Çıkarma Yoluyla Sayma
Çıkarma yoluyla saymaya göre; bir \( A \) kümesinin eleman sayısı, evrensel kümenin eleman sayısı ile \( A \) kümesinin tümleyeni olan kümenin eleman sayısının farkına eşittir.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
Çıkarma yoluyla sayma yöntemi ikiden fazla kümeye aşağıdaki şekilde uyarlanabilir.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) ikişerli ayrık kümeler ve,
\( E = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \) olmak üzere,
\( s(A_1) = s(E) - [s(A_2) + \ldots + s(A_n)] \)
Çıkarma yoluyla sayma problemlerinde bir kümenin tümleyeni olan kümenin doğru belirlenmesi önem taşır. Aşağıda bazı örnek kümeler ve tümleyeni olan kümeler verilmiştir.
| Küme | Tümleyen Küme |
|---|---|
| Tüm rakamları tek sayı olan tam sayılar | En az bir rakamı çift sayı olan tam sayılar |
| Tüm rakamları farklı olan tam sayılar | En az iki rakamı aynı olan tam sayılar |
| 3'e tam bölünen tam sayılar | 3'e tam bölünmeyen tam sayılar |
| 3'e VE 5'e tam bölünen tam sayılar | 3'e tam bölünmeyen VEYA 5'e tam bölünmeyen tam sayılar |
| 3'e VEYA 5'e tam bölünen tam sayılar | 3'e tam bölünmeyen VE 5'e tam bölünmeyen tam sayılar |
\( 1, 2, 3, 4, 5 \) rakamları ile rakamları çarpımı çift sayı olan 5 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
Çözümü Göster5 basamaklı bir sayının rakamları çarpımının çift sayı olması için bu rakamlardan en az birinin çift sayı olması yeterlidir, dolayısıyla bu sayılar rakamlarından biri, ikisi, üçü, dördü ya da beşi çift sayı olan sayıları içerir. Bir sayının rakamları çarpımının tek sayı olması için ise tüm rakamlar tek sayı olmalıdır.
Evrensel kümeyi aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( E \) kümesi: 1, 2, 3, 4, 5 rakamları ile yazılabilecek tüm 5 basamaklı sayılar
Soruda eleman sayısı istenen kümeye \( A \) diyelim.
\( A \) kümesi: Bu sayılardan rakamları çarpımı çift sayı olan (en az bir rakamı çift sayı olan) sayılar
Buna göre \( A \) kümesinin tümleyeni olan küme aşağıdaki gibi olur.
\( A' \) kümesi: Bu sayılardan rakamları çarpımı tek sayı olan (tüm rakamları tek sayı olan) sayılar
\( E = A \cup A' \)
\( s(E) = s(A) + s(A') \)
\( A \) kümesinin eleman sayısını daha kolay şekilde evrensel ve \( A' \) kümelerinin eleman sayılarının farkını alarak bulabiliriz.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
5 basamaklı sayıların her basamağı için 5 rakam seçeneği vardır.
\( s(E) = 5^5 \)
5 basamaklı ve tüm rakamları tek sayı olan sayıların her basamağı için 3 rakam seçeneği vardır (1, 3, 5).
\( s(A') = 3^5 \)
Buna göre 1, 2, 3, 4, 5 rakamları ile yazılabilecek ve rakamları çarpımı çift sayı olan sayıları aşağıdaki çıkarma işlemi ile bulabiliriz.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
\( = 5^5 - 3^5 \)
Kaan'ın internet şubesi için oluşturabileceği sadece rakamlardan oluşan ve 0 ile başlayabilen 5 haneli şifrelerin kaçının en az iki rakamı aynıdır?
Çözümü GösterEvrensel kümeyi aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( E \) kümesi: Rakamlardan oluşan tüm 5 haneli şifreler
Soruda eleman sayısı istenen kümeye \( A \) diyelim.
\( A \) kümesi: Bu şifrelerden en az iki rakamı aynı olan şifreler
Buna göre \( A \) kümesinin tümleyeni olan küme aşağıdaki gibi olur.
\( A' \) kümesi: Bu şifrelerden tüm rakamları farklı olan şifreler
\( E = A \cup A' \)
\( s(E) = s(A) + s(A') \)
\( A \) kümesinin eleman sayısını daha kolay şekilde evrensel ve \( A' \) kümelerinin eleman sayılarının farkını alarak bulabiliriz.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
Her bir basamak için toplam 10 seçenek olduğu için oluşturulabilecek 5 haneli şifre sayısı \( 10^5 \) olur.
\( s(E) = 10^5 \)
Permütasyon konusunda göreceğimiz üzere, bu sayılardan \( P(10, 5) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \) tanesinin rakamları farklıdır.
\( s(A') = P(10, 5) \)
Buna göre, soruda istenen \( A \) kümesinin eleman sayısını aşağıdaki çıkarma işlemi ile bulabiliriz.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
\( = 10^5 - P(10, 5) \)
Deniz 5 farklı markanın her birinden birer pantolon, tişört ve şapka almıştır. Deniz bir pantolon, tişört ve şapkayı üçü birden aynı markaya ait olmamak koşuluyla kaç farklı şekilde giyebilir?
Çözümü Gösterİstenen durumu çıkarma yoluyla sayma yöntemiyle aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.
[3 ürünün birlikte aynı marka olmadığı durumlar] = [Tüm durumlar] - [3 ürünün aynı marka olduğu durumlar]
Deniz 5 pantolon, 5 tişört ve 5 şapkayı toplam \( 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \) farklı şekilde giyebilir.
Üç ürünün de aynı markaya ait olduğu 5 durum vardır (üçünün de birinci marka, ikinci marka, ..., beşinci marka olduğu durumlar).
Buna göre Deniz bir pantolon, tişört ve şapkayı üçü birden aynı markaya ait olmamak şartıyla \( 125 - 5 = 120 \) farklı şekilde giyebilir.
4 basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin rakamları çarpımı 3 ile tam bölünür?
Çözümü GösterBir sayının rakamları çarpımının 3 ile tam bölünmesi için rakamlardan en az biri ya 0 olmalıdır ya da 3 çarpanı içermelidir. Buna göre istenen koşulun sağlanması için sayı 0, 3, 6, 9 rakamlarından en az birini içermelidir.
Bir sayının rakamları çarpımının 3 ile tam bölünmemesi için sayı bu 4 rakamdan hiçbirini içermemelidir, yani 0, 3, 6, 9 dışındaki 6 rakamdan oluşmalıdır.
Evrensel kümeyi aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( E \) kümesi: 4 basamaklı tüm doğal sayılar
Soruda eleman sayısı istenen kümeye \( A \) diyelim.
\( A \) kümesi: Bu sayılardan rakamları çarpımı 3 ile tam bölünen (0, 3, 6, 9 rakamlarından en az birini içeren) sayılar
Buna göre \( A \) kümesinin tümleyeni olan küme aşağıdaki gibi olur.
\( A' \) kümesi: Bu sayılardan rakamları çarpımı 3 ile tam bölünmeyen (0, 3, 6, 9 dışındaki 6 rakamdan oluşan) sayılar
\( E = A \cup A' \)
\( s(E) = s(A) + s(A') \)
\( A \) kümesinin eleman sayısını daha kolay şekilde evrensel ve \( A' \) kümelerinin eleman sayılarının farkını alarak bulabiliriz.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
4 basamaklı toplam \( 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000 \) sayı vardır.
\( s(E) = 9000 \)
4 basamaklı ve rakamları çarpımı 3 ile tam bölünmeyen (yani 0, 3, 6, 9 rakamları dışındaki 6 rakamdan oluşan) \( 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296 \) farklı sayı yazılabilir.
\( s(A') = 1296 \)
Buna göre, soruda istenen \( A \) kümesinin eleman sayısını aşağıdaki çıkarma işlemi ile bulabiliriz.
\( s(A) = s(E) - s(A') \)
\( = 9000 - 1296 = 7704 \)
Rakamları çarpımı 5 ile tam bölünen beş basamaklı kaç pozitif tam sayı vardır?
Çözümü GösterÇarpma kuralı ile yazılabilecek tüm beş basamaklı sayıların sayısını bulalım.
\( 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 90000 \)
İçinde en az bir tane 0 veya 5 rakamı içeren sayıların rakamları çarpımı 5 ile tam bölünür.
Bunun yerine çarpma kuralı ile hiç 0 ve 5 içermeyen, yani sadece diğer 8 rakamdan oluşan beş basamaklı sayıların sayısını bulalım.
\( 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 32768 \)
Bu sayıyı tüm beş basamaklı sayıların sayısından çıkarırsak en az bir tane 0 veya 5 içeren beş basamaklı sayıların sayısını buluruz. Bu da rakamları çarpımı 5 ile tam bölünen beş basamaklı sayıların sayısını verir.
\( 90000 - 32768 = 57232 \) bulunur.