Güvercin Yuvası Prensibi
İlk bakışta ayrı bir başlık olmasına gerek olmadığını düşündürtecek kadar basit bir prensip olan Güvercin Yuvası Prensibi'nin oldukça ilginç ve birbirinden farklı uygulamaları vardır. Prensibin farklı uygulamalarında güvercinler farklı nesnelere, güvercin yuvaları da bu nesnelerin dağıtılacağı kutulara karşılık gelmektedir. Bu prensibin bir diğer adı çekmece prensibidir.
Temel Prensip
Bu prensibin en basit uygulaması, kutulardan en az birindeki nesne sayısının iki ya da daha fazla olduğu durumdur.
\( m \gt n \) olmak üzere,
\( m \) nesnenin \( n \) kutuya dağıtıldığı durumda, kutulardan en az biri iki ya da daha fazla nesne içermek zorundadır.
Bu prensibin diğer bazı uyarlamaları aşağıdaki gibidir.
- \( m \lt n \) olduğu durumda, kutulardan en az biri boş kalmak zorundadır.
- \( m = n \) olduğu durumda, kutulardan hiçbiri boş değilse tüm kutularda birer nesne olmak zorundadır.
- \( m = n \) olduğu durumda, kutulardan hiçbirinde birden fazla nesne yoksa tüm kutularda birer nesne olmak zorundadır.
Bir okuldaki öğrenciler arasından, doğum günleri (1) haftanın aynı günü, (2) ayın aynı günü, (3) yılın aynı ayı, (4) yılın aynı günü olan en az iki öğrenci seçtiğimizden emin olmak için seçmemiz gereken en az öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü GösterBirbirinden farklı desende 5 çift çorabın bulunduğu bir çekmeceden karanlık bir odada en az kaç tek çorap seçmeliyiz ki, mutlaka birbirinin eşi iki tek çorap seçmiş olalım?
Çözümü GösterStandart bir iskambil destesinden (1) aynı simgede (maça, sinek vb), (2) aynı sayıda (2, 5, vale, as vb), (3) aynı renkte (siyah, kırmızı) en az iki kart çektiğimizden emin olmak için çekmemiz gereken en az kart sayısı kaçtır?
Çözümü GösterBir şehirde yaşayan kişiler içinde doğumgünleri yılın aynı gününün aynı saatinin aynı dakikası olan en az iki kişi olabilmesi için şehrin nüfusu en az kaç kişi olmalıdır?
Çözümü Göster3 mavi, 4 kırmızı ve 7 sarı bilyenin bulunduğu bir torbadan her renkte en az bir bilyenin çekildiğinden emin olmak için en az kaç bilye çekilmelidir?
Çözümü GösterBir sepetteki 35 mavi, 21 mor, 17 sarı, 7 yeşil ve 3 kırmızı mandal arasından birer birer mandal alınıyor.
Aynı renkte 20 mandal alındığından emin olmak için sepetten en az kaç mandal alınmalıdır?
Çözümü Göster\( n \) kişinin bulunduğu bir toplulukta en az iki kişinin aynı sayıda arkadaşa sahip olduğunu güvercin yuvası prensibini kullanarak gösteriniz.
Çözümü GösterBir çiftlikteki kümeste \( x \) tane tavuk, \( y \) tane ördek vardır. Bir gün kümesteki hayvanlardan 11'inin kaçtığını öğrenen çiftlik sahibi, kümese bakmadan kaçan hayvanlardan en az 2'sinin ördek olduğunu doğru şekilde tahmin ediyor.
Buna göre kümesteki tavuk ve ördek sayıları için aşağıdaki \( ( x, y ) \) ikililerinden hangisi doğru olabilir?
I. \( (12, 10) \)
II. \( (10, 11) \)
III. \( (9, 8) \)
Çözümü Göster
Kenar uzunluğu 1 br olan bir düzgün altıgenin içinden seçilecek 7 farklı noktadan en az ikisi arasındaki uzaklığın her zaman 1'den küçük ya da 1'e eşit olduğunu gösteriniz.
Çözümü Göster
Fonksiyon Uygulamaları
Bu prensibin fonksiyonlar üzerindeki bazı uygulamaları aşağıdaki gibidir.
\( A \) ve \( B \) sonlu kümeler,
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( s(A) = m, \quad s(B) = n \),
\( m \gt n \) ise değer kümesinde tanım kümesinin her elemanı ile birebir eşlencek yeterli eleman bulunmadığı için \( f \) fonksiyonu birebir olamaz.
\( m \lt n \) ise tanım kümesinde değer kümesinin her elemanı ile eşlenecek yeterli eleman bulunmadığı için \( f \) fonksiyonu örten olamaz.
\( m = n \) ve \( f \) örten bir fonksiyon ise \( f \) aynı zamanda birebirdir.
\( m = n \) ve \( f \) birebir bir fonksiyon ise \( f \) aynı zamanda örtendir.
Genelleştirilmiş Prensip - I
Bu prensibin bir diğer uygulaması, kutulardan en az birindeki nesne sayısının \( k \) ya da daha fazla olduğu durumdur.
\( m \gt n \) olmak üzere,
\( m \) nesnenin \( n \) kutuya dağıtıldığı durumda, kutulardan en az biri \( k = \ceiling{\frac{m}{n}} \) ya da daha fazla nesne içermek zorundadır.
Aynı durumda, kutulardan en az biri \( k = \floor{\frac{m}{n}} \) ya da daha az nesne içermek zorundadır.
Yukarıdaki formülde geçen \( \ceiling{x} \) ifadesi tavan fonksiyonuna, \( \floor{x} \) ifadesi taban fonksiyonuna karşılık gelmektedir. Bu fonksiyonlarla ilgili daha fazla bilgi için Özel Fonksiyonlar sayfasını ziyaret edebilirsiniz.
Bu prensibin bir diğer uygulaması olarak, en az bir kutuda \( k \) ya da daha fazla nesne olması isteniyorsa olması gereken en az toplam nesne sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( m = (k - 1) \cdot n + 1 \)
Bu genelleştirilmiş prensipte \( k = 2 \) koyduğumuzda temel prensibi elde ederiz.
Bir üniversitenin ders takvimine göre bir hafta içinde 35 farklı ders saati vardır. Her hafta 720 farklı ders verildiğine göre, üniversitenin ihtiyaç duyacağı en az derslik sayısı kaçtır?
Çözümü GösterBir torbada 10 adet kırmızı, 10 adet yeşil ve 10 adet mavi bilye vardır. Torbadan rastgele seçeceğimiz bilyeler içinde aynı renkte 5 bilye olduğundan emin olmak için en az kaç bilye seçmeliyiz?
Çözümü GösterSadece Türkiye'de doğmuş kişilerden oluşan bir grupta, aynı ilde doğmuş en az 3 kişilik bir ekip oluşturabilmek için en az kaç kişi seçilmelidir? (toplam il sayısı 81'dir.)
Çözümü GösterGenelleştirilmiş Prensip - II
Bu prensibin bir diğer uygulaması, kutulardan en az birindeki nesne sayısının her kutu için farklı olduğu durumdur.
\( q_1, q_2, \ldots, q_n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( m = q_1 + q_2 + \ldots + q_n - n + 1 \)
nesnenin \( n \) kutuya dağıtıldığı durumda, ya \( 1 \). kutu en az \( q_1 \) nesne, ya \( 2 \). kutu en az \( q_2 \) nesne, \( \ldots \), ya da \( n \). kutu en az \( q_n \) nesne içermek zorundadır.
Bu genel prensipte tüm kutulardaki nesnelerin eşit ve 2 olduğunu varsayarsak temel prensibi elde ederiz.
\( q_1 = q_2 = \ldots = q_n = 2 \) olmak üzere,
Dağıtılacak nesne sayısı: \( m = 2n - n + 1 = n + 1 \)
Kutu sayısı: \( n \)
Bir lisede 9. sınıflardan 15 öğrenci, 10. sınıflardan 12 öğrenci, 11. sınıflardan 10 öğrenci ve 12. sınıflardan 8 öğrenci talep formu doldurup talep kutusuna bıraktığında o sınıf için bir deneme sınavı organize edilmektedir.
Buna göre, talep kutusunda en az kaç talep formu varsa formları açmadan bir deneme sınavı organize edileceğinden emin olabiliriz?
Çözümü Göster