Çarpma Yoluyla Sayma

Yolculuğun her iki ayağından birer uçuş seçileceği ve bir ayakta yapılan seçim diğer ayakta yapılan seçimi etkilemeyeceği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

İstanbul-Ankara arası 4, Ankara-Gaziantep arası 3 farklı uçuş seçeneği vardır, dolayısıyla tüm yolculuk için toplamda \( 4 \cdot 3 = 12 \) farklı uçuş seçeneği olur.

Bu 12 farklı seyahat planını bir şekil yardımı ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

Her uçuşa ait seçeneklerin ve iki uçuşun kartezyen çarpımının küme şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.

\( A \) ve \( G \) sırasıyla İstanbul-Ankara ve Ankara-Gaziantep arası uçuş seçeneklerini içeren kümeler olmak üzere,

\( A = \{ a1, a2, a3, a4 \} \)

\( G = \{ g1, g2, g3 \} \)

\( A \times G = \{ (a1, g1), (a1, g2), (a1, g3), \)

\( \quad (a2, g1), (a2, g2), (a2, g3), \)

\( \quad (a3, g1), (a3, g2), (a3, g3), \)

\( \quad (a4, g1), (a4, g2), (a4, g3) \} \)

\( s(A \times G) = s(A) \cdot s(G) = 4 \cdot 3 = 12 \)

Her şubeden bir başkan seçileceği ve bir şubede yapılan seçim diğer şubelerdeki seçimi etkilemeyeceği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

Verilen bilgiler doğrultusunda sınıf başkanları \( 30 \cdot 32 \cdot 34 = 32640 \) farklı şekilde seçilebilir.

Her menü çorba, ana yemek ve tatlıdan birer çeşit içereceği ve bir yemekte yapılan seçim diğer yemekte yapılan seçimi etkilemeyeceği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60 \) farklı menü oluşturulabilir.

Menüdeki seçeneklerin ve tüm menünün kartezyen çarpımının küme şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.

\( C \), \( A \) ve \( T \) sırasıyla çorba, ana yemek ve tatlı seçeneklerini içeren kümeler olmak üzere,

\( C = \{ c1, c2, c3 \} \)

\( A = \{ a1, a2, a3, a4, a5 \} \)

\( T = \{ t1, t2, t3, t4 \} \)

\( C \times A \times T = \{ (c1, a1, t1), \) \( (c1, a1, t2), \cdots, (c3, a5, t4) \} \)

\( s(C \times A \times T) = s(C) \cdot s(A) \cdot s(T) = 60 \)

Her kombin tişört, pantolon ve spor ayakkabıdan birer tane içereceği ve bir kıyafette yapılan seçim diğer kıyafette yapılan seçimi etkilemeyeceği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 8 \cdot 4 \cdot 3 = 96 \) farklı kombin oluşturulabilir.

Restoran, film ve kafe seçeneklerinden birer tane seçileceği ve bir aktivitede yapılan seçim diğer aktivitelerde yapılan seçimi etkilemeyeceği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

Verilen bilgiler doğrultusunda aktiviteler toplamda \( 7 \cdot 10 \cdot 4 = 280 \) farklı şekilde organize edilebilir.

Her tişört için bir model, renk ve beden seçimi yapılması gerektiği ve yapılan model seçimi renk seçeneklerini, renk seçimi de beden seçeneklerini etkilemediği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 9 \cdot 4 \cdot 3 = 108 \) farklı tişört ürünü vardır.

Her basamak için bir rakam seçileceği ve bir basamaktaki rakam seçimi diğer basamaklardaki seçimi etkilemeyeceği için çarpma kuralını kullanabiliriz.

Verilen bilgiler doğrultusunda toplamda \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 \) farklı seçim yapılabilir, dolayısıyla 4 basamaklı 625 farklı sayı yazılabilir.

Çiçekçinin elinde toplam 18 gül vardır ve buketi 1'den 18'e kadar herhangi bir sayıda gülle oluşturabilir.

Çiçekçinin yapması gereken 3 seçim vardır ve bu üç seçimi birbirini etkilemeyen bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz.

• Bukete konacak kırmızı gül sayısı (0, 1, 2, ..., 8 tane)
• Bukete konacak beyaz gül sayısı (0, 1, 2, ..., 6 tane)
• Bukete konacak pembe gül sayısı (0, 1, 2, ..., 4 tane)

Buna göre çiçekçinin (her renk için hiç çiçek koymama seçeneğini de ekleyerek) kırmızı güller için \( 8 + 1 = 9 \), beyaz güller için \( 6 + 1 = 7 \), pembe güller için de \( 4 + 1 = 5 \) farklı seçeneği vardır.

Bu bilgiler doğrultusunda çiçekçi \( 9 \cdot 7 \cdot 5 = 315 \) farklı seçim yapabilir. Üç renkten de sıfır gül seçilen durum bir buket oluşturmayacağı için bu çarpımdan bu tek durumu çıkararak toplam farklı buket sayısını \( 315 - 1 = 314 \) olarak buluruz.

\( A \) kümesinin her bir elemanının belirli bir alt kümede bulunup bulunmama durumunu "Var (V)/Yok (Y)" olarak işaretlersek soruyu tümünün gerçekleşmesi gereken birbirinden bağımsız 8 olay şeklinde kurgulayabiliriz.

Örneğin, boş küme için olaylar "YYYYYYYY" şeklinde gerçekleşirken, sadece kümenin birinci ve sonuncu elemanından oluşan bir alt küme için bu olaylar "VYYYYYYV" şeklinde gerçekleşir.

Çarpma kuralını bu 8 bağımsız olaya uygularsak toplam alt küme sayısını \( 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^8 \) olarak buluruz. Hatırlayacak olursak, \( 2^n \) aynı zamanda "Kümeler" konusunda gördüğümüz \( n \) elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı formülüdür.

360'ı asal çarpanlarına ayıralım.

\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)

Görülebileceği gibi, 360 sayısının içinde asal çarpan olarak 3 tane 2, 2 tane 3 ve 1 tane 5 vardır ve 360'ın bir pozitif tam böleni bu asal çarpanları en fazla bu adetlerde içerebilir.

Bir tam bölenin belirli bir asal çarpanı hiç içermeme durumunu da düşünürsek, 360'ın bir pozitif tam böleninde 2 çarpanı \( 3 + 1 \) farklı şekilde, 3 çarpanı \( 2 + 1 \) farklı şekilde ve 5 çarpanı \( 1 + 1 \) farklı şekilde bulunabilir.

Çarpma kuralını bu farklı olaylara uygularsak toplam pozitif bölen sayısını \( (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \) olarak buluruz, bu da "Asal Sayılar" konusunda gördüğümüz aşağıdaki pozitif bölen sayısı formülüne eşittir.

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış bir sayı için,

Pozitif tam bölenlerin sayısı \( = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \)

Kostüm zorunlu olduğu için Ali'nin 5 kostüm seçeneği vardır.

Maske, şapka ve pelerin zorunlu olmadığı için seçeneklere Ali'nin bu aksesuarları takmama durumunu da eklemeliyiz.

Dolayısıyla, Ali'nin maske için 5, şapka için 4, pelerin için 2 farklı seçeneği vardır.

Buna göre Ali, kombini için \( 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 200 \) farklı seçim yapabilir.

En ortadaki rakam, ilk 3 rakam ve son 3 rakam için farklı olasılıkları bulalım.

En ortadaki rakam asal olduğuna göre bu rakam için 4 olasılık vardır.

2, 3, 5, 7

İlk 3 basamaktaki rakamlar soldan sağa doğru ikişer azalan çift sayılar olduğuna göre bu basamaklar için 3 olasılık vardır.

420, 642, 864

Son 3 basamaktaki sayı rakamları soldan sağa doğru ardışık artan bir tek sayı olduğuna göre bu basamaklar için 4 olasılık vardır.

123, 345, 567, 789

İlk 3 rakam, ortadaki rakam ve son üç rakam birbirinden bağımsız seçimler olduğundan bu farklı olasılıkların çarpımı kadar farklı telefon numarası oluşturulabilir.

\( 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \)

Buna göre Semih tüm olasılıkları araması durumunda en fazla 48. denemesinde annesine ulaşabilir.

180'i asal çarpanlarına ayıralım.

\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

180'in pozitif bölen sayısını bulalım.

Bir sayının pozitif bölen sayısı (PBS), asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( PBS = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 \)

Verilen dikdörtgenin 180'in her pozitif böleni kadar farklı kenar uzunluğu olabilir. Örneğin bir kenar uzunluğu 12 ise diğer kenar uzunluğu 12'de bulunmayan asal çarpanlardan oluşan 15 olur.

\( 180 = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 3}_{12} \cdot \underbrace{3 \cdot 5}_{15} \)

Oluşan dikdörtgenlerde genişlik ve yükseklik ikilisi aralarında yer değiştirdiğinde yeni bir dikdörtgen oluşmadığı için 18 dikdörtgenin yarısı birbirinin aynısıdır.

Buna göre kenarları tam sayı ve alanı 180 birimkare olan 9 farklı dikdörtgen çizilebilir.

Asansör 1. ve 3. katlarda iken sadece 2. kata gidebilir, dolayısıyla gidebileceği tek kat seçeneği olur.

Asansör 2. katta iken 1. ya da 3. katlara gidebilir, dolayısıyla gidebileceği iki kat seçeneği olur.

Asansör 125 kez kat değiştirdiyse en başta bulunduğu 1. kat dahil toplam 126 kata uğramıştır, buna göre gün sonu raporu 126 satırdan oluşur.

Asansörün bir günlük operasyonuna ait örnek bir rapor aşağıdaki gibi olabilir.

Buna göre asansörün gün boyunca 125 kat değişikliğinin 63'ünde tek değişiklik seçeneği vardır, 62'sinde ise iki değişiklik seçeneği vardır.

Asansör 2. kattayken 1. ya da 3. kata gitmesi, sonraki duraklardaki seçenek sayılarını değiştirmez.

Buna göre 125 kat değişikliği, dolayısıyla gün sonu raporu aşağıdaki sayıda farklı şekilde olabilir.

\( \underbrace{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 1}_\text{125 kez} \)

\( = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_\text{63 kez} \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_\text{62 kez} \)

\( = 2^{62} \) bulunur.

Her madeni para atışında 2 olası sonuç vardır (Y: yazı, T: tura).

Her atış birbirinden bağımsız olaylar olduğu için para 10 kez atıldığında toplamda \( \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_\text{10 kere} = 2^{10} \) farklı sonuç oluşur (örneğin YTTYTYYTYT).

Her zar atışında 6 olası sonuç vardır (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Her atış birbirinden bağımsız olaylar olduğu için zar 5 kez atıldığında toplamda \( \underbrace{6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6}_\text{5 kere} = 6^5 \) farklı sonuç oluşur (örneğin 13256).

Her maçın 3 olası sonucu vardır (1: ev sahibi takımın galibiyeti, 0: beraberlik, 2: konuk takımın galibiyeti).

Her maç birbirinden bağımsız olaylar olduğu için 10 maçta toplamda \( \underbrace{3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_\text{10 tane} = 3^{10} \) farklı sonuç oluşur (örneğin 1101201021).

Sınava giren her aday ya başarılı ya da başarısız olacağı için her aday için 2 farklı sonuç vardır.

Adayların sınav sonucu birbirinden bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralı gereği 12 aday için \( \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_\text{12 tane} = 2^{12} \) farklı sonuç oluşur.

Her çocuk en az bir oyuncak almalı gibi bir koşul verilmediği için her oyuncağın dağıtımını bağımsız olaylar olarak düşünebiliriz.

Buna göre her oyuncak 3 farklı şekilde dağıtılabilir. Çarpım kuralı gereği 5 oyuncak 3 çocuğa toplamda \( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 \) farklı şekilde dağıtılabilir.

Her iki şehir arasındaki yollar birbirinden bağımsız seçenekler olduğu için, A'dan D'ye bu yol sayılarının çarpımı kadar farklı şekilde gidilebilir.

Gidişteki farklı yol sayısı \( = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

Gidişte kullanılan bir yol dönüşte kullanılamayacağı için, D'den A'ya bu yol sayılarının bir eksiklerinin çarpımı kadar farklı şekilde dönülebilir. Örneğin A'dan B'ye 2 no'lu yol kullanıldıysa dönüşte bu yol bir seçenek olmamaktadır.

Dönüşteki farklı yol sayısı \( = (5 - 1)(4 - 1)(3 - 1) = 24 \)

Gidişte kullanılabilecek 60 yolun her biri için dönüşte 24 farklı seçenek olduğu için A'dan D'ye gidiş ve dönüşte kullanılabilecek farklı yol sayısı bu iki sayının çarpımına eşittir.

Gidiş-dönüşteki farklı yol sayısı \( = 60 \cdot 24 = 1440 \)

Dikkat edilirse dönüşte kullanılabilecek yol seçenekleri gidişte kullanılan yollara bağlı olarak değişmektedir, ancak dönüşteki seçenek sayıları gidişte hangi yollar seçilmiş olursa olsun aynı kalmaktadır. Bu yüzden çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.

Zeynep A binasına 6 farklı kapıdan girebilir ve girişte kullandığı kapıyı kullanamayacağı için 5 farklı kapıdan çıkabilir. Buna göre Zeynep A binasına \( 6 \cdot 5 = 30 \) farklı şekilde girip çıkabilir.

Zeynep B binasına 8 farklı kapıdan girebilir ve girişte kullandığı kapıyı kullanamayacağı için 7 farklı kapıdan çıkabilir. Buna göre Zeynep B binasına \( 8 \cdot 7 = 56 \) farklı şekilde girip çıkabilir.

A binasındaki 30 farklı giriş-çıkış seçeneğinin her biri için B binasında 56 farklı giriş-çıkış seçenek olduğu için, Zeynep iki binaya \( 30 \cdot 56 = 1680 \) farklı şekilde girip çıkabilir.

Her binaya girişte kullanılan kapı çıkıştaki kapı seçeneklerini değiştirmektedir, ancak çıkıştaki seçenek sayısı girişte hangi kapı kullanılmış olursa olsun aynı kalmaktadır. Bu yüzden çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.

Birinci sorunun doğru cevabı 5 seçenekten biri olabilir.

İkinci sorunun doğru cevabı ilk soruyla aynı olamayacağı için ilk sorunun doğru cevabı dışındaki 4 seçenekten biri olabilir.

Üçüncü sorunun doğru cevabı ilk iki soruyla aynı olamayacağı için ilk iki sorunun doğru cevabı dışındaki 3 seçenekten biri olabilir.

Sonraki soruların doğru cevabı da kendinden önceki iki sorununki ile aynı olamayacağı için yine 3 seçenekten biri olabilir.

Buna göre cevap anahtarında ilk soru için 5, ikinci soru için 4, sonraki sorular için 3 doğru cevap seçeneği vardır.

Dolayısıyla farklı cevap anahtarı sayısı \( 5 \cdot 4 \cdot 3^{38} \) olur.

Dikkat edilirse ilk iki sorunun doğru cevabı sonraki soruların doğru cevap seçeneklerini değiştirmektedir, ancak seçenek sayıları ilk iki soruda doğru cevap ne olursa olsun aynı kalmakta ve 3 olmaktadır. Bu yüzden çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.

Her basamakta arasından seçim yapabileceğimiz rakam sayılarını belirleyelim.

1. basamak: 0'ı ilk basamakta kullanamayacağımız için 5 rakam seçeneği vardır.

2. basamak: Bu ve bundan sonraki basamaklarda 0'ı kullanabiliriz. 6 rakamdan birini 1. basamakta kullandığımız için 5 rakam seçeneği vardır.

3. basamak: İki rakamı ilk iki basamakta kullandığımız için 4 rakam seçeneği vardır.

4. basamak: Üç rakamı ilk üç basamakta kullandığımız için 3 rakam seçeneği vardır.

Bir basamakta yaptığımız seçim diğer basamaklardaki seçenekleri değiştirse de seçenek sayısını değiştirmediği için bu seçimleri bağımsız olarak düşünebiliriz ve çarpma kuralını kullanabiliriz.

Buna göre rakamları farklı dört basamaklı \( 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300 \) doğal sayı yazılabilir.

Bu soruda uyguladığımız yöntemi daha detaylı şekilde permütasyon konusunda inceleyeceğiz.

\( N \) sayısını \( (abc) \) şeklinde yazalım. Bu durumda basamakları tersten yazıldığında sayı \( (cba) \) olur.

\( (cba) - (abc) = 297 \)

Üç basamaklı sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 100c + 10b + a - (100a + 10b + c) = 297 \)

\( 99c - 99a = 297 \)

\( c - a = 3 \)

\( a \) üç basamaklı bir sayının yüzler basamağında olduğundan 0 olamaz. Ayrıca \( c \)'nin bir rakam olabilmesi için \( a \) en fazla 6 olabilir.

Buna göre \( a \) aşağıdaki değerleri alabilir.

\( a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)

\( b \) herhangi bir kurala bağlı olmadığı için 10 rakamdan herhangi biri olabilir.

\( c \), \( a \)'nın her farklı değeri için tek bir değer alabilir.

Bir basamakta yaptığımız seçim diğer basamaklardaki seçenekleri değiştirse de seçenek sayısını değiştirmediği için bu seçimleri bağımsız olarak düşünebiliriz ve çarpma kuralını kullanabiliriz.

Her basamakta kullanabileceğimiz rakam sayılarını çarparak kaç farklı \( N \) sayısı oluşturabileceğimizi bulalım.

\( 6 \cdot 10 \cdot 1 = 60 \) farklı \( N \) sayısı oluşturulabilir.