Benzer terimlerden oluşan iki terimli iki ifadenin çarpımının açılımı bize üç terimli bir ifade verir.
Böyle bir ifadenin benzer terimleri arasındaki çarpımlar (kırmızı ve mavi oklar) iki farklı terim üretirler. Benzer olmayan terimler arasındaki çarpımlar (yeşil oklar) da iki terim üretirler, ancak bu çarpımların sonucu olan terimler benzer oldukları için tek terimde birleşirler.
Bu şekilde ifadelere ve açılımlarına aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
\( ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir ifadenin kökleri reel sayı olacak şekilde çarpanlarına ayrılabilmesi için, ifadenin deltasının (diskriminantının) sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olması gerekir (\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)).
Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Açılımı verilmiş üç terimli bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntemi uygulayabiliriz.
Üç terimli ifade: \( 2x^2 - x - 3 \)
Önce çarpanlarına ayırmak istediğimiz üç terimli ifadeyi ilk satıra yazarız (\( 2x^2 - x - 3 \)).
Birinci terimi (\( 2x^2 \)) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız (\( 2x^2 = 2x \cdot x \)).
Benzer şekilde üçüncü terimi (\( -3 \)) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız (\( -3 = (-3) \cdot 1 \)).
Her iki terimi çarpanlarına ayırırken çapraz oklarla gösterilen ifadelerin çarpımlarının toplamının çarpanlarına ayırdığımız ifadenin ikinci terimine (\( -x \)) eşitliğini sağlamamız gerekir (\( 2x \cdot 1 + x \cdot (-3) = 2x - 3x = -x \)). Bu eşitlik sağlanmazsa 2. ve 3. adımlardaki işlemleri farklı çarpanlarla tekrar denememiz gerekir.
Bu örnekte 4. adımdaki koşulun sağlandığını görüyoruz. Buna göre üç terimli ifadenin çarpanları ikinci kutunun ilk satırındaki kırmızı terimlerin toplamı (\( (2x - 3) \)) ile altındaki mavi terimlerin toplamının (\( (x + 1) \)) çarpımı olur (\( (2x - 3)(x + 1) \)).
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Çarpanlara ayırma yönteminin 4. adımında bahsettiğimiz doğrulamayı uyguladığımızda (\( 3x \cdot (-6y) + x \cdot y = -17xy \ne 7xy \)), yaptığımız çarpanlara ayırma işleminin bize ilk satırdaki üç terimli ifadenin ikinci terimini vermediğini görüyoruz. Bu durumda aşağıda işlemi farklı çarpanlarla tekrar deneyelim.
Bu çarpanların (\( 3x \cdot 3y + x \cdot (-2y) = 7xy \)) bize ikinci terimi verdiğini görüyoruz. Dolayısıyla verilen üç terimli ifadeyi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırmış oluyoruz.
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Birinci terimi \( x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( +7 \) ve \( -3 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( x \cdot (-3) + x \cdot 7 = 4x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluyoruz.
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Birinci terimi \( 2x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( +7 \) ve \( -2 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( 2x \cdot (-2) + x \cdot 7 = 3x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Birinci terimi \( 4x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( -3 \) ve \( +5 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( 4x \cdot 5 + x \cdot (-3) = 17x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.
İfade sadeleşebildiğine göre, payda bulunan ikinci dereceden ifadenin çarpanlarından biri \( x - 2 \) ya da \( x + 2 \) olmalıdır.
Pay ve paydada sadeleşen çarpanların \( x - 2 \) olduğunu varsayalım. Çarpan teoremine göre, \( x - 2 \) payın bir çarpanı ise \( x = 2 \) değeri payı sıfır yapmalıdır.
\( 2^2 - 5(2) + m = 0 \)
\( m = 6 \)
Bu durumda paydaki ifade aşağıdaki gibi olur ve çarpanlarına ayrılır.
\( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \)
Pay ve paydada sadeleşen çarpanların \( x + 2 \) olduğunu varsayalım. Çarpan teoremine göre, \( x + 2 \) payın bir çarpanı ise \( x = -2 \) değeri payı sıfır yapmalıdır.
\( (-2)^2 - 5(-2) + m = 0 \)
\( m = -14 \)
Bu durumda paydaki ifade aşağıdaki gibi olur ve çarpanlarına ayrılır.
\( x^2 - 5x - 14 = (x + 2)(x - 7) \)
Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 6 + (-14) = -8 \) olur.