Bu bölümde permütasyon/kombinasyon gibi sayma yöntemlerinin kullanıldığı olasılık problemlerine bazı örnekler bulabilirsiniz. Temel olasılık, koşullu olasılık ve geometrik olasılık problemlerine belirtilen linklerden ulaşabilirsiniz.
SORU 1:
Bir sınıftaki 12 öğrenciden 5'i kız 7'si erkektir. Bu öğrenciler rastgele sıraya geçtiklerinde tüm kızların yan yana gelme olasılığı kaçtır?
Örnek uzay 12 öğrencinin yan yana farklı dizilişlerinden oluşur.
\( s(S) = 12! \)
Kızların yan yana gelme olayına \( A \) diyelim.
Kız öğrencilerin yan yana olduğu diziliş sayısını bulmak için 5 kız öğrenciyi tek bir grup olarak düşünelim. Bu durumda 7 erkek öğrenci ve 1 kız öğrenci grubu \( 8! \) farklı şekilde dizilebilirler.
Bir grup olarak düşündüğümüz 5 kız öğrenci kendi aralarında \( 5! \) farklı şekilde dizilebildikleri için kız öğrencilerin yan yana olduğu toplam diziliş sayısı \( 8! \cdot 5! \) olur.
\( s(A) = 8! \cdot 5! \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( K = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek rakamları farklı 3 basamaklı sayılar içinden rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının 5'e tam bölünebilme olasılığı kaçtır?
Örnek uzay 8 elemanlı \( K \) kümesinin 3'lü permütasyonlarından oluşur.
\( s(S) = P(8, 3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \)
Bu permütasyonların 5'e tam bölünme olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayı örnek uzaydaki sayılar içinde 5'e tam bölünen sayılardan oluşur.
Bu sayılardan sadece son basamağı 5 olanlar 5'e tam bölünür.
\( K \) kümesinin 3'lü permütasyonları içinde son basamağı 5 olanları bulmak için önce son basamağa 5 yerleştirelim ve kalan 7 elemanın diğer iki basamak için 2'li permütasyonlarının sayısını bulalım.
\( s(A) = P(7, 2) = 7 \cdot 6 = 42 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( K = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin elemanları ile yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı tüm sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 300'den büyük olma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay 5 zar atışının tüm farklı sonuçlarından oluşur.
\( S = \{11111, 11112, \ldots, 66666\} \)
\( s(S) = 6^5 \)
Her defasında farklı bir yüzün üstte gelme olayına \( A \) diyelim.
1-6 arası 5 rakam \( P(6, 5) = 6! \) farklı şekilde dizilebilir, dolayısıyla her defasında farklı bir yüzün üstte geldiği \( 6! \) farklı durum vardır.
\( A = \{12345, 12346, \ldots, 65432\} \)
\( s(A) = 6! \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{6!}{6^5} = \dfrac{5!}{6^4} \) bulunur.
\( K = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin elemanlarını tekrarlı şekilde kullanarak yazılabilecek üç basamaklı tüm sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının yalnız iki basamağının aynı olma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay 6 elemanlı \( K \) kümesinin elemanlarını tekrarlı kullanarak yazılabilecek tüm üç basamaklı sayılardan oluşur.
\( s(S) = 6^3 = 216 \)
Bu sayılar arasından seçilen bir sayının yalnız iki basamağının aynı olma olayına \( A \) diyelim.
Bu sayılardan yalnız iki basamağı aynı olan sayıları bulmak için tekrar eden rakam \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde, diğer rakam da kalan 5 eleman içinden \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu iki rakam kullanılarak yalnız iki basamağı aynı olan "aab" formunda üç basamaklı bir sayı tekrarlı permütasyonla \( \frac{3!}{2!} = 3 \) farklı şekilde dizilebilir.
\( s(A) = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Örnek uzay küpün üç kez atışının tüm farklı sonuçlarından oluşur.
\( s(S) = 6^3 = 216 \)
Her rengin bir defa gelme olayı \( A \) diyelim.
\( A \) olayı "YKM" şeklindeki sonuçların tüm farklı dizilişlerinden oluşur.
3 yeşil yüzeyden biri \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde, 2 kırmızı yüzeyden biri \( C(2, 1) = 2 \) farklı şekilde, 1 mavi yüzeyden biri \( C(1, 1) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen her renge ait yüzeyler aralarında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.
\( A \) olayının sonuç sayısını bulalım.
\( s(A) = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3! = 36 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
ADANADA kelimesi gibi düzden ve tersten okunuşu aynı olan kelimelere palindrom denir.
Bu kelimenin harflerinin yerleri rastgele değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız yedi harfli bir kelime oluşturuluyor. Oluşan kelimenin palindrom olma olasılığı nedir?
7 harfli bu kelimede "A" harfi 4 kez, "D" harfi 2 kez yer almaktadır.
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay ADANADA kelimesinin harfleri ile oluşturulabilecek tüm farklı kelimelerden oluşur.
Tekrarlı permütasyon formülü ile oluşturulabilecek farklı kelime sayısını bulalım.
\( s(S) = \dfrac{7!}{4! \cdot 2!} = 105 \)
Oluşturulacak kelimenin palindrom olma olayına \( A \) diyelim.
Kelimenin palindrom olması için en ortadaki harf "N" olmalı, öncesinde de "A", "A" ve "D" harfleri herhangi bir sırada bulunmalıdır. Bu durumda geri kalan "A", "A" ve "D" harfleri kelimenin sonuna ilk 3 harf ile ters sırada yerleştirilerek bir palindrom kelime oluşturulur.
"A", "A" ve "D" harfleri ile oluşturulabilecek 3 harfli kelime sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile bulalım.
\( s(A) = \dfrac{3!}{2!} = 3 \)
Buna göre ADANADA kelimesinin harfleri ile 3 farklı palindrom kelime yazılabilir: ADANADA, AADNDAA, DAANAAD.
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Bir dizilişte tüm sessiz harflerin yan yana olma olayına \( A \) diyelim.
Tüm sessiz harfleri tek bir harf olarak düşünelim. Buna göre AAEİ harfleri ve "MMTTK" harf setinden oluşan 5 elemanın farklı dizilişlerinin sayısını bulalım. Bu dizilişte "A" harfi 2 kez bulunmaktadır.
\( \dfrac{5!}{2!} = 60 \)
Bu 60 dizilişin her birinde "MMTTK" harfleri kendi aralarında \( \dfrac{5!}{2!\ 2!} = 30 \) farklı şekilde dizilebilir.
Tüm sessiz harflerin yan yana geldiği toplam diziliş sayısı bulduğumuz iki sayının çarpımına eşittir.
\( s(A) = 60 \cdot 30 = 1800 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{1800}{\frac{9!}{8}} = \dfrac{5}{126} \) bulunur.
Örnek uzay kitapların tüm farklı dizilişlerinden oluşur.
Tekrarlı permütasyon formülü ile kitapların farklı diziliş sayısını bulalım.
\( s(S) = \dfrac{7!}{2!} \)
Özdeş kimya kitaplarının yan yana gelme olayına \( A \) diyelim.
Kimya kitaplarının yan yana olduğu dizilişlerin sayısını bulmak için kimya kitaplarını bir grup olarak düşünelim.
Buna göre kimya kitaplarının yan yana olduğu diziliş sayısı 3 farklı fizik kitabı, 2 farklı matematik kitabı ve 1 kimya kitap grubunun farklı diziliş sayısına eşittir.
Kimya kitapları özdeş olduğu için kitapların aralarında yer değiştirmesi yeni diziliş oluşturmaz.
\( s(A) = 6! \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{6!}{\frac{7!}{2!}} = \dfrac{2}{7} \) bulunur.
Bir apartmandaki 5 farklı kişiden 3'ü A dergisine, 2'si B dergisine abonedir. Postacı bu 5 dergiyi bu kişilere ait 5 posta kutusuna her kutuda bir dergi olacak şekilde rastgele bırakıyor.
Tüm dergilerin doğru kişilere ait olma olasılığı kaçtır?
Tekrarlı permütasyon formülüne göre dergiler \( \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \) farklı şekilde kutulara bırakılabilir. Bunlardan sadece birinde tüm dergiler doğru kutuya bırakılmış olur.
Örnek uzay 5 öğrencinin tüm farklı dizilişlerinden oluşur.
\( s(S) = 5! = 120 \)
En kısa ve en uzun boylu öğrencilerin sıranın iki ucunda olma olayına \( A \) diyelim.
Önce en kısa ve en uzun boylu öğrencileri sıranın iki ucuna yerleştirelim. Kalan 3 öğrenci \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilirler. Bu dizilişlerin herbirinde en uzun ve en kısa öğrenciler kendi aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.
\( s(A) = 3! \cdot 2! = 12 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
İki "O" ve iki "X" işaretinin farklı diziliş sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile bulalım.
\( \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \)
Buna göre avcının dört atışının ikisinde hedefi vurduğu 6 durum daha vardır. Her durumda yukarıda hesapladığımız olasılığın sadece çarpım sırası değişeceği için gerçekleşme olasılıkları yine \( \frac{9}{256} \) olur.
Avcının 4 atış sonunda hedefi iki kez vurmuş olma olasılığı:
\( = 6 \cdot \dfrac{9}{256} = \dfrac{27}{128} \) bulunur.
İstenen olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
İki renkten en az birer bilye olma olasılığı = 1 - 3 bilyenin de kırmızı olma olasılığı - 3 bilyenin de beyaz olma olasılığı
3 bilyenin de kırmızı olma olasılığı, 6 kırmızı bilye içinden 3 bilyenin farklı seçim sayısının 10 bilye içinden 3 bilyenin farklı seçim sayısına oranına eşittir.
3 bilyenin de beyaz olma olasılığı, 4 beyaz bilye içinden 3 bilyenin farklı seçim sayısının 10 bilye içinden 3 bilyenin farklı seçim sayısına oranına eşittir.
\( A \times A \) kartezyen çarpımının elemanı olan sayı ikilileri arasından rastgele seçilecek bir ikilinin bileşenlerinin aralarında asal olma olasılığı kaçtır?
Birer yüzü renkli 5 mor, 5 beyaz ve 5 sarı kartın üzerine aynı renkte kartın üzerine her sayı bir kez yazılacak şekilde 1, 2, 3, 4, 5 sayıları yazılıyor ve bu 15 kart rastgele karılarak bir deste oluşturuluyor.
Bu desteden rastgele çekilen iki kartın aynı renk olma ya da üzerlerinde aynı sayının yazıyor olma olasılığı nedir?
Örnek uzay 15 kart arasından 2 kartın farklı seçimlerinden oluşur.
\( s(S) = C(15, 2) = 105 \)
Çekilen iki kartın aynı renk olma ya da üzerlerinde aynı sayının yazıyor olma olayına \( A \) diyelim.
2 mor kart \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde, 2 beyaz kart \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde, 2 sarı kart \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre aynı renkte iki kart \( 3 \cdot 10 = 30 \) farklı şekilde seçilebilir.
Üzerinde "1" yazan 2 kart \( C(3, 2) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir. Benzer şekilde, diğer sayıların her biri için de 3'er farklı seçim vardır.
Buna göre üzerinde aynı sayı yazan iki kart \( 5 \cdot 3 = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Hem aynı renk olan hem de üzerinde aynı sayı yazan kart bulunmadığı için yukarıdaki kart gruplarının kesişim kümesi boş kümedir.
\( s(A) = 30 + 15 = 45 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Ali bir TV yarışma programına katılmak için ön elemeden geçecektir. Ön eleme her biri 4 seçenekli 5 sorudan oluşmaktadır.
3 ya da daha fazla soruyu doğru bilenler ön elemeyi geçtiğine göre, tüm sorulara rastgele cevap vermesi durumunda Ali'nin ön elemeyi geçme olasılığı kaçtır?
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan Yılmaz ailesi ile anne, baba ve 3 çocuktan oluşan Demir ailesinin üyeleri arasından rastgele seçilen iki kişinin kardeş olma olasılığı nedir?
Seçilen kişiler arasında evli bir çiftin bulunma olayına \( A \) diyelim.
3 evli çift içinden bir çift \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir. Seçilen evli çiftin yanına üçüncü kişi diğer 4 kişi arasından \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre ikisi evli bir çift olmak üzere üç kişi \( 3 \cdot 4 = 12 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( s(A) = 12 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Yukarıda verilen paralel iki doğrudan üsttekinde 5 alttakinde 3 nokta işaretlenmiştir. Bu 8 nokta kullanılarak çizilebilecek tüm üçgenler içinden rastgele seçilen bir üçgenin köşelerinden birinin \( A \) noktası olma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay verilen noktalar kullanılarak çizilebilecek tüm üçgenlerden oluşur.
Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta bir üçgen oluşturmaz, buna göre çizilecek üçgenin ya 2 köşesi üstteki, 1 köşesi alttaki doğru üzerinde olmalıdır, ya da 1 köşesi üstteki, 2 köşesi alttaki doğru üzerinde olmalıdır.
Üstteki doğru üzerinden 2, alttaki doğru üzerinden 1 nokta \( C(5, 2) \cdot C(3, 1) = 30 \) farklı şekilde seçilebilir.
Üstteki doğru üzerinden 1, alttaki doğru üzerinden 2 nokta \( C(5, 1) \cdot C(3, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre verilen noktaları kullanarak çizilebilecek toplam üçgen sayısı \( 30 + 15 = 45 \) olur.
\( s(S) = 45 \)
Seçilen üçgenin bir köşesinin \( A \) noktası olma olayına \( E \) diyelim.
Bir köşesi \( A \) olan üçgen sayısını iki farklı yöntemle bulabiliriz.
1. yöntem:
Bir köşesi \( A \) olan üçgenin ya diğer 2 köşesi üstteki doğru üzerinde olur ya da 1 köşesi üstteki, 1 köşesi alttaki doğru üzerinde olur.
Üstteki doğru üzerinden 2 nokta \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Üstteki doğru üzerinden 1, alttaki doğru üzerinden 1 nokta \( C(5, 1) \cdot C(2, 1) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre bir köşesi \( A \) olan \( 10 + 10 = 20 \) farklı üçgen seçilebilir.
2. yöntem:
\( A \) noktası hariç diğer noktaları kullanarak çizilebilecek üçgen sayısını hesaplayalım.
Üstteki doğru üzerinden 2, alttaki doğru üzerinden \( A \) hariç 1 nokta \( C(5, 2) \cdot C(2, 1) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.
Üstteki doğru üzerinden 1, alttaki doğru üzerinden \( A \) hariç 2 nokta \( C(5, 1) \cdot C(2, 2) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre \( A \) dışındaki noktaları kullanarak çizilebilecek toplam üçgen sayısı \( 20 + 5 = 25 \) olur. Bu sayıyı yukarıda hesapladığımız \( A \) dahil çizilebilecek toplam üçgen sayısından çıkarırsak bir köşesi \( A \) olan üçgen sayısını buluruz.
\( 45 - 25 = 20 \)
\( s(E) = 20 \)
\( E \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( E \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Örnek uzay verilen 8 nokta arasından 3 noktanın farklı seçimlerinden oluşur.
\( s(S) = C(8, 3) = 56 \)
Seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olayına \( A \) diyelim.
Aynı kenar üzerindeki (doğrusal) noktalar üçgen oluşturmaz, bu yüzden bu 56 sonuçtan aynı kenar üzerinden seçilebilecek 3 noktadan oluşan kombinasyonlar çıkarılır.
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan 5 basamaklı bir doğal sayı seçiliyor. Seçilen sayının rakamlarından sadece birinin çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Bu sayıların rakamlarından sadece birinin çift sayı olma olayına \( A \) diyelim.
Sıfır dışında çift sayı 4 rakam vardır (2, 4, 6, 8). Bu 4 rakamdan biri \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde, diğer tek sayı 5 rakamdan 4'ü \( C(5, 4) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen bu 5 rakam aralarında \( 5! \) farklı şekilde dizilebilir.
\( s(A) = 4 \cdot 5 \cdot 5! \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Sena Öğretmen bir kağıda pozitif bir tam sayı yazdıktan sonra 8 öğrencisinden birincisine verip bu sayıyı 3 ile çarpmasını ya da 3'e bölmesini istiyor.
Her öğrenci bu işlemi yaptıktan sonra kağıdı bir sonraki öğrenciye veriyor, o öğrenci de aynı işlemi kendisinden önceki öğrencinin elde ettiği sonuca uyguluyor.
Buna göre, son öğrencinin elde ettiği sayının kağıda ilk yazılan sayıdan küçük olma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay 8 öğrencinin uygulayabileceği farklı işlemlerin tüm dizilişlerinden oluşur.
Her öğrenci iki işlemden birini uygulayacağı için toplam farklı işlem diziliş sayısı \( 2^8 \) olur.
Örneğin çarpma ve bölme işlemlerine sırayla "C" ve "B" dersek bir olası işlem sırası "CCBCBCCB" olur.
\( s(S) = 2^8 = 256 \)
Bu sıralamada "C" sayısı "B" sayısına eşit olursa işlem sonucu ilk sayıya eşit, "C" sayısı daha fazla olursa işlem sonucu ilk sayıdan büyük, "B" sayısı daha fazla olursa işlem sonucu ilk sayıdan küçük olur.
"B" sayısının "C" sayısından fazla olma olayına \( A \) diyelim.
"C" ve "B" işlemlerinin eşit sayıda olduğu durum sayısı "CCCCBBBB" harflerinin tekrarlı permütasyon formülü ile \( \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 \) olarak bulunur.
"B" sayısının daha fazla olduğu durumların sayısını bulalım.
3 "C" ve 5 "B"nin farklı diziliş sayısı:
\( = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = 56 \)
2 "C" ve 6 "B"nin farklı diziliş sayısı:
\( = \dfrac{8!}{2! \cdot 6!} = 28 \)
1 "C" ve 7 "B"nin farklı diziliş sayısı:
\( = \dfrac{8!}{1! \cdot 7!} = 8 \)
0 "C" ve 8 "B"nin farklı diziliş sayısı:
\( = \dfrac{8!}{0! \cdot 8!} = 1 \)
\( A \) olayının eleman sayısı bu durumların toplamına eşittir.
\( s(A) = 56 + 28 + 8 + 1 = 93 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Şekerleri özdeş nesneler, dağıtılacak arkadaşları da farklı kutular olarak düşünürsek problemi 12 özdeş nesnenin (\( n \)) 4 farklı kutuya (\( k \)) her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtım problemi olarak kurgulayabiliriz.
Bu tip problemlerin çözümünde ayraç yöntemini kullanabiliriz.
Farklı dağıtım sayısı \( = C(n - 1, k - 1) = C(11, 3) \)
\( = \dfrac{11!}{3! \cdot 8!} = 165 \)
Bu durumlardan sadece birinde tüm arkadaşlar eşit sayıda şeker alırlar.
Buna göre her arkadaşın eşit sayıda şeker alma olasılığı:
Bir bozuk para makinesinde 3 tane 1 TL, 4 tane 50 kuruş ve 2 tane 25 kuruş bulunmaktadır. Bu makinenin düğmesine basıldığında makineden rastgele bir para düşmektedir.
Buna göre, bu düğmeye 4 kez basıldığında düşen paraların toplam değerinin 2 TL olma olasılığı kaçtır?
Düşen 4 paranın toplamının 2 TL olma olayına \( A \) diyelim.
Makinedeki paralar arasından toplamı 2 TL yapan para dörtlülerinin sayısı iki tanedir.
(1) 4 tane 50 Kr
(2) 1 tane 1 TL, 1 tane 50 Kr, 2 tane 25 Kr
1. durumda, 4 tane 50 Kr arasından 4'ü \( C(4, 4) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.
2. durumda, 3 tane 1 TL arasından 1'i, 4 tane 50 Kr arasından 1'i ve 2 tane 25 Kr arasından 2'si \( C(3, 1) \cdot C(4, 1) \cdot C(2, 2) = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 12 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( A \) olayının eleman sayısı bu durumların toplamına eşittir.
\( s(A) = 1 + 12 = 13 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Örnek uzay 11 parça içinden 2 parçanın farklı seçimlerinden oluşur.
\( s(S) = C(11, 2) = 55 \)
Bir parçanın üzerindeki sayıların 8'e tam bölünme olayına \( A \) diyelim.
Her parçanın üzerindeki sayıların toplamını yazalım.
1 | 3 | 5 | 16 | 11 | 28 | 17 | 40 | 75 | 29 | 64
Her parçanın üzerindeki sayıların toplamı 8'e bölündüğünde elde edilen kalanları yazalım.
1 | 3 | 5 | 0 | 3 | 4 | 1 | 0 | 3 | 5 | 0
Seçilecek iki parçanın üzerindeki sayıların toplamının 8'e tam bölünmesi için ya kendileri ayrı ayrı 8'e tam bölünmelidir ya da toplamları 8'e tam bölünmelidir.
Parçaların ayrı ayrı 8'e tam bölündüğü 3 parça vardır (kalan 0 olan parçalar).
Parçaların ayrı ayrı 8'e tam bölünmediği ama toplamlarının 8'e tam bölündüğü 4 parça ikilisi vardır (2 tane 3'ten biri ve 2 tane 5'ten biri seçildiğinde).
Buna göre 55 farklı parça ikilisi içinden \( 3 + 4 = 7 \) ikilinin üzerindeki sayıların toplamı 8'e tam bölünür.
\( s(A) = 7 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Bir torbada 5 kırmızı ve 4 siyah top bulunmaktadır. Bu torbadaki topların tümü rastgele ve art arda çekiliyor. Çekilen topların kırmızıdan başlayarak sırayla bir kırmızı bir siyah olma olasılığı nedir?
Çekilen topların rengi ile ilgilendiğimiz için kırmızı ve siyah topların kendi aralarında özdeş ya da farklı olmaları sonucu değiştirmez.
1. yöntem: 5 farklı kırmızı ve 4 farklı siyah top
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 9 farklı topun farklı dizilişlerinden oluşur.
\( s(S) = 9! \)
Topların dizilişinin bir kırmızı bir siyah olma olayına \( A \) diyelim.
Kırmızı toplar için \( K \), siyah toplar için \( S \) kullanalım. 5 kırmızı ve 4 siyah topun kırmızıdan başlayarak bir kırmızı bir siyah olarak dizilmesi \( K-S-K-S-K-S-K-S-K \) şeklinde olur.
5 kırmızı top \( K \) ile belirtilen yerlerde aralarında \( 5! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.
4 siyah top \( S \) ile belirtilen yerlerde aralarında \( 4! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.
Tüm topların bir kırmızı bir siyah olacak şekilde farklı diziliş sayısı \( 5! \cdot 4! \) olur.
\( s(A) = 5! \cdot 4! \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Bir iş yeri kuruluşunun 3. yılını kutlamak için tüm çalışanları arasında çekiliş düzenleyerek 3 kişiye bilgisayar hediye etmeye karar veriyor. Gamze'nin bilgisayar kazanıp Yaşar'ın kazanmama olasılığı \( \%25 \) olduğuna göre, bu iş yerinde en çok kaç çalışan vardır?
Örnek uzay \( n \) kişi arasından 3 kişinin farklı seçimlerinden oluşur.
\( s(S) = C(n, 3) \)
Gamze'nin kazanıp Yaşar'ın kazanmama olayına \( A \) diyelim.
Gamze kazandıktan ve Yaşar kazanmadıktan sonra, kalan \( n - 2 \) kişi arasından bilgisayar kazanan 2 kişi \( C(n - 2, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( s(A) = C(n - 2, 2) \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
2 kardeşten büyük olan annelerini her hafta herhangi 4 günde, küçük olan herhangi 3 günde arıyor. Belirli bir haftada annenin haftanın her günü aranma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay iki kardeşin hafta boyunca annelerini tüm farklı arama durumlarından oluşur.
Büyük kardeş annesini bir haftada \( C(7, 4) \) farklı şekilde, küçük kardeş de \( C(7, 3) \) farklı şekilde arayabilir.
\( s(S) = C(7, 4) \cdot C(7, 3) \)
Annelerinin haftanın her günü aranması için kardeşlerin haftanın farklı günlerinde aramaları gerekir.
Kardeşlerin haftanın farklı günlerinde annelerini aramaları olayına \( A \) diyelim.
Büyük kardeş annesini arayacağı 4 günü \( C(7, 4) \) farklı şekilde seçtikten sonra küçük kardeş kalan günler içinden 3 günü \( C(3, 3) \) farklı şekilde seçebilir.
\( s(A) = C(7, 4) \cdot C(3, 3) \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
Tüm rakamların bulunduğu bir kümeden birbirinden farklı iki rakam seçiliyor. Seçilen rakamlardan büyük olanın küçük olana oranının tam sayı olma olasılığı nedir?
İki basamaklı (10 - 99 aralığında) 90 sayı vardır.
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay iki basamaklı sayılar arasından iki sayının farklı seçimlerinden oluşur.
\( s(S) = C(90, 2) \)
İki sayının toplamının 100'den küçük olma olayına \( A \) diyelim.
Küçük sayının alabileceği her değer için büyük sayının kaç farklı değer alabileceğini bulalım.
Küçük sayı 10 ise büyük sayı 11-89 arasında \( \frac{89 - 11}{1} + 1 = 79 \) değer alabilir.
Küçük sayı 11 ise büyük sayı 12-88 arasında \( \frac{88 - 12}{1} + 1 = 77 \) değer alabilir.
Küçük sayı 12 ise büyük sayı 13-87 arasında \( \frac{87 - 13}{1} + 1 = 75 \) değer alabilir.
Görüldüğü üzere, küçük olan sayıyı 1 artırdığımızda büyük sayının alabileceği değer sayısı 2 azalmaktadır. Küçük sayı alabileceği en büyük değer olan 49'u aldığında ise büyük sayının alabileceği tek değer 50 olur.
\( A \) olayının eleman sayısını bulmak için ardışık sayıların toplam formülünü kullanalım.
İkiz ve üçüzler üzerinde yapılacak bir deneye 10 ikiz ve 4 üçüz katılıyor. Katılımcılar arasından rastgele seçilen 2 kişinin kardeş olmama olasılığı nedir?
Deneye ikizlerden \( 10 \cdot 2 = 20 \), üçüzlerden \( 4 \cdot 3 = 12 \) olmak üzere 32 kişi katılıyor.
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 32 kişi arasından 2 kişinin tüm farklı seçimlerinden oluşur.
\( s(S) = C(32, 2) = 496 \)
Seçilen iki kişinin kardeş olmama olayına \( A \) diyelim.
Kardeş olmayan iki kişi üç farklı şekilde seçilebilir.
Durum 1: İkisi de ikizlerden
Önce 10 ikiz grubu arasından 2 grup \( C(10, 2) \) farklı şekilde seçilebilir, seçilen gruplardan birer kişi \( C(2, 1) \cdot C(2, 1) \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu durumda farklı seçim sayısı \( C(10, 2) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 180 \) olur.
Durum 2: İkisi de üçüzlerden
Önce 4 üçüz grubu arasından 2 grup \( C(4, 2) \) farklı şekilde seçilebilir, seçilen gruplardan birer kişi \( C(3, 1) \cdot C(3, 1) \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu durumda farklı seçim sayısı \( C(4, 2) \cdot C(3, 1) \cdot C(3, 1) = 54 \) olur.
Durum 3: Biri ikizlerden, diğeri üçüzlerden
Önce 10 ikiz grubu ve 4 üçüz grubu arasından 2 grup \( C(10, 1) \cdot C(4, 1) \) farklı şekilde seçilebilir, seçilen gruplardan birer kişi \( C(2, 1) \cdot C(3, 1) \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu durumda farklı seçim sayısı \( C(10, 1) \cdot C(4, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(3, 1) = 240 \) olur.
\( A \) olayının eleman sayısı bu durumların toplamına eşittir.
\( s(A) = 180 + 54 + 240 = 474 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{474}{496} = \dfrac{237}{248} \) bulunur.
5 madeni paradan ikisi \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
2 para ikisi de hileli olacak şekilde \( C(3, 2) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir. Buna göre seçilen iki paranın ikisinin de hileli olma olasılığı \( \frac{3}{10} \) olur.
2 para ikisi de hilesiz olacak şekilde \( C(2, 2) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir. Buna göre seçilen iki paranın ikisinin de hilesiz olma olasılığı \( \frac{1}{10} \) olur.
2 para biri hileli biri hilesiz olacak şekilde \( C(3, 1) \cdot C(2, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir. Buna göre seçilen iki paranın birinin hileli birinin hilesiz olma olasılığı \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) olur.
Paraların hileli/hilesiz olma durumlarına göre seçim olasılıkları ile her durumda paraların tura gelme olasılıklarını çarptığımızda toplamda iki paranın da tura gelme olasılığını buluruz.
