Geometrik Olasılık

Teknik servis 16:00 - 19:00 arasındaki 3 saatlik periyotta geleceğini belirtiyor.

Bu 3 saatlik periyotta Yiğit'in evde olduğu zaman 17:00 - 19:00 arasındaki 2 saatlik periyottur.

Teknik ekibin geldiğinde Yiğit'in evde olma olasılığı:

\( = \dfrac{\text{İstenen süre}}{\text{Tüm süre}} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.

Seçilecek noktanın belirli bir bölgede bulunma olasılığı, o bölgenin alanının toplam alana oranına eşittir.

\( ABCD \) karesinin alanı \( 3^2 = 9 \) birimkaredir.

Sorudaki koşulun sağlanması için seçilen nokta ortadaki karenin içinde, en içteki karenin dışında olmalıdır.

Bu bölgenin alanı \( 2^2 - 1^2 = 3 \) birimkaredir.

Seçilen noktanın sadece iki karenin içinde olma olasılığı:

\( = \dfrac{\text{İstenen alan}}{\text{Tüm alan}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

Verilen eşitsizliği düzenleyelim.

\( x^2 + 2xy + y^2 \le x^2 + y^2 \)

\( 2xy \le 0 \)

\( xy \le 0 \)

Bu eşitsizlik \( x \) ve \( y \) ters işaretli olduğunda sağlanır.

\( x \) ve \( y \) değer aralıklarını analitik düzlemde gösterelim ve \( x \) ve \( y \)'nin ters işaretli olduğu bölgeleri işaretleyelim.

\( x \) ve \( y \) reel sayılarda tanımlı olduğu için iki değişkenin ters işaretli olduğu alanların tüm alana oranı istenen olasılığı verir.

Seçilen \( x \) ve \( y \) değerlerinin verilen eşitsizliği sağlama olasılığı:

\( = \dfrac{\text{İstenen alan}}{\text{Tüm alan}} \)

\( = \dfrac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 5}{7 \cdot 8} = \dfrac{25}{56} \) bulunur.

12:00 ve 13:00 aralığında 60 dakika vardır.

Ayşe'nin müzeye vardığı zamana \( x \), Sude'nin müzeye vardığı zamana \( y \) diyelim.

\( 0 \le x \le 60 \)

\( 0 \le y \le 60 \)

Ayşe ve Sude'nin buluşabilmeleri için \( x \) ve \( y \) arasındaki fark 10 dakikadan küçük olmalıdır.

\( \abs{x - y} \lt 10 \)

\( x \) ve \( y \) zamanlarını analitik düzlemde işaretleyelim. Buna göre Ayşe ve Sude varış zamanları renkli alana denk geldiğinde buluşabilirler.

Ayşe ve Sude'nin buluşma olasılıkları renkli (buluşabildikleri) alanın tüm alana oranına eşittir.

Tüm alan \( = 60 \cdot 60 = 3600 \)

Buluşamadıkları alan \( = \dfrac{50 \cdot 50}{2} + \dfrac{50 \cdot 50}{2} = 2500 \)

İki alanın farkı buluşabildikleri alanı verir.

Buluşabildikleri alan \( = 3600 - 2500 = 1100 \)

\( P = \dfrac{\text{Buluşabildikleri alan}}{\text{Tüm alan}} \)

\( = \dfrac{1100}{3600} = \dfrac{11}{36} \) bulunur.

Aslı'nın seçtiği sayıya \( x \), Ali'nin seçtiği sayıya \( y \) diyelim ve bu değişkenler için sayı aralıklarını analitik düzlemde işaretleyelim.

\( 0 \le x \le 2000 \)

\( 500 \le y \le 1500 \)

Renkli işaretli (mavi ve turuncu) dikdörtgen şeklindeki alan Aslı ve Ali'nin sayı tutabilecekleri aralıklara karşılık gelir.

Ali'nin seçtiği sayının Aslı'nın seçtiği sayının iki katından büyük olduğu durum aşağıdaki eşitsizlikle gösterilir. Bu alan grafikte kesikli \( y = 2x \) doğrusunun üstünde kalan turuncu taralı alandır.

\( y \gt 2x \)

Aslı ve Ali'nin bu koşulu sağlayan sayılar seçme olasılığı turuncu taralı alanın tüm renkli alana oranına eşittir.

\( P = \dfrac{\text{İstenen alan}}{\text{Tüm alan}} \)

\( = \dfrac{\frac{500 + 1000}{2} \cdot (1500 - 500)}{2000 \cdot (1500 - 500)} \)

\( = \dfrac{750}{2000} = \dfrac{3}{8} \) bulunur.

\( x \) eksenine Deniz'in durağa varış saatlerini, \( y \) eksenine metronun kalkış saatlerini yazdığımız bir grafik oluşturalım.

Deniz durağa metronun kalkış saatinde ya da öncesinde geldiğinde işe yetişmiş olur.

Deniz'in metroya son anda yetiştiği dakikaları grafikte işaretlediğimizde grafiği Deniz'in işe yetişebildiği ve yetişemediği şeklinde iki bölgeye ayırmış oluruz.

Dikdörtgenin tamamının alanı tüm durumlara, kırmızı doğrunun sağında/altında kalan mavi alan ise Deniz'in metroyu kaçırdığı, dolayısıyla işe geç kaldığı durumlara karşılık gelir.

Tüm alan \( = 5 \cdot 13 = 65 \)

Deniz'in metroyu kaçırdığı mavi alan \( = \dfrac{2 + 7}{2} \cdot 5 = \dfrac{45}{2} \)

Deniz'in herhangi bir günde metroyu kaçırma olasılığı:

\( = \dfrac{\text{Mavi alan}}{\text{Tüm alan}} \)

\( = \dfrac{\frac{45}{2}}{65} = \dfrac{9}{26} \) bulunur.

Rastgele yapılan bir atışın belirli bir bölgeye düşme olasılığı o bölgenin alanı ile doğru orantılıdır.

En dıştaki dairenin yarıçapı \( 12 + 18 + 12 = 42 \) cm'dir.

Ortadaki dairenin yarıçapı \( 12 + 18 = 30 \) cm'dir.

En içteki dairenin yarıçapı \( 12 \) cm'dir.

En dıştaki dairenin alanı \( \pi r^2 = 42^2 \pi \) olur.

Ortadaki dairenin alanı \( \pi r^2 = 30^2 \pi \) olur.

En içteki dairenin alanı \( \pi r^2 = 12^2 \pi \) olur.

Mavi bölgenin alanını bulmak için ortadaki dairenin alanından en içteki dairenin alanını çıkaralım.

Mavi bölgenin alanı \( = 30^2 \pi - 12^2 \pi \) olur.

İsabetli bir atışın mavi renkli alana düşme olasılığı:

\( = \dfrac{\text{Mavi bölgenin alanı}}{\text{Büyük dairenin alanı}} \)

\( = \dfrac{30^2 \pi - 12^2 \pi}{42^2 \pi} \)

\( = \dfrac{(30 - 12)(30 + 12)}{42^2} = \dfrac{3}{7} \) bulunur.

Analitik düzlemde \( a \gt nb \) eşitsizliğinin sağlandığı bölgeyi bulalım.

\( x \gt ny \Longrightarrow y \lt \frac{1}{n}x \)

Buna göre \( a \gt nb \) eşitsizliğinin sağlanması için, \( P(a, b) \) noktası \( y = \frac{1}{n}x \) doğrusunun altındaki taralı bölgede kalmalıdır.

\( P \) noktasının bu bölgede bulunma olasılığı, taralı bölgenin alanının karenin alanına oranına eşittir.

\( y = \frac{1}{n}x \) doğrusunun karenin yan kenarını kestiği noktanın ordinatını bulmak için doğru denkleminde \( x = 2 \) yazalım.

\( y = \dfrac{2}{n} \)

Taralı üçgensel bölgenin alanını bulalım.

\( A_1 = \dfrac{2 \cdot \frac{2}{n}}{2} = \dfrac{2}{n} \)

Karenin alanını bulalım.

\( A_2 = 2 \cdot 2 = 4 \)

\( P \) noktasının kare içindeki taralı alanda bulunma olasılığını bulalım.

\( \dfrac{\text{Turuncu bölgenin alanı}}{\text{Karenin alanı}} = \dfrac{\frac{2}{n}}{4} \)

\( = \dfrac{1}{2n} \)

Bulunan olasılığı soruda verilen olasılığa eşitleyelim.

\( \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{126} \)

\( n = 63 \) bulunur.