Çarpma Yoluyla Sayma

Çarpma yoluyla saymaya göre, \( A \) ve \( B \) kümelerinin eleman sayıları sırasıyla \( m \) ve \( n \) ise birinci bileşeni \( A \) kümesinden ikinci bileşeni \( B \) kümesinden gelen \( (a, b) \) sıralı ikililerinin sayısı \( m \cdot n \) olur. Çarpma yoluyla sayma için kısaca çarpma kuralı terimini de kullanıyor olacağız.

Çarpma yoluyla sayma
Çarpma yoluyla sayma

Benzer şekilde, her bir bileşeni sonlu \( n \) tane kümeden gelen \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) sıralı \( n \)'lilerinin sayısı bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşit olur.

Çarpma yoluyla saymaya saymanın temel prensibi de denir.

Çarpma yoluyla saymanın uygulamalarında bu kümelerin elemanları gerçekleşecek farklı olaylara, tamamlanması gereken işlere, oluşturulacak sayıların basamaklarına, kelimelerin harflerine ya da arasından seçim yapılacak farklı seçeneklere karşılık gelebilir.

Çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanabilmemiz için gerekli iki koşul aşağıdaki gibidir.

  1. Kümelerin her birinden birer eleman seçiliyor olmalıdır.
  2. Her kümeden yapılan seçimler birbirinden bağımsız olmalıdır. İki seçimin birbirinden bağımsız olması, bir kümeden yapılan seçimin diğer bir kümede arasından seçim yapılacak seçenekleri etkilememesi anlamına gelir.

Bir problemin çözümünde çarpma kuralını kullanabileceğimize işaret eden bir ipucu problem tanımındaki tüm kümelerden seçim yapmamız gerektiğini belirten "VE" bağlacı olmaktadır.

SORU 1:

Önce İstanbul'dan Ankara'ya, oradan da Gaziantep'e uçacak olan Öykü'nün İstanbul-Ankara arası 4, Ankara-Gaziantep arası 3 farklı uçuş seçeneği vardır. Buna göre Öykü seyahat planını kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Çözümü Göster
SORU 2:

Bir restoranın menüsünde 3 çeşit çorba, 5 çeşit ana yemek ve 4 çeşit tatlı vardır. Birer çeşit çorba, ana yemek ve tatlıdan oluşan bir menü kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözümü Göster
SORU 3:

Doğan'ın gardrobunda 8 farklı tişört, 4 kot pantolon ve 3 spor ayakkabı vardır. Tişört, pantolon ve spor ayakkabı giymek istediği bir günde Doğan'ın oluşturabileceği kombin sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

AVM'ye giden Elif ve Duru'nun yemek için 7 restoran, sinema için 10 film ve sonrasında kahve için 4 kafe seçeneği vardır. Bu üç aktiviteyi de yapmak isteyen Elif ve Duru, aktiviteleri kaç farklı şekilde seçebilirler (aktivitelerin sırası önemli değildir.)?

Çözümü Göster
SORU 5:

Bir tişört markasının koleksiyonunda 9 farklı model, her modelin 4 farklı rengi ve her rengin 3 farklı bedeni vardır. Buna göre, bu koleksiyonda kaç farklı tişört ürünü vardır?

Çözümü Göster
SORU 6:

Bir okulda 10. sınıflarda 3 şube, her şubede sırasıyla 30, 32, 34 öğrenci vardır. Her şubeden bir sınıf başkanı seçilmek isteniyor. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( 1, 2, 3, 4, 5 \) rakamlarını kullanarak 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

Çözümü Göster
SORU 8:

8 elemanlı bir \( A \) kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 9:

360 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 10:

Bir çiçekçinin elinde renkleri dışında özdeş 8 kırmızı, 6 beyaz ve 4 pembe gül vardır. Buna göre çiçekçi harhangi bir sayıda gül içeren bir buketi kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Çözümü Göster
SORU 11:

Annesinin 7 rakamdan oluşan telefon numarasını unutan Semih numarayla ilgili şunları hatırlamaktadır.

  • En ortadaki rakam asaldır.
  • İlk 3 basamaktaki rakamlar soldan sağa doğru ikişer azalan çift sayılardır.
  • Son 3 basamaktaki sayı rakamları soldan sağa doğru ardışık artan bir tek sayıdır.

Semih tüm olasılıkları araması durumunda en fazla kaçıncı denemesinde annesine ulaşabilir?

Çözümü Göster

Tekrarlayan Olaylar

Çarpma kuralının bir diğer uygulaması tek bir olayın pek çok kez tekrarlandığı durumdur.

SORU 12:

10 kere yazı tura attığımızda kaç farklı sonuç oluşabilir?

Çözümü Göster
SORU 13:

Bir zarı 5 kez attığımızda kaç farklı sonuç oluşabilir?

Çözümü Göster
SORU 14:

Bir futbol liginde her hafta 10 maç yapılmaktadır. Her maçın 3 olası sonucu olduğuna göre (ev sahibi takımın galibiyeti, beraberlik, konuk takımın galibiyeti), belirli bir haftada oynanan maçlar kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?

Çözümü Göster
SORU 15:

12 kişinin katıldığı bir ehliyet sınavı sonucunda her aday ya başarılı ya da başarısız olacaktır.

Buna göre bu sınav kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?

Çözümü Göster
SORU 16:

5 farklı oyuncak 3 çocuğa herhangi bir koşul olmadan kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü Göster

Seçimlerin Bağımsızlığı

Yukarıda çarpma kuralını kullanabilmemiz için kümelerden yapılan seçimlerin birbirinden bağımsız olması, yani bir kümeden yapılan seçimin diğer bir kümede arasından seçim yapılacak seçenekleri etkilememesi gerektiğini belirttik. Yukarıdaki örnek sorularda da bu koşulun sağlandığını gösterdik.

Bu koşulu daha esnek bir şekilde de ifade edebiliriz. Buna göre, bir kümeden yapılan seçim diğer bir kümedeki seçenekleri değiştirse de seçenek sayısı aynı kalıyorsa çarpma kuralını kullanabilmemiz için gerekli koşul sağlanmış olur. Bir diğer ifadeyle, çarpma yoluyla saymada kümelerin elemanlarını değil eleman sayılarını kullandığımız için, seçeneklerin kendisinden ziyade sayısının değişmemesi yeterli olmaktadır.

Aşağıda bu esnetilmiş koşulun kullanıldığı örnekler verilmiştir.

SORU 17:
Soru

A şehrinden B şehrine 5, B şehrinden C şehrine 4, C şehrinden D şehrine 3 farklı yol vardır. A şehrinden D şehrine gidip geri dönecek bir kişi, aynı yolu iki kez kullanmamak koşuluyla bunu kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözümü Göster
SORU 18:

A binasının 6, B binasının 8 farklı giriş çıkış kapısı bulunmaktadır. Önce A binasına sonra da B binasına girip çıkacak olan Zeynep, farklı giriş çıkışları kullanmak üzere bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözümü Göster
SORU 19:

40 soruluk bir testte her sorunun 5 seçeneği vardır. Ardışık 3 sorunun doğru cevapları farklı olmak koşuluyla cevap anahtarı kaç farklı şekilde hazırlanabilir?

Çözümü Göster
SORU 20:

\( A = \{0, 2, 3, 5, 7, 9\} \) kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı dört basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

Çözümü Göster
SORU 21:

\( N \) 100'den büyük üç basamaklı bir tam sayıdır.

\( N \)'nin basamaklarındaki rakamlar ters sırayla yazıldığında oluşan yeni sayı \( N \)'den 297 daha fazla olmaktadır. Bu koşulları sağlayan kaç \( N \) sayısı vardır?

Çözümü Göster

Bir kümeden yapılan seçim diğer bir kümedeki seçenek sayısını değiştiriyorsa ya çarpma kuralını kullanamayız ya da önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere problemi birden fazla parçaya bölerek çarpma ve toplama kurallarını birlikte kullanabiliriz.


« Önceki
Toplama Yoluyla Sayma
Sonraki »
Çıkarma Yoluyla Sayma


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır