Fiziksel nesneleri ya da bir kümenin elemanlarını saymak için en sık kullandığımız yöntem eşleme yoluyla saymadır. Bu yöntemde nesnelerin sayısını her birini ardışık pozitif tam sayılarla birebir eşleyerek buluruz. Bir sınıftaki öğrencileri birer birer sayarak öğrenci sayısını bulmayı eşleme yoluyla saymaya örnek olarak verebiliriz.
Sayma deyince aklımıza ilk gelen fiziksel nesneler olsa da, bu bölümde çoğunlukla aşağıdakilere benzer olayları, seçenekleri ya da olasılıkları sayma yöntemlerini inceleyeceğiz.
Gerçek hayattan pek çok durum burada bahsi geçen olaylar, kümeler, nesneler ve kutular şeklinde kurgulanabilmekte ve öğreneceğimiz sayma yöntemleri oldukça farklı problemlere uyarlanabilmektedir.
Tüm olasılıkları listeleyerek birer birer saydığımız durumlara aşağıdaki gibi örnekler verebiliriz.
SORU 1:
Bir tavla oyununda arka arkaya iki kez kazanan veya toplam 3 oyun kazanan yarışmacı oyunu kazanmaktadır. Buna göre bu oyun kaç farklı şekilde oynanabilir?
Çözümü Göster
A oyuncusunun oyunu kazandığı durumlar aşağıdaki gibidir.
A-A
A-B-A-A
A-B-A-B-A
B-A-A
B-A-B-A-A
Bu 5 durumun tam tersi 5 durumda da oyunu B kazanır.
Buna göre oyun \( 5 + 5 = 10 \) farklı şekilde oynanabilir.
SORU 2:
\( a \lt b \lt c \lt d \) olmak üzere, 5000'den büyük kaç tane \( abcd \) dört basamaklı sayısı yazılabilir?
Çözümü Göster
Sayının 5000'den büyük olması için \( a \) sayısı \( \{ 5, 6, 7, 8, 9 \} \) rakamlarından biri olmak zorundadır.
Buna göre soruda verilen koşulu sağlayan sayılar aşağıdaki gibi 5 tane olur.
\( 5678 \)
\( 5679 \)
\( 5689 \)
\( 5789 \)
\( 6789 \)
SORU 3:
Mina kardeşi Sarp'a 50 TL borcunu sadece 5 TL, 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik kağıt paraları kullanarak kaç farklı şekilde verebilir?
Çözümü Göster
Bu sayma probleminde kullanabileceğimiz matematiksel bir formül bulunmadığı için tüm durumları tek tek sayarak toplam farklı ödeme sayısını bulalım.
En büyük 50 TL'lik banknot ile ödeme:
(1) 50
En büyük 20 TL'lik banknot ile ödeme:
(2) 20-20-10
(3) 20-20-5-5
(4) 20-10-10-10
(5) 20-10-10-5-5
(6) 20-10-5-5-5-5
(7) 20-5-5-5-5-5-5
En büyük 10 TL'lik banknot ile ödeme:
(8) 10-10-10-10-10
(9) 10-10-10-10-5-5
(10) 10-10-10-5-5-5-5
(11) 10-10-5-5-5-5-5-5
(12) 10-5-5-5-5-5-5-5-5
En büyük 5 TL'lik banknot ile ödeme:
(13) 5-5-5-5-5-5-5-5-5-5
Buna göre Mina borcunu 13 farklı şekilde verebilir.
SORU 4:
226 TL'ye yemek siparişi veren bir kişi, yeteri kadar 100 TL'lik, 10 TL'lik ve 1 TL'lik banknotlara sahiptir.
Bu kişi elindeki banknotları kullanarak hesabı kaç farklı şekilde ödeyebilir?
Çözümü Göster
Sayma problemini hesabın 2 adet, 1 adet ya da 0 adet 100 TL'lik banknotla ödenmesine göre 3 alt probleme bölelim ve her birindeki farklı durumları ayrı ayrı sayalım.
Durum 1: 2 adet 100 TL'lik banknot kullanılan durumlar
Bu durumda 0, 1 ya da 2 adet 10 TL'lik banknot kullanılabilir, kalan bakiye 1 TL'lik banknotlarla ödenir.
2x100 + 0x10 + 26x1
2x100 + 1x10 + 16x1
2x100 + 2x10 + 6x1
1. durumda ödeme 3 şekilde yapılabilir.
Durum 2: 1 adet 100 TL'lik banknot kullanılan durumlar
Bu durumda 0, 1, 2, ..., 12 adet 10 TL'lik banknot kullanılabilir, kalan bakiye 1 TL'lik banknotlarla ödenir.
1x100 + 0x10 + 126x1
1x100 + 1x10 + 116x1
1x100 + 2x10 + 106x1
...
1x100 + 12x10 + 6x1
2. durumda ödeme 13 şekilde yapılabilir.
Durum 3: 0 adet 100 TL'lik banknot kullanılan durumlar
Bu durumda 0, 1, 2, ..., 22 adet 10 TL'lik banknot kullanılabilir, kalan bakiye 1 TL'lik banknotlarla ödenir.
0x100 + 0x10 + 226x1
0x100 + 1x10 + 216x1
0x100 + 2x10 + 206x1
...
0x100 + 22x10 + 6x1
3. durumda ödeme 23 şekilde yapılabilir.
Buna göre hesap toplamda \( 3 + 13 + 23 = 39 \) farklı şekilde ödenebilir.
SORU 5:
Öğretmenler günü için öğretmenlerine çiçek buketi almak isteyen öğrenciler aralarında 35 lira toplamıştır.
Bukete koyabilecekleri karanfillerin tanesi 2 lira, güllerin tanesi 3 lira olduğuna ve öğrenciler 35 liranın tümünü kullanmak istediklerine göre, kaç farklı buket oluşturulabilir?
Çözümü Göster
Bukete koyulan gül sayısına \( k \), karanfil sayısına \( t \) diyelim.
\( 3k + 2t = 35 \)
\( 3k = 35 - 2t \)
Soruyu teklik, çiftlik kurallarını kullanarak çözelim.
\( 2t \) değeri \( t \) tek de çift de olsa çift sayıdır.
\( 35 - 2t \) tek sayı ile çift sayının farkı olduğu için tek sayıdır.
\( 3k = 35 - 2t \) olduğuna göre, \( 3k \) tek sayı olmalıdır.
Sadece iki tek sayının çarpımı tek sayı olacağı için \( k \) tek sayı olmalıdır.
Buna göre buketteki gül sayısının alabileceği en küçük değer \( k = 1 \), en büyük değer \( k = 11 \) olur.
\( (k, t) \in \{(1, 16), (3, 13), (5, 10), (7, 7), (9, 4), (11, 1)\} \)
Toplam 6 farklı buket oluşturulabilir.
SORU 6:
Yeni inşaa edilen bir gökdelen kullanıma açılmadan önce daire kapıları numaralandırılacaktır. Bir işçiye ilk daireden başlayarak sırayla daireleri numaralandırması için her rakamdan 50 tane olacak şekilde 500 metal rakam veriliyor.
Bu işçinin ihtiyaç duyduğu bir rakamın elinde kalmadığı ilk daire kaçıncı dairedir?
Çözümü Göster
İşçinin elinde her rakamdan eşit sayıda metal rakam vardır. Birler, onlar ve yüzler basamağında ilk kullanılacak rakam 1 olduğundan ilk olarak tükenecek rakam 1 olur.
Bu yüzden 50 tane 1 rakamının kaçıncı dairede tükeneceğini bulmamız yeterlidir.
\( [1, 9] \) aralığında sadece 1 no'lu daire için 1 tane 1 rakamı kullanılır.
\( [10, 19] \) aralığında 11 no'lu daire için 2 tane, diğer dairelerin her biri için 1 tane 1 rakamı, toplamda 11 tane 1 rakamı kullanılır.
\( [20, 99] \) aralığında \( 21, 31, 41, \ldots , 91 \) no'lu daireler için toplamda 8 tane 1 rakamı kullanılır.
\( [100, 109] \) aralığında 101 no'lu daire için 2, diğer dairelerin her biri için 1 tane 1 rakamı, toplamda 11 tane 1 rakamı kullanılır.
Buraya kadar toplamda \( 1 + 11 + 8 + 11 = 31 \) tane 1 rakamı kullanılır ve işçinin elinde \( 50 - 31 = 19 \) tane 1 rakamı kalır.
\( [110, 119] \) aralığında 111 no'lu daire için 3 tane, diğer her bir daire için 2 tane olmak üzere 21 tane 1 rakamı gereklidir.
Yani bu aralığı tamamlamak için 2 tane 1 rakamı eksik kalır.
Bu aralıkta 111 no'lu daire dışında her daire için 2 tane 1 rakamı kullanıldığından 118 no'lu daireyi numaralandırdıktan sonra işçinin elinde 1 rakamı kalmaz.
Numaralandırılamayacak ilk daire 119 no'lu dairedir.
SORU 7:
Üzerlerinde 1'den 20'ye kadar tam sayıların yazılı olduğu 20 kart arasından rastgele bir kart çekiliyor ve aynı anda bir zar atılıyor. Çekilen kartın üzerindeki sayı ile zarda gelen sayının çarpımının bir tam küp sayı olduğu kaç farklı durum vardır?
Çözümü Göster
Tam küp sayılar bir tam sayının küpü olan sayılardır.
1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
Gelen zara \( x \), çekilen kartın üzerindeki sayıya \( y \) diyelim.
\( x \) sayısı 1 ve 6 arasında, \( y \) sayısı 1 ve 20 arasında tam sayı değerler alabilir.
Çarpımları tam küp olan \( (x, y) \) ikililerini bulalım.
I. Tam küp sayı = 1
1'in tek pozitif böleni 1'dir.
\( (x, y) \in \{(1, 1)\} \)
II. Tam küp sayı = 8
8'in pozitif bölenleri 1, 2, 4 ve 8'dir.
\( (x, y) \in \{(1, 8), (2, 4), (4, 2)\} \)
III. Tam küp sayı = 27
27'nin pozitif bölenleri 1, 3, 9 ve 27'dir.
\( (x, y) \in \{(3, 9)\} \)
IV. Tam küp sayı = 64
64'ün pozitif bölenleri 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64'tür.
\( (x, y) \in \{(4, 16)\} \)
V. Tam küp sayı = 125
125'in pozitif bölenleri 1, 5, 25 ve 125' tir.
Zarın ve kartın üzerindeki sayıların çarpımını 125 yapan ikili yoktur.
Aynı şekilde daha büyük tam küp değerleri için de zarın ve kartın üzerindeki sayıların çarpımını tam küp sayı yapan ikili yoktur.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 1 + 3 + 1 + 1 = 6 \) farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır.
Diğer bazı durumlarda bu olasılıkların tümünü listelemek ve saymak pratik, hatta mümkün olmayabilir. Bu yüzden bu olasılıkları "saymadan saymak" için bazı matematiksel yöntemlere ihtiyaç duyarız. Bu ve önümüzdeki birkaç bölümde inceleyeceğimiz bu yöntemleri kısaca aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.