Çıkarma Yoluyla Sayma

\( n \) tane rakamın çarpımının çift sayı olabilmesi için bu rakamlardan en az birinin çift sayı olması gerekir, dolayısıyla oluşturacağımız 5 basamaklı sayının rakamlarından en az birinin çift sayı olduğu durumları saymamız gerekecektir.

\( A_i \) yazabileceğimiz 5 basamaklı sayılardan \( i \) sayıda rakamı çift olan sayılar kümesi olmak üzere, bulmak istediğimiz sayıyı aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

\( A_1 = \{ 21111, 21113, ... \}\)

\( A_2 = \{ 22111, 22113, ... \}\)

\( A_3 = \{ 22211, 22213, ... \}\)

\( A_4 = \{ 22221, 22223, ... \}\)

\( A_5 = \{ 22222, 44444 \}\)

Cevap \( = s(A_1) + s(A_2) + s(A_3) + s(A_4) + s(A_5) \)

İçinde \( 0-5 \) arasında çift rakam bulunduran sayılar ikişerli ayrık kümeler olduğu için, bu soru için evrensel kümenin (yazabileceğimiz 5 basamaklı tüm sayılar) eleman sayısını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( s(E) = s(A_0) + s(A_1) + s(A_2) + s(A_3) + s(A_4) + s(A_5) \)

Buna göre bulmak istediğimiz cevabı aşağıdaki formülle de bulabiliriz.

\( s(A_1) + s(A_2) + s(A_3) + s(A_4) + s(A_5) = s(E) - s(A_0) \)

Buna göre rakamlarının çarpımı bir çift sayı olan sayıları, yazabileceğimiz 5 basamaklı tüm sayılardan hiçbir rakamı çift sayı olmayan (yani tüm rakamları tek sayı olan) sayıları çıkararak da bulabiliriz.

Yazabileceğimiz tüm 5 basamaklı sayılar:

\( s(E) = 5^5 \)

Tüm rakamları tek sayı olan sayılar:

\( s(A_0) = 3^5 \)

Buna göre rakamlarının çarpımı bir çift sayı olan sayıları aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:

\( s(A_1) + s(A_2) + s(A_3) + s(A_4) + s(A_5) = 5^5 - 3^5 \)

Yukarıdaki soruya benzer şekilde, en az iki rakamı tekrar eden şifreler kümesine \( A \) dersek, bu kümenin tümleyeni olan (yani birleşiminin bize evrensel kümeyi vereceği) küme hiçbir rakamı tekrar etmeyen şifreler kümesi olur.

\( A \): En az iki rakamı tekrar eden 5 haneli şifreler

\( A' \): Hiçbir rakamı tekrar etmeyen 5 haneli şifreler

\( E = A \cup A' \)

Buna göre bizden istenen \( A \) kümesinin eleman sayısını bulmak yerine, daha kolay şekilde hesaplayabileceğimiz evrensel küme ve \( A' \) kümelerinin eleman sayılarının farkından aynı sonuca ulaşabiliriz.

Her bir basamak için toplam 10 seçenek olduğu (\( 0-9 \)) ve her basamak için yapılacak seçimler birbirinden bağımsız seçimler olduğu için, oluşturulabilecek 5 haneli toplam şifre sayısı \( 10 \cdot 10 \cdots 10 = 10^5 \) olur, bu da evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

Permütasyon konusunda göreceğimiz üzere bu sayılardan \( P(10, 5) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \) tanesinin hiçbir rakamı tekrarlamaz, bu da \( A' \) kümesinin eleman sayısına eşittir.

Buna göre soruda istenen \( A \) kümesinin eleman sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

\( s(A) = S(E) - S(A') \)

\( s(A) = 10^5 - P(10, 5) \)