Üç Terimli İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Benzer terimlerden oluşan iki terimli iki ifadenin çarpımının açılımı bize üç terimli bir ifade verir.

Üç terimli ifadeler
Üç terimli ifadeler

Böyle bir ifadenin benzer terimleri arasındaki çarpımlar (kırmızı ve mavi oklar) iki farklı terim üretirler. Benzer olmayan terimler arasındaki çarpımlar (yeşil oklar) da iki terim üretirler, ancak bu çarpımların sonucu olan terimler benzer oldukları için tek terimde birleşirler.

Bu şekilde ifadelere ve açılımlarına aşağıdaki örnekleri verebiliriz.

Çarpanlar Açılım
\( (x - 2)(x + 1) \) \( x^2 + x - 2x - 2 \) \( = x^2 - x - 2 \)
\( (2x - y)(3x + 2y) \) \( 6x^2 + 4xy - 3xy - 2y^2 \) \( = 6x^2 + xy- 2y^2 \)
\( (2\sin{x} - 3)(\sin{x} + 1) \) \( 2\sin^2{x} + 2\sin{x} - 3\sin{x} - 3 \) \( = 2\sin^2{x} - \sin{x}- 3 \)

\( ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir ifadenin kökleri reel sayı olacak şekilde çarpanlarına ayrılabilmesi için ikinci derece denklemler konusunda gördüğümüz deltasının (diskriminantının) sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olması gerekir (\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)).

Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Açılımı verilmiş üç terimli bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntemi uygulayabiliriz.

Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırma
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırma
  1. Önce çarpanlarına ayırmak istediğimiz üç terimli ifadeyi ilk satıra yazarız (\( 2x^2 - x - 3 \)).
  2. Birinci terimi (\( 2x^2 \)) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız (\( 2x^2 = 2x \cdot x \)).
  3. Benzer şekilde üçüncü terimi (\( -3 \)) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız (\( -3 = (-3) \cdot 1 \)).
  4. Her iki terimi çarpanlarına ayırırken çapraz oklarla gösterilen ifadelerin çarpımlarının toplamının çarpanlarına ayırdığımız ifadenin ikinci terimine (\( -x \)) eşitliğini sağlamamız gerekir (\( 2x \cdot 1 + x \cdot (-3) = 2x - 3x = -x \)). Bu eşitlik sağlanmazsa 2. ve 3. adımlardaki işlemleri farklı çarpanlarla tekrar denememiz gerekir.
  5. Bu örnekte 4. adımdaki koşulun sağlandığını görüyoruz. Buna göre üç terimli ifadenin çarpanları ikinci kutunun ilk satırındaki kırmızı terimlerin toplamı (\( (2x - 3) \)) ile altındaki mavi terimlerin toplamının (\( (x + 1) \)) çarpımı olur (\( (2x - 3)(x + 1) \)).
SORU:

\( 3x^2 + 7xy - 6y^2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( x^2 + 4x - 21 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( 2x^2 + 3x - 14 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( 4x^2 + 17x - 15 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \dfrac{x^2 - 5x + m}{x^2 - 4} \) ifadesi sadeleşebildiğine göre \( m \) sayısının alabileceği değerleri bulalım.

Çözümü Göster


« Önceki
Çarpanlara Ayırma
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır