Çarpma yoluyla saymaya göre, \( A \) ve \( B \) kümelerinin eleman sayıları sırasıyla \( m \) ve \( n \) ise birinci bileşeni \( A \) kümesinden ikinci bileşeni \( B \) kümesinden gelen \( (a, b) \) sıralı ikililerinin sayısı \( m \cdot n \) olur. Çarpma yoluyla sayma için kısaca çarpma kuralı terimini de kullanıyor olacağız.
Benzer şekilde, her bir bileşeni sonlu \( n \) tane kümeden gelen \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) sıralı \( n \)'lilerinin sayısı bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşit olur.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) sonlu kümeler olmak üzere,
Çarpma yoluyla saymaya saymanın temel prensibi de denir.
Çarpma yoluyla saymanın uygulamalarında bu kümelerin elemanları gerçekleşecek farklı olaylara, tamamlanması gereken işlere, oluşturulacak sayıların basamaklarına, kelimelerin harflerine ya da arasından seçim yapılacak farklı seçeneklere karşılık gelebilir.
Çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanabilmemiz için gerekli iki koşul aşağıdaki gibidir.
Kümelerin her birindenbirer eleman seçiliyor olmalıdır.
Her kümeden yapılan seçimler birbirinden bağımsız olmalıdır. İki seçimin birbirinden bağımsız olması, bir kümeden yapılan seçimin diğer bir kümede arasından seçim yapılacak seçenekleri etkilememesi anlamına gelir.
Bir problemin çözümünde çarpma kuralını kullanabileceğimize işaret eden bir ipucu problem tanımındaki tüm kümelerden seçim yapmamız gerektiğini belirten "VE" bağlacı olmaktadır.
SORU 1:
Önce İstanbul'dan Ankara'ya, oradan da Gaziantep'e uçacak olan Öykü'nün İstanbul-Ankara arası 4, Ankara-Gaziantep arası 3 farklı uçuş seçeneği vardır. Buna göre Öykü seyahat planını kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Yolculuğun iki ayağı da gerçekleşeceği ve her iki ayakta birer uçuş seçileceği için birinci koşul sağlanır.
İstanbul-Ankara arası seçilen uçuşun Ankara-Gaziantep arası uçuş seçimini etkileyeceğine dair bir bilgi verilmediği için ikinci koşul da sağlanır.
İki koşul da sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz.
İstanbul-Ankara arası 4, Ankara-Gaziantep arası 3 farklı uçuş seçeneği vardır, dolayısıyla tüm yolculuk için toplamda \( 4 \cdot 3 = 12 \) farklı uçuş seçeneği olur.
Bu 12 farklı seyahat planını bir şekil yardımı ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
Her uçuşa ait seçeneklerin ve iki uçuşun kartezyen çarpımının küme şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A \) ve \( G \) sırasıyla İstanbul-Ankara ve Ankara-Gaziantep arası uçuş seçeneklerini içeren kümeler olmak üzere,
Bir restoranın menüsünde 3 çeşit çorba, 5 çeşit ana yemek ve 4 çeşit tatlı vardır. Birer çeşit çorba, ana yemek ve tatlıdan oluşan bir menü kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Menüler çorba, ana yemek ve tatlının üçünden de birer çeşit içereceği için birinci koşul sağlanır.
Belirli yemekler belirli yemeklerle birlikte seçilemez gibi bir koşul verilmediği için seçimler birbirinden bağımsızdır, dolayısıyla ikinci koşul da sağlanır.
İki koşul da sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz.
Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60 \) farklı menü oluşturulabilir.
Menüdeki seçeneklerin ve tüm menünün kartezyen çarpımının küme şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( C \), \( A \) ve \( T \) sırasıyla çorba, ana yemek ve tatlı seçeneklerini içeren kümeler olmak üzere,
\( C = \{ c1, c2, c3 \} \)
\( A = \{ a1, a2, a3, a4, a5 \} \)
\( T = \{ t1, t2, t3, t4 \} \)
\( C \times A \times T = \{ (c1, a1, t1), \) \( (c1, a1, t2), \cdots, (c3, a5, t4) \} \)
Doğan'ın gardrobunda 8 farklı tişört, 4 kot pantolon ve 3 spor ayakkabı vardır. Tişört, pantolon ve spor ayakkabı giymek istediği bir günde Doğan'ın oluşturabileceği kombin sayısı kaçtır?
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Kombinler tişört, pantolon ve spor ayakkabının üçünden de birer tane içereceği için birinci koşul sağlanır.
Belirli kıyafetler belirli kıyafetlerle birlikte seçilemez gibi bir koşul verilmediği için seçimler birbirinden bağımsızdır, dolayısıyla ikinci koşul da sağlanır.
İki koşul da sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz.
Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 8 \cdot 4 \cdot 3 = 96 \) farklı kombin oluşturulabilir.
AVM'ye giden Elif ve Duru'nun yemek için 7 restoran, sinema için 10 film ve sonrasında kahve için 4 kafe seçeneği vardır. Bu üç aktiviteyi de yapmak isteyen Elif ve Duru, aktiviteleri kaç farklı şekilde seçebilirler (aktivitelerin sırası önemli değildir.)?
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Elif ve Duru bu aktivitelerin üçünden de birer tane yapacakları için birinci koşul sağlanır.
Belirli aktiviteler belirli aktivitelerle birlikte yapılamaz gibi bir koşul verilmediği için seçimler birbirinden bağımsızdır, dolayısıyla ikinci koşul da sağlanır.
İki koşul da sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz.
Verilen bilgiler doğrultusunda aktiviteler toplamda \( 7 \cdot 10 \cdot 4 = 280 \) farklı şekilde organize edilebilir.
Bir tişört markasının koleksiyonunda 9 farklı model, her modelin 4 farklı rengi ve her rengin 3 farklı bedeni vardır. Buna göre, bu koleksiyonda kaç farklı tişört ürünü vardır?
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Her tişört için bir model, renk ve beden seçimi yapılması gerektiği için birinci koşul sağlanır.
Her modelin aynı sayıda renk seçeneği, her rengin de aynı sayıda beden seçeneği vardır. Buna göre, yapılan model seçimi renk seçeneklerini, renk seçimi de beden seçenekleri etkilememektedir, dolayısıyla ikinci koşul da sağlanır.
İki koşul da sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz.
Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 9 \cdot 4 \cdot 3 = 108 \) farklı tişört ürünü vardır.
Bir okulda 10. sınıflarda 3 şube, her şubede sırasıyla 30, 32, 34 öğrenci vardır. Her şubeden bir sınıf başkanı seçilmek isteniyor. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
Böyle bir soruda, oluşturacağımız sayının her basamağını ayrı birer küme ve seçim olarak düşünebiliriz.
Sorunun çarpma kuralı için gerekli iki koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Her basamak için bir rakam seçileceği için birinci koşul sağlanır.
Bir basamaktaki rakam seçimi diğer basamaklardaki seçimi etkilemediği için seçimler birbirinden bağımsızdır, dolayısıyla ikinci koşul da sağlanır.
İki koşul da sağlandığı için soruda çarpma kuralını kullanabiliriz.
Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \) farklı seçim yapılabilir, dolayısıyla 4 basamaklı \( 5^4 \) farklı sayı yazılabilir.
\( A \) kümesinin her bir elemanının belirli bir alt kümede bulunup bulunmama durumunu "Var (V)/Yok (Y)" olarak işaretlersek, soruyu tümünün gerçekleşmesi gereken ve birbirinden bağımsız 8 olay şeklinde kurgulayabiliriz. Örneğin, boş küme için olaylar "YYYYYYYY" şeklinde gerçekleşirken, sadece kümenin birinci ve sonuncu elemanından oluşan bir alt küme için bu olaylar "VYYYYYYV" şeklinde gerçekleşecektir.
Çarpma kuralını bu 8 bağımsız olaya uygularsak toplam alt küme sayısını \( 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^8 \) olarak buluruz. Hatırlayacak olursak, \( 2^n \) aynı zamanda "Kümeler" konusunda öğrendiğimiz \( n \) elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı formülüdür.
Görülebileceği gibi, 360 sayısının içinde asal çarpan olarak \( 3 \) tane \( 2 \), \( 2 \) tane \( 3 \) ve \( 1 \) tane \( 5 \) vardır ve 360'ın bir pozitif tam böleni bu asal çarpanları en fazla bu adetlerde içerebilir. Bir tam bölenin belirli bir asal çarpanı hiç içermeme durumunu da düşünürsek, 360'ın bir pozitif tam böleninde \( 2 \) çarpanı \( 3 + 1 \) farklı şekilde, \( 3 \) çarpanı \( 2 + 1 \) farklı şekilde ve \( 5 \) çarpanı \( 1 + 1 \) farklı şekilde bulunabilir.
Çarpma kuralını bu farklı olaylara uygularsak toplam pozitif bölen sayısını \( (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \) olarak buluruz, bu da "Asal Sayılar" konusunda öğrendiğimiz aşağıdaki pozitif bölen sayısı formülüne eşittir.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış bir sayı için,
Pozitif tam bölenlerin sayısı \( = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \)
Bir çiçekçinin elinde renkleri dışında özdeş 8 kırmızı, 6 beyaz ve 4 pembe gül vardır. Buna göre çiçekçi harhangi bir sayıda gül içeren bir buketi kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Çiçekçi buketi 1'den 18'e kadar herhangi bir sayıda gülle oluşturabilir. Çiçekçinin yapması gereken 3 seçim vardır ve bu üç seçimi birbirini etkilemeyen bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz. Bu olaylar bukete özdeş kırmızı güllerden kaç tane koyacağı (0, 1, 2, ..., 8 tane), özdeş beyaz güllerden kaç tane koyacağı (0, 1, 2, ..., 6 tane) ve özdeş pembe güllerden kaç tane koyacağıdır (0, 1, 2, ..., 4 tane). Bu da kırmızı güller için \( 8 + 1 = 9 \), beyaz güller için \( 6 + 1 = 7 \), pembe güller için de \( 4 + 1 = 5 \) farklı seçenek olmaktadır.
Bu bilgiler doğrultusunda oluşturulabilecek farklı buket sayısı \( 9 \cdot 7 \cdot 5 = 315 \) olur. Üç renkten de sıfır gül seçilen durum bir buket olmayacağı için bu çarpımdan bu tek durumu çıkararak sorunun cevabını \( 315 - 1 = 314 \) olarak buluruz.
En ortadaki rakam, ilk 3 rakam ve son 3 rakam için farklı olasılıkları bulalım.
En ortadaki rakam asal olduğuna göre bu rakam için 4 olasılık vardır.
2, 3, 5, 7
İlk 3 basamaktaki rakamlar soldan sağa doğru ikişer azalan çift sayılar olduğuna göre bu basamaklar için 3 olasılık vardır.
420, 642, 864
Son 3 basamaktaki sayı rakamları soldan sağa doğru ardışık artan bir tek sayı olduğuna göre bu basamaklar için 4 olasılık vardır.
123, 345, 567, 789
İlk 3 rakam, ortadaki rakam ve son üç rakam birbirinden bağımsız seçimler olduğundan bu farklı olasılıkların çarpımı kadar farklı telefon numarası oluşturulabilir.
Buna göre Semih annesinin telefon numarasını en fazla \( 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \) kez denemelidir.
Çarpma kuralının bir diğer uygulaması tek bir olayın pek çok kez tekrarlandığı durumdur.
\( m \) farklı sonucu olan tek bir olay \( n \) kez tekrarlanıyorsa oluşabilecek farklı sonuç sayısı çarpma kuralının bir sonucu olarak \( n \) kere \( m \)'nin çarpımı, yani \( m^n \) olur.
\( \underbrace{m \cdot m \cdot m \ldots m}_\text{n adet} = m^n \)
SORU 12:
10 kere yazı tura attığımızda kaç farklı sonuç oluşabilir?
Her yazı tura atışında 2 olası sonuç vardır (Y: yazı, T: tura). Her atış birbirinden bağımsız olaylar olduğu için parayı 10 kez attığımızda toplamda \( \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_\text{10 kere} = 2^{10} \) farklı sonuç oluşur (örneğin YTTYTYYTYT).
Not: Bu örnekte sonuçların sırasının da önemli olduğunu varsayıyoruz. Buna göre 10 atışın sadece ilkinde tura gelmesi ile sadece sonuncusunda tura gelmesi birbirinden farklı sonuçlardır.
Her zar atışında 6 olası sonuç vardır (1-6). Her atış birbirinden bağımsız olaylar olduğu için zarı 5 kez attığımızda toplamda \( \underbrace{6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6}_\text{5 kere} = 6^5 \) farklı sonuç oluşur (örneğin 13256).
Not: Bu örnekte sonuçların sırasının da önemli olduğunu varsayıyoruz. Buna göre sırasıyla 12345 gelmesi ile 54321 gelmesi birbirinden farklı sonuçlardır. Özdeş 5 zarın aynı anda atılması bu sorudan farklı bir problem tipi olur.
Bir futbol liginde her hafta 10 maç yapılmaktadır. Her maçın 3 olası sonucu olduğuna göre (ev sahibi takımın galibiyeti, beraberlik, konuk takımın galibiyeti), belirli bir haftada oynanan maçlar kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?
Her maçın 3 olası sonucu vardır (1: ev sahibi takımın galibiyeti, 0: beraberlik, 2: konuk takımın galibiyeti). Her maç birbirinden bağımsız olaylar olduğu için 10 maçta toplamda \( \underbrace{3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_\text{10 tane} = 3^{10} \) farklı sonuç oluşur (örneğin 1101201021).
Sınava giren her aday ya başarılı ya da başarısız olacağı için her aday için 2 farklı sonuç vardır.
Adayların sınav sonucu birbirinden bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralı gereği 12 aday için farklı sonuç sayısı \( \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_\text{12 tane} = 2^{12} \) olur.
Her çocuk en az bir oyuncak almalı gibi bir koşul verilmediği için 5 oyuncağın dağıtımını bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz.
Buna göre her oyuncak 3 farklı şekilde dağıtılabilir. Çarpım kuralını uygularsak 5 oyuncak 3 çocuğa toplamda \( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 \) farklı şekilde dağıtılabilir.
Yukarıda çarpma kuralını kullanabilmemiz için kümelerden yapılan seçimlerin birbirinden bağımsız olması, yani bir kümeden yapılan seçimin diğer bir kümede arasından seçim yapılacak seçenekleri etkilememesi gerektiğini belirttik. Yukarıdaki örnek sorularda da bu koşulun sağlandığını gösterdik.
Bu koşulu daha esnek bir şekilde de ifade edebiliriz. Buna göre, bir kümeden yapılan seçim diğer bir kümedeki seçenekleri değiştirse de seçenek sayısı aynı kalıyorsa çarpma kuralını kullanabilmemiz için gerekli koşul sağlanmış olur. Bir diğer ifadeyle, çarpma yoluyla saymada kümelerin elemanlarını değil eleman sayılarını kullandığımız için, seçeneklerin kendisinden ziyade sayısının değişmemesi yeterli olmaktadır.
Aşağıda bu esnetilmiş koşulun kullanıldığı örnekler verilmiştir.
SORU 17:
A şehrinden B şehrine 5, B şehrinden C şehrine 4, C şehrinden D şehrine 3 farklı yol vardır. A şehrinden D şehrine gidip geri dönecek bir kişi, aynı yolu iki kez kullanmamak koşuluyla bunu kaç farklı şekilde yapabilir?
Her iki şehir arasındaki yollar birbirinden bağımsız seçenekler olduğu için, A'dan D'ye bu yol sayılarının çarpımı kadar farklı şekilde gidilebilir.
Gidişteki farklı yol sayısı \( = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)
Gidişte kullanılan bir yol dönüşte kullanılamayacağı için, D'den A'ya bu yol sayılarının bir eksiklerinin çarpımı kadar farklı şekilde dönülebilir. Örneğin A'dan B'ye 2 no'lu yol kullanıldıysa dönüşte bu yol bir seçenek olmamaktadır.
Dönüşteki farklı yol sayısı \( = (5 - 1) \cdot (4 - 1) \cdot (3 - 1) = 24 \)
Gidişte kullanılabilecek 60 yolun her biri için dönüşte 24 farklı seçenek olduğu için A'dan D'ye gidiş ve dönüşte kullanılabilecek farklı yol sayısı bu iki sayının çarpımı kadardır.
Gidiş-dönüşteki farklı yol sayısı \( = 60 \cdot 24 = 1440 \)
Dikkat edilirse dönüşte kullanılabilecek yol seçenekleri gidişte kullanılan yollara bağlı olarak değişmektedir, ancak dönüşteki seçenek sayıları gidişte hangi yollar seçilmiş olursa olsun aynı kalmaktadır ve gidişteki seçenek sayılarının birer eksiği olmaktadır. Bu yüzden çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.
A binasının 6, B binasının 8 farklı giriş çıkış kapısı bulunmaktadır. Önce A binasına sonra da B binasına girip çıkacak olan Zeynep, farklı giriş çıkışları kullanmak üzere bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilir?
Zeynep A binasına 6 farklı kapıdan girebilir ve girişte kullandığı kapıyı kullanamayacağı için 5 farklı kapıdan çıkabilir. Buna göre Zeynep A binasına \( 6 \cdot 5 = 30 \) farklı şekilde girip çıkabilir.
Zeynep B binasına 8 farklı kapıdan girebilir ve girişte kullandığı kapıyı kullanamayacağı için 7 farklı kapıdan çıkabilir. Buna göre Zeynep B binasına \( 8 \cdot 7 = 56 \) farklı şekilde girip çıkabilir.
A binasındaki 30 farklı giriş-çıkış seçeneğinin her biri için B binasında 56 farklı giriş-çıkış seçenek olduğu için, Zeynep iki binaya \( 30 \cdot 56 = 1680 \) farklı şekilde girip çıkabilir.
Her binaya girişte kullanılan kapı çıkıştaki kapı seçeneklerini değiştirmektedir, ancak çıkıştaki seçenek sayısı girişte hangi kapı kullanılmış olursa olsun aynı kalmaktadır ve girişteki seçenek sayısının bir eksiği olmaktadır. Bu yüzden çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.
40 soruluk bir testte her sorunun 5 seçeneği vardır. Ardışık 3 sorunun doğru cevapları farklı olmak koşuluyla cevap anahtarı kaç farklı şekilde hazırlanabilir?
Birinci sorunun doğru cevabı 5 seçenekten biri olabilir.
İkinci sorunun doğru cevabı ilk soruyla aynı olamayacağı için ilk sorunun doğru cevabı dışındaki 4 seçenekten biri olabilir.
Üçüncü sorunun doğru cevabı ilk iki soruyla aynı olamayacağı için ilk iki sorunun doğru cevabı dışındaki 3 seçenekten biri olabilir.
Sonraki soruların doğru cevabı da kendinden önceki iki sorununki ile aynı olamayacağı için yine 3 seçenekten biri olabilir.
Buna göre cevap anahtarında ilk soru için 5, ikinci soru için 4, sonraki sorular için 3 doğru cevap seçeneği vardır.
Dolayısıyla farklı cevap anahtarı sayısı \( 5 \cdot 4 \cdot 3^{38} \) olur.
Dikkat edilirse ilk iki sorunun doğru cevabı sonraki soruların doğru cevap seçeneklerini değiştirmektedir, ancak seçenek sayıları ilk iki soruda doğru cevap ne olursa olsun aynı kalmakta ve 3 olmaktadır. Bu yüzden çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.
Her basamakta arasından seçim yapabileceğimiz rakam sayılarını belirleyelim.
1. basamak: 0'ı ilk basamakta kullanamayacağımız için 5 rakam seçeneği vardır.
2. basamak: Bu ve bundan sonraki basamaklarda 0'ı kullanabiliriz. 6 rakamdan birini 1. basamakta kullandığımız için 5 rakam seçeneği vardır.
3. basamak: İki rakamı ilk iki basamakta kullandığımız için 4 rakam seçeneği vardır.
4. basamak: Üç rakamı ilk üç basamakta kullandığımız için 3 rakam seçeneği vardır.
Bir basamakta yaptığımız seçim diğer basamaklardaki seçenekleri değiştirse de seçenek sayısını değiştirmediği için bu seçimleri bağımsız olarak düşünebiliriz ve çarpma kuralını kullanabiliriz.
Buna göre rakamları farklı dört basamaklı \( 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300 \) doğal sayı yazılabilir.
Bu soruda uyguladığımız yöntemi daha detaylı şekilde permütasyon konusunda inceleyeceğiz.
\( N \) 100'den büyük üç basamaklı bir tam sayıdır.
\( N \)'nin basamaklarındaki rakamlar ters sırayla yazıldığında oluşan yeni sayı \( N \)'den 297 daha fazla olmaktadır. Bu koşulları sağlayan kaç \( N \) sayısı vardır?
Bir kümeden yapılan seçim diğer bir kümedeki seçenek sayısını değiştiriyorsa ya çarpma kuralını kullanamayız ya da önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere problemi birden fazla parçaya bölerek çarpma ve toplama kurallarını birlikte kullanabiliriz.