Önceki bölümlerde toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini kullanabileceğimiz durumları paylaştık ve bu yöntemlere bazı örnekler verdik. Diğer bazı problemleri birkaç parçaya bölerek ve bu iki yöntemi bu parçalara ayrı ayrı uygulayarak daha karmaşık sayma problemlerini çözebiliriz.
Önce Çarpma, Sonra Toplama Kuralı
Problemi böldüğümüz parçalara çarpma kuralını uygulayıp elde ettiğimiz toplamları toplama kuralı ile birleştirdiğimiz durumlara aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
SORU 1:
Bir sitenin A, B ve C bloklarında 8'er kat ve her katta 4'er daire, D ve E bloklarında ise 10'ar kat ve her katta 6'şar daire vardır. Buna göre, bu sitede toplam kaç daire vardır?
Seçtiğimiz bloğa göre kat ve her kattaki daire sayıları değiştiği için problemi blok tipine göre ikiye bölmemiz gerekir.
A, B ve C bloklarında her blokta 8'er kat ve her katta 4'er daire olduğu için, bu bloklarda toplam \( 3 \cdot 8 \cdot 4 = 96 \) daire vardır.
D ve E bloklarında her blokta 10'ar kat ve her katta 6'şar daire olduğu için, bu bloklarda toplam \( 2 \cdot 10 \cdot 6 = 120 \) daire vardır.
İki aşamada bulduğumuz daire sayıları birbirinden ayrık iki kümenin (farklı blok tiplerinin) elemanları olduğu için, toplama kuralı ile toplam daire sayısını \( 96 + 120 = 216 \) olarak buluruz.
Bu soruyu çarpma yoluyla sayma bölümünde bahsettiğimiz, seçenek kümelerinin bağımsız olmadığı durumlarda toplama kuralı ile problemi alt problemlere böldüğümüz ve her alt probleme çarpma kuralını uyguladığımız durumlara örnek olarak verebiliriz.
"xx" ilin plaka kodu olmak üzere, bir ilde plakalar "xx A 0001", "xx AA 001" ya da "xx AAA 01" biçiminde verilmektedir. Plakalarda alfabedeki harflerin 20'si, rakamların tümü kullanılabildiğine göre, bu ilde kaç farklı plaka üretilebilir?
Üç farklı plaka biçiminin sayma mantığı farklı olduğu için, tüm plakalar kümesini birbirinden ayrık üç kümeye ayırıp ve bu kümelerin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayıp, sonra bu sayıları toplamamız gerekir.
"xx A 0001" biçimindeki plakalar: Plakanın "A" kısmında her basamak için 20 harften biri, "0001" kısmında her 10 rakamdan biri seçilebilir. Bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için toplamda \( 20 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 200.000 \) farklı plaka oluşturulabilir.
"xx AA 001" biçimindeki plakalar: Plakanın "AA" kısmında her basamak için 20 harften biri, "001" kısmında her 10 rakamdan biri seçilebilir. Bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için toplamda \( 20 \cdot 20 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 400.000 \) farklı plaka oluşturulabilir.
"xx AAA 01" biçimindeki plakalar: Plakanın "AAA" kısmında her basamak için 20 harften biri, "01" kısmında her 10 rakamdan biri seçilebilir. Bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için toplamda \( 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 10 \cdot 10 = 800.000 \) farklı plaka oluşturulabilir.
Her plaka biçimi için hesapladığımız ve birbirinden ayrık kümelere karşılık gelen bu sayıları topladığımızda bu ilde üretilebilecek toplam plaka sayısını \( 200.000 + 400.000 + 800.000 = 1.400.000 \) olarak buluruz.
Bir istatistiğe göre, bir ülkedeki \( 800.000 \) evin \( \%30 \)'unda 3 televizyon, \( \%40 \)'ında 2 televizyon, \( \%25 \)'inde 1 televizyon bulunmaktadır, \( \%5 \)'inde ise televizyon bulunmamaktadır. Buna göre, bu ülkedeki evlerde toplam kaç televizyon bulunmaktadır?
Ülkedeki tüm evlerin kümesini evlerdeki televizyon sayısına göre ayrık 4 kümeye ayıralım ve her küme için toplam televizyon sayısını bulalım.
3 televizyon bulunan evler: \( 800.000 \) evin \( \%30 \)'u \( 240.000 \) ev eder. Bu evlerin her birinde 3 televizyon olduğu için, toplam \( 240.000 \cdot 3 = 720.000 \) televizyon olur.
2 televizyon bulunan evler: \( 800.000 \) evin \( \%40 \)'ı \( 320.000 \) ev eder. Bu evlerin her birinde 2 televizyon olduğu için, toplam \( 320.000 \cdot 2 = 640.000 \) televizyon olur.
1 televizyon bulunan evler: \( 800.000 \) evin \( \%25 \)'i \( 200.000 \) ev eder. Bu evlerin her birinde 1 televizyon olduğu için, toplam \( 200.000 \cdot 1 = 200.000 \) televizyon olur.
Televizyon bulunmayan evler: Geri kalan evlerde hiç televizyon yoktur.
Tüm ülkedeki evleri televizyon sayısına göre birbirinden ayrık kümelere ayırdığımız için, her küme için hesapladığımız bu sayıları toplayarak ülkedeki toplam televizyon sayısını \( 720.000 + 640.000 + 200.000 = 1.560.000 \) olarak buluruz.
Bir şehirdeki 5 sinemada Pazartesi-Perşembe arası her gün 6'şar salonda 3'er film, Cuma-Pazar arası her gün 8'er salonda 5'er film gösterilmektedir. Buna göre bu şehirde bir hafta içinde toplam kaç seans film gösterilmektedir?
Haftanın gününe göre salon ve film seçenekleri değiştiği için, problemi birbirinden ayrık iki kümeye karşılık gelecek şekilde ikiye bölmemiz gerekir (Pazartesi-Perşembe ve Cuma-Pazar arası günler).
Pazartesi-Perşembe arası günlerde, her gün 5 sinemanın 6'şar salonunda 3'er film olmak üzere toplam \( 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 3 = 360 \) seans film gösterimi vardır.
Cuma-Pazar arası günlerde, her gün 5 sinemanın 8'er salonunda 5'er film olmak üzere toplam \( 3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 5 = 600 \) seans film gösterimi vardır.
Toplam film gösterim sayısı
İki ayrık küme için bulduğumuz sayıları topladığımızda tüm hafta boyunca gösterilen seans sayısını \( 360 + 600 = 960 \) olarak buluruz.
Oluşturabileceğimiz 1000'den küçük sayılar 1, 2 ya da 3 basamaklı olabilir. Her birinin sayma mantığı birbirinden farklı olduğu için problemi üç parçaya bölerek her parçayı ayrı ayrı sayabiliriz.
Oluşturabileceğimiz 1, 2 ve 3 basamaklı sayıların toplamını yukarıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz. Her satırdaki sayılar birer ayrık kümeye karşılık geldiği için (1, 2 ve 3 basamaklı sayılar arasında ortak bir sayı yoktur), bu sayıları toplayarak \( 125 + 25 + 5 = 155 \) sonucunu buluruz.
Üç basamaklı bir sayının rakamlarının toplamının çift olması için ya üç rakam da çift (\( \{ \text{Ç, Ç, Ç} \} \)) ya da ikisi tek biri çift (\( \{ \text{T, T, Ç} \} \)) olmalıdır.
\( \{ \text{Ç, Ç, Ç} \} \) durumu:
Yüzler basamağı 0 olamayacağı için, bu durumda \( 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100 \) farklı 3 basamaklı sayı yazılabilir.
\( \{ \text{T, T, Ç} \} \) durumu için 3 farklı diziliş şekli vardır.
Rakamların T-T-Ç ve T-Ç-T dizilişlerinde ilk basamak 0 olamayacağı için toplam \( 2(5 \cdot 5 \cdot 5) = 250 \) farklı sayı yazılabilir.
Ç-T-T dizilişinde ilk basamak 0 olabileceği için \( 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100 \) farklı sayı yazılabilir.
Buna göre istenen koşulu sağlayan tüm bu durumların toplamı kadar üç basamaklı sayı yazılabilir.
Sayının 5 ile bölünebilmesi için birler basamağı 0 ya da 5 olmalıdır. Bu iki durumda yüzler basamağı için seçenek sayıları farklı olduğu için tüm olasılıkları çarpma kuralı ile tek adımda hesaplayamayız. Bu yüzden yazılabilecek tüm sayıları birbirinden ayrık iki küme olarak inceleyelim.
Birler basamağında 0: Bu durumda yüzler basamağı için 5, onlar basamağı için 4 farklı rakam seçeneği vardır.
\( 5 \cdot 4 \cdot 1 = 20 \) tane üç basamaklı, rakamları farklı ve birler basamağı 0 olan sayı yazılabilir.
Birler basamağında 5: Bu durumda 0 gelemeyeceği için yüzler basamağı için 4, onlar basamağı için 4 farklı rakam seçeneği vardır.
\( 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 \) tane üç basamaklı, rakamları farklı ve birler basamağı 5 olan sayı yazılabilir.
Buna göre rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basamaklı \( 20 + 16 = 36 \) sayı yazılabilir.
Sayma problemini Merve'nin yolda uğrayacağı şehirlere göre 3'e bölelim, sonra her biri için bulduğumuz farklı yol sayılarını toplayalım.
\( A \to B \to C \to D \) şehirleri üzerinden:
\( A \to B \) arası 3, \( B \to C \) arası 1, \( C \to D \) arası 2 farklı yol olduğu için bu yol \( 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 \) farklı şekilde gidilebilir.
\( A \to B \to D \) şehirleri üzerinden:
\( A \to B \) arası 3, \( B \to D \) arası 1 farklı yol olduğu için bu yol \( 3 \cdot 1 = 3 \) farklı şekilde gidilebilir.
\( A \to D \) şehirleri üzerinden:
\( A \to D \) arası 2 farklı yol olduğu için bu yol \( 2 \) farklı şekilde gidilebilir.
Buna göre A'dan D'ye toplam \( 6 + 3 + 2 = 11 \) farklı yoldan gidebilir.
Problemi böldüğümüz parçalara önce toplama kuralını uygulayıp elde ettiğimiz toplamlara çarpma kuralını uyguladığımız durumlar da olabilir. Bu tip sorulara aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
SORU 9:
Neşe yemeğe gelecek misafirleri için tarifini iyi bildiği 5 çeşit çorbadan sadece birini, 3 çeşit et ve 5 çeşit sebze yemeğinden sadece birini, 3 çeşit makarna ve 2 çeşit pilavdan sadece birini, 4 çeşit salata ve 6 çeşit mezeden sadece birini ve 2 çeşit sütlü ve 1 çeşit şerbetli tatlıdan yine sadece birini yapacaktır. Buna göre Neşe menüyü kaç farklı şekilde hazırlayabilir?
Neşe çorba, ana yemek (et ya da sebze), makarna/pilav, salata/meze ve tatlı seçeneklerinin tümünden sadece birer tane yapacağı için, bu yemekleri aralarında çarpım kuralını uygulayacağımız bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz. Her yemek için verilen seçeneklerden sadece biri yapılacağı ve seçenekler arasında ortak seçenek olmadığı için her yemek için seçenekler arasında toplama kuralını uygulayabiliriz.
Buna göre toplamda \( 5 \) çorba seçeneği, \( 3 + 5 = 8 \) ana yemek (et ya da sebze) seçeneği, \( 3 + 2 = 5 \) makarna/pilav seçeneği, \( 4 + 6 = 10 \) salata/meze seçeneği ve \( 2 + 1 = 3 \) tatlı seçeneği vardır. Tüm bu seçenekler arasında çarpma kuralını uyguladığımızda menünün \( 5 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 3 = 6.000 \) farklı şekilde hazırlanabileceğini buluruz.
