Çarpma yoluyla saymaya göre, \( A \) ve \( B \) kümelerinin eleman sayıları sırasıyla \( m \) ve \( n \) ise birinci bileşeni \( A \) kümesinden ikinci bileşeni \( B \) kümesinden gelen \( (a, b) \) sıralı ikililerinin sayısı \( m \cdot n \) olur. Çarpma yoluyla sayma için kısaca çarpma kuralı terimini de kullanıyor olacağız.
Çarpma yoluyla sayma
Benzer şekilde, her bir bileşeni sonlu \( n \) tane kümeden gelen \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) sıralı \( n \)'lilerinin sayısı bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşit olur.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) sonlu kümeler olmak üzere,
Çarpma yoluyla saymaya Saymanın Temel Prensibi de denir.
Çarpma yoluyla saymanın uygulamalarında bu kümelerin elemanları gerçekleşecek farklı olaylara, tamamlanması gereken işlere, oluşturulacak sayıların/kelimelerin basamaklarına/harflerine ya da arasından seçim yapılacak farklı seçeneklere karşılık gelebilir.
Çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanabilmemiz için gerekli iki koşul aşağıdaki gibidir.
Kümelerin her birindenbirer eleman seçiliyor olması gerekir. Bununla ilgili önemli bir ipucu, kartezyen çarpımının aşağıdaki tanımındaki "VE" bağlacı olmaktadır.
Her kümeden yapılacak seçimlerin birbirinden bağımsız olması gerekir. İki seçimin birbirinden bağımsız olması, bir kümeden yapılan seçimin diğer bir kümeden yapılan seçimi etkilememesi anlamına gelir.
\( A \times B = \{ (a, b): a \in A \land b \in B \} \)
Çarpma Yoluyla Sayma Örnekleri
Çarpma yoluyla sayma uygulamalarına aşağıdaki gibi örnekler verebiliriz.
SORU:
Önce İstanbul'dan Ankara'ya, oradan da Gaziantep'e uçacak olan Öykü'nün İstanbul-Ankara arası 4, Ankara-Gaziantep arası 3 farklı uçuş seçeneği vardır. Buna göre Öykü seyahat planını kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Çözümü Göster
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Öykü İstanbul'dan Gaziantep'e gideceği için her iki uçuş da gerçekleşecektir.
İstanbul-Ankara arası seçilen uçuşun Ankara-Gaziantep arası uçuş seçimini etkileyeceğine dair bir bilgi verilmediği için (iniş-kalkış saatleri vs açısından), bu iki uçuşun bağımsız olaylar olduğunu düşünebiliriz.
Gerekli iki koşul sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz. İstanbul-Ankara arası 4, Ankara-Gaziantep arası 3 farklı uçuş seçeneği olduğu için, İstanbul-Gaziantep arası toplamda \( 4 \cdot 3 = 12 \) farklı uçuş seçeneği olmaktadır.
Bu 12 farklı seyahat planını bir şekil yardımı ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
Her uçuşa ait seçeneklerin ve iki uçuşun kartezyen çarpımının küme şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A \) ve \( G \) sırasıyla İstanbul-Ankara ve Ankara-Gaziantep arası uçuş seçeneklerini içeren kümeler olmak üzere,
Bir restoranın menüsünde 3 çeşit çorba, 5 çeşit ana yemek ve 4 çeşit tatlı vardır. Birer çeşit çorba, ana yemek ve tatlıdan oluşan bir menü kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü Göster
Yine sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Çorba VE ana yemek VE tatlıdan oluşan menü oluşturulacağı için, tüm "olayların" birlikte gerçekleşeceğini anlıyoruz (çorba ve ana yemek içeren, tatlı içermeyen bir menü olmayacaktır).
Herhangi ek bir kural belirtilmediği için (şu çorba şu yemek ya da tatlı ile seçilemez gibi), her üç seçimin birbirinden bağımsız olaylar olduğunu düşünebiliriz.
Buna göre, çarpım kuralını kullanarak oluşturulabilecek farklı menü sayısını \( 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60 \) olarak buluruz.
Menüdeki seçeneklerin ve tüm menünün kartezyen çarpımının küme şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( C \), \( A \) ve \( T \) sırasıyla çorba, ana yemek ve tatlı seçeneklerini içeren kümeler olmak üzere,
\( C = \{ c1, c2, c3 \} \)
\( A = \{ a1, a2, a3, a4, a5 \} \)
\( T = \{ t1, t2, t3, t4 \} \)
\( C \times A \times T = \{ (c1, a1, t1), \) \( (c1, a1, t2), \cdots, (c3, a5, t4) \} \)
Doğan'ın gardrobunda 8 farklı t-shirt, 4 kot pantolon ve 3 spor ayakkabı vardır. T-shirt, pantolon ve spor ayakkabı giymek istediği bir günde Doğan'ın oluşturabileceği kombin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Yine sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
T-shirt VE pantolon VE spor ayakkabıdan oluşan kombin dendiği için, bu üç seçimin de gerçekleşeceğini anlıyoruz.
Herhangi ek bir kural belirtilmediği için (şu pantolon şu ayakkabıyla giyilemez gibi), her üç seçimin birbirinden bağımsız olaylar olduğunu düşünebiliriz.
Buna göre, çarpım kuralını kullanarak oluşturulabilecek farklı kombin sayısını \( 8 \cdot 4 \cdot 3 = 96 \) olarak buluruz.
SORU:
AVM'ye giden Elif ve Duru'nun yemek için 7 restoran, sinema için 10 film ve sonrasında kahve için 4 kafe seçeneği vardır. Bu üç aktiviteyi de yapmak isteyen Elif ve Duru, AVM ziyaretini kaç farklı şekilde organize edebilirler?
Çözümü Göster
Yine sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Elif ve Duru'nun bu üç aktiviteyi de yapmak istedikleri belirtildiği için, üç olayın da gerçekleşeceğini anlıyoruz.
Herhangi ek bir kural belirtilmediği için, her bir aktivitenin bağımsız olaylar olduğunu düşünebiliriz.
Buna göre, çarpım kuralını kullanarak oluşturulabilecek farklı organizasyon sayısını \( 7 \cdot 10 \cdot 4 = 280 \) olarak buluruz.
SORU:
Bir t-shirt markasının koleksiyonunda 9 farklı model, her modelin 4 farklı rengi ve her rengin 3 farklı bedeni vardır. Buna göre, bu koleksiyonda kaç farklı t-shirt ürünü vardır?
Çözümü Göster
Sorudan her modelin aynı sayıda renk seçeneği, her rengin de aynı sayıda beden seçeneği olduğunu anlıyoruz. Buna göre, yapacağımız bir model seçimi sonucunda önümüzdeki renk seçenekleri, renk seçimi sonucunda da beden seçenekleri değişmeyecektir, dolayısıyla bir t-shirt almak için vermemiz gereken üç kararı (model, renk ve beden) birbirinden bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz.
Buna göre, çarpım kuralını kullanarak farklı ürün sayısını \( 9 \cdot 4 \cdot 3 = 108 \) olarak buluruz.
SORU:
Bir okulda 10. sınıflarda 3 şube, her şubede sırasıyla 30, 32, 34 öğrenci vardır. Her şubeden bir sınıf başkanı seçilmek isteniyor. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözümü Göster
Her şube için bir seçim yapacağımız ve her şubenin seçimi birbirinden bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralını kullanabiliriz. Çarpma kuralını uyguladığımızda toplam farklı seçim sayısını \( 30 \cdot 32 \cdot 34 \) olarak buluruz.
SORU:
\( 1, 2, 3, 4, 5 \) rakamlarını kullanarak 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
Çözümü Göster
Böyle bir soruda, oluşturacağımız sayının her basamağı için yapacağımız seçimi ayrı birer olay olarak düşünebiliriz.
4 basamaklı sayı oluşturmamız istendiği için, dört olayın da gerçekleşeceğini anlıyoruz.
Her rakamı bir kez kullanabileceğimiz belirtilmediği için, her basamak için yapacağımız seçim diğer basamakları etkilemeyecektir, dolayısıyla dört olay birbirinden bağımsız olacaktır.
Buna göre, dört basamak için toplamda \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \) farklı seçim yapabiliriz, bu da \( 5^4 \) farklı sayı oluşturabileceğimiz anlamına gelir.
SORU:
8 elemanlı bir \( A \) kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \) kümesinin her bir elemanının belirli bir alt kümede bulunup bulunmama durumunu "Var (V)/Yok (Y)" olarak işaretlersek, soruyu tümünün gerçekleşmesi gereken ve birbirinden bağımsız 8 olay şeklinde kurgulayabiliriz. Örneğin, boş küme için olaylar "YYYYYYYY" şeklinde gerçekleşirken, sadece kümenin birinci ve sonuncu elemanından oluşan bir alt küme için bu olaylar "VYYYYYYV" şeklinde gerçekleşecektir.
Çarpma kuralı bu 8 bağımsız olaya uygularsak, toplam alt küme sayısını \( 2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^8 \) olarak buluruz. Hatırlayacak olursak, \( 2^n \) aynı zamanda "Kümeler" konusunda öğrendiğimiz \( n \) elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı formülüne eşittir.
SORU:
360 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
Görülebileceği gibi, 360 sayısının içinde asal çarpan olarak \( 3 \) tane \( 2 \), \( 2 \) tane \( 3 \) ve \( 1 \) tane \( 5 \) vardır ve 360'ın her pozitif tam böleni bu asal çarpanları en fazla bu adetlerde içerebilir. Bir tam bölenin belirli bir asal çarpanı hiç içermeme durumunu da düşünürsek, 360'ın bir pozitif tam böleninde \( 2 \) çarpanı \( 3 + 1 \) farklı şekilde, \( 3 \) çarpanı \( 2 + 1 \) farklı şekilde ve \( 5 \) çarpanı \( 1 + 1 \) farklı şekilde bulunabilir. Çarpma kuralını bu farklı olaylara uygularsak toplam pozitif bölen sayısını \( (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \) olarak buluruz, bu da "Asal Sayılar" konusunda öğrendiğimiz aşağıdaki pozitif bölen sayısı formülüne eşittir.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış bir sayı için,
Pozitif tam bölenlerin sayısı \( = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \)
SORU:
Bir çiçekçinin elinde renkleri dışında özdeş 8 kırmızı, 6 beyaz ve 4 pembe gül vardır. Buna göre çiçekçi harhangi bir sayıda gül içeren bir buketi kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Çözümü Göster
Çiçekçi buketi en az birden tüm güllerin sayısı olan 18'e kadar herhangi bir sayıda gülle oluşturabilir. Çiçekçinin yapması gereken 3 seçim vardır ve bu üç seçimi birbirini etkilemeyen bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz. Bu olaylar bukete özdeş kırmızı güllerden kaç tane koyacağı (0, 1, 2, ..., 8 tane), özdeş beyaz güllerden kaç tane koyacağı (0, 1, 2, ..., 6 tane) ve özdeş pembe güllerden kaç tane koyacağıdır (0, 1, 2, ..., 4 tane). Bu da kırmızı güller için \( 8 + 1 = 9 \), beyaz güller için \( 6 + 1 = 7 \), pembe güller için de \( 4 + 1 = 5 \) farklı seçim olmaktadır.
Her renk için seçenek sayılarını çarparsak toplam farklı seçim sayısını \( 9 \cdot 7 \cdot 5 \) olarak buluruz. Üç renkten de sıfır gül seçilen durum bir buket olmayacağı için bu çarpımdan 1 çıkararak sorunun cevabını \( 9 \cdot 7 \cdot 5 - 1 \) olarak buluruz.
Dikkat edilirse sorunun çözümü yukarıdaki pozitif tam bölen sayısı bulma yöntemine benzemektedir.
Tekrarlayan Olaylar
Çarpma kuralının bir diğer uygulaması tek bir olayın pek çok kez tekrarlandığı durumdur.
\( m \) farklı sonucu olan tek bir olay \( n \) kez tekrarlanıyorsa oluşabilecek farklı sonuç sayısı çarpma kuralının bir sonucu olarak \( n \) kere \( m \)'nin çarpımı, yani \( m^n \) olur.
\( \underbrace{m \cdot m \cdot m \ldots m}_\text{n adet} = m^n \)
Bu tip durumlara aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
SORU:
10 kere yazı tura attığımızda kaç farklı sonuç oluşabilir?
Çözümü Göster
Her yazı tura atışında 2 olası sonuç vardır (Y: yazı, T: tura). Her atış birbirinden bağımsız olaylar olduğu için parayı 10 kez attığımızda toplamda \( 2^{10} \) farklı sonuç oluşacaktır (örneğin YTTYTYYTYT).
Not: Bu örnekte sonuçların sırasının da önemli olduğunu varsayıyoruz. Buna göre 10 atışın sadece ilkinde tura gelmesi ile sadece sonuncusunda tura gelmesi birbirinden farklı sonuçlardır.
SORU:
Bir zarı 5 kez attığımızda kaç farklı sonuç oluşabilir?
Çözümü Göster
Her zar atışında 6 olası sonuç vardır (1-6). Her atış birbirinden bağımsız olaylar olduğu için zarı 5 kez attığımızda toplamda \( 6^5 \) farklı sonuç oluşacaktır (örneğin 13256).
Not: Bu örnekte sonuçların sırasının da önemli olduğunu varsayıyoruz. Buna göre sırasıyla 12345 gelmesi ile 54321 gelmesi birbirinden farklı sonuçlardır. Özdeş 5 zarın aynı anda atılması ise bu sorudan farklı tipte bir problem olacaktır.
SORU:
Bir futbol liginde her hafta 10 maç yapılmaktadır. Her maçın 3 olası sonucu olduğuna göre (ev sahibi takımın galibiyeti, beraberlik, konuk takımın galibiyeti), bir haftada oynanan maçlar kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?
Çözümü Göster
Her maçın 3 olası sonucu vardır (1: ev sahibi takımın galibiyeti, 0: beraberlik, 2: konuk takımın galibiyeti). Her maç birbirinden bağımsız olaylar olduğu için 10 maçın toplamda \( 3^{10} \) farklı sonucu oluşacaktır (örneğin 1101201021).
SORU:
5 farklı oyuncak 3 çocuğa herhangi bir koşul olmadan kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Çözümü Göster
Her bir oyuncağın bir çocuğa dağıtımını diğer oyuncakların dağıtımından bağımsız bir olay olarak düşünebiliriz. Buna göre toplamda 5 olay ve her olay için 3 farklı sonuç bulunmaktadır. Çarpım kuralını uygularsak oyuncakların çocuklara \( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 \) farklı şekilde dağıtılabileceğini buluruz.
