilecektir.
İçerisinde kırmızı bilye olan en az 2 torba olması ve kırmızı bilye içeren torbaların ardışık numaralı torbalarda olması istendiğine göre, bilyeler torbalara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
Çözümü GösterBir dijital saatte 00:00 ile 23:59 saatleri arasında soldan ve sağdan okuduğunda aynı saati gösteren kaç farklı zaman vardır?
Çözümü GösterTanımda belirttiğimiz gibi, toplama yoluyla sayma yöntemini kullanabilmemiz için kümelerin ortak elemanı bulunmaması gerekir, yani kümeler ayrık olmalıdır. Söz konusu kümeler ayrık değilse birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz dahil etme - hariç tutma prensibi'ni kullanmamız gerekir.
Toplama kuralını uygulayamayacağımız durumlara aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
Mısra bir kafede kaç farklı kahveli içecek seçeneği olduğunu sorduğunda 12, kaç farklı soğuk içecek seçeneği olduğunu sorduğunda 8 cevabını almıştır. Buna göre, tek bir içecek siparişi verecek olan Mısra'nın toplam kaç farklı seçeneği vardır?
Çözümü Göster