Önceki bölümde gördüğümüz özdeşlikler farklı biçimlerde aşağıdaki gibi de karşımıza çıkabilir.
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)
Bu özdeşlikler aşağıdaki biçimlerde de karşımıza çıkabilir.
| İfade | Özdeş İfade |
|---|---|
| \( (x - y)^2 \) | \( (-1)^2 (x - y)^2 \) \( = (-(x - y))^2 \) \( = (y - x)^2 \) |
| \( (5 - 3)^2 \) | \( 5^2 - 2(5)(3) + 3^2 \) \( = 25 - 30 + 9 = 4 \) |
| \( (x + 3)^2 \) | \( x^2 + 2x(3) + 3^2 \) \( = x^2 + 6x + 9 \) |
| \( (2x - 3y)^2 \) | \( (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \) \( = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \) |
| \( (x^3 + 2y^2)^2 \) | \( (x^3)^2 + 2x^3(2y^2) + (2y^2)^2 \) \( = x^6 + 4x^3y^2 + 4y^4 \) |
| \( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \) | \( \sqrt{x}^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + \sqrt{y}^2 \) \( = x + 2\sqrt{xy} + y \) |
| \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \) | \( \sqrt{3}^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{2}^2 \) \( = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 2} + 2 \) \( = 5 + 2\sqrt{6} \) |
| \( {\left( x - \dfrac{1}{x} \right)}^2 \) | \( x^2 - 2x\dfrac{1}{x} + {\left( \dfrac{1}{x} \right)}^ 2 \) \( = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} \) |
| \( (\sin{x} + \cos{x})^2 \) | \( \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} \) \( = \underbrace{\sin^2{x} + \cos^2{x}}_\text{1} + \underbrace{2\sin{x}\cos{x}}_\text{sin(2x)} \) \( = 1 + \sin(2x) \) |
| \( (\tan{x} + \cot{x})^2 \) | \( \tan^2{x} + 2\tan{x}\cot{x} + \cot^2{x} \) \( = \tan^2{x} + \cot^2{x} + 2\underbrace{\tan{x}\cot{x}}_\text{1} \) \( = \tan^2{x} + \cot^2{x} + 2 \) |
\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
Bu özdeşlik aşağıdaki biçimlerde de karşımıza çıkabilir.
| İfade | Özdeş İfade |
|---|---|
| \( 8^2 - 7^2 \) | \( (8 - 7)(8 + 7) = 15 \) |
| \( 100^2 - 1^1 \) | \( (100 - 1)(100 + 1) \) \( = 99 \cdot 101 \) |
| \( x^2 - 16 \) | \( x^2 - 4^2 \) \( = (x - 4)(x + 4) \) |
| \( 16x^4 - y^8 \) | \( (4x^2)^2 - (y^4)^2 \) \( = (4x^2 - y^4)(4x^2 + y^4) \) \( = ((2x)^2 - (y^2)^2)(4x^2 + y^4) \) \( = (2x - y^2)(2x + y^2)(4x^2 + y^4) \) |
| \( x - y \) | \( \sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2 \) \( = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) |
| \( x^4y^6 - 25 \) | \( (x^2y^3)^2 - 5^2 \) \( = (x^2y^3 - 5)(x^2y^3 + 5) \) |
| \( a^2 - \dfrac{1}{a^2} \) | \( a^2 - {\left( \dfrac{1}{a} \right)}^2 \) \( = \left( a - \dfrac{1}{a} \right) \left( a + \dfrac{1}{a} \right) \) |
| \( \cos^2{x} - 1 \) | \( (\cos{x} - 1)(\cos{x} + 1) \) |
| \( \cos^4{x} - \sin^4{x} \) | \( (\cos^2{x})^2 - (\sin^2{x})^2 \) \( = (\underbrace{\cos^2{x} - \sin^2{x}}_{\cos(2x)})(\underbrace{\cos^2{x} + \sin^2{x}}_\text{1}) \) \( = \cos(2x) \) |
| \( x^2 - (y + z)^2 \) | \( (x - (y + z))(x + (y + z)) \) \( = (x - y - z)(x + y + z) \) |
| \( 3x^2 - 75 \) | \( 3(x^2 - 25) \) \( = 3(x - 5)(x + 5) \) |
\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
\( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)
Bu özdeşlikler aşağıdaki biçimlerde de karşımıza çıkabilir.
| İfade | Özdeş İfade |
|---|---|
| \( 64 - 27 \) | \( 4^3 - 3^3 \) \( = (4 - 3)(4^2 + 4 \cdot 3 + 3^2) \) \( = 37 \) |
| \( x^3 - 8 \) | \( x^3 - 2^3 \) \( = (x - 2)(x^2 + 2x + 2^2) \) |
| \( x^3y^6 - 64 \) | \( (xy^2)^3 - 4^3 \) \( = (xy^2 - 4)((xy^2)^2 + (xy^2)4 + 4^2) \) \( = (xy^2 - 4)(x^2y^4 + 4xy^2 + 16) \) |
| \( x^3 - \dfrac{1}{x^3} \) | \( x^3 - {\left( \dfrac{1}{x} \right)}^3 \) \( = \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \) \( \left( x^2 + x\dfrac{1}{x} + {\left( \dfrac{1}{x} \right)}^2 \right) \) \( = \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \) \( \left( x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \right) \) |
| \( \sin^3{x} - \cos^3{x} \) | \( (\sin{x} - \cos{x}) \) \( (\underbrace{\sin^2{x} + \cos^2{x}}_\text{1} + \sin{x}\cos{x}) \) \( = (\sin{x} - \cos{x})(1 + \sin{x}\cos{x}) \) |
| \( \tan^3{x} - \cot^3{x} \) | \( (\tan{x} - \cot{x}) \) \( (\tan^2{x} + \underbrace{\tan{x}\cot{x}}_\text{1} + \cot^2{x}) \) \( = (\tan{x} - \cot{x})(\tan^2{x} + 1 + \cot^2{x}) \) |